人教B版选修22高中数学1.2.1常数函数与幂函数的导数同步练习4

求下列函数的导数： （1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.

1．2导数的运算1．2.1常数函数与幂函数的导数1．2.2导数公式表及数学软件的应用双基达标(限时20分钟)1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()．A．0 B．2x C．6 D．9解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.答案 C2．f(x)＝0的导数为()．A．0 B．1 C．不存在D．不确定解析常数函数导数为0.答案 A3．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于()．A．1 B．2 C．3 D．4解析对y＝x n进行求导，得n·2n－1＝12，代入验证可得n＝3.答案 C4．设函数y＝f(x)是一次函数，已知f(0)＝1，f(1)＝－3，则f′(x)＝________.解析∵f(x)＝ax＋b，由f(0)＝1，f(1)＝－3，可知a＝－4，b＝1，∴f(x)＝－4x＋1，∴f′(x)＝－4.答案－45．函数f (x )＝ x x x 的导数是________．6．在曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点的切线与直线y ＝4x －7平行．解 ∵y ′＝3x 2＋1.∴3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. 当x 0＝1时，y 0＝1，此时切线为y －1＝4(x －1)即y ＝4x －3与y ＝4x －7平行．∴点为P (1,1)，当x 0＝－1时，y 0＝－3，此时切线y ＝4x ＋1也满足条件．∴点也可为P (－1，－3)，综上可知点P 坐标为(1,1)或(－1，－3)．综合提高 (限时25分钟)7．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )．A ．(1,0)或(－1，－4)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,4)解析 由已知条件，点P 0的切线斜率为4，即3x 2＋1＝4，∴x ＝±1，故选A.答案 A8．下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 在①中(sin x )′＝cos x ，在②中⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，在③中(log 3x )′＝1x ln 3，④正确．答案 B9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．答案 3810．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.答案 x ＋y －6＝011．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．(创新拓展)求下列函数的导数：(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x －2x ；(3)y ＝－2sin x 2(2sin 2x 4－1)．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4.(2)∵y＝2x2＋1x－2x＝2x2＋1－2x2x＝1x.∴y′＝(1x)′＝－1x2.(3)∵y＝－2sin x2(2sin2x4－1)＝2sinx2(1－2sin2x4)＝2sin x2cos x2＝sin x.∴y′＝(sin x)′＝cos x．。

3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课时过关·能力提升1.下列结论正确的是()A.若y=sin x,则y'=cos xB.若y=cos x,则y'=sin xC.若y y'D.若y y'答案:A2.下列命题正确的是()A.(log a x)'.(log a x)'C.(3x)'=3xD.(3x)'=3x ln 3答案:D3.已知f(x)=x a,若f'(-1)=-4,则a的值等于()A.4B.-4C.5D.-5解析:f'(x)=ax a-1,f'(-1)=a(-1)a-1=-4.当a=4时,a-1=3,则f'(-1)=-4成立.当a=-4时,f'(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.答案:A4.已知f(x)=x4,则f'(2)=()A.16B.24C.32D.8答案:C★5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f (x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).答案:D6.常数的导数为0的几何意义是.答案:函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为07.曲线y=cos x在点x.解析:co y=cos x上,y'=-sin x,当x,y'=-1.所以切线方程为y=-1·x+y.答案:x+y★8.函数y=x2(x>0)的图象在点(a k x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析:∵函数y=x2,y'=2x,∴函数y=x2(x>0)在点(a k y a k(x-a k),令y=0得a k+又∵a1=16,∴a=4,a=1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:219.当常数k为何值时,直线y=x才能与曲线y=x2+k相切?并求出切点.分析:利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标,进一步可求k.解:设切点A(x0.因为y'=2x,所所故当k,直线y=x与函数y=x,切点坐标★10.已知y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值;(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.解:(1)y=cos x上,∴a=co(2)∵y'=-sin x,∴k l=y又∵所求直线与直线l垂直, ∴所求直线的斜率∴所求直线方程为y即y。

4.4幂函数同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知幂函数()()2255m f x m m x-=-+是R 上的偶函数，且函数()()()26g x f x a x =--在区间[]1,3上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(),4-∞B ．(],4∞-C ．[)6,+∞D ．(][),46,-∞+∞ 2．幂函数()y f x =的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则此函数的解析式为（）A ．()12f x x -=（0x >）B ．()18f x x=C ．()72f x x =-D ．()2132f x x =3．设1465a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1556b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1345c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c b a<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b c a<<4．已知幂函数()f x x α=的图象经过点13,27⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α=（）A ．2-B ．3-C ．2D ．35．已知幂函数()y f x =的图象经过点()2,8，则函数()f x 为（）A ．奇函数，且在(),-∞+∞上是增函数B ．偶函数，且在()0,∞+上是减函数C ．奇函数，且在(),-∞+∞上是减函数D ．偶函数，且在()0,∞+上是增函数6．图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3二、多选题三、填空题参考答案：故选：D 7．B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，性可判断.【详解】由211m m --=得2m =时，3()f x x =在R 上是增函数，不合题意，上单调递减，（3）观察（2）中图象得，故函数1,2.间是：()。