人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论

（9）二元一次方程的整数解【知识精读】1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。

即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。

2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。

k 叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。

【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

初一数学二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它涉及到两个未知数的方程组。

在本文中，我们将介绍二元一次方程组的解法以及它在实际生活中的应用。

一、解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组最常用的方法之一。

对于形如：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂的方程组，首先选择其中一个方程，通过系数的适当倍乘，使得其中一个未知数的系数相等。

然后将两个方程相减，消去该未知数，得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。

求解该方程后，代入到原方程得出另一未知数的值。

2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。

首先选择其中一个方程，解出其中一个未知数，然后将该值代入到另一个方程中，求解得到另一个未知数的值。

二、应用1. 几何问题二元一次方程组可以应用于几何问题中。

例如，已知两条直线的方程，求解它们的交点坐标。

将两条直线的方程组成二元一次方程组，通过解方程组可以求得它们的交点坐标。

2. 商业问题二元一次方程组在商业问题中也有广泛的应用。

例如，某公司生产两种产品，已知这两种产品的生产成本和售价，求解生产和销售这两种产品的数量，以最大化利润。

通过建立二元一次方程组，并求解方程组可以得到最优解。

3. 等比数列问题等比数列问题中常常需要解二元一次方程组。

例如，已知等比数列的第一项和公比，求解前n项的和。

通过建立关于等比数列的二元一次方程组，并求解可以得到所需的结果。

总结：二元一次方程组的解法有消元法和代入法，根据问题的要求可以选择不同的方法进行求解。

而二元一次方程组在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用，通过解方程组可以求解实际问题，提高解决问题的能力。

以上是关于初一数学二元一次方程组的解法与应用的内容论述。

通过消元法和代入法，我们可以解决二元一次方程组，并且这些方法在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用。

希望本文对您理解和掌握二元一次方程组有所帮助。

人教版七年级数学下册《用适当方法解二元一次方程组》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标1.了解二元一次方程组的概念和解法。

2.掌握用代入、消元、配方法解二元一次方程组的方法。

3.将解二元一次方程组应用到实际问题中。

2. 能力目标1.能够正确列出二元一次方程组。

2.能够灵活运用代入法、消元法、配方法解答二元一次方程组。

3.具备解决实际问题的能力。

3. 情感目标1.培养学生的逻辑思维能力。

2.提高学生的数学学习兴趣。

3.培养学生自主学习、自主探究的能力。

二、教学准备1. 教学工具1.黑板、白板、教学PPT等教学资源。

2.笔、尺等学习工具。

2. 教材和参考书1.人教版七年级数学下册。

2.《初中数学竞赛入门与提高》3. 教学步骤1.通过简单例子引出二元一次方程组的概念及解法。

2.清晰地讲解代入法、消元法、配方法，让学生理解这些方法的本质和使用场景。

3.用示例演示如何通过这些方法解决数学问题。

4.让学生进行练习，并鼓励学生进行自主思考和探究。

5.定期进行测试和测评，及时发现学生的问题并给予指导。

三、教学反思本次教学是针对二元一次方程组的解法进行了讲解。

教具使用高清PPT清晰的表达了内容，对学生的表现也进行了不停的评估。

结果，学生的学习兴趣和学习成绩都得到了进一步的提升。

首先，为了避免学生对于二元一次方程组焦点的忽略，我在教学的一开始就再次概述了此内容。

同时也澄清了在几种解法中，每种解法具体的应用场景。

这样能让学生更好的理解到每种方法的适用范围。

其次，在教学过程中，我们以简单的例子为基础，对每一步骤的理解进行了讲解，让学生能更好的理解和掌握。

同时也让学生清晰的了解每种方法的详细解释。

在让学生自行进行练习后，及时进行指导和评估，使学生尽快得到改进。

如果只是简单的讲解一遍，限制了学生对于这一方法的理解。

最后，在本次教学中，我们时刻关注着学生的反馈。

通过测评，我们能够深入的了解到学生对于二元一次方程组的掌握情况。

2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）【分类解析】例1.　选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解，　②无解，　③有唯一的解①解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10,　c=14。

当　5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。

　②解得a=10,　c"`14。

③当　5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2.　a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。

例3.　m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。

第九讲二元一次方程组及其解法一、主要知识点回顾1．二元一次方程：含有未知数，并且未知数的次数都是的整式方程叫做二元一次方程。

2．二元一次方程组：由两个含有未知数的二元一次方程构成的，叫做二元一次方程组。

注意：第一，二元一次方程组中的方程（填“一定”或“不一定”）都是二元一次方程。

例如5321xx y=⎧⎨-=⎩的第一个方程不是二元一次方程，但它仍然是二元一次方程组；第二，两个二元一次方程联立在一起的方程组也（填“一定”或“不一定”）是二元一次方程组，5324x yy z+=⎧⎨-=⎩不是二元一次方程组。

3．二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程组的各个方程左右两边的值都的两个未知数的，叫做二元一次方程组的解。

4．二元一次方程组的基本解法：（1）；（2）。

二、感悟与实践例题1：解下列方程组：（1）1323y xx y=-⎧⎨-=⎩①②（2）（2010丽水）2337x yx y-=⎧⎨+=⎩①②解：把（1）代入（2）得：解：①+②得：∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩变式练习1：解下列方程组：（1）（2011湖北宜昌）122x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）（2011广东中山）2360y xx xy=-⎧⎨--=⎩例题2：用适当的方法解下列方程组：（1）（2011山东潍坊）524050x yx y--=⎧⎨+-=⎩（2）（2011江苏扬州）：20128180x yx y+=⎧⎨+=⎩变式练习2：解下列方程组：（1）2353212x yx y-=-⎧⎨+=⎩（2）1231342m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩例题3：解下列方程组：（1）631x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩（2）2233x yx y zx z-=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩变式练习3：解下列方程组：（1）6810x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（2）3331xx y zx y z=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩例题4：已知方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩和31ax byax by+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求222a ab b-+的值。

初中数学 二元一次方程组解法和解 培优一．普通解法: 解下列方程组:⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ⑵()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩二．含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。

现选取几道题略作讲解，供同学们参考。

1.、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。

例：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。

2、根据方程组解的性质，求参数的值。

例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数？略解：由②得x=3y2×3y-my=6 y=m-66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。

方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。

3、由方程组的错解问题，示参数的值。

例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=22y x 试求a+b+c 的值。

（1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ①② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。

8273=-⨯-⨯）（c 2-=c 把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=22y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。

322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩ 所以7254=-+=++c b a4、根据所给的不定方程组,求比值。

例4：求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x 求 z y x z y x +-++ 的值。

略解：把z 看作已知数。

2021年人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可2．按二元一次方程整数解的求法进行。

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再3．解含待定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）【分类解析】例1.　选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解，　②无解，　③有唯一的解①解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10,　c=14。

当　5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。

　②解得a=10,　c"`14。

③当　5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2.　a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。

例3.　m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。

二元一次方程组解的讨论内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。

解得a=10, c ≠14。

③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。

初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个方程组成的方程集合，其中每个方程都是二元一次方程。

二元一次方程的一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，而x和y是未知数。

二、二元一次方程组的求解方法1.消元法：通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程。

然后可以通过代入的方法求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

2. Cramer法则：利用行列式的性质求解二元一次方程组。

具体步骤如下：a)计算系数行列式:D=，abdb)x的系数行列式:Dx=，cbfc)y的系数行列式:Dy=，acdd)计算方程组的解:x=Dx/D，y=Dy/D3.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知数的方程。

然后可以通过消元法或其他方法求解。

三、解的情况讨论1.唯一解：当二元一次方程组存在一个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有唯一解。

2.无解：当二元一次方程组不存在有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组无解。

3.无穷多解：当二元一次方程组存在无穷多个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有无穷多解。

这种情况下，方程组的两个方程是两个平行直线。

四、实例演示考虑以下二元一次方程组：2x+3y=74x-y=2通过消元法可得：2x+3y=78x-2y=4将第二个方程化为y的表达式：y=4x-2将y的表达式代入第一个方程：2x+3(4x-2)=7化简得到：2x+12x-6=7合并同类项：14x-6=7解方程得到：14x=13，x=13/14将x的值代入y的表达式：y=4(13/14)-2，化简得到：y=3/7所以，方程组的解为(x,y)=(13/14,3/7)。

总结：二元一次方程组的解的讨论涉及到三种情况：唯一解、无解和无穷多解。