初中数学竞赛培优辅导反证法和构造法(含答案)

专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22+16+3y 2=142+4+3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f ()在a ≤≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f ()在a ≤≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f ()在=0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f ()在=a 或=b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当=43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+xBF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC , 从而=AC =3831=AB .故原式取最小值时，=38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设1≥1，2≥2，≥，于是1+2+…+≤1+2+…+ = 2003，即20032)1(≤+k k (+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴≤62. 当1=1，2=2，…61=61，62=112时，原等式成立，故的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-3的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6.A 级1．7- 11- 2．1 3．14 提示：y =5－,=4－，原式=3(－3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－+1000(500≤≤800) (2)①S =(－500)(－+1000)=－2+1500－500000(500≤≤800);②S －(－750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为1，2，则12+22=4(m －34)2+1034，由此得12+22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－)，于是有（a +b )2=12(3－)≥0，∴≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （1,0)，B （2，0)，其中 1，2是方程a 2+b +c =0的两根，则有1+2=b a -<0，12=ca >0，得1<0，2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|1|<1，|OB |=|2|<1，∴－1<1<0，－1<2<0，于是ca=12<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当=－1时，对应的二次函数值大于0，即a－b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b +1>2+1，从而a +c >2+1，则212>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =52+5+1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++L =11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=，则BB 1=2，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：=s －2≥0,y =5－43s ≥0，=1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB |=C (2125,24k k k -++-），ABC S V 2+2+5=(+1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为元，每日利润为S 元．当≥18时，有S =[60－5（－18)](－10)=－5(－20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当≤18时，S =[60+10（18－)](－10)=－10(－17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为，(3－)万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x =2+(9－10s )+25s 2－27=0，∵关于的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得=0.75（万元），3－=2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－－，代入y ＋y ＋=3，得2＋(－5)＋(2－5＋3)=0．∵为实数，∴Δ=(－5)2－4(2－5＋3)≥0，解得－1≤≤133,故的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =a ，c =a 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (2＋＋1)=13．∵a ≠0，∴2＋＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤5231≤a ≤16．当a =1时，方程①化为2＋－12=0，解得1=－4，2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为2＋＋316=0．解得1=－34，2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设1，2，…，n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴13＋23＋…＋n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤13＋23＋…＋n3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，13＋23＋…＋n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，13＋23＋…＋n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴12＋22＋…＋402的最大值和最小值存在．不妨设1≤2≤…≤40．若1>1，则1＋2=(1－1)＋(2＋1)，且(1－1)2＋(2＋1)2=12＋22＋2(2－1)＋2>12＋22．于是，当1>1时，可以把1逐步调整到1，此时，12＋22＋…＋402的值将增大．同理可以把2，3，…，39逐步调整到1，此时12＋22＋…＋402的值将增大．从而，当1，2，…，39均为1，40=19时，12＋22＋…＋402取得最大值，即A =22239111+++L 1442443个＋192=400．若存在两个数i ，j ，使得j －i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（i ＋1)2＋(j －1)2=i 2＋j 2－2(i －j －1)<i 2＋j 2．这表明，在 1，2，…，40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，12＋22＋…＋402的值将减小，因此，当12＋22＋…＋402取得最小值时，1，2，…，40中任意两个数的差都不大于1．故 当1=2=…=22=1，23=24=…=40=2时，12＋22＋…＋402取得最小值，即222111+++L 144244322个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

3 a,b,c中至少有一个大于一。

6、已知a,b,c E R,a + b-^c = 0, abc = 1,求证:27、若函数/'(x)在区间[a.b]±.是增函数，那么方程/(.x) = 0在区间[a.b]±.至多只有一个实数根。

8、已知a.b,c 6(0,1),求证：(1 -a)/>,(1 -Z?)c,(1 -c)a 不能同时大于9、已知函数/(%) = «' +^^(a>l)x + 1⑴、证明：函数f(x)在(-1,+8)上为增函数；(2)、用反证法证明方程/(.r) = 0没有负数根。

10、组装甲、乙、丙三种产品，需要A、B、。

三种零件，每件甲产品用零件A、。

各2个，每件乙产品用零件A 2个，零件8 1个，每件丙产品用零件8、C各1个，如组装10件甲，5件乙，8件丙，则剩下2个A零件，1个C零件，B零件恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不能将零件A、B、C用完。

反证法1、已知下列三个方程：x2 + 4ax - 4a + 3 = 0, x2 + (a - l)x + tz2 = 0, x2 + 2ax-2a = 0 f 至少有一个方程有实数根，求实数。

的取值范围。

2、已知函数/*(/)是(-oo,+oo)上的增函数，a,b G R ,对命题"若。

+ Z?20,贝ljf(o)+f0)2f(-。

)+/(2尸，写出其逆命题，判断其真假并证明你的结论。

3、已知Q,b,c,d e R ,且Q +Z? = c + d =1,。

+ /?』〉1 ；求证：a,b,c,d中至少有一个是负数。

4、已知面肱内有两条相交直线。

，力(交点为p)和面N平行；求证：面M 〃面N。

5、若a,b,c均为实数，Ka = x2 -2y — = y2 -2z + — ,c = z2 -2x-^- —；求证:2 3 6Q,b,c中至少有一个大于0.:.a-^-b + c >0 ,这与tz+Z? + c <0相矛盾；?.假设不成立；a,b,c中至少有一个大于0.36、假设Q,b,C都小于等于一2abc = 1;.\ a,b,c三者同为正或一正两负；a +b +c = 0;:. a,b f c中只能是一正两负；不妨设a > Q,b <Q,c <0 ,则b + c = -a,be =—,即b,c 为方程x1 + ax+ — = 0 的两个a a负根；A = a2-->0;.-.fl>V4>3 —=-,这假设相矛盾；a V 8 23Q,b,c中至少有一个大于二o27、假设方程/(.x) = 0在区间［，麟］上至少有两个根。

第三十讲 从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解．所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1．构造方程；2．构造函数；3．构造图形；4．对于存在性问题，构造实例；5．对于错误的命题，构造反例；6．构造等价命题等．【例题求解】【例1】 设1a 、2a 、1b 、2b 都为实数，21a a ≠，满足))(())((22122111b a b a b a b a ++=++，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a ．思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a 、2a 可看作方程1))((21=++b x b x 的两根，则))((1))((2121a x a x b x b x --=-++，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．【例2】 求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值．思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．222222)30()2()10()1(13422-+-+-++=+-+++x x x x x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．【例3】 已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出b 、c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令c bx x y ++=25，从讨论抛物线与x 轴交点在1-与0之间所满足的约束条件入手．【例4】 如图，在矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，问：能否在Ab 边上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E 点有几个?若不能找到，请说明理由．思路点拨 假设在AB 边上存在点E ，使Rt △ADE ∽Rt △BEC ∽Rt △ECD ，又设AE=x ，则BC BE AE AD =，即ax b x a -=，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．学历训练1．若关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是 ．2．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且1))((=++d a c a ，1))((=++d b c b ，那么))((c b c a ++的值是 ．3．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为 ．4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是 ．5．若实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的取值范围是 ．6．设实数分别s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st ，求ts st 14++的值．7．已知实数a 、b 、c 满足0))((<+++c b a c a ，求证：)(4)(2c b a a c b ++>-．8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．9．求所有的实数x ，使得xx x x 111-+-= ．10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：2110132>++c b a ．11．已知关于x 的方程k x x =+-1322有四个不同的实根，求k 的取值范围．12．设10<<z y x ，，0，求证1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x ．13．从自然数l ，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．14．已知a 、b 、c 、d 、e 是满足8=++++e d c b a ，162222=++++e d c b a 的实数，试确定e 的最大值．15．如图，已知一等腰梯形，其底为a 和b ，高为h ．(1)在梯形的对称轴上求作点P ，使从点P 看两腰的视角为直角；(2)求点P 到两底边的距离；(3)在什么条件下可作出P 点?参考答案。

初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法反证法是数学中一种常用的证明方法，它通过假设待证命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而推断待证命题为真。

本文将介绍反证法的基本思想和应用，并提供一些相关练习。

一、反证法的基本思想反证法的基本思想是假设待证命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而推断待证命题为真。

具体步骤如下：1.假设待证命题为假。

2.将待证命题的否定形式作为假设，并推导出矛盾的结论。

3.根据矛盾的结论，得出待证命题为真。

二、反证法的应用反证法在数学竞赛中常用于证明诸如存在性、唯一性、等式、不等式等问题。

下面通过一些例题来说明反证法的具体应用。

例1：证明3的平方根是无理数。

假设3的平方根是有理数，即可以表示为分数的形式，即√3=a/b，其中a和b互质且b不等于0。

将该等式两边平方得到3=a^2/b^2，即3b^2=a^2、说明a^2为3的倍数。

根据整数的唯一分解定理，如果一个整数的平方是3的倍数，那么该整数也是3的倍数。

假设a不是3的倍数，则可以得出a^2不是3的倍数，与前面的结果矛盾。

所以，假设不成立，即3的平方根是无理数。

例2：已知一条直线与平面上两个不在同一条直线上的点A和B重合，证明该直线与平面上所有点重合。

假设该直线与平面上其他点C不重合，即不在同一条直线上。

由于直线与平面上的任意两点确定一条直线，所以A、B、C三点确定三条不同的直线。

由于A、B两点与直线重合，所以这三条直线相交于同一点，即A、B、C三点共线，与题设矛盾。

所以，假设不成立，即该直线与平面上所有点重合。

三、练习题1.证明：不存在最大的自然数。

2.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=4c^2，证明a和b不能同时为奇数。

3.证明：根号2是无理数。

4.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=c^2，证明a、b、c不能同时为奇数。

以上是一些关于反证法的练习题，希望你能通过这些练习加深对反证法的理解和应用。

反证法是一种常用的数学证明方法，通过假设待证命题为假，推导出矛盾的结论，从而推断待证命题为真。

初中数学竞赛专项训练之逻辑推理一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积 （ ）A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜 （ ）A. 0局B. 1局C. 2局D. 3局3、已知四边形ABCD 从下列条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有 （ ）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有 （ ）A. 1种B. 2种C. 4种D. 0种5、正整数n 小于100，并且满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有（ ）个A. 2B. 3C. 12D. 166、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是 （ ）A. 15B. 14C. 13D. 127、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（ ）个展室。

初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。

解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。

∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。

解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。

证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。

例5：证明是无理数。

证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。

p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。

例6：；；。

解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。

解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。

（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。

设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。

用构造法解题归类当我们在对所碰到的数学命题认真的观察、仔细的分析前提下，依托所掌握的知识背景，充分发挥想像力，进行灵巧的构思，在已知与未知之间建立起一个优美的数学模型。

通过对此模型的研究，达到完成解决命题的目的。

这种方法称为构造法。

一、 构造几何图形通过构造图形去解决数学问题，充分体现了一种非常重要的数学思想方法：数形结合法。

“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，它们是数学的两大支柱。

数量关系抽象、几何图形直观。

将这两个既对立、又统一的概念巧妙地加以沟通，是研究、解决数学问题的一种重要的方法。

（1）构造直角梯形例1 设m ，n ，p 为正整数且的最小值。

求nm p p n m +=-+,0222 解：由题意，运用勾股定理的逆定理构造直角梯形，易知当m ≠n 时，AE ＞CD ，当m=n 时，AE=CD ，所以AE ≥CD 。

即0＜m+n ≤2p ，所以n m p +≥22即 n m p +的最小值为22。

（2）构造直角三角形例1 求22.50的正切函数值。

思路：我们可以借助450角的函数值，通过构造等腰直角三角形支解决。

同样这种题目也可以变为求150的正切值，请同学们自己支思考并解决。

（3）构造矩形例 1 凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，且AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FG 的长度为。

、、、、、232231225，求这个八边形的周长。

思路：凸八边形的每个内角都相等，那么它们应等于135度，每个角的外角都等于45度，我们可延长八边形的边AB 、EF 与CD 、GH ，得一矩形，矩形的四个角为等腰直角三角形，据等腰直角三角形的边的关系和矩形对边相等的关系不难求出凸八边形ABCDEFGH 的周长为2910+。

评注：如果是凸八边形的内角都相等，且知道连续四边的长，可借助矩形去解决。

（4）构造等腰三角形例1 如图所示，四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线分别交FE 的延长线于M 、N ，求证：∠AME=∠DNE 。

初中数学竞赛：数论的方法技巧数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

初中数学竞赛指导数学竞赛中的解技巧分享初中数学竞赛指导：数学竞赛中的解题技巧分享在初中数学竞赛中，掌握一些有效的解题技巧往往能让我们在面对复杂难题时游刃有余，迅速找到解题的突破口。

下面，我将为大家分享一些在初中数学竞赛中常用的解题技巧。

一、仔细审题这是解题的第一步，也是最关键的一步。

很多同学在竞赛中因为紧张或者急于求成，没有认真读懂题目就匆忙下手，结果往往是错误百出或者陷入死胡同。

在审题时，要逐字逐句地读，理解每一个条件和问题的含义。

特别要注意题目中的关键词、限定词和隐藏条件。

例如，“正整数”“不超过”“恰好”等词语往往会对解题产生重要影响。

同时，要善于将文字语言转化为数学语言，画出图形或者列出关系式，帮助我们更直观地理解题目。

二、巧妙运用数学思想1、函数思想函数思想是初中数学竞赛中非常重要的一种思想。

通过建立函数关系，将问题转化为对函数性质的研究，可以使复杂的问题简单化。

例如，对于求最值的问题，可以通过建立函数模型，利用函数的单调性、顶点坐标等性质来求解。

2、方程思想方程是解决数学问题的有力工具。

当遇到等量关系比较明显的问题时，可以设未知数，根据条件列出方程或方程组，然后求解。

比如，行程问题、工程问题等都可以通过方程思想来解决。

3、分类讨论思想当问题的情况不唯一时，需要进行分类讨论。

分类要做到不重不漏，条理清晰。

例如，对于绝对值问题，要根据绝对值内的值的正负情况进行分类讨论；对于等腰三角形的问题，要根据顶角和底角的不同情况进行分类。

4、转化思想将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，是解决数学竞赛题的常用策略。

比如，将几何问题转化为代数问题，或者将实际问题转化为数学模型。

三、特殊值法当题目中的条件不确定或者比较抽象时，可以采用特殊值法。

选取一些符合条件的特殊值代入题目中进行计算和推理，往往能快速得出答案或者排除错误选项。

例如，对于选择题，如果无法直接得出答案，可以先代入一些简单的特殊值进行验证。

第28讲 反证法欧几里德最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。

它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵或其它棋，但数学家用的却是整个游戏。

——哈代反证法是一种间接证法，当正向求解有一定的困难，则可以考虑问题的反面.对于存在性问题，唯一性命题，否定性命题，用反证法一般比较方便，与无限有关的命题，“至多”、“至少”等形式的命题，也可以考虑用反证法。

反证法证题的一般步骤为：1、假设结论的反面成立；2、在假设的基础上利用已知条件和定理、公理、定义进行推理得出与题设或与公理、定理、定义及日常常识相矛盾的结果；3、矛盾源于假设，从而肯定原命题成立。

经典例题解析先看一个著名的例子．例1 伽利略妙用反证法1589年，意大利25岁的科学家伽利略(Galilei)，为了推翻古希腊哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的错误论断，他除了拿两个重量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众做实验来说明外，还运用反证法证明如下：假设亚里斯多德的论断是正确的．设有物体A 、B ，且重A ＞重B ，则A 应比B 先落地。

现把A 与B 捆在一起成为物体A ＋B ，则()重B A +＞重A ，故A ＋B 比A 先落地；又因A 比B 落得快，A ，B 在一起时，B 应减慢A 的下落速度，所以A ＋B 又应比A 后落地，这样便得到了自相矛盾的结果．这个矛盾之所以产生，是由亚里斯多德的论断所致，因此这个论断是错误的．评注 伽利略所采用的证明方法是反证法．一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法．反证法对大家来说并不陌生，它是一种最常见的证明方法．成语故事：“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法．例2 （2002年北京市初中数学竞赛试题）已知abc ≠0，证明：四个数abc c b a 3)(++，abc a c b 3)(--，abc b a c 3)(--，abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6.证明 abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(-- ＝abcc b a b a c a c b c b a ])()[(])()[(3333--+--+--+++ ＝abcac c b a b ac c b a b )633(2)633(2222222-++-+++ ＝abcabc 24＝24.(*) 如果abc c b a 3)(++＜6，abc a c b 3)(--＜6，abc b a c 3)(--＜6，abcc b a 3)(--＜6，则abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(--＜24. 与(*)式矛盾. 所以, 四个加数abc c b a 3)(++,abc a c b 3)(--,abcb ac 3)(--, abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6. 例3（1997年山东省初中数学竞赛试题）设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都有两个相等的实数根.证明 用反证法。

初中数学竞赛辅导资料反证法甲内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。

2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B⇔例如原命题：对顶角相等(真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1 当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。

∴ m 2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：2不是有理数 是互质的整数），∵ba ∵a 2设∵由那么 ∴例分子与分母, 且k,a,b 都是正整数，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎭⎬⎫=+=+143214314421bk n ak n bk n ak n 143-bk ， 3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1 ∴3b-2a=±1, k=±1 ∴分子、分母有公约数的假设不能成立 因此分数314421++n n 是既约分数丙练习3411.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求证：AB<AC13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上（福建省1988年中招考试题）14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）参考答案练习341. ① a 和b 相交 ②m>n 或m<n ④∠A 是直角或钝角⑤点A 在⊙O 外或在⊙O 内 ⑥∠A ，∠B ，∠C 都小于60 ⑦m=5k ±1，5k ±2（k 是整数） ⑧方程有理数根ab (a 是整数，b 是正整数，a,b 互质)⑨没有一个方程是两根不相等2. 设A ，B ，C 三点不在同一直线上，证明AB ＋BC ＞AC4.设有两个圆心O 和O 1，经过O 和O 1的直线和圆交于A ，B 则……5.5. ①设33k ±16. ∵7. 设a,b 11.13.那么x 1＋x⎧0m －mn （n 是整数，m 是正整数且m,n 是互质的）mn )+c=0, m,n 不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐2. 设点A 和其他6个点B ，C ，D ，E ，F ，G 的距离都小于这6个点彼此这间的距离（如图）在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60 同理∠CAD＞60 ………这与1周角＝360 相矛盾……16.设……则△1≤0且△2≤0……。

竞赛辅导 反证法和构造法一、选择题:1．设c b a ,,为实数，,22,62,32222πππ+-=+-=+-=c c z c b y b a x 则z y x ,,中，至少有一个值（ ）（A ）大于0 （B ）等于0 （C ）不大于0 （D ）小于0 2．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5 3.已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b ,则baaa b b + 的值为（ ）（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 4．当220041+=x 时，多项式20053)200420074(--x x 的值是（ ） (A)1 (B)－1 (C)22005 (D)－ 220055．已知c >1，12,1,1+-+=-+=--=c c z c c y c c x 则x ，y ，z ，的大小关系是 （ ）（A ）x ＞y ＞x （B ）z ＞x ＞y （C ）y ＞x ＞z （D ）z ＞y ＞x二、填空题6、若a 是整数，2a 是偶数，则a 为 .7．已知三角形的3边互不相等，则过某一顶点且分原三角形为两个全等三角形的线段共5有__________条.8．对于实数x ，y ，定义一种新的运算“*”：x*y=ax+by+c ，其中a 、b 、c 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=_______． 9、20042005×20052004-20042004×20052005=______________.10．实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是________.三、解答题11．设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，满足1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .12．求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值。

初一数学竞赛讲座第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。

反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

运用反证法的关键在于导致矛盾。

在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

解：如果存在这样的三位数，那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。

上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。

这表明所找的数是不存在的。

说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。

例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。

试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。

解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。

在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。

将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。

照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。

故和的数字中必有偶数。

说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。

但对其他位数的数不一定成立。

如12+21，506+605等。

例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。

2.2.2 反证法学案（含答案）2.2.2反证法反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎“你怎么知道李子是苦的呢”王戎说“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想答案运用了反证法思想思考2反证法解题的实质是什么答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理1反证法的概念一般地，由证明pq转向证明綈qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法2反证法常见的几种矛盾与假设矛盾与数学公理.定理.公式.定义或已被证明了的结论矛盾与公认的简单事实矛盾例如，导出01,00之类的矛盾3反证法证明数学命题的一般步骤分清命题的条件和结论做出与命题结论相矛盾的假设由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1反证法属于间接证明问题的方法2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理3反证法的实质是否定结论导出矛盾类型一用反证法证明否定性命题例1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列求证a，b，c不成等差数列证明假设a，b，c成等差数列，则2bac，4bac2ac.a，b，c成等比数列，b2ac，由得bac，代入式，得ac2acac20，ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故a，b，c不成等差数列反思与感悟对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的跟踪训练1已知正整数，a，b，c满足a2b2c2.求证a，b，c不可能都是奇数证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾假设不成立，a，b，c不可能都是奇数类型二用反证法证明“至多.至少”类问题例2a，b，c0,2，求证2ab，2bc，2ca不能都大于1.证明假设2ab，2bc，2ca都大于1.因为a，b，c0,2，所以2a0,2b0,2c0.所以2ab22ab1.同理，2bc22bc1，2ca22ca1.三式相加，得2ab22bc22ca23，即33，矛盾所以2ab，2bc，2ca不能都大于1.反思与感悟1用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思2常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有不存在至少有两个至多有n1个至少有n1个跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得12b24ac0，22c24ab0，且32a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以ab2bc2ac20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三用反证法证明唯一性命题例3求证方程2x3有且只有一个根证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2b1b2，则12b3,22b3，两式相除得122bb1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3求证两条相交直线有且只有一个交点证明设两直线为a，b，假设结论不成立，即有两种可能无交点；至少有两个交点1若直线a，b 无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已知矛盾；2若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案B2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中A有一个内角小于60B每一个内角都小于60C有一个内角大于60D每一个内角都大于60答案B3“abCabDab或ab答案D4用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设Aa不垂直于cBa，b都不垂直于cCabDa与b相交答案D5已知fxx2pxq.1求证f1f32f22；2求证|f1|，|f2|，|f3|中至少有一个不小于12.证明1f1f32f21pq93pq242pq2.2假设|f1|，|f2|，|f3|中至少有一个不小于12不成立，则|f1|，|f2|，|f3|都小于12，则|f1|2|f2||f3|2.因为|f1|2|f2||f3|f1f32f21pq93pq84p2q2，这与|f1|2|f2||f3|2相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，所以|f1|，|f2|，|f3|中至少有一个不少于12.用反证法证题要把握三点1必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的2反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义.公理.定理.事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.。

解题方法及提分突破训练：反证法专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。

从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。

一真题链接1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分.2.平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形3. 平面内有四个点，没有三点共线证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形二 名词释义反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

例如： 已知：a 是整数，2能整除2a 。

试证：2能整除a① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。

反证法的答案1、对于定义在实数R 上的函数()x f ，如果存在实数,0x 使(),00x x f =那么0x 叫做函数()x f 的一个好点.已知()122++=ax x x f 不存在好点，求实数a 的取值范围.解析：假设函数()x f 存在好点，即().0.0112,1222≥∆∴=+-+∴=++x a x x ax x() .2321.04122≥-≤∴≥--∴a a a 或()122++=ax x x f 不存在好点，).23,21(-∈∴a2、若二次函数()()1222422+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-内至少存在一点,c 使()c f ,0>求实数p 的取值范围.解析：假设()x f 在区间[]1,1-内的任意一个x 都有().0≤x f 则()()()()()().3230120932012224012224010112224222222-≤≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤+---+≤+----⇒⎩⎨⎧≤-≤+----=p p p p p p p p p p p p f f p p x p x x f 或 ∴二次函数()()1222422+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-内至少存在一点,c 使()0>c f ,实数p 的取值范围为).23,3(-3、求证：抛物线上任意不同四点所组成的四边形不可能是平行四边形.解析：如图，设抛物线方程为()()()(),,,,,,,03322112y x C y x B y x A a ax y >= ()44,y x D 是抛物线上不同的四点，则有),4,3,2,1(,22===i ay x ax y i i i i 于是.122212121212y y a ay a y y y x x y y k AB +=--=--=同理.,,143432y y ak y y a k y y a k AD CD BC +=+=+= 假设四边形ABCD 是平行四边形，则.,CD BC CD AB k k k k ==从而得,,4231y y y y ==进而得 ,,4231x x x x ==于是C A ,重合，D B ,重合，这与D C B A ,,,是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故假设不成立，原结论成立.4、若D C B A ,,,为空间四点，且.90︒=∠=∠=∠=∠DAB CDA BCD ABC 求证：D C B A ,,,在同一平面内.解析：如图，假设D C B A ,,,不共面，可设过点D C B ,,的平面为,α 且.α∉A 过点A 作,α⊥'A A 点A '为垂足.而.90︒=∠=∠CDA ABC 由三垂线定理的逆定理得：.90︒='∠='∠DC A BC A︒='∠∴︒=∠90.90D A B BCD (点A '在BCD ∆BCD ∆外，否则BCD ∆的内角和将大于︒180).222222.,.BD AD AB D A AD B A AB BD D A B A >+∴'>'>='+'∴ 这与︒=∠90DAB 相矛盾，故假设不成立，原结论成立.5、已知函数()().112>+-+=a x x a x f x (1)、证明：函数()x f 在()+∞-,1上为增函数. (2)、用反证法证明()0=x f 没有实数根.解析：(1)、任取(),,1,21+∞-∈x x 设,21x x <则,0,01212>>--x x ax x 且.01>x a().0112112>-=-∴-x x x x x a a a a ()()()()()()()()().01131112121212.01,012112212112112221>++-=+++--+-=+--+-∴>+>+x x x x x x x x x x x x x x x x()()∴>+--+-+-=-.0121211221212x x x x a a x f x f x x 函数()x f 在()+∞-,1上为增函数. (2)、假设存在(),1000-≠<x x 满足(),00x x f =则,12000+--=x x a x 且,100<<x a 221.1120000<<∴<+--<∴x x x 这与假设00<x 相矛盾.∴()0=x f 没有实数根. 6、求证：若方程()是实数b a b x a x ,10sin <<+=有实数根，则其实数根必唯一. 解析：假设其实数根不唯一，则至少存在两个相异的实数根,sin ,,1121b x a x x x +=则 .sin 22b x a x +=().2sin 2cos2sin sin 21212121xx x x a x x a x x -∙+∙=-=- 于是.1 (2)2sin .2sin221212*********≥∴≠-≤-∴-≤--≤-a x x x x a x x xx x x x x a x x 这与已知10<<a 相矛盾.故假设不成立，原结论成立.7、一象棋选手共n 人(),3≥n 欲将他们分成三组进行比赛，同一组中的选手都不比赛，不同组的每两个选手都要比赛一盘.试证：要想总的比赛盘数最多，对应的分组应是使他们任何两组间的人数最多相差一人.解析：设比赛盘数最多的分组法是三个组的人数分别为,,,t s r 则.n t s r =++于是比赛的总盘数是.rt st rs N ++=假设比赛盘数最多的分组法中，“任何两组间的人数最多相差一人”不成立，则至少能找到某两个组，使这两组人数只差不小于2，不妨设.2≥-t r 则在人数为r 的组中，抽到1人到人数为t 的一组中，这样得到的新分组：,1,,1+-t s r 那么这个分组共比赛盘数为：()()()().11111--+++=-++++-=t r rt st rs r t t s s r M ..11.2N M t r t r >∴>--∴≥- 这与原来假设按t s r ,,分组比赛盘数最多相矛盾，故原命题成立.8、设函数()x f 对定义域内任意实数都有(),0≠x f 且()()()y f x f y x f ∙=+成立.求证：对定义域内的任意x 都有().0>x f解析：设满足条件的任意x ，()0>x f 不成立，即存在某个,0x 有()().0.00≠≤x f x f ().00<∴x f 而().0)2()2()2()22(0200000>=∙=+=xf x f x f x x f x f 这与假设()00<x f 相矛盾，故假设不成立.∴对定义域内的任意x 都有().0>x f9、已知数列{}n a 满足:();10,1)1(21)1(3,211111≥<-+=-+=+++n a a a a a a a n n n n n n 数列{}n b 满足： ().1221≥-=+n a a b n n n(1)、求数列{}{}n n b a ,的通项公式.(2)、证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列. 解析：.32,1).1(321.1)1(21)1(31222111n n n n n n n n n n c c a c a a a a a a =-=-=-∴-+=-+++++则令{}.)32(41)32(431)32(431.)32(431)1(.0,021.)32(431.)32(431.)32(43.32,43,43111221111112121211--+--+---⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=-=∴⨯--=∴<>=⨯-=∴⨯=-∴⨯=∴∴=-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a a a a a a c c a c 的等比数列公比为是首项为数列(2)、假设数列{}n b 存在三项)(,,t s r b b b t s r <<按某种顺序成等差数列，由于数列{}n b 首项为,41公比为32的等比数列，于是有,t s r b b b >>则可能有t r s r b b b b +=2成立. .32223:23.)32(41)32(41)32(41211111s t r s r t r t r t t r s ---------∙=+⨯+⨯=⨯⨯∴得两边同乘∴<<,t s r 上式左边为奇数，右边为偶数.故上式不成立，导致矛盾. 故数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.10、设函数(),23123c bx x ax x f ++-=其中.0>a 曲线()x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为.1=y (1)、求.,c b(2)、设曲线()x f y =在点))(,())(,(2211x f x x f x 及处的切线都过点).2,0(证明：当21x x ≠时， ).()(21x f x f '≠'(3)、若过点)2,0(可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围.解析：(1)、().2b ax x x f +-='由题意得：()().1,0.10.00==∴=='c b f f(2)、由(1)得()()..1231223ax x x f x ax x f -='∴+-=由于点))(,(t f t 处的切线方程为：),)(()(t x t f t f y -'=-而点)2,0(在切线上，.01232).0)(()(223=+-∴-'=-∴t at t t f t f则t 满足的方程为 假设).()(21x f x f '='由于曲线()x f y =在点))(,())(,(2211x f x x f x 及处的切线都过点).2,0(则下列等式成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+-=+-.22212122322131.01232.01232ax x ax x x a x x a x 由③得：.21a x x =-①-②得：.432222121a x x x x =++④ 而.4343)2()()(2221212111221*********a a a x a ax x x a x a x x x x x x x x ≥+-=+-=--=-+=++ 故由④得,21a x =此时22ax =与21x x ≠矛盾.).()(21x f x f '≠'∴(3)、由(2)知,过点)2,0(可作曲线()x f y =三条不同切线,等价于方程)0)(()(2t t f t f -'=-有三个相异的实根,即等价于方程0123223=+-t at 有三个相异的实根.设).2(22)(.01232)(223at t at t t g t a t t g -=-='=+-=则由于.0>a 故有t )0,(-∞ 0 )2,0(a2a ),2(+∞a )(t g '+ 0 - 0 + )(t g极大值1极小值2413a -由()t g 的单调性知：要使()0=t g 有三个相异的实根,当且仅当.32024133>⇒<-a a∴a 的取值范围是)32(3∞+.①②③。

培优辅导 反证法和构造法一、选择题:1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ）A 、a,b,c 都是奇数B 、a,b,c 都是偶数C 、a,b,c 中至少有两个偶数D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( )A 、a <6B 、a >6C 、a >7D 、6≤a3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ）A 、C 队B 、D 队C 、E 队D 、F 队4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则的值是( ) A 、3 B 、31 C 、2 D 、35 5．关于x 的一元二次方程2a x 2-2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围 是 （ ）A 、a ＞0或a ＜-4．B 、a ＜-4．C 、a ＞0．D 、－4＜a ＜0．二、填空题6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。

”时，第一步应反设:________________________________________________.7．不查表可求得=︒5.22cot _________.8．321-+-++x x x 的最小值是______________.9．若28,1422=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________. 10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则ac b +=______________.三、解答题11．设 c b a ,, 为互不相等的非零实数，求证三个方程：022=++c bx ax ，022=++a cx bx ，022=++b ax cx 不可能都有两个相等的实数根。

初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)板块一反证法反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a=+≠上一点，试证y ax b=+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．【解析】将x=，0y=代入y ax b=+，得b=，于是(y a x=，设()0y a x b a=+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y，、()22x y，，则1x、1y、2x、2y都是有理数，且((1122y a xy a x⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去a，变形得122121x y x yy y--知识导航夯实基础反证法与同一法因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】 求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等． 【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d -+-=-+-，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --+------， 因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合． ⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【解析】 因为0a ≠，则bx a=-是0ax b +=的一个解，假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则 10ax b += ①20ax b += ② ①-②得 ()120a x x -=由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾． 故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部． 【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上． ⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．PCBAAB C PD ABC P⑶ 若P 与A 重合，显然PB PC AB AC +=+，与已知矛盾，故点P 不可能是A 点． ⑷ 若点P 在ABC △内（如上页右图），延长BP 交AC 于D ，则AB AD BP PD +>+ ① PD DC PC +> ②①+②得AB AD PD DC BP PD PC +++>++初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)即AB AC PB PC +>+，与已知矛盾，所以点P 不在ABC △内． 由以上⑴～⑷知，点P 必在ABC △外．习题2. 如右图，在凸四边形ABCD 中，若AB BD AC CD ++≤，求证：AB AC <．DCB A【解析】 设AB AC ≥，则ACB ABC ∠∠≥，因为ABCD 是凸四边形，所以BCD ACB ∠>∠，ABC DBC ∠>∠，则B C D D B C ∠>∠，于是BD CD >，故A B B D A C C D +>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC <得证．习题3. 在同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a 与b 相交，c a ⊥，d b ⊥，则c 与d 也相交．【解析】 假设c d ∥，因为a c ⊥，所以a d ⊥，又因为b d ⊥，所以a 、b 平行，这与已知条件a与b 相交矛盾，故c 与d 也相交．【例3】 在四边形ABCD 中，OA OC =，ABC ADC ∠=∠，求证：ABCD 是平行四边形．【解析】 若OB OD =，则显然ABCD 是平行四边形．若OB OD ≠，不妨设OB OD >，则在OB 上取点'B ，使得'OB OD =，连结''AB B C 、，则四边形'AB CD 是平行四边形，则'ADC AB C ABC ∠=∠>∠，矛盾！ 故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．探索提升【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ； 则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =． 同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =， 则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC ACGB +=+，则AB AC =．BB【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+， 可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．非常挑战初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)FEDCB A【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……① 另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD = ∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC = ∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……② 综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 同一法同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形； (2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．探索提升知识导航初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 重合．所以40C ∠=︒．习题5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：()12EF BC AD =-．【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，非常挑战易得1902BIC BAC∠<︒+∠；若点I在'I D上，易得1902BIC BAC∠>︒+∠．所以，点I与点'I重合，即I为三角形的内心．习题6.如图，I是ABC△的BAC∠的角分线上一点，直线MN过点I，与A B A C、边分别交于点M N、，且ABI NIC∠=∠，ACI MIB∠=∠．求证：I是ABC△的内心．【解析】1180902BIC MIB NIC BAC∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I是ABC△的内心．。

17.5 反证法
专题用反证法证明一个命题是真命题
1.已知，如图有a,b,c三条直线，且a∥c，b∥c.求证：a∥b.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等.
3.试证明：两直线相交有且只有一个交点、
状元笔记：
【知识要点】
用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤
1.假设命题的结论不成立；
2.从这个假设和已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
3.由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
【温馨提示】
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定、
参考答案
1.证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a与b和直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立. ∴a∥b.
2.证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等.
3.解：已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P、
证明：假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P′，
则点P和点P′在直线a上又在直线b上，
那么经过P和P′的直线就有两条，
这与“两点决定一条直线”相矛盾，
因此假设不成立，
所以两条直线相交只有一个交点、。

方法技巧专题 ( 四)结构法训练【方法解读】结构法是一种技巧性很强的解题方法, 它能训练思想的创建性和矫捷性. 常有的结构形式有:(1)结构方程 ;(2) 结构函数 ;(3) 结构图形.1 [2018 ·自贡 ]如图 F4 1, 若△内接于半径为R 的☉, 且∠60°, 连接, ,则边的长为().-ABC O A=OB OC BC图 F4-1A.RB.RC.RD.R2 [2018 ·遵义 ]如图 F4 2, 直角三角形的直角极点在座标原点, ∠30°, 若点A 在反比率函数y=(0) 的图象上 ,.-OAB=x>则经过点 B 的反比率函数的分析式为()图 F4-2A.y=-B.y=-C.y=-D.y=3.设对于x的一元二次方程( x- 1)( x- 2) =m( m>0) 的两根分别为α ,β ,且α <β ,则α ,β 知足()A. 1<α<β<2B. 1<α<2<β.<<<4如图 F4 3, 六边形的六个内角都相等.若1,3,2, 则这个六边形的周长等于..-ABCDEF AB=BC=CD= DE=图 F4-35. [2018 ·扬州 ]如图F4-4,已知☉ O的半径为2, △ABC内接于☉O, ∠ACB=135°, 则AB=.图 F4-46.[2018 ·滨州]若关于x, y 的二元一次方程组的解是则关于 a, b 的二元一次方程组的解是.7[2018 ·扬州 ]问题体现.如图 F4- 5① , 在边长为 1 的正方形网格中, 连接格点D, N和E, C, DN和EC订交于点P,求tan∠CPN的值 .方法概括求一个锐角的三角函数值, 我们常常需要找出( 或结构出 ) 一个直角三角形. 察看发现问题中∠CPN不在直角三角形中, 我们经常利用网格画平行线等方法解决此类问题, 比方连接格点M, N,可得 MN∥ EC,则∠ DNM=∠ CPN,连接 DM,那么∠ CPN就变换到 Rt △DMN中.问题解决(1) 直接写出图①中tan ∠CPN的值为;(2)如图② , 在边长为 1 的正方形网格中 , AN与CM订交于点P, 求 cos ∠CPN的值.思想拓展2法结构网格求∠CPN的度数 .图 F4-5参照答案1. D [ 分析 ]如图,延伸CO交☉ O于点D,连接BD,∵∠ A=60°,∴∠ D=∠ A=60° .∵ CD是☉ O的直径,∴∠ CBD=90° .在 Rt△BCD中 ,sin D= ==sin60°=,∴BC= R.应选D.注 : 本题结构了直角三角形.2. C [ 分析 ]如图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥ x轴于点N.由三垂直模型 , 易得△BNO∽△OMA,相像比等于, 在 Rt△AOB中 , ∠OAB=30°,因此=tan30°=, 因此= .由于点 A 在双曲线 y= 上,因此 S△OMA=3,因此 S△BNO=1,因此 k=- 2.即经过点 B 的反比率函数的分析式为y=- . 应选C.注 : 本题结构了相像三角形.3 D [分析]一元二次方程 (x-1)(x-2)( 0) 的两根本质上是抛物线(1)(x-2) 与直线y=m两个交点的横坐标.如.=m m>y= x-图 , 明显α<1 且β>2.应选 D.注 : 本题结构了二次函数.4. 15 [ 分析 ]分别将线段AB, CD, EF 向两头延伸,延伸线组成一个等边三角形, 边长为8, 则EF=2, AF=4, 故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注 : 本题结构了等边三角形.5. 2[ 分析 ]如图,在优弧AB上取一点D,连接 AD, BD, OA, OB,∵☉ O的半径为2,△ ABC内接于☉ O,∠ ACB=135°,∴∠ ADB=45°,∴∠ AOB=90° .∵OA=OB=2,∴ AB=2 .故答案为 2.注 : 本题结构了直角三角形.6.[ 分析 ]依据题意,对照两个方程组得出方程组因此注 : 本题结构了一个二元一次方程组.7. [ 分析 ] (1)依据方法概括,运用勾股定理分别求出MN和 DM的值,即可求出tan∠ CPN的值;(2)仿 (1) 的思路作图 , 即可求解 ;(3)利用网格 , 结构等腰直角三角形解决问题即可.解 :(1) 由勾股定理得 : DM=2 , MN= ,DN= .∵ (2) 2+() 2=() 2 ,222∴ DM+MN=DN,∴△ DMN是直角三角形 .∵MN∥EC,∴∠ CPN=∠ DNM.∵ tan ∠DNM= ==2,∴tan ∠CPN=2.(2)如图 , 取格点D, 连接CD,DM.∵CD∥AN,∴∠ CPN=∠ DCM.易得△ DCM是等腰直角三角形,∴∠ DCM=45°,∴ cos∠CPN=cos ∠DCM=cos 45°=.(3)结构如图网格 , 取格点Q, 连接AQ, QN.易得 PC∥ QN,∴∠ CPN=∠ANQ∵. AQ=QN,∠ AQN=90°,∴∠ ANQ=∠QAN=45°,∴∠ CPN=45° .。