2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三(上）第二次月考数学试卷(文科）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M=｛x|x2=x｝，N={x|lgx≤0}，则M∪N=()A．［0,1]B．（0,1]C．[0，1）D．（﹣∞,1］2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于（）A．B．C．﹣D．23．等差数列{a n}前n项和为S n,且﹣=3，则数列｛a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．44．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．35．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈(﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（) A．1 B．2 C．D．37．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（）A． B．C．﹣2 D．28．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(）A．若m⊥n，n∥α,则m⊥αB．若m∥β,β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α,则m⊥α9．数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（)A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+110．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0,+∞）C．(﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞)11．已知向量与的夹角为120°，且||=2,｜|=3，若=+，且⊥,则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．12．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊),分别编号为1,2，…,n，买家共有m名（m∈N*,m＜n），分别编号为1,2，…，m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13．函数y=f(x）的图象在点M（1,f（1)）处的切线方程是y=3x﹣2,则f（1）+f′（1）=．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心,则三棱锥O﹣MNB的体积是．16．已知实数x,y满足x2+y2≤1,则｜2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b，c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边,c=asinC﹣ccosA．(1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为,求b，c．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f(x）的图象经过点(1,3），（1）求实数a，b的值；(2）求函数f（x）的值域．19．设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列{b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1)求数列{a n｝，｛b n}的通项公式（2)当d＞1时,记c n=，求数列{c n｝的前n项和T n．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E,F分别是AC，PB的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．21．已知函数y=f(x)，若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0)=﹣f（x0)成立,则称x0为函数f（x)的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点,求实数b的取值范围；（3)若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x)=xlnx．（l）求f（x)的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M=｛x｜x2=x｝，N={x｜lgx≤0},则M∪N=(）A．[0，1］B．(0，1]C．［0，1） D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}=｛0，1｝,N=｛x｜lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0,1}∪（0,1]=[0，1]．故选:A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法,是基础题．2．如果复数（其中i为虚数单位,b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（) A．B．C．﹣D．2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi（a,b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C．【点评】本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．等差数列｛a n｝前n项和为S n，且﹣=3，则数列{a n｝的公差为(）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d．【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为d，∵﹣=3，∴﹣=3,化简可得2d﹣d=3,解得d=2故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．函数f（x)=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2｜,y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数．【解答】解：由题意,函数f（x）的定义域为(0，+∞）;由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞)内的零点即是方程｜x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=｜x﹣2｜,y2=lnx(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C．【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求出函数零点的个数．5．若3sinx﹣cosx=2sin(x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=(）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用两角和公式对等号左边进行化简进而根据φ的范围求得φ．【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣)=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈(﹣π，π）,∴φ=，故选：B．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，诱导公式的应用．对三角函数的基础公式应能够熟练记忆和灵活运用．6．已知向量，且,则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题．7．已知向量，,且向量k与平行，则实数k的值为（) A． B．C．﹣2 D．2【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】求出两个平行向量，利用共线向量的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，且向量k=(k﹣3,2k+2）与=（7，﹣2）平行可得：7(2k+2）=﹣2(k﹣3）．解得k=﹣．故选:A．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．8．设m、n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α,则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α,则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β,n⊥α，则m⊥α,正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．9．数列｛a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n(n≥1)，则a6=()A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n,当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减,根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列，由a1=1,a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1(n≥2），两式相减得:a n+1﹣a n=3(S n﹣S n﹣1）=3a n,则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3，公比为4的等比数列,所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．不等式x2+2x＜对任意a，b∈(0,+∞）恒成立，则实数x的取值范围是()A．(﹣2，0) B．（﹣∞，﹣2)∪(0,+∞） C．（﹣4，2）D．(﹣∞,﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知,只需x2+2x小于的最小值即可,可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a,b∈（0，+∞),，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0,解得x∈（﹣4，2）故选C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．11．已知向量与的夹角为120°,且||=2,|｜=3，若=+，且⊥，则实数λ的值为（)A．B．13 C．6 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，得•=0,用向量表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．【解答】解:∵=+,且⊥，∴•=（+)•（）===0．∵向量与的夹角为120°,且｜|=2，｜|=3，∴2×3（λ﹣1）•cos120°﹣4λ+9=0．解得：．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．12．某电商在“双十一"期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类（n∈N＊）,分别编号为1，2，…，n，买家共有m名（m∈N*，m＜n），分别编号为1，2，…,m．若a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）A．a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2mB．a11+a21+…+a m1+a12+a22+…+a m2C．a11a12+a21a22+…+a m1a m2D．a11a21+a12a22+…+a1m a2m【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中a ij=1≤i≤m，1≤j≤n，可知：a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品，进而得到答案．【解答】解:∵a ij=1≤i≤m,1≤j≤n，∴a i1a i2表示第i名买家同时购买第1类和第2类商品,∴同时购买第1类和第2类商品的人数是a11a12+a21a22+…+a m1a m2故选：C【点评】本题考查的知识点是进行简单的合情推理，其中正确理解a ij=1≤i≤m，1≤j≤n的含义是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）)处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1)+f′(1）=4．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点,该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1)=3,且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1)+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f(a)与f′（a)．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•(），再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0,故=（）•（）=（）•（)=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义,两个向量垂直的性质，属于中档题．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】以D为原点，DA为x轴,DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥O﹣MNB的体积．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,则由题意得O(1,1,2）,M(1，0，0）,B（2，2,0）,N（0，2，1），=（0，1，2）,=(1,2，0）,=（﹣1，2，1)，｜|==，||==，cos＜＞==，sin＜＞==，∴S△MNB===,设平面MNB的法向量=(x，y，z）,则，取x=2，得=(2，﹣1，4）,∴点O到平面MNB的距离d===，∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则｜2x+y﹣4｜+｜6﹣x﹣3y|的最大值是15．【考点】简单线性规划．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+｜6﹣x﹣3y|的最大值．【解答】解：如图，由x2+y2≤1，可得2x+y﹣4＜0,6﹣x﹣3y＞0，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10,令z=﹣3x﹣4y+10，得，如图，要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．则，即z=15或z=5．由题意可得z的最大值为15．故答案为:15．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．(1)求角A；（2)若a=2，△ABC的面积为，求b,c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1)把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0,得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可;（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值,求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②,联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0,∴sinA﹣cosA=1，整理得:2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣)=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去）,则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=,△ABC的面积为,∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数（a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），(1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．【考点】奇函数；函数的值域．【专题】常规题型；计算题．【分析】（1）由函数是奇函数，和函数f（x）的图象经过点(1，3），建立方程求解．（2)由（1）知函数并转化为，再分两种情况，用基本不等式求解．【解答】解:（1）∵函数是奇函数,则f（﹣x）=﹣f(x）∴，∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0又函数f（x）的图象经过点（1，3）,∴f(1)=3,∴，∵b=0，∴a=2(2）由(1)知当x＞0时，，当且仅当，即时取等号当x＜0时,，∴当且仅当，即时取等号综上可知函数f（x)的值域为【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列｛a n}，｛b n｝的通项公式（2）当d＞1时，记c n=,求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由(1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：(1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时,a n=2n﹣1，b n=2n﹣1;当时，a n=(2n+79），b n=9•；(2）当d＞1时，由（1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1，∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1)•，∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．(Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）若PA=AB,求EF与平面PAC所成角的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】(Ⅰ）欲证EF∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PCD内一直线平行即可,连接BD，根据中位线可知EF∥PD，而EF不在平面PCD内,满足定理所需条件；（Ⅱ）连接PE，根据题意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，则PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，根据线面所成角的定义可知∠EPD是PD与平面PAC所成的角，而EF∥PD，则EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．【解答】(Ⅰ）证明：如图,连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD．因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ)解:连接PE．因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC．又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD．因此BD⊥平面PAC．故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．因为EF∥PD，所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，所以Rt△PAD≌Rt△BAD．因此PD=BD．在Rt△PED中,sin∠EPD=,∠EPD=30°．所以EF与平面PAC所成角的大小是30°．【点评】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角大小计算，同时考查空间想象能力和推理论证能力．21．已知函数y=f（x）,若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f(x）的局部对称点．（1)若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2)若函数f（x)=2x+b在区间[﹣1，2］内有局部对称点，求实数b的取值范围；(3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0,再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．(2)根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1,2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2(m2﹣3)=0…（*）在R上有解,再利用换元法,设t=2x+2﹣x,方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可【解答】解：（1）由f(x）=ax2+x﹣a得f(﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x) 得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0),其中△=4a2,由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x)=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间［﹣1，2］内有局部对称点,∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间［﹣1，2］上有解,于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+,其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1(3)∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f(﹣x）=﹣f（x）,∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2（m2﹣3）=0…(＊)在R上有解,令t=2x+2﹣x（t≥2）,则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（＊）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解,需满足条件：即,化简得1﹣≤m≤2【点评】本题依据新定义,考查了方程的解得问题以及参数的取值范围,以及换元的思想，转化思想，属于难题22．已知函数f（x)=xlnx．(l）求f（x）的单调区间和极值；（2)若对任意恒成立，求实数m的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．【解答】解（1）∵f（x）=xlnx,∴f’（x)=lnx+1,∴f’（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增,f’(x）＜0有，∴函数f（x）在上递减，∴f（x)在处取得极小值,极小值为．（2)∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0,∴,令,令h’（x）=0,解得x=1或x=﹣3(舍）当x∈（0，1）时,h'（x）＜0,函数h(x）在(0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h’(x）＞0,函数h(x）在（1，+∞)上递增，∴h（x）min=h（1）=4．∴m≤4,即m的最大值为4．【点评】本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．。
