人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论

（9）二元一次方程的整数解【知识精读】1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。

即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。

2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。

k 叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。

【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

初一数学二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它涉及到两个未知数的方程组。

在本文中，我们将介绍二元一次方程组的解法以及它在实际生活中的应用。

一、解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组最常用的方法之一。

对于形如：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂的方程组，首先选择其中一个方程，通过系数的适当倍乘，使得其中一个未知数的系数相等。

然后将两个方程相减，消去该未知数，得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。

求解该方程后，代入到原方程得出另一未知数的值。

2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。

首先选择其中一个方程，解出其中一个未知数，然后将该值代入到另一个方程中，求解得到另一个未知数的值。

二、应用1. 几何问题二元一次方程组可以应用于几何问题中。

例如，已知两条直线的方程，求解它们的交点坐标。

将两条直线的方程组成二元一次方程组，通过解方程组可以求得它们的交点坐标。

2. 商业问题二元一次方程组在商业问题中也有广泛的应用。

例如，某公司生产两种产品，已知这两种产品的生产成本和售价，求解生产和销售这两种产品的数量，以最大化利润。

通过建立二元一次方程组，并求解方程组可以得到最优解。

3. 等比数列问题等比数列问题中常常需要解二元一次方程组。

例如，已知等比数列的第一项和公比，求解前n项的和。

通过建立关于等比数列的二元一次方程组，并求解可以得到所需的结果。

总结：二元一次方程组的解法有消元法和代入法，根据问题的要求可以选择不同的方法进行求解。

而二元一次方程组在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用，通过解方程组可以求解实际问题，提高解决问题的能力。

以上是关于初一数学二元一次方程组的解法与应用的内容论述。

通过消元法和代入法，我们可以解决二元一次方程组，并且这些方法在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用。

希望本文对您理解和掌握二元一次方程组有所帮助。

人教版七年级数学下册《用适当方法解二元一次方程组》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标1.了解二元一次方程组的概念和解法。

2.掌握用代入、消元、配方法解二元一次方程组的方法。

3.将解二元一次方程组应用到实际问题中。

2. 能力目标1.能够正确列出二元一次方程组。

2.能够灵活运用代入法、消元法、配方法解答二元一次方程组。

3.具备解决实际问题的能力。

3. 情感目标1.培养学生的逻辑思维能力。

2.提高学生的数学学习兴趣。

3.培养学生自主学习、自主探究的能力。

二、教学准备1. 教学工具1.黑板、白板、教学PPT等教学资源。

2.笔、尺等学习工具。

2. 教材和参考书1.人教版七年级数学下册。

2.《初中数学竞赛入门与提高》3. 教学步骤1.通过简单例子引出二元一次方程组的概念及解法。

2.清晰地讲解代入法、消元法、配方法，让学生理解这些方法的本质和使用场景。

3.用示例演示如何通过这些方法解决数学问题。

4.让学生进行练习，并鼓励学生进行自主思考和探究。

5.定期进行测试和测评，及时发现学生的问题并给予指导。

三、教学反思本次教学是针对二元一次方程组的解法进行了讲解。

教具使用高清PPT清晰的表达了内容，对学生的表现也进行了不停的评估。

结果，学生的学习兴趣和学习成绩都得到了进一步的提升。

首先，为了避免学生对于二元一次方程组焦点的忽略，我在教学的一开始就再次概述了此内容。

同时也澄清了在几种解法中，每种解法具体的应用场景。

这样能让学生更好的理解到每种方法的适用范围。

其次，在教学过程中，我们以简单的例子为基础，对每一步骤的理解进行了讲解，让学生能更好的理解和掌握。

同时也让学生清晰的了解每种方法的详细解释。

在让学生自行进行练习后，及时进行指导和评估，使学生尽快得到改进。

如果只是简单的讲解一遍，限制了学生对于这一方法的理解。

最后，在本次教学中，我们时刻关注着学生的反馈。

通过测评，我们能够深入的了解到学生对于二元一次方程组的掌握情况。

2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）【分类解析】例1.　选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解，　②无解，　③有唯一的解①解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10,　c=14。

当　5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。

　②解得a=10,　c"`14。

③当　5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2.　a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。

例3.　m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。

第九讲二元一次方程组及其解法一、主要知识点回顾1．二元一次方程：含有未知数，并且未知数的次数都是的整式方程叫做二元一次方程。

2．二元一次方程组：由两个含有未知数的二元一次方程构成的，叫做二元一次方程组。

注意：第一，二元一次方程组中的方程（填“一定”或“不一定”）都是二元一次方程。

例如5321xx y=⎧⎨-=⎩的第一个方程不是二元一次方程，但它仍然是二元一次方程组；第二，两个二元一次方程联立在一起的方程组也（填“一定”或“不一定”）是二元一次方程组，5324x yy z+=⎧⎨-=⎩不是二元一次方程组。

3．二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程组的各个方程左右两边的值都的两个未知数的，叫做二元一次方程组的解。

4．二元一次方程组的基本解法：（1）；（2）。

二、感悟与实践例题1：解下列方程组：（1）1323y xx y=-⎧⎨-=⎩①②（2）（2010丽水）2337x yx y-=⎧⎨+=⎩①②解：把（1）代入（2）得：解：①+②得：∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴xy=⎧⎪⎨=⎪⎩变式练习1：解下列方程组：（1）（2011湖北宜昌）122x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）（2011广东中山）2360y xx xy=-⎧⎨--=⎩例题2：用适当的方法解下列方程组：（1）（2011山东潍坊）524050x yx y--=⎧⎨+-=⎩（2）（2011江苏扬州）：20128180x yx y+=⎧⎨+=⎩变式练习2：解下列方程组：（1）2353212x yx y-=-⎧⎨+=⎩（2）1231342m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩例题3：解下列方程组：（1）631x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩（2）2233x yx y zx z-=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩变式练习3：解下列方程组：（1）6810x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（2）3331xx y zx y z=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩例题4：已知方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩和31ax byax by+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求222a ab b-+的值。

初中数学 二元一次方程组解法和解 培优一．普通解法: 解下列方程组:⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ⑵()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩二．含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。

现选取几道题略作讲解，供同学们参考。

1.、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。

例：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。

2、根据方程组解的性质，求参数的值。

例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数？略解：由②得x=3y2×3y-my=6 y=m-66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。

方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。

3、由方程组的错解问题，示参数的值。

例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=22y x 试求a+b+c 的值。

（1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ①② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。

8273=-⨯-⨯）（c 2-=c 把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=22y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。

322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩ 所以7254=-+=++c b a4、根据所给的不定方程组,求比值。

例4：求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x 求 z y x z y x +-++ 的值。

略解：把z 看作已知数。

2021年人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可2．按二元一次方程整数解的求法进行。

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再3．解含待定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）【分类解析】例1.　选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解，　②无解，　③有唯一的解①解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10,　c=14。

当　5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。

　②解得a=10,　c"`14。

③当　5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2.　a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。

例3.　m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。

二元一次方程组解的讨论内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。

解得a=10, c ≠14。

③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。

初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个方程组成的方程集合，其中每个方程都是二元一次方程。

二元一次方程的一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，而x和y是未知数。

二、二元一次方程组的求解方法1.消元法：通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程。

然后可以通过代入的方法求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

2. Cramer法则：利用行列式的性质求解二元一次方程组。

具体步骤如下：a)计算系数行列式:D=，abdb)x的系数行列式:Dx=，cbfc)y的系数行列式:Dy=，acdd)计算方程组的解:x=Dx/D，y=Dy/D3.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知数的方程。

然后可以通过消元法或其他方法求解。

三、解的情况讨论1.唯一解：当二元一次方程组存在一个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有唯一解。

2.无解：当二元一次方程组不存在有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组无解。

3.无穷多解：当二元一次方程组存在无穷多个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有无穷多解。

这种情况下，方程组的两个方程是两个平行直线。

四、实例演示考虑以下二元一次方程组：2x+3y=74x-y=2通过消元法可得：2x+3y=78x-2y=4将第二个方程化为y的表达式：y=4x-2将y的表达式代入第一个方程：2x+3(4x-2)=7化简得到：2x+12x-6=7合并同类项：14x-6=7解方程得到：14x=13，x=13/14将x的值代入y的表达式：y=4(13/14)-2，化简得到：y=3/7所以，方程组的解为(x,y)=(13/14,3/7)。

总结：二元一次方程组的解的讨论涉及到三种情况：唯一解、无解和无穷多解。

初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。

解二元一次方程组的方法主要有代入法、消元法和等式法。

下面是对这三种方法进行详细讨论的精品标准教程。

一、代入法代入法是解二元一次方程组最常见的方法之一、它的基本思想是通过一个方程的解来代入另一个方程，从而得到另一个未知数的解。

例题1：解方程组2x+y=6x-y=2解析：由于第二个方程的形式比较简单，所以可以先解x，然后带入第一个方程来解y。

解方程x-y=2得到x=2+y将x=2+y代入第一个方程2x+y=6得到2(2+y)+y=6化简得4+2y+y=6化简得3y=2解得y=2/3带入第一个方程2x+y=6得到2x+2/3=6化简得2x=6-2/3化简得2x=16/3解得x=8/3所以，解得x=8/3，y=2/3二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。

它的基本思想是通过消去一个未知数，得到只含有一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，然后代入原方程组来求出另一个未知数的值。

例题2：解方程组2x+y=6x-y=2解析：首先观察发现，两个方程都有x-y，所以可以消去y。

将第二个方程两边同时乘以2得到2x-2y=4将这个方程与第一个方程相加，得到(2x+y)+(2x-2y)=6+4化简得4x=10解得x=10/4=5/2将x=5/2带入第一个方程2(5/2)+y=6化简得5+y=6解得y=1所以，解得x=5/2，y=1三、等式法等式法是解二元一次方程组的另一种常见方法。

它的基本思想是将其中一个方程的左右两边都化成同样的形式，然后将两个方程相减或相加，从而消去一个未知数。

例题3：解方程组3x-2y=72x+3y=1解析：为了消去x或y，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，从而使得两个方程的x系数一样。

将第一个方程乘以3得到9x-6y=21将第二个方程乘以2得到4x+6y=2将两个方程相加，得到(9x-6y)+(4x+6y)=21+2化简得13x=23解得x=23/13将x=23/13带入第一个方程3(23/13)-2y=7化简得69/13-2y=7解得y=(69/13-7)/(-2)化简得y=5/13所以，解得x=23/13，y=5/13通过以上的讨论，我们可以看出代入法、消元法和等式法都是解二元一次方程组的有效方法。

小专题(五)解二元一次方程组的常见技巧解二元一次方程(组)是初中数学的重要知识点之一,也是安徽中考的重点考查内容,涉及此类问题有整体代入求解、整体相加减求解、重建方程(组)求解、利用同类项、非负数等知识构建方程(组)求解等.类型1根据方程(组)的解的概念求方程(组)中的字母系数1.已知{x＝1,y＝2和{x＝2,y＝1为方程ax+by＝12的解,则3a－5b＝－8.2.已知关于x,y的二元一次方程组{2x+y＝6m,3x－2y＝10的解也是方程5x－y＝40的解,求m2+4的值.解:根据题意,联立方程组得{3x－2y＝10,5x－y＝40,解得{x＝10,y＝10,代入2x+y＝6m,得m＝5,∴m2+4＝29.类型2将错就错构建方程组求解3.已知关于x,y的方程组{x+ay＝5,①bx－3y＝4,②由于粗心,甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为{x＝－1,y＝－2;乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为{x＝2,y＝3.(1)试确定a,b的值;(2)请你求出原方程组的解.解:(1)由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为{x＝－1,y＝－2,所以{x＝－1,y＝－2适合方程bx－3y＝4,代入得－b+6＝4,解得b＝2.由于乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为{x＝2, y＝3,所以{x＝2,y＝3适合方程x+ay＝5,代入得2+3a＝5,解得a＝1.(2)由(1)知,原方程组为{x +y ＝5,2x －3y ＝4,解得{x ＝195,y ＝65.类型3 利用数学相关知识构建方程组求解 4.若12x b +5y 3a 和－3x 2a y 2－4b 是同类项,则可得( D ) A.{a ＝－2b ＝2B.{a ＝7b ＝0C.{a ＝0b ＝－35D.{a ＝2b ＝－15.若(a +b +5)2+|2a －b +1|＝0,求(b －a )2022的值. 解:根据非负数的性质,得{a +b +5＝0,2a －b +1＝0,解得{a ＝－2,b ＝－3,所以(b －a )2022＝[－3－(－2)]2022＝1. 类型4 利用中间参数构建方程求解 6.已知关于x ,y 的方程组{2x +2y ＝3m +1,3x －7y ＝9－m的解满足x －y ＝－4,则m 的值是 －15 .7.m 为何值时,关于x ,y 的方程组{3x －5y ＝2m ,3x +5y ＝m －18的解互为相反数?求这个方程组的解.解:{3x －5y ＝2m , ①3x +5y ＝m －18. ②由题意,得x +y ＝0,得x ＝－y , ③将③代入①,得－3y －5y ＝2m ,得m ＝－4y , ④ 将③④代入②,得－3y +5y ＝－4y －18,解得y ＝－3, 所以x ＝3,m ＝12.所以当m ＝12时,方程组的解互为相反数,解为{x ＝3,y ＝－3.类型5 利用整体思想解方程组 8.已知关于x ,y 的方程组{x －y +2a ＝0,4x +2y ＝1－a的解满足x +y ＝1,求a 的值.解:整理,得{x －y ＝－2a , ①4x +2y ＝1－a , ②由②－①,得3(x +y )＝a +1,把x +y ＝1代入,得3＝a +1,解得a ＝2. 9.已知关于x ,y 的二元一次方程组{2x －my ＝1,3x +ny ＝10的解是{x ＝3,y ＝1.不求m ,n 的值,你能否求出关于x ,y的二元一次方程组{2(x +y )－m (x －y )＝1,3(x +y )+n (x －y )＝10的解?解:根据题意,得{x +y ＝3,x －y ＝1,解得{x ＝2,y ＝1.10.[拓展视野]先阅读,再解方程组. 解方程组:{x +y2+x －y3＝6,4(x +y )－5(x －y )＝2. 设a ＝x +y ,b ＝x －y ,则原方程组变为{a2+b3＝6,4a －5b ＝2,变形为{3a +2b ＝36,4a －5b ＝2,解得{a ＝8,b ＝6,所以{x +y ＝8,x －y ＝6,解得{x ＝7,y ＝1.请用这种方法解下面的方程组:{5(x +y )－3(x －y )＝16,3(x +y )－5(x －y )＝0.解:设m ＝x +y ,n ＝x －y , 则原方程组变为{5m －3n ＝16,3m －5n ＝0,解得{m ＝5,n ＝3,所以{x +y ＝5,x －y ＝3,解得{x ＝4,y ＝1.类型6利用两个方程组同解重新构建方程组求解11.已知关于x,y的方程组{2x+y＝0,ax+5y＝4与{x－y＝3,5x+by＝1有相同的解,则( D )A.a＝1,b＝2B.a＝－4,b＝－6C.a＝－6,b＝－2D.a＝14,b＝212.若关于x,y的二元一次方程组{x+y＝3,mx+ny＝8与方程组{x－y＝1,mx－ny＝4有相同的解.(1)求这个相同的解;(2)求m－n的值.解:(1)由题意得{x+y＝3,x－y＝1,解得{x＝2,y＝1.所以这个相同的解为{x＝2, y＝1.(2)因为关于x,y的二元一次方程组{x+y＝3,mx+ny＝8与方程组{x－y＝1,mx－ny＝4有相同的解{x＝2,y＝1,所以{2m+n＝8,2m－n＝4,解得{m＝3,n＝2,所以m－n＝3－2＝1.。

二元一次方程组的解的讨论在本章中，我们学习了二元一次方程组的解法,所遇到的方程组都有且只有唯一的解.那么，是不是所有的二元一次方程组都有解并且解都是唯一的呢请看下面的例子.例1 解方程组：○1 ○2 解：②- ①×3，得，0 .x + 0 .y = 0,即0=0.这种情况是我们在本章解方程组时从未遇见过的.为什么会产生这样的结果呢观察原方程可以发现，若将方程○1的两边同乘3，则方程○1就变形为方程○2；同样，若将方程○2的两边同除以3，则方程○2就变形为方程○1。

这说明，方程○1的每一个解都是方程○2的解，方程○2的每一个解也是方程○1的解，即方程○1和方程○2是同解方程.这时，方程○1或者方程○2的解就是原方程组的解.所以，原方程组有无数多个解.想一想，例1的方程组中两个方程各项系数及常数项之间有何关系你能从中猜测出什么结论 通过观察可以发现,方程组中X 的系数、Y 的系数、常数项的比为43712921==. 实际上，当两个二元一次方程组中X 的系数、Y 的系数、常数项之比相等时，两个方程是同解方程，这时方程组有无数多个解.例2 解方程组：○1 ○2 解：①×2 - ②，得0 . x + 0 . y= 3,即 0=3.这种情况也是我们在解方程组时所没有遇见过的。

观察原方程组可以发现，方程○1的两边同乘2。

左边与方程○2的左边都是8X+6Y ，而他们的右边分别是14和11.这说明，适合原方程组的每一对数值X ，Y 必须同时满足437,8611.x y x y +=⎧⎨+=⎩437,12921.x y x y +=⎧⎨+=⎩8 x + 6y= 14,8 x + 6y= 11,这显然是不可能的，所以原方程组无解.想一想，例2方程组中两个方程各项系数及常数项之间有何关系你能从中猜测出什么结论通过观察可以发现,方程组中X 的系数、Y 的系数、常数项的比为4378611≠= 实际上，当两个二元一次方程组中X 的系数之比相等Y 的系数之比但不等于常数项之比时，两个方程没有公共解，这时方程组无解.我们再观察一下在本章中解过的所有二元一次方程组，不难发现，两个方程中X 的系数与Y 的系数不成比例.实际上，当二元一次方程组中X 的系数与Y 的系数不成比例时，方程组有唯一的解。

模块一 二元一次方程（组）的基本概念☞二元一次方程1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”.2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 【例1】 下列各式是二元一次方程的是（ ）A.30x y z -+=B.30xy y x -+=C.12023x y -=D.210y x+-=【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -=B.2430x x +=C.23y +=D.3x y =【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.【巩固】已知方程11(2)2m n m x ym ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值.【例3】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）A.2B.2-C.1D.1-【巩固】已知21x y =⎧⎨=⎩是方程25x a +=的解，则a =二元一次方程组的概念及解法【例4】 方程310x y +=的正整数解有几组？（ ）A.1组B.3组C.4组D.无数组【巩固】⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解【例5】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 .【巩固】若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是（ ）A 、1a =，0b =B 、0a =，1b =-C 、2a =，1b =D 、2a =，3b =-☞二元一次方程组：1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）. 如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组.2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.【例6】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩B.54x y =⎧⎨=⎩C.1345y xx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩H.423531x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩【巩固】下列方程组中，①220x y x y -=⎧⎨+=⎩；②11x y y z -=⎧⎨-=⎩；③12xy x y =⎧⎨+=⎩；④120x y =⎧⎨-=⎩是二元一次方程组的序号是【例7】 如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，1∠的度数x ︒比2∠的度数y ︒的2倍多10︒，则可列正确的方程组为（ ）O21C BAA.18010x y x y +=⎧⎨=+⎩B.180210x y x y +=⎧⎨=+⎩C.180102x y x y +=⎧⎨=-⎩D.90210x y y x +=⎧⎨=-⎩【巩固】一副三角板如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数大50︒，若设1x ∠=︒，2y ∠=︒，则可得到的方程组为（ ）21A.50180x y x y =-⎧⎨+=⎩B.50180x y x y =+⎧⎨+=⎩C.5090x y x y =-⎧⎨+=⎩D.5090x y x y =+⎧⎨+=⎩100元，捐款情况如下表：已看不清楚，若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意得，可列方程组（ ）A.273266x y x y +=⎧⎨+=⎩B.2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩C.273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D.2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩【例8】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？⑴1325x y x y +=⎧⎨+=⎩ 10x y =⎧⎨=⎩； ⑵264344x y y x =-⎧⎨=-⎩ 82x y =⎧⎨=⎩； ⑶2783108x y x y -=⎧⎨-=⎩ 6545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【巩固】下列四组数对中①11x y =-⎧⎨=⎩，②12x y =⎧⎨=⎩，③243x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，④05x y =⎧⎨=⎩是方程组23835x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的序号 是【巩固】在①23x y =⎧⎨=⎩，②21x y =⎧⎨=⎩，③02x y =⎧⎨=⎩，④40x y =⎧⎨=⎩，⑤11x y =⎧⎨=-⎩这五对数值中，是方程23x y -=的解是 ，24x y +=的解是 ，2324x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是【例9】 请以12x y =⎧⎨=⎩为解，构造一个二元一次方程组【巩固】请以13x y =-⎧⎨=⎩为解，构造一个二元一次方程组【例10】 若x ay b =⎧⎨=⎩是方程31x y +=的一个解，则934_______a b ++=．模块二 二元一次方程组的解法☞代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成y ax b =+的形式；②y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代求解：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式.【例11】 把方程2()3()3x y y x +--=改写成用含x 的代数式表示y 的形式，则（ ）A.53y x =-B.3y x =--C.53y x =+D. 53y x =--【巩固】已知关于x 、y 的二元一次方程23x by a +=（a 、b 均为常数），将其改写为用含x 的代数式表示y的形式【例12】 用代入消元法求解下列二元一次方程组⑴25342x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①②， ⑵52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩ ①②【巩固】用代入法解下列方程组⑴2328y x y x =⎧⎨+=⎩ ⑵22314m n m n -=⎧⎨+=⎩ ⑶20328x y x y -=⎧⎨+=⎩ ⑷41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩⑸23405x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ⑹233511x y x y +=⎧⎨-=⎩ ⑺1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【例13】 已知0.5a b a b x y +-与1323a x y -是同类项，那么（ ）A.12a b =-⎧⎨=⎩B.12a b =⎧⎨=-⎩C.21a b =-⎧⎨=⎩D.21a b =⎧⎨=-⎩【巩固】单项式283m n x y +与2342m n x y +-是同类项，则________m n +=☞加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式.☞加减消元方法的选择：①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； ③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解； ④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例14】 用加减消元法、解下列方程⑴251x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①② ⑵ 2422x y x y -=⎧⎨-=⎩ ①②【巩固】用加减消元法解下列方程⑴37528x y x y -=⎧⎨+=⎩ ⑵451413x y x y -=⎧⎨-=⎩ ⑶328237x y x y +=⎧⎨+=⎩ ⑷425645x y x y +=⎧⎨-=-⎩☞选用恰当的方法解下列方程组【例15】 选择合适方式解下列方程：892317674x y x y +=⎧⎨-=⎩【巩固】解下列方程组：(1)3(1)4(4)5(1)3(5)y x x y -=-⎧⎨-=+⎩；(2)21322453132045y x y x --⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩；(3)2153224111466x y x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩；(4)35724310()4(1)3x y y x x y x y -+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩【例16】 已知x 、y 满足方程组2100521004x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则x y -的值为_________．【巩固】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（ ）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【例17】 已知关于x 、y 的方程组227x y kx y k -=-⎧⎨+=⎩，则:________x y =【巩固】已知,,x y z 满足方程组207450x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，且0x ≠，求：::x y z 的值.【例18】 二元一次方程组23323223x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩的解为______x =,_____y =【例19】 解方程组：2164622372y x y x y x x y++⎧-=-⎪⎨⎪+=--⎩1． 已知方程2122317m nxy+-+=是二元一次方程，则______m =，_______n =2． 已知12x y =⎧⎨=-⎩，20x y =⎧⎨=⎩都是方程1ax by -=的解，则______a =，_____b =3． 用代入法解方程组372513x y x y -=⎧⎨+=⎩课堂检测1．已知23ky x-=是二元一次方程，那么k的值是（）A. 2B.3C.1D.02．解下列方程组：⑴7232134yxyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⑵2344133m n n mnm+-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑶2320.40.7 2.8yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩⑷5120311120x yy x-=⎧⎨-=⎩3．已知方程组:230230x y zx y z-+=⎧⎨-+=⎩(0xyz≠)，求：::x y z课后作业。

8.1二元一次方程组前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》原创不容易，【关注】，不迷路！【教学目标】1．认识二元一次方程和二元一次方程组.2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.【教学重点与难点】1.理解二元一次方程组的解的意义.2.求二元一次方程的正整数解.【教学过程】篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.这两个条件可以用方程x＋y＝222x＋y＝40表示.上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.把两个方程合在一起，写成x＋y＝222x ＋y ＝40像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 探究：满足方程①，且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？把它们填入表中. 上表中哪对x 、y 的值还满足方程②一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例1 （1）方程（a ＋2）x +(b -1)y =3是二元一次方程，试求a 、b 的取值范围.（2）方程x ∣a ∣–1+(a -2)y =2是二元一次方程，试求a 的值.例2 若方程x 2m –1+5y 3n –2=7是二元一次方程.求m 、n 的值例3 已知下列三对值：x ＝－6 x ＝10 x ＝10y ＝－9 y ＝－6 y ＝－1（1） 哪几对数值使方程21x －y ＝6的左、右两边的值相等？ 哪几对数值是方程组 的解？例4 求二元一次方程3x ＋219的正整数解.课堂小结作业布置【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。