内蒙古呼伦贝尔莫旗尼尔基一中刘春和作业(一)集合的概念一、选择题1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}【解析】解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．【答案】 D2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为()A．4 B．5C．6 D．7【解析】由题意，B＝{2,3,4,5,6,8}，共有6个元素，故选C.【答案】 C3．下列各组两个集合M和N表示同一集合的是()A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{x|x2＋1＝0}，N＝∅【解析】对于A，∵π≠3.141 59，∴{π}≠{3.141 59}．对于B，前者包含2个元素，而后者只含一个元素，是个点．对于C，前者是直线x＋y＝1上点的集合，而后者是函数y＝－x＋1的值域．对于D，∵x2＋1＝0无解，∴{x|x2＋1＝0}＝∅，故选D.【答案】 D4．设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】若x∈B，则－x∈A，∴x的可能取值为：2,0，－1，－3，当2∈B时，则1－2＝－1∉A，∴2∈B；当0∈B时，则1－0∈A，∴0∉B；当－1∈B时，则1－(－1)＝2∉A，∴－1∈B；当－3∈B时，则1－(－3)＝4∉A，∴－3∈B.综上，B＝{－3，－1,2}，所以集合B含有的元素个数为3，故选C.【答案】 C5．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则() A．5<k<6 B．5≤k<6C．5<k≤6 D．5≤k≤6【解析】因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，可得5<k≤6，故选C.【答案】 C二、填空题6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________．【解析】(－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4,02＝0，所以B＝{0,1,4}．【答案】{0,1,4}7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.【解析】把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3,1}．【答案】{－3,1}8．若2∉{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．【解析】由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，∵2∉{x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a的取值集合是{a|a≤2}．【答案】{a|a≤2}三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．【解】(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N 且x<1 000}．(3)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．10．若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.【解】∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，解得a＝0，或a＝－1，当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合三要素；当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合三要素；∴a＝0或－1.作业(二)(45分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有()A．1∉A B．0⊆AC．∅⊆A D．{0}⊆A2．已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为()A．5 B．6C．7 D．83．集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝() A．2 B．－1C．2或－1 D．44．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}5．集合M＝，，则()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N∅二、填空题 6．设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，则a ＋2b ＝________.7．已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8，x ∈N }，用适当的符号填空：(1)A ________B ；(2)A ________C ； (3){2}________C ；(4)2________C .8．设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，则满足B ⊆A 的实数m 的取值集合为________．三、解答题9．已知A ＝{x|x ＜3}，B ＝{x|x ＜a}. (1)若B ⊆A ，求a 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围． 一、选择题1【解析】 因为A ＝{1，－1}，所以选项A ，B ，D 都错误，因为∅是任何非空集合的真子集，所以C 正确．【答案】 C2【解析】 ∵集合N ＝{1,3,5}，∴集合N 的真子集个数是23－1＝7个，故选C.【答案】 C3【解析】 ∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，即m 2－m －2＝0，∴m ＝2或－1. 【答案】 C4【解析】 集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M .故选D.【答案】 D5【解析】∵M 中：x ＝k 2＋13＝⎩⎨⎧n ＋13，k ＝2n ，n ∈Z ， n ＋56，k ＝2n ＋1，n ∈Z .N 中：x ＝k ＋13＝n ＋13，k ＝n ∈Z ，∴N ⊆M . 【答案】 C6【解析】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，而a ≠0，∴a ＋b ＝0，ba ＝－1，从而b ＝1，a ＝－1，可得a ＋2b ＝1. 【答案】 17【解析】 集合A 为方程x 2－3x ＋2＝0的解集，即A ＝{1,2}，而C ＝{x |x <8，x ∈N }＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A ＝B ；(2)A C ；(3){2} C ；(4)2∈C .【答案】 (1)＝ (2) (3) (4)∈8【解析】 ∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，又∵B ⊆A ，当m ＝0，mx ＋1＝0无解，故B ＝∅，满足条件；若B ≠∅，则B ＝{－3}，或B ＝{2}，即m ＝13，或m ＝－12.故满足条件的实数m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－129【解】 (1)因为B ⊆A ，由图(1)得a ≤3.(1)(2)因为A ⊆B ，由图(2)得a ≥3.(2)10．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．作业(三)一、选择题1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个B．5个C．7个D．8个2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图1-1-3中的阴影部分表示的集合为()图1-1-3A．{2} B．{4,6}C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}5．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤2 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2二、填空题6．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁U N＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.7．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)＝________.8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________.三、解答题9．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝∅，且A∩(∁U B)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.10．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：(1)A∩B；(2)∁R A；(3)∁R(A∪B)．第二章课时作业(一)一、选择题1．下列各式正确的是()A.(－3)2＝－3B.4a4＝aC.22＝2D.3(－2)3＝2【解析】由于(－3)2＝3，4a4＝|a|，3(－2)3＝－2，故A，B，D错误，故选C.【答案】C2. 的值为()A．－13 B.13C.43 D.73【解析】原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×49＝73.【答案】 D3．下列各式运算错误的是()A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18【解析】对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.【答案】 C4．化简(a，b>0)的结果是()A.ba B．abC.ab D．a2b【解析】原式＝＝【答案】 C5．设a 12－a－12＝m，则a2＋1a＝()A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2【解析】将a 12－a－12＝m平方得(a12－a－12)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋1a＝m2＋2⇒a2＋1a＝m2＋2.【答案】 C二、填空题6．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x|＝________.【解析】 由于x <0，所以|x |＝－x ，x 2＝－x ，所以原式＝－x －(－x )＋1＝1.【答案】 17．已知3a＝2,3b＝15，则32a －b ＝________.【解析】 32a －b＝32a 3b ＝(3a )23b ＝2215＝20.【答案】 208．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 017)y ＝________. 【解析】 因为x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0， 所以(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0， 所以x ＝－1，y ＝－3，所以(x 2 017)y ＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1. 【答案】 －1 三、解答题9．求值：(2)0.027－13－＋2560.75－13＋.【解】 (1)(2－1)0＋＋(8)－43＝1＋34＋14＝2. (2)0.027－13－＋2560.75－13＋＝103－36＋64－13＋1＝32. 10．化简3a 72a －3÷3a－83a 15÷3a －3a －1.【解】 原式＝＝3a 2作业(二)一、选择题1．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3D ．1【解析】由题意得⎩⎨⎧a >0a ≠1a 2－4a ＋4＝1，得a ＝3，故选C.【答案】 C2．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝【解析】 根据指数函数的定义y ＝a x (a >0且a ≠1)，可知只有D 项正确．故选D.【答案】 D3．函数f (x )＝2|x |－1在区间[－1,2]上的值域是( ) A ．[1,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 【解析】 函数f (x )＝2t －1在R 上是增函数，∵－1≤x ≤2，∴0≤|x |≤2，∴t ∈[0,2]，∴f(0)≤f(t)≤f(2)，即12≤f(t)≤2，∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B.【答案】 B4．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()【解析】当x≥0时，y＝a|x|的图象与指数函数y＝a x(a>1)的图象相同，当x<0时，y＝a|x|与y＝a－x的图象相同，由此判断B正确．【答案】B5．如图2-1-1是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()图2-1-1A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c【解析】法一当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴，得b＜a＜1＜d＜c.法二令x＝1，由题图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c.【答案】 B二、填空题6．指数函数f(x)＝a x＋1的图象恒过定点________．【解析】由函数y＝a x恒过(0,1)点，可得当x＋1＝0，即x＝－1时，y＝1恒成立，故函数恒过点(－1,1)．【答案】(－1,1)7．函数f (x )＝3x －1的定义域为________．【解析】 由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)． 【答案】 [1，＋∞)8．函数f (x )＝3x －3(1<x ≤5)的值域为________．【解析】 因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2，而函数f (x )＝3x 是单调递增的，于是有19<f (x )≤32＝9，即值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤19，9.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤19，9三、解答题9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 【解】 (1)因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.所以所求函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值.【解】 (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.作业(三)一、选择题1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则()A．c>a>b B．b>a>cC．a>b>c D．a>c>b【解析】a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.【答案】 D2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域是()A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)【解析】由题意可知f(2)＝1，即32－b＝1，解得b＝2，∴f(x)＝3x－2，又2≤x≤4，故0≤x－2≤2，∴f(x)∈[1,9]，故f(x)的值域为[1,9]．【答案】C3．函数y＝的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)【解析】y＝＝2x－1，因为y＝x－1在R上是递增的，所以函数y ＝的单调递增区间为(－∞，＋∞)．【答案】 A 4．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上( ) A ．单调递减且无最小值 B ．单调递减且有最小值 C ．单调递增且无最大值 D ．单调递增且有最大值 【解析】 函数f (x )＝12x＋1为减函数，2x ＋1＞1，故f (x )＝12x ＋1∈(0,1)，无最值．【答案】 A5．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．21小时【解析】 由题意，⎩⎨⎧192＝eb48＝e 22k ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b 12＝e 11k ，于是当x ＝33时，y ＝e 33k＋b＝(e 11k )3·e b ＝×192＝24(小时)．【答案】 C 二、填空题6．已知y ＝21＋ax 在R 上是减函数，则a 的取值范围是________.【解析】 ∵y ＝21＋ax 在R 上是减函数，∴y ＝ax ＋1在R 上是减函数，∴a <0，即a 的取值范围是(－∞，0)．【答案】 (－∞，0)7．不等式0.52x >0.5x －1的解集为________．(用区间表示) 【解析】 ∵0<0.5<1，由0.52x >0.5x －1得2x <x －1，即x <－1. 【答案】 (－∞，－1)8．函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．【解析】由于函数在[1,2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a＋a2＝6，又a＞0，解得a＝2.【答案】 2三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.【解】(1)由于y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－3，所以1.9－π<1.9－3.(2)因为y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9<0.3，所以0.72－3>0.70.3.(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4>0.60.6；又在y轴右侧，函数y ＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6>0.40.6，所以0.60.4>0.40.6.10．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝1－a x 1＋a x.(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；(2)用定义证明：函数g(x)在R上是单调递减函数；(3)求函数g(x)的值域.【解】(1)由f(a＋2)＝3a＋2＝81，得a＋2＝4，故a＝2，则g(x)＝1－2x 1＋2x，又g(－x)＝1－2－x1＋2－x＝2x－12x＋1＝－f(x)，故g(x)是奇函数．(2)证明：设x1<x2∈R，g(x1)－g(x2)＝1－2x11＋2x1－1－2x21＋2x2＝2(2x2－2x1)(1＋2x1)(1＋2x2).∵x1<x2，∴2x1<2x2，又2x1>0,2x2>0，∴g(x1)－g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，则函数g(x)在R上是单调递减函数．(3)g(x)＝1－2x1＋2x＝2－(1＋2x)1＋2x＝21＋2x－1.∵2x>0,2x＋1>1，∴0<11＋2x<1,0<21＋2x<2，－1<21＋2x－1<1，故函数g(x)的值域为(－1,1)．作业(四)一、选择题1．若log x 7y＝z，则()A．y7＝x z B．y＝x7z C．y＝7x D．y＝z7x【解析】由log x 7y＝z，得x z＝7y，y＝x7z.【答案】 B2．方程2log3x＝14的解是()A．9 B.3 3C. 3D.1 9【解析】∵2log3x＝14＝2－2.∴log3x＝－2.∴x＝3－2＝19.【答案】 D3．log5(log3(log2x))＝0，则等于()A.36 B.39C.24 D.23【解析】∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3.∴x＝23＝8.∴＝＝18＝122＝24. 【答案】 C4．计算21＋log 25＝( ) A ．7 B ．10 C ．6D.92【解析】 21＋log 25＝2×2log 25＝2×5＝10. 【答案】 B 5．下列各式：①lg (lg 10)＝0；②lg (lne )＝0；③若10＝lgx ，x ＝10；④若log 25x ＝12，得x ＝±5.其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】 底的对数为1,1的对数为0，故①②正确，0和负数没有对数，故④错误，③中10＝lg x ，应该有x ＝1010，所以只有①②正确．【答案】 B 二、填空题6．已知a 12＝49，则log 23a ＝________.【解析】 ∵a 12＝49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，∴log 23a ＝4.【答案】 47．已知log 12x ＝3，则x 13＝________. 【解析】 ∵log 12x ＝3，∴x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123.∴x 13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12313＝12.【答案】 128．使log (x －1)(x ＋2)有意义的x 的取值范围是________．【解析】 要使log (x －1)(x ＋2)有意义，则⎩⎨⎧x －1>0x －1≠1x ＋2>0，∴x >1且x ≠2.【答案】 (1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列各式中x 的值． (1)log 5(log 3x )＝0； (2)log 3(lgx )＝1； (3)ln (log 2(lgx ))＝0.【解】 (1)∵log 5(log 3x )＝log 51，∴log 3x ＝1，∴x ＝3. (2)∵log 3(lgx )＝1，∴lgx ＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)∵ln (log 2(lgx ))＝0，∴log 2(lgx )＝1， ∴lgx ＝2，∴x ＝102＝100.10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 【解】 log 12x ＝m ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m .log 14y ＝m ＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4.∴x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m －(2m ＋4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.作业(五)一、选择题1．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36＝( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1【解析】 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.【答案】 A2．若lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则ab 的值等于( ) A ．2 B.12 C ．100D.10【解析】 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，∴由韦达定理得：lg a ＋lg b ＝－－42＝2，∴ab ＝100.故选C.【答案】 C3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100【解析】 1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m ＞0，∴m ＝10.故选A .【答案】 A4．化简2lg (lga 100)2＋lg (lga )的结果是( )A.12 B ．1 C ．2D ．4【解析】 由对数运算可知：lg(lg a 100)＝lg(100lg a )＝2＋lg(lg a )，∴原式＝2.【答案】 C5．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log ab c x 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 log a x ＝1log xa ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x b ＝13，log x c ＝16.log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.【答案】 A 二、填空题6．已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b ＝________.【解析】 ∵3a ＝2,3b ＝15，∴a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35， ∴2a －b ＝2log 32＋log 35＝log 320，∴32a －b ＝20. 【答案】 207．计算100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2－log 98·log 433＝________.【解析】 100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2－log 98·log 433＝10lg 9÷10lg 4－lg 8lg 9·13lg 3lg 4＝94－3lg 22lg 3·13lg 32lg 2＝94－14＝2.【答案】 28．已知x ，y ∈(0,1)，若lgx ＋lgy ＝lg (x ＋y )，则lg (1－x )＋lg (1－y )＝________. 【解析】 lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg[(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg 1＝0. 【答案】 0 三、解答题9．求值：(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (2)log 89·log 2732－(3)lg 1＋log 535－log 57.【解】 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5lg 2＋(lg 5)2＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.(2)log 89·log 2732－(3)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109.10．2015年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)．【解】 设经过x 年国民生产总值为2015年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， ∴1.08x ＝2，两边取常用对数，得x ·lg 1.08＝lg 2. ∴x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9.故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．作业(六)一、选择题1．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝lnx (x >0)；④y ＝log (a 2＋a )x (x >0，a 是常数)．其中为对数函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 对于①，自变量是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且自变量是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，l nx 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A .【答案】 A2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)【解析】 ∵函数y ＝log 12x 恒过定点(1,0)，而y ＝1＋log 12(x －1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y ＝1＋log 12(x －1)恒过的定点为(2,1)．故选C.【答案】 C3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)【解析】 要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －2>0log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C. 【答案】 C4．已知0＜a ＜1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )【解析】 函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又0＜a ＜1，根据函数的单调性即可得D 正确．故选D.【答案】 D5．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵f (x )＝log a (x ＋2)(0＜a ＜1)，∴其图象如下图所示，故选A .【答案】 A 二、填空题 6．函数f (x )＝log 12(3x －2)的定义域是________．【解析】 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0 log 12(3x －2)≥0，即⎩⎨⎧3x －2>03x －2≤1，解得23＜x ≤1，故函数的定义域的⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，17．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 【解析】 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32. 【答案】 －32 8．已知函数y ＝log 22－x2＋x，下列说法： ①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点．其中正确的是________. 【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 22＋x 2－x＝－log 22－x2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0时，y ＝0，所以③正确．【答案】 ①③9．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．【解】 (1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎨⎧ x ＋1>0x －1>0或⎩⎨⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)由于f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x ＋1x －1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．【解】 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧lg (x ＋1)，x >00，x ＝0－lg (1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．作业(七)1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2【解析】 设log 2f (2)＝n ，则f (2)＝2n ，∴f (x )＝x n ， 又∵由幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒n ＝12，故选A . 【答案】 A2．已知幂函数f (x )＝x a ，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．a ＜1 C ．a ＞0D ．a ＜0【解析】 当x ＞1时，f (x )＜x 恒成立， 即x a －1＜1＝x 0恒成立，因为x ＞1，所以a －1＜0，解得a ＜1，故选B . 【答案】 B3．如图2-3-2所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图2-3-2A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1【解析】 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．【答案】 B4．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．[0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 设幂函数f (x )＝x n ，则4n ＝2，解得n ＝12，即f (x )＝x ，则增区间为[0，＋∞)．故选C.【答案】 C5．设则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【解析】 由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在它的定义域R 上是减函数，∴由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B .【答案】 B 二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________．【解析】 因为函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，－4m －2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m >－12，解得m ＝3. 【答案】 3 7．从小到大依次是________．【解析】 ∵，<【答案】8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________.【解析】 ∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 【答案】 －1或2 三、解答题9．比较下列各组数的大小：【解】 (1)∵y ＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334<2.434. (2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上的减函数，且2<3， ∴(2)－32>(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【解】 (1)由题意，得f (2)＝2a ＝18，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3. (2)∵f (x )＝x －3＝1x 3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．第三章课时作业（一）一、选择题1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点． 【答案】 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤11＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0B ．－2,0C.12D．0【解析】当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D.【答案】 D3．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是()A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)【解析】∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故选C.【答案】 C4．已知0＜a＜1，则函数y＝|log ax|－a|x|零点的个数是()A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个【解析】∵0＜a＜1，函数y＝|log ax|－a|x|的零点的个数就等于方程a|x|＝|log ax|的解的个数，即函数y＝a|x|与y＝|log ax|图象的交点的个数．如图所示，函数y＝a|x|与y＝|log ax|的交点的个数为2，故选B.【答案】 B5．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(0,1)【解析】若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个不同的交点．函数y＝|2x－1|的图象如图所示由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.【答案】 D二、填空题6．函数f(x)＝(x－1)lnxx－3的零点是________．【解析】令f(x)＝0，即(x－1)lnxx－3＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.【答案】 17．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．【解析】由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.【答案】(0,4)8．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.【解析】画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c .【答案】 a ＜b ＜c 三、解答题9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x (x ≥0)2x (x <0)，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y ＝f (x )的图象如图所示：(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示：①0＜a ＜4时，方程有四个解； ②a ＝4时，方程有三个解； ③a ＝0或a ＞4时，方程有二个解； ④a ＜0时，方程没有实数解． 10．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3. (1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围． 【解】 (1)由f (0)＝f (4)，得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．作业（二）一、选择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.【答案】B2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.【答案】 B3．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：( ) A ．1.25 B ．1.375 C ．1.42D ．1.5【解析】 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.【答案】 C4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( ) ①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y＝12x 2＋4x ＋8. A ．①②③ B ．⑤ C ．①⑤D ．①④【解析】 ⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B .【答案】 B5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 【答案】 D二、填空题6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．【答案】(2,3)7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.【解析】∵f(0)·f(0.5)<0，∴x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f(0.25)．【答案】(0,0.5)f(0.25)8．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【解】由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵一个正零点．10．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【解】 令f (x )＝x 2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0，所以f (2.2)·f (2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0，取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0， 所以x 0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1， 所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6【解析】 已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】 C2．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：．【解析】 f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.029<0，方程3x －x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 53．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________.【解析】 ∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b .【答案】 a 2＝4b4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．作业（三）一、选择题1．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( ) A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 3>y 2D ．y 2>y 3>y 1【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.【答案】 B2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x【解析】用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x ＝3时，排除A项．【答案】 C3．高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图3-2-4所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是()图3-2-4【解析】当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B.【答案】 B4．函数y＝2x－x2的图象大致是()【解析】分别画出y＝2x，y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＜－1时，y＜0，故排除D，故选A.【答案】 A5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.【答案】 D二、填空题6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . 【解析】 当x 变大时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2要比x ln x 增长的要快． 【答案】 y ＝x 27．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．【解析】 当v ＝12 000时，2 000×ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m ＝e 6－1. 【答案】 e 6－18．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3-2-5所示．现给出下列说法：图3-2-5①前5min 温度增加的速度越来越快；②前5min 温度增加的速度越来越慢；③5min 以后温度保持匀速增加；④5min 以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】 因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平，即5min 前每当t 增加一个单位增量，则y 相应的增量越来越小，而5min 后是y 关于t 的增量保持为0，则②④正确．【答案】 ②④ 三、解答题9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h (米)与生长时间t (年)的相关数据，选择h ＝mt ＋b 与h ＝log a (t ＋1)来刻画h 与t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．【解】由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h ＝log a (t ＋1)中，得1＝log a 3，解得a ＝3.即h ＝log 3(t ＋1)． 当t ＝8时，h ＝log 3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．10．有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲中心健身活动x (15≤x ≤40)小时的收费为f (x )元，在乙中心健身活动x 小时的收费为g (x )元，试求f (x )和g (x )；(2)问：选择哪家比较合算？为什么？【解】 (1)f (x )＝5x,15≤x ≤40，g (x )＝⎩⎨⎧90，15≤x ≤3030＋2x ，30＜x ≤40.(2)当5x ＝90时，x ＝18，即当15≤x ＜18时，f (x )＜g (x )；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，当18＜x ≤40时，f (x )＞g (x )．所以当15≤x ＜18时，选甲比较合算；当x ＝18时，两家一样合算；当18＜x ≤40时，选乙比较合算． 作业（四）一、选择题1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的函数解析式为y ＝5x ＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副【解析】 由5x ＋4 000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．【答案】 D2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12 C .pq D.(p ＋1)(q ＋1)－1【解析】 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1.【答案】 D3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下表：t 最接近于( )A ．200B ．220C ．240D ．260【解析】 由表中数据可以看出，n 与t 的函数关系式为n ＝2t 20，令n ＝1 000，则2t 20＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t 最接近200分钟，故应选A.【答案】 A4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝()0.957 6x 100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 9100xD ．y ＝1－(0.042 4)x 100【解析】 设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100，t ＝1－(0.957 6)1100，∴y ＝(1－t )x ＝(0.957 6)x 100.【答案】 A5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 【解析】 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16. 【答案】 D二、填空题6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【解析】 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎨⎧ 9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.【答案】 9 7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则。
