七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)

第19讲相交线、平行线知识理解1．如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是（）A．互为补角B．互补C．相等D．互余2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1、∠2、∠3的度数和是（）A．360°B．180°C．120°D．90°3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（）A．相等B．互补C．相等或互余D．相等或互补4．下列语句事正确的有（）①有公共顶点且相等的两个角是对顶角；②有公共顶点且互补的两个是邻补角；③对顶角的平分线在同一直线上；④对顶角相等但不一定互补；⑤对顶角有公共的邻补角．A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列说法：①点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种；②直线与直线的位置关系的相交、垂直和平行三种，其中（）A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错6．下列图中的∠1和∠2不是同位角的是（）A B C D7．已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则图中表示A点到直线BC的距离的是（）A．线段BD的长B．线段AE的长C．线段AF的长D．线段AG的长8．如图，不能判断AB∥DF的是（）A．∠2＋∠A＝180°B．∠A＝∠3C．∠1＝∠A D．∠1＝∠4第7题图第8题图第9题图9．如图，下列条件中能说明AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠BAD＋∠ABC＝180°D．∠ABC＝∠ADC，∠1＝∠210．在下列条件下，不能得到互相垂直的直线是（）A．邻补角的平分线所在直线B．平行线的同旁内角平分线所在直线C．两组对边分别平行，一组对边方向相同，另一组对边方向相反的两个角的平分线所在直线D．两组对边互相垂直的两角的平分线所在直线11．如图，已知DE⊥AB，∠1＝∠2，∠AGH＝∠B，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠HGM；③DE∥FG；④FG⊥A B．其中正确的是（）HMA．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④12．（1）观察图①，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角．（2）观察图②，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角．（3）观察图③，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角．（4）若有n条不同直线相交于一点，则可以形成对对顶角，对邻补角．13．如图，∠3与∠B是直线AB、被直线所截而成的角；∠1与∠A是直线AB、被直线所截而成的角；∠2与∠A是直线AB、被直线所截而成的角．14．如图：直线a、b、c两两相交，形成12个角中，完成填空：（1）∠1与∠2是角；（2）∠3与∠5是角；（3）∠3与∠9是角；（4）∠2与∠5是角；（5）∠6与∠7是角；（6）∠6与∠11是角；（7）∠7与∠12是角；（8）∠8与∠2是角；方法运用15．按下列语句要求画图：（1）过B点画AC的垂线段；（2）过A点分别画AB、BC的垂线；（3）画出表示点C到线段AB距离的线段．16．如图，直线EF 、CD 相交于点O ，OA ⊥OB ，且OD 平分∠AOF ，∠BOE ＝2∠AOE ，求∠EOD 的度数．17.如图：直线AB CD ⊥于O ，EF 过O ， （1）若2COF BOF ∠=∠，求AOF ∠的度数； （2）若4EOD BOF ∠=∠，求AOF ∠的度数.18.如图：直线AB CD ⊥于O ，EF 过O ，且4EOD BOF ∠=∠，求COE ∠的度数.DCBAD FBA19. 已知：如图，O 为直线AB 上一点，,OC AB OD ⊥平分AOE ∠，78BOE ∠=，求AOE ∠、 COD ∠的度数.20.已知：如图，12180,3,B ∠+∠=∠=∠ 求证：AED ACB ∠=∠.21. 如图，一辆汽车在公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别位于AB 两侧的学校，（1）汽车在公路上行驶 时会对学校的教学造成影响，当汽车行驶在何处时对学校影响最大？在图上标出来；（1）当汽车从 A 向B 行驶时，那一段上对两个学校的影响越来越大？那一段上对两个学校的影响越来越小？那一 段上对M 学校的影响逐渐减小，而对N 学校的影响逐渐增大？22.如图，AB //CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于M N 、，MP NQ 、是两条射线. （1）若MP NQ 、分别平分AME CNF ∠∠、，猜想PM 与NQ 的位置关系；（2）令,AMP x CNQ y ∠=∠=，若90x y +=，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请画图证明； 若不成立，请说明理由.C BABBAM23.（1）小明将以直角三角板（30A ∠=）放在如图所示的位置，经测量知道1A ∠=∠，求2∠. （2）将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且CEM CEH ∠=∠， 给出下列结论：MEGBDF∠∠①的值不变；MEG BDF ∠-∠②的值不变.可以证明，其中只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值.B CF FCBba第20讲 平行线的判定与性质（1）1. 如图： 34∠=∠①（已知），∴___________________∥____________________( )②FAD FBC ∠=∠(已知)，∴___________________∥___________________ ( ) 2. 如图，①直线,DE AC 被第三条直线BA 所截，若DE ∥AC ，则1∠和2∠是（______________________________________ ），如果12∠=∠，则____________∥____________.理由是（______________________________________ ）.②3∠和4∠是直线____________________、____________________，被直线____________________所截，如果34∠=∠，则_______∥_______，理由是（______________________________________ ）. 3. 如果E 、F 、G 分别是AB 、AC 、BC 上一点.①如果B FGC ∠=∠，则________∥_________ ，其理由是（______________________________________ ）. ②BEG EGF ∠=∠，则________∥_________ ，其理由是（______________________________________ ）.③如果180AEG EAF ∠+∠=，则________∥_________ ，其理由是（__________________________________）.第1题图 第2题图 第3题图 第4题图4.如图，由DCE D ∠=∠，可以判断哪两条直线平行？由12∠=∠，可判断哪两条直线平行？E BEBBGEDB5.如图，已知12∠=∠，BD 平分ABC ∠，可得到哪两条直线平行？如果要得到另外两条直线平行，则应将上述两个条件之一作如何改变？6.如图，完成下列填空：①1A ∠=∠，则GC ∥AB ，依据是______________________________________ . ②3B ∠=∠，则EF ∥AB ，依据是______________________________________ . ③2180A ∠+∠=，则DC ∥AB ，依据是______________________________________ . ④14∠=∠，则GC ∥EF ，依据是______________________________________ . ⑤180C B ∠+∠=，则GC ∥AB ，依据是______________________________________ . ⑥4A ∠=∠，则EF ∥AB ，依据是______________________________________ .第6题图 第7题图 第8题图7.如图，点D 是CB 延长线上一点，已知BE 平分ABD ∠，C ∠＝62，ABD ∠=124，则BE ∥AC 吗？请说明理由.8.如图，完成下列填空：①如果1C ∠=∠，可得________∥_________； ②如果2BED ∠=∠，可得________∥_________.③如果2180AFD ∠+∠=，可得________∥_________；④如果BED A ∠=∠，可得___________________.DBADBD9.如图，已知12∠=∠，则在结论：(1)34∠=∠，(2)AB ∥CD ，(3)AD ∥BC 中（ ） A .三个都正确 B .只有一个正确 C .三个都不正确 D .只有一个不正确10.如图所示，下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是（ ）A .AB ∥EF B .5A ∠=∠C .180ABC BCD ∠+∠= D .23∠=∠ 11.如图，EF ∥AD ，1∠2=∠，70BAC ∠=.将求AGD ∠的过程填写完整（理由）. 解：∵EF ∥AD （ ）∴2∠=_________.( ) 又12∠=∠，（ ） ∴13∠=∠.（ ） ∴AB ∥_________.( )∴BAC ∠+_________＝180( ) 又∵70BAC ∠=，（ ）∴AGD ∠=______________.( )第10题图 第11题图 第12题图12.如图，在ABC 中，CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，AC ∥ED ，CE 是ACB ∠的平分线.求证：EDF BDF ∠=∠.AED ∠DBABEB14.如图，12,34,56∠=∠∠=∠∠=∠，求证：CE ∥DF .15.如图，,1DE AB AD E +=∠=∠，求证：（1）2B ∠=∠； （2）若12180E B ∠+∠+∠+∠=，则DE ∥AB .16.已知12,56,AD ∠=∠∠=∠∥BC ，求证：34∠=∠.17.已知线段AB ，过A 、B 分别作直线a ∥b ，点P 、Q 分别是直线a 、b 上的动点，PAB ∠、ABb ∠的平分线交于点C ，连接PC 、QC . （1）求证：AC BC ⊥.BDBBEC（2）当P 、Q 两点运动时，1234∠+∠-∠-∠的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.18.直线a ∥b ，一圆交直线a 、b 分别于A B C D 、、、四点，点P 是圆上一动点，连接PA PC 、，（1）如图PAB PCD P ∠∠∠①、、之间的数量关系为____________________；如图PAB PCD P ∠∠∠②、、之间的数量关系为__________________________.(2)如图③，求证：P PAB PCD ∠=∠+∠；（3）如图④，直接写出PAB PCD P ∠∠∠、、之间的数量关系.19.如图，OX OY A B ⊥，、两点分别在OY 、OX 上，且AC BC ⊥. （1）如图1，若AE 平分CAY ∠，BF 平分CBX ∠，则CAE ∠和CBF ∠的数量关系为____________________________ （2）如图2，若AE 平分CAO ∠，BF 平分CBO ∠，求证：AE ∥BF .（3）如图3，若AE 平分CAO ∠，BF 平分CBX ∠，试写出AEB ∠和CBF ∠的数量关系，并证明你ba(2)b (3)b(1)b(4)ba的结论.xxx 图3图2图1OOOA BAA第21讲 平行线的判定与性质（2）1.如图，已知AB ∥EF ，则下列结论正确的是（ ）A .1DEF ∠=∠B .C AED ∠=∠ C .B DEF ∠=∠ D .1B ∠=∠ 2.如图，,ABC ADC ABD BDC ∠=∠∠=∠；则下列结论错误的是（ ） A .A C ∠=∠ B .AB ∥CD C .AD ∥BC D .ABD CBD ∠=∠第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，A ∠＝ADE ∠，则下列结论正确的是（ ）A .EB ∥DC B .C E ∠=∠ C .C ABE ∠=∠D .E ABE ∠=∠4.如图，下列结论：①若13∠=∠，则AB ∥CD ；②若24∠=∠，则AB ∥CD ;③若5ADC ∠=∠，则AD ∥BC ；④若180DAB ABC ∠+∠=，则AD ∥BC ，其中正确的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个F A BBADB第4题图 第5题图 5.如图，AB ∥CD ∥EF ，则下列结论正确的是（ ） A .123180∠+∠+∠= B .1180∠+∠2-∠3= C .231180∠+∠-∠= D .123180∠-∠+∠=6.下列四个图形中，都有12∠=∠，能判定AB ∥CD 的有（ ）个 A .1 B .2 C .3 D .47.如图，要得到DG ∥BC ，则需要条件（ ）A .,CD AB EF AB ⊥⊥ B .,,CD AB EF AB ⊥⊥且12∠=∠C .12∠=∠D .12,∠=∠且45180∠+∠=8.如图1∠∶2∠∶3∠＝2∶3∶4，EF ∥BC ,FD ∥EB ,则A ∠∶B ∠∶C ∠＝（ ） A .4∶2∶3 B .4∶3∶2 C .2∶3∶4 D .3∶2∶4第7题图 第8题图 第9题图 9.已知：如图AD ∥BE ，12∠=∠，求证:A E ∠=∠.CBDBCFBBCDC10.如图，AD ∥BC ，点O 在AD 上，BO 、CO 分别平分ABC ∠、DCB ∠，若D=A m ∠+∠，求BOC ∠的度数.11.如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分ACB ∠，EF 平分DEC ∠，1∠与2∠互余，求证：DG ∥EF12.如图，将四边形ABCD 进行平移后，使点A 的对应点A ′，请你画出平移后所的四边形A B C D ''''.13.（1）如图1所示，,,AB CD EF 是三条公路，且,,AB EF CD EF ⊥⊥判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）如图2所示，在（1）的条件下，若小路OM 平分EOB ∠，通往加油站N 的岔道//A O 平分∠CO ′F ，试判断OM 与//A O 的关系.BB14.如图，把一个长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知，25ADB ∠=，那么BAF ∠为多少时，才能是AE 与BD 互相平行？15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向平移5个单位，得到矩形A 1B 1C 1D 1，第2次平移将矩形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向平移5个单位，得到矩形A 2B 2C 2D 2……，第n 次平移将矩形A n －1B n －1C n －1D n －1沿A n －1B n －1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n (n ＞2)． （1）求AB 1和AB 2的长； （2）若AB n 的长为56，求n ．图1图2ACCADDBF FBAB nC nA nB n-1C2D B 1C A 1D D 1AD综合思考16．（1）如图，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 镜反射，若b 反射出的光线n 平行于m ，且∠1＝50°，则∠2＝________，∠3＝________；（2）在（1）中，若∠1＝40°，则∠3＝________，若∠1＝55°，则∠3＝________；（3）由（1）（2）猜想：当∠3＝________时，任何射到平面镜a 上的光线m 经过平面镜a 和b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 总是平行的？请说明理由．17．如图，∠DAB ＋∠ABC ＋∠BCE ＝360°．（1）说明AD 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）作∠BCF ＝∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若∠F 的余角等于2∠B 的补角，求∠BAH的度数；（3）在前面的条件下，如图，若P 是AB 上一点，Q 是GE 上任一点，QR 平分∠PQG ，PM ∥QR ，PN平分∠APQ ，下列结论：①∠APQ ＋∠NPM 的值不变；②∠NPM 的度数不变，可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．321ba n mEDGCHFBAMNARPHQ G DE第22讲根式知识理解1x的取值范围是( )A．x＞－5B．x＜－5C．x≠－5D．x≥－52．下列命题：①(－1)2的算数平方根是－12；③一个数的算数平方根等于它本身，这个数是0；④π没有算数平方根．其中正确的个数有( )A．0B．1C．2D．33．下列说法：①4的平方根是±24；③－5是25的平方根；④－27的立方根是－3．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列说法正确的是( )A．36的平方根是6B±2C．－8的立方根是2D．4的算数平方根是－25( )A．－3B．3或－3C．9D．36．一个数的算数平方根比它本身大，那么这个数一定( )A．大于0B．大于1C．大于0且小于1D．不能确定7．－8的立方根与4的算数平方根的和为( )A．0B．4C．－4D．0或－48．下列说法正确的是( ) A ．－1的平方根是－1 B ．若x 2＝9，则x ＝3C ．0没有平方根D ．6是(－6)2的算数平方根9．下列各数：27、3．14、0．70701、π、2．030030003……中，无理数的个数有() A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10＝( ) A ．2B ．－2C ．2或－10D ．－2或－1411．一个自然数的算数平方根是x ，则下一个自然数的算数平方根是( )A 1BC D ．x ＋112．（1）9的平方根为________；（2）(－1)2的算数平方根为________；（3的算数平方根为________；（4）－8的立方根为________．13．x ＝5________3=-，则x －1＝________． 14．－8的立方根的倒数是________．15．一个数的算数平方根等于它本身，则这个数为________．16112=116=1112=…，根据此规律，若1190=，则a 2＋b 2＝________．17．观察下列各式的规律：①=②=③=…，依此规律，若=m ＋n ＝________． 方法运用18．已知实数a 、b 20b +=．（1）求a 、b 的值；（2190=，求x ＋y 的值．20=，求3x＋6y的立方根．21．已知4y=，求－x y的值．222=，求2x＋5的算数平方根．23．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算数平方根是4，求a＋2b的平方根．24．已知4－a与2a－5是一个正数的平方根，求这个正数．25．已知x－2的平方根是±2，3x＋y＋1的立方根是3，求x2＋y2的平方根．26互为相反数，且xy≠0，求xy的值．27．已知a 、b 、c 三个数满足下列条件：a 是算数平方根最小的整数，b 2＝b 3=．求a ＋b ＋c的立方根．28．已知1a ，1b =2a b +=，求a ＋b 的值．(此题命题意义不大，建议删去)29．已知a 1的整数部分，b 3的小数部分，求2a －b 的值．303+与3a 、b ，求a －b 的值．31．已知实数a 、b 、c 1022b -=，求代数式ab ＋bc 的值． 综合思考32．设[x )表示大于x 的最小整数，如[3)＝4，[－1．2)＝－1，则下列结论中正确的是________．(填写所有正确结论的序号)．①[0)＝0；②[x )－x 的最小值是0；③[x )－x 的最大值是0；④存在实数x 使[x )－x ＝0．5成立．33．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，现对72进行如下操作：这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，解决下列问题：（1）对81只需进行________次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数，最大的是多少？[]＝172第一次[]＝8第二次[]＝2第三次第23讲根式与平行线知识理解1．判断正误：a2的算术平方根为a( )；＝－a( )．2．下列等式：==③－22＝4；④323________；________；③25的算数平方根是________；④5的算数平方根是________；⑤9的平方根是________；⑥(－1)2的算数平方根是________；的算数平方根是________；⑧－8的立方根是________．4．若x＝5________35．①y=x的取值范围是________；②y中x的取值范围是________；y=中x的取值范围是________；③y=x的取值范围是________；④6．数轴上表示1A、B，且AC＝AB，则C所表示的数是________．7．已知数轴上有A、B两点，且这两点之间的距离为A在数轴上表示的数位，则点B在数轴上表示的数为________．8．如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，a b b c ++可以化简为( ) A ．2c －aB ．2a －2bC ．－aD ．a9．如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别是a 、b 、c ，其中AB ＝BC ，如果a b c >>，那么该数轴的原点O 的位置应该在( ) A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点B 与点C 之间或点C 的右边方法运用 10．计算： （1； （2）3π-（3）12．11．解方程： （1）8x 3－27＝0； （2）(x －1)2－121＝0．12650y -=．（1）求x 、y 的值； （2）求(x －y )2的平方根．13．已知实数a 、b 、c 满足2340a b ++-=，22(2)4160c b -+-=，求a ＋b ＋c 的值．C A140=，求2014y 的值．15．已知2013a a -=，求a －20132的值．16．已知有理数a 、b 满足53b a =+，求a 2＋b 2的值．17．已知a 、b b -＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1．18．已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的算数平方根是4，求a ＋2b 的平方根．19．（1）一个非负数的平方根是2a －1和a －5，则这个非负数是多少？ （2）已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值．20．已知有理数a 、b满足52b a =+，试求a 、b 的值．21．如图，已知AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ，则∠AEF 的度数是( ) A ．15°B ．30°C ．45°D ．50°22．如图，已知AE ∥BD ，∠1＝3∠2，∠2＝28°，则∠C ＝( ) A ．26°B ．28°C ．56°D ．58°第21题图 第22题图第23题图23．如图，已知a ∥b ，a 不垂直于c ，BA ，DA ，DC ，BC 分别是同旁内角角平分线，则与∠ABC 相等的角有( ) A ．2个 B ．4个 C ．3个 D ．1个24．如图，∠ABD ＝∠CBD ，DF ∥AB ，DE ∥BC ，则∠1与∠2的大小关系是________．25．如图，已知B 、C 、E 在同一直线上，且CD ∥AB ，若∠A ＝105°，∠B ＝40°，则∠ACE 为________．第24题图 第25题图 第26题图26．如图，已知∠1＝∠2，∠D ＝78°，则∠BCD ＝________度．27．如图所示，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则图中哪些直线是平行的？为什么？BCG FB C EAaAA BCFBEACABCD28．如图所示，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ，∠1＋∠2＝90°，那么，直线AB 、CD 的位置关系如何？说明你的理由．29．如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5，延长AB 、GF 交于点M ，试探索∠AMG 与∠3的关系，并说明理由．30．已知AB ∥CD ，线段分别与AB 、CD 相交于点E 、F ．（1）如图1，当∠A ＝40°，∠C ＝60°时，求∠APC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠C 与∠APC 之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论．4321FEB AED CB A1251234DE C G FMB ADPCFE BAABE FCPD（3）如图3，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，（2）中的结论成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明．D F CP E BA第24讲平面直角坐标系知识理解1．点M（x2＋2，－y2）－定在（）A．第－象限B．第四象限C．y轴右侧D．y轴左侧2．点P（－5，－4）到横轴的距离是（）A．5B．4 C．－5 D．－43．已知点P（a，b）的坐标满足a b＜0，则点P在（）A．第二象限B．第四象限C．第二象限或第三象限D．第二象限或第四象限4．若点P（x，y）在第二象限，则点Q（2y＋1，－x＋2）在（）A．第－象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．将点P（－4，3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点Q，则点Q的坐标是（）A．（－2，5）B．（－6，1）C．（－6，5）D．（－2，1）6．若长方形ABCD的长、宽分别为6、4，以点A为原点，分别以AB、AD为x轴和y轴的正半轴建立直角坐标系，则点C的坐标不可能是（）A．（6，4）B．（4，6）C．（0，0）D．（6，4）或（4，6）7．下列四个命题中正确的个数是（）（1）同－直角坐标系内，A（3，2）与B（2，3）表示的是同－个点．（2）x轴上的点的纵坐标为0．（3）坐标轴上的点不属于任何－个象限．（4）把点A（x，y）向左平移c个单位长度得到的点的坐标为（x－c，y）．A．4个B．3个C．2个D．1个8．若x＋y＞0，且xy＞0，则点P（－x，y）在第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四9．若点P 在x 轴的下方，y 轴的左侧，到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，则P 点的坐标为（ ） A ．（－2，3） B ．（－2，－3） C ．（3，2） D ．（－3－2）10．描出下列各点，并指出下列各点所在的象限或坐标轴． A （－3，0）；B （－2，－4）；C （－1，4）； D （0，－3）；E （3，－3）方法运用11．已知点A （m ，－ 2），点B （4，－m ＋1）且直线AB ∥x 轴，则m 的值为___________． 12．若点P （x ，y ）的坐标满足x ＋y ＝xy ，则称P 为“和谐点”，请写出－个“和谐点”的坐标，如________． 13．初三年级某班有54名学生，所在教室有6行8列座位，用（m ，n ）表示第m 行第n 列的座位，新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为（m ，n ），如果调整后的座位为（i ，j ），则称该生做了平移[a ，b ]＝（m －i ，n －j ），并称a ＋b 为该生的位置数，若某生的位置数为10，则当m ＋n 取最小值时，m ·n 的最大值为_________．14．根据指令[s ，A ]（s ≥0，0°≤A ≤180°，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ，现机器人在直角坐标系坐标原点，且面对x 轴正方向． （1）若给机器人下了一个指令[4，180°]，则机器人应移动到点________； （2）请你给机器人下一个指令___________，使其移到点（0，5）．15．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （－2，3），B （－4，－4），C （2，0），将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置，点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1，若点A 1的坐标为（3，1），则点C 1的坐标为_________．16．如图，－动点从原点O 出发，按向上、右、下、右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 2015的坐标为_____．（第16题图） （第17题图） 17．如图，在直角坐标系中，已知点A （－3，0），B （0，4），AB ＝5，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3， △4，……，则△2013的直角顶点的坐标为__________．18．如图，在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每－个正方形（实线），四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_______个．12118743xx（第18题图） （第21题图） 19．若定义：f （a ，b ）＝（－a ，b ），g （m ，n ）＝（m ，－n ），例如，f （1，2）＝（－1，2），g （－4，－5）＝（－4，5），则 g （f （2，－3））＝（ ） A ．（2，－3） B ．（－2，3） C ．（2，3） D ．（－2，－3）20．定义：平面内的直线l 1与l 2相交于O ，对于该平面内任意－点M ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为a ，b ，则称有序非负实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据以上定义，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．321．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫整点，且规定，正方形的内部不包 含边界上的点，观察下图所示的中心在原点、二边平行于x 轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9 个整点……，则边长为8的正方形内部的整点个数为（ ）A ．64B ．49C ．36D ．2522．如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ） A ．（1，4） B ．（5，0） C ．（6，4） D ．（8，3）23．（1）如果点P （m ＋1，m －3）在y 轴上，则 m ＝__________． （2）已知点P （a ，b ），且|a |＝4，|b |＝2，那么P 点的坐标为__________． （3）已知点P （2－m ，3m ＋ 6）到两坐标轴的距离相等，求P 点坐标．24．如图，△ABC 中，A （－2，1），B （－3，－2），C （2，－2），D （2，3），将△ABC 沿AD 平移，且使A 点平移到D 点，B ，C 平移后的对应点分为E 、F ． （1）画出平移所得的△DEF ；（2）说明通过怎样的平移方式将△ABC 平移到△DEF ； （3）求平移得到的△DEF 的面积．xP x25．在图中，A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求△AOB的面积．26．在图中，四边形ABOC各个顶点的坐标分别为A（－11，6），B（－14，0），O（0，0），C（－2，8），试求这个四边形的面积．27．在图中，已知平面直角坐标系中，A（－1，4），B（3，2），线段AB交y轴于C，求C点坐标．28．如图所示，在平面直角坐标系中，A，B，C，三点的坐标分别为（0，1），（2，0），（2，1.5）．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有－点P （a ，21），试用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与△ABC 是否相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第25讲 坐标系与平行线1．点P 在第四象限，且到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为6，点P 的坐标为________． 2．在平面直角坐标系内，两点A （a ，6）、B （b ，6） ，AB 的长度是___________． 3．已知点A （－2，3），B （－2，－1），C （m ，n ），且 S △ABC ＝6，则点m ＝______． 4．点B （x ，y ）在第二象限内，|x |＝3，|y |＝4，则B 点的坐标为__________． 5．如果点A （x ，y ）在第三象限，则点B （－x ，y －1）在第________象限． 6．将点A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到点B （－1，2），则A 点的坐标是____________． 7．已知：如图，点B 在点A 的北偏东34°，点C 在点B 的东偏南28°，则∠ABC ＝___________． 8．如图，MN ∥GH ，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，当B 点在MN 上移动时， 则2∠BDC －∠BAC 的值是______________．（第7题图） （第8题图） （第9题图）9．如图，清晨小蚂蚁从家(O )外出觅食，先后到达A 、B 、C 、D 地，傍晚回到家中，（图中－格表示－个单位长度），小蚂蚁在觅食的过程中围成的区域面积是_______平方单位．10．P 点在第二象限，且到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是2，则P 点的坐标为（ ）A ．（3，－2）B ．（－2，3）C ．（－3，2）D ．（2，－3） 11．点P （m －3，m －5）在第四象限，且m 为整数，则P 点坐标为（ ）A ．（4，－4）B ．（2，－3）C ．（1，－4）D ．（1，－1） 12．将－矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1的度数是（ ）A ．45°B ．52°C ．64°D ．26° 13．如图，直线AB ∥CD ∥EF ，且∠B ＝40°，∠C ＝125°，则∠CGB ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°D HG CAB NM（第12题图） （第13题图） （第14题图）14．如图，AB ∥CD ∥EF ，下列各式的值为180°的是（ ）A ．∠1＋∠2＋∠3B ．∠2＋∠3－∠1C ．∠1＋∠2－∠3D ．∠1－∠2 ＋∠3方法运用15．已知A （a －1，－2），B （－3，b ＋1）根据以下要求，确定a ，b 的值． （1）直线 AB ∥y 轴； （2）直线AB ∥x 轴．16．写出图中的点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标，并观察你所写出的这些点的坐标，回答以下的问题． （1）在四个象限内的点的坐标各有什么特征；（2）两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？若点在第－、第三象限角平分线上或者在第二、第四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标有什么特点？17．如图，在直角坐标系中有△ABC ．（1）写出△ABC 各顶点坐标；_______________ _______________ _______________ （2）若平移△ABC ，得到△A′B′C′，使A 的对应点A ′（－4，2） 请你画出△A′B′C′； （3）求 S △A′B′C′．64°1F E A B C D321A BC D EF18．如图，在直角坐标系中，A （－1，3），B （3，－2）． （1）求△AOB 的面积；（2）设AB 交x 轴于点C ，求C 点的坐标．19．已知点 P （2m －4，m ＋7）．（1）若点P 在x 轴上，求点P 的坐标；（2）若点P 在y 轴上，求点P 的坐标；（3）是否存在－个数m ，使得点P 到x 轴、y 轴的距离相等，若存在，求出m ，不存在说明理由．20．已知，如图：∠1＝∠2，要使AB ∥CD ，须添加什么条件？并加以证明．21NMA B DCEF21．如图，AB ∥DE ，要使AE ∥CD ，须添加什么条件？综合思考22．已知：如图，在平面直角坐标系中，A 、B 分别在两坐标轴上，∠OAB 的邻补角与∠OBA 的邻补角的角平分线交于点M ． （1）求∠M 的度数；（2）如图，过B 作BC 丄AB 交x 轴于点C ，作∠ACB 的角平分线CN ，观察图形，你发现BM 、CN 之间是否有特定的位置关系呢？证明你的结论；（3）如图，已知A （4，0），B （0，2），C （－1，0），试问：在：y 轴上是否存在－点P ，使得△ABP 的面积恰好等于△ABC 的面积？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明你的理由．（4）在y 轴上是否存在－点Q ，使得AQ ∥BC ？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明你的理由．23．已知，平行四边形ABCD 中，A （2，0），B （6，4），D （0，－6）．ABDCE（1）求点C的坐标；（2）设点P（－2，t），且△ADP的面积为14，求t的值；（3）若∠BAO＝135°，设点T是x轴上－动点（不与点A重合），问∠ATC与∠TCD存在什么具体的数量关系？写出你的结论并证明．第26讲 二元一次方程知识理解 1．已知方程：①313=+yx ；②5xy －x ＝0；③y x -+1＝3；④3x －y ＝z ；⑤2x －y ＝3； ⑥x ＝－y ，其中是二元一次方程的有__________________．（填序号）2．已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---2)1(1)3(32x m y m x m 是二元一次方程组，则m 的值为_________．3．二元一次方程2x －y ＝l ，则当x ＝3 时，y ＝_____；当y ＝3时，x ＝______．4．若⎩⎨⎧-==12y x 是方程x －3y ＋m ＝2的一个解，则m ＝_________．5．写出一个以⎩⎨⎧==21y x 为解的二元一次方程组__________________．6．在（1）⎩⎨⎧==03y x ；（2）⎩⎨⎧==11y x ；（3）⎩⎨⎧-==1y x 这三对数值中，______是方程x ＋2y ＝3的解；__________是方程2x －y ＝l 的解；因此，__________是方程组⎩⎨⎧=-=+1232y x y x 的解．（填序号）7．已知方程5x ＋3y －4＝0，用含y 的代数式表示x 的式子是_____________；当y ＝l 时，x ＝________；用含x 的代数式表示y 的式子是_______________．8．由方程4x ＋5y ＝9，用含x 的式子表示y 为_______；用含y 的式子表示x 为________．9．方程2(x ＋y )－3(y －x )＝3中，用含x 的式子表示y 为_______；用含y 的式子表示x 为________． 10．由123=-yx ，用含x 的式子表示y 为_______；用含y 的式子表示x 为________． 11．用代入法解方程组⎩⎨⎧=+-=②①82332y x x y 时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）A ．3x ＋4y －3＝8B ．3x ＋4x －6＝8C ．3x －2x －3＝8D ．3x ＋2x －6＝8方法运用在式子ax ＋by 中，当x ＝l ，y ＝l 时，它的值是－6；当x ＝2，y ＝3时，它的值是3，求这个式子．13．如果0512=-+++-y x y x ，求2x －y 的值．14．已知1343-+x y b a 与y x b a 21223---是同类项，求x ＋2y 的值．15．若243724953=+--++n m n m y x 是关于x 、y 的二元一次方程，求nm的值．16．某同学解下列方程组⎩⎨⎧-=+=+1321by ax by ax 时，因将方程∠中的未知数y 的系数的正负号看错，而解得⎩⎨⎧==12y x ，试求a 、b 的值．17．已知方程组⎩⎨⎧-=-=+2455by x y ax ，由于甲看错了方程∠中的a 得到方程组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ，乙看错了方程∠中的b 得到方程组的解为⎩⎨⎧==25y x ，求a －b 的值．18．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+my x my x 11254的解满足方程3x －y ＝14，求m ．19．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 23222的解满足x ＋y ＝－10，求代数m 2－2m ＋l 的值．20．方程组⎩⎨⎧=--=+71by ax by ax 与⎩⎨⎧-=+=-22532y x y x 有相同的解，求a －b 的值．21．二元一次方程组⎩⎨⎧-=-+=+122323m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值．22．已知142522=+=+yx y x ，求代数式487629+--+y x y x 的值．23．m 为何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？综合思考24．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+1023432m y x my x ．（1）是否存在一个数m ，使得方程组的解的和为8，若存在求出m ，并求出方程组的解，若不存在说明理由；（2）是否存在一个数m ，使得方程组的解x 与y 之差为1，若存在求出m ，并求出方程组的解，若不存在说明理由；（3）是否存在一个数m ，使得方程组的解x 与y 相等，若存在求出m ，并求出方程组的解，若不存在说明理由．25．如图，在直角坐标系中，点 A （a ，0），B （b ，0），C （1，2），且31++-b a ＝0． （1）求A 、B 的坐标；（2）将线段BC 向左平移4个单位得B 1C 1，试问：在y 轴上是否存在点P ，使?41111C OB OP C S S =若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线AN 、BM ，BG 、AG 分别平分∠CBM 、∠CAN 且交于点G ，CD 分别平分∠ACB ，求∠BGA ＋∠BCD 的值．x第27讲二元一次方程应用题知识理解1．A，B两地相距20km，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经过2h相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2km，求两人的速度分别为多少？2．甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放人乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放人甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？3．某商场欲购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价为35元，利润率是20%，乙种商品每件进价为20元，利润率是15% ，共获利278元，则甲、乙两种商品各购进多少件？4．树上，地上有鸽子若干．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上，地上原来各有多少只鸽子？5．某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？6．甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？综合思考7．某公司的门票价格规定如下表所列，某校七年级（1），（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一则两班各有多少名学生？8．武汉市某中学在五四期间举行了诗歌朗诵比赛，并设置特别奖与优秀奖共60人，已知获优秀奖人数比获特别奖人数的4倍少15人．（1）请问获两种奖项各有多少人？（2）若规定特别奖每人的奖品金额是优秀奖每人奖品金额的2倍，在总费用不超过750元的情况下，优秀奖每人的奖品金额最多为多少？9．某校举行数学竞赛，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给获奖的学生发奖品．同－等奖的奖品相同，并且只有从下表所列物品中选取一件．（1）如果获奖等次越高奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？（2）若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过260元的前提下，有几种购买方案？花费最高的一种需用多少钱？。

2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）【分类解析】例1.　选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解，　②无解，　③有唯一的解①解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10,　c=14。

当　5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。

　②解得a=10,　c"`14。

③当　5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2.　a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。

例3.　m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。

第十五讲 多边形的有关问题趣题引路】如图15-1，用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案． (1)第四个图案中有白色地面砖 块． (2)第n 个图案中有白色地面砖 块． 第一个图案有白砖数6， 6＝4×1＋2； 第二个图案有白砖数10，10＝4×2＋2； 第三个图案有白砖数14，14＝4×3＋2； 第四个图案有白砖数18，18＝4×4＋2； ……一般地，第n 个图案有白色地砖(4n ＋2)块．图15-1...知识拓展】1．多边形的基本知识主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．2．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决，将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策略，从凸n 边形的一个顶点引出的对角线把凸n 边形分成(n －2)个三角形，凸n 边形一共可引出(3)2n n -条对角线． 3．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这也是解多边形相关问题的常用技巧．4．多边形的内角和为(n －2)180°；外角和为360°； 正多边形的每个内角为(2)180n n -，每个外角为360n．一、多边形的内角与外角例1 (2003年全国联赛题)在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )个． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5解析 由于任何凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不超过3个．又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个．实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形．故选C ．点评 把内角问题转化为外角问题考虑．例2 一个凸n 边形，除了一个内角外，其余(n －1)个角之和为2002°，求n 的值．解析 本题实际上是求多边形内角和的延伸，要注意n 为自然数且每个内角不大于180°这两个隐含条件．解 设除去的这个内角是x 度，则(n －2)×180°－x °＝2002°，那么(n －2)×180°＝2002°＋x°．显然2002°＋x °应是180°的倍数，故x °＝158°，这时求得n ＝14．二、多边形的边例3 (2002年全国竞赛题)若1239A A A A 是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于( )A ．B ．C ．()12a b + D ． a b + 解析 此题以正九边形为背景，考察观察能力和构造能力．不必画出完整图形，只需画出有用的局部图形．图15-215解 如图15-2，延长A 1A 2、A 5A 4．相交于点P ，连结A 2A 4，则A 2A 4// A 1A 5，且A 2A 4＝A 1A 3＝b ，因为正九边形的每一个内角为(92)1801409-⋅=，所以∠A 2A 1A 5＝∠A 4A 5A 1(92)18031402-⋅-⨯=60=，故△P A 1A 5和△P A 2A 4均为正三角形．所以A 2P ＝A 2 A 4＝A 1 A 3＝b ．于是A 1 A 5＝A 1 P ＝A 1 A 2＋A 2 P ＝a ＋b ．选D ．例4 (1999年全国联赛题)设有一个边长为1的正三角形，记作A 1[如图15-3(1)]．将A 1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2，[如图15-3(2)]；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3[如图15-3(3)]；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，那么，A 4的周长是 ．图15-3(1)解析 从基本图形入手计算，寻找规律．解 从A 1开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍．所以， A 2的周长是4343⨯=；A 3的周长是416433⨯=；A 4的周长是41664339⨯=．三、多边形的对角线问题例5 (1)计算凸十边形所有对角线的条数，以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数．(2)在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数，在(1)中的三角形，若三个顶点所标三数之和为奇数，则该三角形称为奇三角形；若三数之和为偶数，则称偶三角形，试判断：奇三角形个数是奇数还是偶数，并证明你的结论．解析(1)共有(103)10352-⨯=条对角线，因为边与对角线共有45条，每条属于8个三角形的边，则三角形个数为4581203⨯=个． (2)奇三角形个数是偶数．因为凸十边形每个顶点属于40个三角形，也就是说凸十边形每个顶点所写的数在总和中计算了40次，那么总和应为十顶点所标数和的40倍，则一定是偶数，偶三角顶点之和必为偶数．故奇三角形个数必为偶数．四、多边形的证明问题例6 已知凸六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形．求证：这样的六边形有无穷多个．解析 由n 边形(n ≥4)的不稳定性知，若存在一个这样的六边形，则必有无穷多个．故下面寻找是否存在六个正整数a 1，a 2，…，a 6(不妨设a 1≤a 2≤…≤a 6)，满足(1)12620a a a +++=；(2)12123234345456,,,,a a a a a a a a a a a a a a ≤+≤+≤+≤+≤； (3)123456++a a a a a a ++>．如果这样的六边形存在，则以126a a a ，，，为边长的六边形即符合要求．实际上，对任选三个整数61i j k a a a a ≤≤≤≤，必有i j k a a a +≤，可见此六边形的任意三边不能构成三角形，如121a a ==，32a =，43a =，55a =，68a =，满足上述全部条件．所以，这样的六边形有无穷多个．点评 本题首先证明了这样的六边形存在，然后根据n 边形(n ≥4)的不稳定性，说明这样的六边形有无穷多个．五、多边形中的开放性问题例7 (1999年全国联赛题)在正五边形ABCDE 所在平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形．这样的不同的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 可先动手画出简图．由△PCD 与△BCD 的面积相等及等积变换的思想，点点P 应在平行于CD 且与CD 的距离等于B 点到CD 的距离的直线l 上，这样的直线l有两条，且位于CD 的两侧．然后再根据△ABP 为等腰三角形确定点P 的个数．图15-4如图15-4，由S △PCD ＝S △BCD 知，点P 只能在直线l 1(即直线BE )与直线l 2上，其中l 2与CD 平行且与CD 的距离等于l 1与CD 的距离．在等腰△ABP 中，按其底边可分如下三种情形：(1)当AB 为底边时，AB 的垂直平分线分别与l 1、l 2交于P 1、P 2，则P 1、P 2是符合条件的点． (2)当P A 为底边时，以B 为圆心，BA 为半径作圆，与l 1交于P 3、P 4两点，则P 3、P 4符合条件． (3)当PB 为底边时，只有E 点符合条件．综上所述，共有P 1、P 2、P 3、P 4、E 五个点符合题设全部条件，故应选D ．点评 解答这类计数问题，需要分清谁是底，谁是腰，可直接通过作图确定点P 的个数，这里主要应用了交轨法．好题妙解】佳题新题品味例1 一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数有( )A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条解析 每一内角为140°，得每一外角为40°，360°÷40°＝9，即边数为9，故从一个顶点可作对角线9－3＝6条，选D ．例2 设12n A A A 是一个有n 个顶点的凸多边形，对每一个顶点(1,2,3,,)i A i n ，将构成该角的两边分别反向延长至12,i i A A ，连接12,i i A A ，得到两个角12,i i A A ∠∠(扫描件版本中有错)，那么所有这些新得到的角的度数的和是 ．解析 注意每一内角与相邻的外角互补即可求． 故：n ×180°－(n －2)·180°＝360°．例3 正五边形广场ABCDE 的周长为2000m ，甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发绕广场沿A →B →C →D →E →A 的方向行走，甲的速度为50m/min ，乙的速度为46m/min ，则出发后经过 min ，甲、乙第一次行走在同一条边上．解析 设甲走完x 条边时，两人走在同一条边上，此时甲走了400x m ，乙走了4004636850xx ⨯=m ，甲、乙两人的距离不大于正五边形的边长400m ，所以(368x ＋800)－400x ≤400．解得x ≥12.5．而x 为整数，取x ＝13． 所以，甲、乙走了40010450x=min 后走到一条边上．中考真题欣赏例4 (吉林省)如图15-5，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．(1)在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n 的代数式表示)．(2)设铺地面用瓷砖的总数为y ，请写出y 与(1)中n 的函数关系式(不要求写自变量n 的取值范围)． (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 值． (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中共需花多少元钱购买瓷砖？ (5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情况？请通过计算说明，为什么？图15-5解析()()()() 1231n n n n n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++： 1 2 3 白砖： 1 2 2334 黑砖：34-1 2 45-2 3 56-3 4-解(1)n ＋3，n ＋2．(2)y ＝(n ＋3)(n ＋2)． (3)当y ＝506时，(n ＋3)(n ＋2)＝506， 解得n 1＝20，n 2＝－25(舍去)． 白色砖数：n (n ＋1)＝20×(20＋1)＝420． 黑色砖数：506－420＝86．(4)共需钱数：86×4＋420×3＝1604(元)(5)n (n ＋1)＝(n ＋2)(n ＋3)－n (n ＋1)，化简得n 2－3n －6＝0，解得n ．因n 的值不是整数， ∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．竞赛样题展示例1 (2004年江苏省初中竞赛题)在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为( )A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15解析 设这个多边形为n (n 为正整数)边形，由题意2002°<(n －2)×180°<2002°＋360°，111113159090n <<． 所以，n ＝14或15．选D ．例2 (2002年上海市竞赛题)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段？证明你的结论．解析(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2点必须连线，此时至少要连65152⨯=条． (2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连541112⨯+=条． (3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连732⨯条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连11条． (4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A )只引出2条线段AB 、AC ，则不与A 相连的4点每2点必须连线，要连4362⨯=条．由B 引出的线段至少有2条，即除BA 外还至少有一条．因此，此时至少要连6＋2＋1＝9条．图15-6图15-6给出连9条线的情况．综合(1)~(4)，至少要连9条线段，才能满足要求．例3 (第14届希望杯)两条直线上各有n 个点，用这n 对点按如下规则连结线段： ①同直线上的点之间不连结；②连结的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点． (1)画图说明当n ＝1，2，3时，连结的线段最多各有多少条？(2)由(1)猜想n (n 为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条，证明你的结论． (3)当n ＝2003时，所连结的线段最多有多少条？图15-7解析 (1)由图15-7可以看出，n ＝1时，最多可以连结1条线段，n ＝2时，最多可以连结3条线段，n ＝3时，最多可以连结5条线段．(2)猜想：对于正整数n ，则n 对点直接连结的直线段最多有2n －1条． 证明 将直线标记为l 1、l 2，它们上面的点从左到右排列分别为123,,,,n A A A A 和123,,,,n B B B B ，设这n 对点之间连结的直线段最多有P n 条，显然，其中必有n n A B 这一条，否则，P n 就不是最多的数． 当在l 1，l 2分别加上第n +1个点时，不妨设这两个点在A n 与B n 的右侧，那么除了原来已经有的P n 条直线段外，还可以连结A n+1B n ，An +1B n +1这两条线段，或连结A n B n +1，A n +1B n +1这两条线段． 所以P n +1≥P n +2．l 2l 1B n+1B i+1B i A n+1A n另一方面，设对于n +1对点有另一种连法：考虑图中以A n +1为端点的线段，若以A n +1为端点的线段的条数大于1，则一定可以找到一个i ≤n ，使得对于任意的j <i ，A n +1B j ，都不在所画的线段中，这时，B i +1，B i +2，...，B n +1，只能与A n +1连结，不妨设A n +1B i +1，A n +1B i +2，…，A n +1B n +1都已连结，此时图中的线段数为P n +1，我们做如下操作：去掉A n +1B i ，连结A n B i +1，得到新的连结图，而新的连结图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进行下去，直到与A n +1连结的线段只有一条A n +1B n +1为止．最后图中，与点B n +1相关的线段只剩两条，即A n B n +1，A n +1B n +1，去掉这两条线段，则剩余P n +1-2条线段，而图形恰是n 对点的连结图，所以P n +1-2≤P ． 由此我们得到P n +1=P n +2，而P 1=1，P 2=3，所以P n =1+2×(n -1)=2n -1． （3）当n =2003时，P 2003=4005（条）．过关检测】A 级1．一个凸n 边形共有54条对角线，则它的内角和是（ ） A ．1080° B ．1440° C ．1800° D ．1620°2．（1999年全国初中联赛试题）一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．143．（第12届“希望杯”邀请赛试题）凸n 边形中有且仅有两个内角为饨角，则n 的最大值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．（美国中小学数学课程标准）如图，用硬纸片剪一个长为16cm 、宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 cm ，周长最小的是 cm ．16cm12cm5．如图，ABCD 是凸四边形，AB =2，BC =4，CD =7，则线段AD 的取值范围是 ．DC BA6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC +∠AED =180°，连接AD ． 求证：AD 平分∠CDE ．EDBAB 级1．一个凸n（n≥4）边形的每个外角的度数均为相等的奇数，则这样的凸多边形共有（）A．4种B．6种C．3种D．2种2．一个凸n边形最小内角为95°，其他内角依次增加10°，则n等于（）A．6 B．12 C．4 D．103．如图所示，CD//AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的大小．F EDCBA4．若凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°．求n所有可能的值．5．平面上给出4点，其中任意3点不共线，这4点组成4个三角形.请判断；这4个三角形中最多有几个锐角三角形？证明你的结论．6．已知一个凸n边形各内角度数均相等，且度数是奇数.问这样的多边形有几种？证明你的结论．()。

数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。

例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。

解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

第1讲 有理数（1）1.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度.已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A .乙地比丙地高70米 B .乙地比甲地低90米 C .丙地最低 D .甲地高出海平面100米2.下列各组数中，大小关系正确的是（ ）A .752-<-<-B .752->->C .725-<-<-D .275->->-3.一个数在数轴上所对应的点向左移动6个单位后，得到它的相反数的点.则这个数是（ ） A .3 B .－3 C .6 D .－64.在数轴上点Ａ所表示的数是－3，点Ｂ与点Ａ的距离是5，那么Ｂ点所表示的有理数是（ ） Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．２ Ｄ．２或－８ ５．一个数是７，另一个数比它的相反数大３，则这两个数的和是（ ） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－10 Ｄ．11 ６．如果2(3)x +与3(1)x -互为相反数，那么x 的值是（ ） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．－９ Ｄ．９ 7.若,0a b c a b c <<++=，则a b +的范围是（ ）A .0a b +>B .0a b +<C .0a b +≥D .0a b +≤8.如果a 、b 均为有理数，且0b <，则有（ ）A .a a b a b <+<-B .a a b a b <-<+C .a b a a b +<<-D . a b a b a -<+< 9.下列各数中：－6；5；＋2.5；0；－1；13-；100；10% 正数是：_________________________________； 负数是_________________________________.10.数－3；＋8；12-；＋0.1；0；－10；5；13中，正数有______________________个.11.将下列各数5；23-；2010；0.02-；6.5；0；2-填入相应的括号里.正数集合{} 负数集合{}12.最大的负整数是___________；小于3的非负整数是______________________.13.若12.332x -<≤，则x 的整数值有___________个.14.从数轴上表示1-的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________.15.如果a 、b 互为相反数，那么a b +=___________，22a b +=___________.16.如果a 的相反数是最大的负整数，b 的相反数是最小的正整数,则a b +=___________.17.一个数的相反数大于它本身，那么这个数是___________,一个数的相反数等于它本身，这个数是___________,一个数的相反数小于它本身，这个数是___________.18.若果a 和b 是符号相反的两个数，在数轴上a 所对应的数和b 所对应的点相距6个单位长度，如果2a =-，则b 的值为___________.19.如果a 的相反数是2-，且234x a +=，求x 的值；20.数轴上Ａ点表示的数为＋４，Ｂ、C 两点表示的数互为相反数，且C 到A 的距离为2，点B 和点C 各表示什么数；21.已知A 、B 为数轴上的两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为多少？22.已知A 为数轴上的一点，将A 先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点Ｂ，若A 、B 两点对应的数恰好互为相反数，求Ａ点对应的数.23.小康水平的一个指标是年人均收入1000美元.2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示.此10户的年人均收入如下（单位：美元）：(1) 请你计算一下这10户有百分之几达到了小康指标？（2）10户年平均收入为多少美元？24.（1）照这样计算小亮家6月用电多少度？（2）供电部门规定：每月每户用电不超过200度，每度按0.5元收费，超过200度但不超过300度的，超过的部分每度按0.55元收费，超过300度的，超过部分每度按0.8元收费，则小亮家6月应缴电费多少？（3）7月份由于天气变热，用电量增大，小亮妈缴费时发现这个月用电每度平均0.63元，求小亮家7月份用电多少度？25.（1）通过计算，说明本周内那天粮库剩下的粮食最多？（2）若运进的粮食为购进的，购买价为2000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为2300元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库库存粮食为50吨？26.一串数：1121123211234321,,,,,,,,,,,,,,,1222333334444444------……根据以上规律：(1)请问：20132014是这一串数中的第几个数？(2)请问：这组数中的第2014个数是多少？27.考察下列一串有规律的数.（横排为行）根据上面的规律，解答下列问题： （1）第10行最后一个数是多少？（2）2015是第几行第几个数？（3）用n S 表示第n 行的所有数的和.观察1S 、2S 、3S ……，根据规律猜想n S 为多少？（用含n 的代数式表示，n 为正整数）；(4)第n 行第m 个数是多少？用含m 、n 的代数式表示. (29272523211917151311)97531第2讲 有理数（2）1.有理数(2)--，(2)-+，(2)+-，2--，2+-，a -中，一定是负数的个数是（ ） A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中： （1）a b c <<；（2）0c >；（3）a c =；（4）0a <正确的是（ ）A .(1)(2)(3)B .(2)(3)(4)C .(1)D .(1)(4)3.下列说法：①若a 、b 互为相反数，则0a b +=；②若a b =-，则a 、b 互为相反数；③若a 、b 互为相反数，则1ab=-；④若a b =，则a 、b 互为相反数.其中正确的结论是（ ） A .②③④ B .①②③ C .①②④ D .①②4.给出下列结论：①一个数的3倍大于这个数.②绝对值最小的数是0. ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ④如果a a =，那么0a >.其中正确的个数为（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5.a 、b 是有理数，若3,4a b ==，则a b +=（ ）A . 1或7-B . 1-或7-C .1或7D . 1,7,17--或 6.若a 为有理数，则a --是（ ）A .正数B .负数C .非正数D .非负数 7.数轴上的点A 、B 分别表示12-和13，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）A .512 B .112 C . 112- D . 16- 8.观察下面按次序排列的一组数，并按要求填空. 2,4,6,8,10,--______,_______,……，则第50个数是______________.9.若257x -=，则x 的值为____________;若4x -=-，则x ＝_________.10.已知A 、B 为数轴上两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为_______. 11.已知0,0,a b a b <>>，试用""<将a a b 、b 、-、-连接起来_____________________.12.一个数在数轴上对应的点先向右移动3个单位，再向左移动7个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是___________.13.已知，在数轴上，Ａ点到原点的距离为３，P 点到A 点的距离为2，画出数轴并在数轴上直接标出Ｐ点所对应的数．14.已知，x 和212x -互为相反数.求x 的值.15.已知，x 与14互为倒数，y 的相反数是3-，50a -=，求x y a ++的值.16.若x 与2y -互为相反数，y 与z 互为倒数.m 是绝对值最小的数，求式子2243x y yz m -+-+的值.17.若a 是有理数，在a -与a 之间有2015个整数，求a 取值范围.18.若0,0,m n <>且m n >，试比较,,,m n m n n m ----的大小，并用“＞”号连接.dc ba19.某洗衣厂上月生产了30000 袋洗衣粉，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽取了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“＋”和“”,记录如下：(2) 通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？(3)厂家规定超过或不足的部分大于5克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？20.出租车司机小李某天下午从客运站出发后，所有营运都是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这一天下午的行车情况如下（单位：千米）15,3,11,11,10,4,12,15,18,16+-+-++---+.根据记录，解答下列问题：（1）小李将最后一名乘客送到目的地时，他的位置在那？（2）若在出车前油箱内有10升油，汽车每千米的耗油量为0.08升，试问：小李将最后一名乘客送到目的地时，油箱内的余油量为多少？21.给出下列数阵（3） 如图，框出四个数请你用一个等式表示a 、b 、c 、d 四者的关系；（3）是否存在上述四数之和为①414；②10？若存在，请求出四个数；若不存在请说明理由.，B点对应的数为100.22.已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为30（1）请写出AB中点M对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁Ｐ从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应点数是多少吗?请求出来.（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，另一只电子蚂蚁Ｑ恰好同时从A点出发，以3单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？请求出来.23. 已知，数轴上点Ａ在原点左边，到原点的距离为８，Ｂ在原点的右边，从Ａ走到Ｂ，要经过32个单位长度.（1）求Ａ、Ｂ两点所对应的数.（2）若点Ｃ也是数轴上的点，Ｃ到Ｂ的距离是Ｃ到原点的距离的３倍，求Ｃ对应的数．（３）已知，Ｍ从Ａ向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时Ｎ从Ｂ向右出发，速度为每秒2个单位长度，设ＮＯ的中点为Ｐ，则下列结论：①ＰＯ＋ＡＭ的值不变；②ＰＯ ＡＭ的值变化，其中只有一个是正确的，请选出并求出其值或说明理由.第3讲 有理数(3)知识理解1、下列各组数中，互为相反数的一组是 ( )A 、＋ (－2)和－( ＋ 2)B 、－|－2|和－| ＋ 2|C 、－(－2)和－|－2|D 、－( ＋ 2)和－| ＋ 2|2、数轴上的点A 、B 分别表示－2和3，则线段AB 的中点所表示的数是 ( ) A 、12 B 、12- C 、52- D 、523、已知a 、b 互为相反数，下列各式中成立的是 ( )A 、ab ＜0B 、a －|b |＝0C 、|a －b |＝|a | ＋ |b |D 、a ÷b ＝－1 4、a ， b 是有理数，若|a |＝2， |b |＝3，则|a ＋ b |＝ ( )A 、5B 、1C 、1或5D 、1，5，－1或－5 5、若|－x |＝4， |y |＝2，且x ＞y ，则xy 的值是 ( )A 、－8B 、8C 、－8或8D 、以上答案都不对 6、若a ＞0， b ＜0 ，化简3|||2|a b a b +-+得 ( )A 、bB 、5bC 、2a ＋ bD 、2a ＋ 5b7、一艘潜水艇的高度为－40米，如果它再下滑30米，则它这时所在的高度为__________.8、若|－x |＝2，则x ＝___________；若|x －3|＝0，则x ＝__________；若|x －3|＝1，则x ＝__________. 9、实数a ， b 在数轴上位置如图所示，则|a |， |b | 的大小关系是___________.10、比较下列各组有理数的大小：(1)－0.6________－60 (2) －3.8________－3.9 (3) 0________|－2| (4)34______45-- 11、绝对值小于122的所有整数为_____________，绝对值小于3的整数是__________. 12、已知|a |＝1，|b |＝2，且a ， b 异号，则3a ＋ b ＝__________.13、若|a |＝4，|b |＝3，且|a |＝－a ，则2a ＋ b ＝____________________. 输入 (1)2345…… 输出……13 26 311 418 527……当输入的数为10时，输出的数为___________.方法运用15、已知|a |＝|b |＝9，|a |＝2，求b 的值.16、已知a ＝3，|b |＝2，|c |＝1，且a ＜b ＜c ，求a ， b ， c 的值.17、已知|x |＝2003，|y |＝2002，且x ＞0 ，y ＜0，求x ＋y 的值.18、已知|x ＋y ＋3|＝0，求|x ＋y | 的值.19、|2||3||4|0a b c -+-+-=，求a ＋2b ＋3c 的值.20、如果a ， b 互为相反数，c ， d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式2a bx cd x+++的值.21、已知|a |＝3， |b |＝5， a 与b 异号，求|a －b |的值.22、已知|a ＋1|与|b －2|互为相反数，求式子()||a b a a ---的值.23、若2、2、5和a 的平均数是5，而3、4、5、a 和b 的平均数也是5， (1) 求a ， b ；(2) 若|c |＝－c ， 求||||c a b c ---的值.实际应用24、某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L 误差，现抽查6瓶食请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？综合思考25、在标有6，12，18，24，30……的卡片中，小明拿了相邻的3张.（1）若相邻的3张数字之和为342，求这3张卡片上各自的数字？（2）你能拿到数码相邻的3张卡片，使其上数字之和是86吗？试说明理由？26、有理数a，b，c，d在数轴上如图所示：①在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中4个，且在数轴上位置如图所示，如果3a＝4b－3，求c＋2d的值；②在数轴上，N点与原点的距离是N与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？27、有若干个数，123,,,n a a a a ，若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”(1) =1a =2a (2) 求91011a a a ⋅⋅的值；(3) 是否存在M 的值，使111()n n n M a a a a -+÷⋅⋅=？若存在，请求出M 的值.第4讲 有理数(4)知识理解1、若2-=a ，24,0b ab =>，则||a b +＝( ) A 、0 B 、4 C 、－4 D 、0或4 2、若20,0a b a -><，下列各式中成立的是( )A 、2a b ＞0B 、0a b +>C 、20a ab +> D 、20ba > 3、若a ＜0，则下列各式不成立的是( )A 、22()a a =-B 、22()a a =-- C 、 22||a a =- D 、23||a a =-4、已知1234a b c d -=+=-=+，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( ) A 、d b a c >>> B 、a c b d >>> C 、c a d b >>> D 、c b a d >>>5、已知0,0a b ab +=≠，则化简(1)(1)b aa b a b+++得 ( ) A 、2a B 、 2b C 、2 D 、－2 6、若a 、b 、c 为正整数，且23108ab c =，则a ＋ b ＋ c 的最大值为 ( ) A 、6 B 、32 C 、40 D 、1107、有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图所示，则 ( )A 、0a b +<B 、0a b +>C 、0a b -=D 、0a b -> 8、计算1110(2)(2)-+-的值是 ( )A 、－2B 、(－2)21C 、0D 、－210 9、下列各式中正确的是 ( )A 、22()a a =- B 、33()a a =- C 、22||a a -=- D 、33||a a = 10、若(x ＋ 3)2与|y －5|互为相反数，则x ＋ y 的值为__________. 11、瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出接下来的两个数据是___________.12、在数－5、1，－3、5、－2中任取三个数相乘，其中最大的积是__________，最小的积是__________. 13、A 、B 两点在数轴上对应的数分别是－4，2，点P 到点B 的距离是点P 到点A 距离的2倍，则P 点在数轴上表示的数是__________.14、已知数m 小于它的相反数且数轴上表示数m 的点与原点的相距3个单位的长度，将该点m 向右移动5个单位长度后，得到的数是___________. 15、观察下列数列，找出规律后，写出数列下一项：0，3，－3，9，－15，33，－63，_____________________. 16、如果x －y ＝5，则|2－x ＋ y |＝__________；如果4 ＋ x ＋ y ＝0，那么－x ＋ 3－y ＝___________. 17、若a ＋ b ＜0，则||||||a b ab a b ab++＝___________. 方法运用18、如果规定符号“*”的意义是*aba b a b=+求2*(－3)*4的值.19、已知2|1|4,(2)4x y +=+=，求x ＋ y 的值.20、若a ， b ， c 均为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||a c c b b a -+-+-的值.21、如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，已知点A 、B 是数轴上的点，完成下列各题：（1）如果点A 表示数－3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（2）如果点A 表示数是3，将点A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是__________．（3）一般地，如果点A 表示数为a ，将点A 向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示的数是__________，A 、B 两点间的距离是．__________22、同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2的差的绝对值，实际上也可理解5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5－（－2）|＝____________．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋ 5| ＋ |x －2|＝7成立的整数是______________．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x －3| ＋ |x －6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．实际应用23、七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作0，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 ＋ 10，－15，0， ＋ 20，－2，问这五位同学的实际成绩分别是多少分？24、已知水结成冰的温度是00C ，酒精冻结的温度是－1170C ，现有一杯酒精的温度为120C ，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低1.60C ，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？(精确到0.1分钟)25、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：（1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？综合思考26、已知：a ， b ，c 在数轴上的位置如图所示.0b a1(1)填空：a 、b 之间的距离为___________；b 、 c 之间的距离为___________；a 、c 之间的距离是__________.(2)化简|1||||1|a c b b +--+-(3)若0a b c ++=且b 与－1的距离和a 与－1的距离相等，求22(4)c b a c a b -+----的值.27、已知数轴上两点A、B对应的数为－1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，(1) 用x的式子表示线段P A、PB的长度；(2) 数轴上是否存在点P，使P A＋PB＝5？请求出x的值；若不存在，请说明理由.28、观察下面三行数：3，－9，27，－81，243，－729，…；①6，－6，30，－78，246，－726，…；②1，－3，，9，－27，81，－243，…；③(4)第①行按什么规律排列？(5)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(6)写出每行第9个数，共计算这三个数的和.(7)第②行中是否存在连续的三个数，使得这三个数的和为－5094？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由；(5)是否存在一列数，使得其中的三个数的和为5106？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由.第5讲 整式（1）知识理解1.下列各式：－n ，a ＋b ，3ab ，x －1，3ab ，1x，其中单项式的个数是（ ）. A.2 B.3 C.4 D.52.下列各式：2＋x 2、2x 、xy 2、3x 2＋2x －1、abc 、1－2y 、3x y-中，其中多项式的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.53. 若743x a b +与yba 24-是同类项，则y x 的值为（ ）A.9B.－9C.4 D －4. 4.已知－x ＋3y ＝5，则25(3)8(3)5x y x y ----的值是（ ） A.160 B.80 C.－170D.－905.三个有理数a ，b ，c 两两不等，那么a b b c--，b c c a --，c aa b --中负数的个数是 （ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.不能确定6. 已经a ＜－b ，且0ab>，化简|a |－|b |＋|a ＋b |＋|ab |＝（ ）.A.2a ＋2b ＋abB.－abC.－2a －2b ＋abD.－2a ＋ab7.已知535y ax bx cx =++-，当x ＝－3时，y ＝7，那么当x ＝3时，y ＝（ ）. A.－17 B.－7 C.－3 D.78.减去－3x 等于 2535x x --的代数式是（ ）.A. 255x -B. 2565x x --C. 2565x x --+D. 255x -+9.若关于x 、y 的多项式y bxy x x xy ax +--++222不含二次项，则5a －8b 的值为（ ）.A.－11B.21C.－21D.11 10.若3k x y 与2x y -是同类项，那么k ＝___________. 11.若32x a b 与yb a 43-是同类项，那么x ＋y ＝____________.12. 当x ＝____________时，||23x a 和42a -是同类项.13.如果2(5)b a mn +-是关于m 、n 的一个五次单项式，那么a _______，b ＝_________.14.如果a 、b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求代数式2a bx cd x+-+＝ ____________. 15. 三角形的第一边长为(a ＋b )，第二边比第一边长(a －5)，第三边长为2b ，那么这个三角形的周长是____________.16. 已知多项式：876253a a b a b a b -+-+…，按此规律写下去，这个多项式的第八项是____________.17.有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，其中某三个相邻数的和是－1701，那么这三个数中最小的数是 ____________.方法运用18.已知123a b x y +-与225x y 是同类项，求2221232a b a b a b +-的值19.若单项式84a b x y +与单项式239b a b x y -的和仍是一个单项式，求这两个单项式的和.20.化简求值：)]4(3[25222b a ab abc b a abc --+-其中a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的负整数，|c |＝18，且abc ＞0.21.已知s ＋t ＝21，3m －2n ＝9，求多项式(2s ＋9m )＋[－(6n －2t )]的值.22.化简求值：22225[4(31)3]x x x x -----，其中32x =-23.已知x －y ＝0，求3223x x y xy y --+的值.24.已知A ＝2x 2－3xy ＋2y 2，B ＝2x 2＋xy －3y 2，求3A －B 的值.25.a 、b 是有理数，|a |＝b ，|ab |＋ab ＝0，化简：|a |＋|－2b |－|3b －2a |.26.已知A ＝3m 2－4m ＋5，B ＝3m －2＋5m 2，且A －2B －C ＝0，求多项式C .实际应用分每吨收取较高的定额费用，已知今年7月张家用水量与李家用水量的比是2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么超出5吨部分的收费标准是每吨多少元？28. 张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内的全部按全票价的6折优惠.”若全票价为240元.设学生人数为x ，甲旅行社的收费记为y 甲，乙旅行社的收费记为y 乙. (1) 分别用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；(2) 若学生有200人，那么买哪个旅行社的票合算，为什么？综合思考29.若x 3＋x 2＋x ＝－1，求多项式x 2012＋x 2011＋…＋x 2＋x ＋1的值.30.观察下列数阵：(1) 观察以上数阵的变化规律，猜想第11行第4个数是 . (2) 第n 行第m 个数是 .(3) 请猜想第2015行正中间的数是 . (4) 求第100行所有数的和.31.a 、b 为有理数，且a ＋b 、a －b 在数轴上如图所示： (1) 判断a 、b 的符号及a 、b 的大小关系；(2) 若x ＝|2a ＋b |－3|b |－|3－2a |＋2|b －1|，求代数式x 2－6x ＋9的值； (3) 若c 为有理数，且345a b c==，ab ＋bc ＋ca ＝188，求代数式(a －b ＋c )2－abc 的值. a-b a+b O第6讲 整式（2）知识理解1.前年我国城镇固定资产投资为7509600元，用科学记数法表示为（ ）.（保留三个有效数字）A.7.51×107元B. 7.50×107元C. 7.51×106元D. 7.50×106元2.下列各式：－2；3x -；3x ；m ＋n ；－a 2b ；35xy-中，单项式的个数有（ ）. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.下列式子0、2mn 、 13x +、48a 2b 、1－x 、x 2＋2x ＋1、15xy -、3x 其中单项式共有（ ）.A.3个B.4个C.5个D.6个 4.下列合并同类项运算，结果正确的是 （ ）.5.下列各组数是同类项的是（ ）.A.x 2y 和xy 2B.3ab 和－abcC.2x 和12D.0和－5 6.下列说法：①2与－2是同类项；②2ab 与－3abc 是同类项；③3x 5与5x 3是同类项；正确的个数有 （ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.下列说法：①若1ab=-，则a ，b 互为相反数；②若a ＋b ＜0，ab ＞0，则|a －2b |＝2b －a ；③若m ＞n ，则m 2＞n 2；④一个数的倒数是它本身，则这个数是0和±1；⑤近似数1.80的有效数字是1、8、0；⑥－23ab 2的次数为6.其中正确说法的个数是 （ ）.A.2个B.3个C.4个D.5个8.下列结论：①若，则a 、b 互为相反数；②若|a |＞|b |，则a ≠b ；③多项式－22x 3y 3＋3x 2y 2－2xy －x ＋1的次数是6次；④若|x －6|＝|y －6|，且x ＞y ，则x ＋y ＝12；⑤1.60×106的有效数字有7个；⑥若一个数的倒数等于它的平方，则这个数为±1；其中正确的个数有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.写一个系数为负数，含三个字母的四次单项式为 .10.单项式－3x 3y 的次数是 ；单项式25ab-的系数是 . 11.单项式－6a 5b 2c 的系数是 ；它的次数是 .12.多项式－x 3y 2＋3x 2y 4－2xy 2的次数是 .13.三峡工程是具有防洪、发电、航运、养殖、供水等巨大综合利用效益的特大水利水电工程，其防洪库容量约为22150000000m 3，这个数用科学记数法可表示为 . 14.已知2a 3b 4与－3a 2m b n 是同类型，则m －n ＝ . 15.如果16a 3m ＋n b n 与6378a b -是同类型，则m －n ＝ . 16.去括号－2(3x ＋y －2z )＝ .17.如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有 个正方形.方法运用18.先化简再求值：(x 2y －2y 2－xy －1)－(2xy ＋4x 2y －y 2)＋3，其中x ＝－1，y ＝－2.19.先化简再求值：(4x －2y 2)－[5x －(x －y 2)]－x ，其中x ＝－2，y ＝31.20.(1)根据条件列式：a 的2倍与b 的和减去b 的平方与a 的 半的差； (2) 在(1)的条件下，若a ＝－4，b ＝3，求上式的值.21.已知A ＝x 3＋2y 3－xy －3，B ＝－y 3＋x 3＋2xy ＋1，且2A －M ＝B ，求M .(8) 已知，A ＝2x 2－3xy ；B ＝2x 2＋xy －5，若M ＋B ＝2A ，求M .23.已知M ＝x －13y 2，N ＝－32x ＋12y 2－1. (1) 化简3M －2N . (2) 若|x －2|＝－(y －1)2，求－2N ＋3M 的值.实际应用24.某个体水果店经营某种水果，每千克进价2.80元，售价4.50元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表：(1) 若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为 kg ；(2) 就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ (3) 10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？25.国庆节即将来临，张华高兴地看着2014年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a 、b 、c 、d 、k ，如图：试回答下列问题： (1) 此日历中能画出 个十字框？ (2) 若a ＋b ＋c ＋d ＝76，求k 的值.(3) 是否存在k26.数轴上，A 点表示的数为10，B 点表示的数为－6，A 点运动的速度为4单位/秒，B 点运动速度为2单位/秒.(1) B 点先向右运动2秒，A 点再开始向左运动，当它们在C 点相遇时，求C 点表示的数；(2) A 、B 两点都向左运动，B 点先运动2秒时，A 点于开始运动，当A 点到原点的距离和B 点到原点的距离相等时，求A 点运动的时间； k dcba10(3) A、B两点都向左运动，B先运动2秒，A再运动t秒时，求A、B两点之间的距离.第7讲 一元一次方程知识理解1、下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）A 、如果b a =，那么33+=+b aB 、如果b a =，那么33-=-b aC 、如果b a =，那么a a 32= D 、如果a a 32=，那么3=a2、下列方程中：①312+=-x x ；②21=-x ；③123222=+；④3-x ；⑤6=+y x .其中是一元一次方程的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、已知方程x m x 743-=+的解为1=x ，则m 的值为（ ） A 、- 2 B 、- 5 C 、6 D 、- 64、若y x =，下列各式中：①33-=-y x ；②55+=+y x ；③88-=-y x ；④y x x +=2；其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、下列等式变形：①如果y x =，那么ay ax = B ；②如果y x =，那么a y a x =；③如果ay ax =，那么y x = ；④如果a y a x =，那么y x =.其中正确的是（ ）A 、③④B 、①②C 、①④D 、②③6、下列说法：①在等式42=x 两边都加上2，可得等式64=x ；②在等式42=x 两边都减去2，可得等式2=x ；③在等式42=x 两边都乘以21，等式变为2=x ；④等式两边都除以同一个数，等式仍然成立.其中正确的说法有（ ）7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、已知a 是任意有理数，在下面各题：（1）方程0=ax 的解是1=x ；（2）方程a ax =的解是1=x ；（3）方程1=ax 的解是ax 1=；（4）方程a x a =的解是1±=x .其中结论正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、如果652=-x ，那么_________2=x ，其中依据是__________________________.10、若方程()0122=+++c bx x a 是关于x 的一元一次方程，则字母系数a 、b 、c 满足的条件是_____________________________.方法运用11、解方程：（1）23141x x x --=--； （2）214311--=++x x x ；（3）()x x x =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1151321 ； （4）121103121412+--=-+x x x ；12、已知1=x 是方程()x x a 2312=--的解，那么关于x 的方程()()3225-=--x a x a 的解是多少？13、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？14、若a 、b 为定值，关于x 的方程6232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，此方程的解总是1=x ，求a 、b 的值.15、小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，数学老师在黑板上写了一个关于x 的一元一次方程：69312k x x a kx +--=--，方程中的常数a 老师已给出，但常数k 老师却未写出.数学老师让小组中的60名学生每人自己想好一个值()3≠k ，然后代入方程中，在解出方程.小明想了一个k 值后，很快解出了方程的解，他惊奇地发现，全班同学的答案竟然是一模一样，你能告诉小明这是什么原因吗？你知道题中老师给出的a 是多少吗？方程的解是多少吗？16、已知方程423523-=-x x （1）求方程的解；（2）若上述方程与关于x 的方程()a a x a 2383-+=+是同解方程，求a 的值；（3）在（2）的条件下，a 、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求()2005c b a ++17、已知2=x 是关于x 的方程c b ax =+的解.（1）求()200312--+c b a （2）求ba c 2410+的值； （3）解关于x 的方程()()0242≠++=+cb ac x b a .18、已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数位-200，B 点对应的数位为- 20 ，C 点对应的数为40.甲从C 出发，以6单位/秒的速度向左运动.（1）当甲在B 点、C 点之间运动，设运动时间为x 秒，请用x 的代数式表示；甲到A 点的距离：____________________；甲到B 点的距离：____________________；甲到C 点的距离：____________________；（2）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两人在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数；（3）当甲运动到B 点时，乙恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向左运动，设两人在数轴上的E 点相遇，求E 点对应的数.19、数轴上A 、B （A 左B 右）所对应的数为a 、b ，()01052=-++b a ，C 为数轴上一动点且对应的数位c ，O 为原点.（1）若2=BC ，求c 的值.（2）是否存在一点C使得CB=2CA，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.（3）是否存在一点C使得CA+CB=21，若存在求出对应的数位c，不存在说明理由.第8讲 一元一次方程（2）一、基础知识1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值.2、讨论12=x 是不是方程14732+=x x 的解.3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值.4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子mm m 122+-的值.5、已知方程()0243=+--a xa 是关于x 的一元一次方程，求a 的值.6、如果关于x 的方程06365=+-k x是一元一次方程，求k 的值.7、关于x 的方程()()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值.8、方程432-=+x m x 与方程626-=-x 的解相同，求m 的值.9、已知：关于x 的方程1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值.10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值.11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232=--+的解互为倒数，求k 的值.13、当4=x 时，式子a x ax A 642--=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？二、列方程解应用题（行程问题和工程问题）15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？（2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，恰好完成这项工作的43，怎样安排参与整理货物的具体人数？19、北京市为了能够成功举办2008年奥运会，市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务，其中一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲、乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？三、方案选择20、一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后，剩余 工程有乙工程队独做完成，求工程所需的总费用是多少元？（2）由于场地限制，两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计公付工程总费用1500元，你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗？（3）为了保证工程质量，工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督，每天需付给质检员工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工，使工程所需的总费用最少？。

装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

第二讲 讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数123456,,,,,x x x x x x ．同时满足2345611x x x x x x =，3456122x x x x x x =，4561233x x x x xx =，5612344x x x x x x =，6123456x x x x x x =，1234569x x x x xx =，则123456x x x x x x +++++的值是多少？ 若将六式左右分别相乘得44123456()6x x x x x x =，因此1234566x x x x x x =，将已知式分别代入上式可得61=x ，32=x ，23=x ，264=x ，15=x ，366=x ．所以6611321654321+++=+++++x x x x x x 视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】 1.对称多项式观察a b c ++，ab bc ca ++，333333a b c ab bc ca ++---，222222a b b c c a ab bc ca +++++等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式（简称对称式）.上述四个式子也可分别称为三元对称多项式，又如444()x x y y +++是二元对称多项式． 2.轮换对称多项式一个关于x 、y 、z…、w 的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换（如把x 换成y ，y 换成z ，w 换成x ），多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式（简称轮换式）.例如222x y y z z x ++，(a －b ＋c )( b －c ＋a )( c －a ＋b )都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式，如：222x y y z z x ++是轮换式，但因互换x 、y 得到的是222y x x z z y ++已不是原式，所以原式不是对称式．同样对(b －c )(c －a )(a －b )也是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式．但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式． 3.对称式的性质（1）关于x 、y 的对称式总可以用x ＋y 和xy 来表示． （2）两个对称式的和、差、积、商也是对称式 （3）齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式．4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待定系数法．一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1 已知4xy x y --=，则22222(1)22622xy x y xy x y xy x y ---+++--的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x 、y 的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x ＋y 和xy 来表示，先化简后再求值. 解 设x ＋y ＝u ，xy ＝v ，由题设得v －u ＝4，则原式＝22(1)2()()262()xy xy x y x y xy xy x y ⎡⎤--+++-+-+⎣⎦＝(v －1)2－2vu ＋u 2－2v ＋6v －2u ＝v 2－2vu ＋u 2＋2v －2u ＋1 ＝(v －u ＋1)2＝25．点评：对称换元有利于简化解题过程．例2 计算：(x ＋y ＋z )(xy ＋yz ＋zx )．解析 因为x ＋y ＋z 和xy ＋yz ＋zx 都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式．因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写出其余各项．解：∵x (xy ＋yz ＋zx )＝x 2y ＋xyz ＋zx 2，∴原式＝x 2y ＋xyz ＋zx 2＋y 2z ＋yzx ＋xy 2＋z 2x ＋zxy ＋yz 2＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x ＋xy 2＋yz 2＋zx 2＋3xyz ．点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的其他，这样解题就会既简明又准确．二、对称式的因式分解例3 分解因式：x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y )．解析 这是一个关于x 、y 、z 的四次齐次轮换对称式，当x ＝y 时，原式的值为零，根据余式定理知x －y 是它的一个因式．由轮换对称的性质知y －z 和z －x 也是它的因式．因为(x －y )(y －z )(z －x )是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为k (x ＋y ＋z )，从而有x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝k (x ＋y ＋z )(x －y )(y －x )(z －x )． 取x ＝2，y ＝1，z ＝0，得k ＝－1． ∴x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝－(x ＋y ＋z )(x －y )(y －z )(z －x ) ．点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法．例4 把x 4＋(x ＋y )4＋y 4分解因式．解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x＋y、xy表示出来再进行分解．解：x4＋(x＋y)4＋y4＝(x4＋y4)＋(x＋y)4＝(x2＋y2)2－2x2y2＋(x＋y)4＝[(x＋y)2－2xy]2－2x2y2＋(x＋y)4＝2(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2x2y2＝2[(x＋y)2－xy]2＝2(x2＋xy＋y2)2．点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x＋y、xy表示出来，对于给定的对称式，往往是寻求这种具体表示方法．在解决本题时；实际可以直接由(x＋y)4的展开形式，直接将x4＋y4用x＋y、xy来表示，即x4＋y4＝(x＋y)4－4x3y－6x2y2－4xy3＝(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2(xy)2．例5分解因式：(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5．解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式，若在原多项式中令x＝y，则原式＝(x－z)5＋(z－x)5＝0．根据因式定理，则x－y是原式的一个因式，于是y －z、z－x也是它的因式．解：因为当x＝y时，(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5＝0，所以原多项式有因式(x－y)(y－z)(z－x)．由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝(x－y)(y－z)(z－x)[a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)] ①其中a、b是待定系数．取x＝1，y＝－1，z＝0代入①式得2a－b＝15．②取x＝2，y＝1，z＝0代人①式得5a＋2b＝15．③将②、③两式联立解得a＝5，b＝－5．所以(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝5(x－y)(y－z)(z－x)(x2＋y2＋z2－xy－yx－zx)．点评：在解本题的过程中，设了一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)，若不是这种形式，不妨设为x²－y2＋z2，由轮换式，就会有另两个因式y²－z2＋x2及z²－x2＋y2，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yz＋zx)．也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数＜3，则也一定为对称多项式．三、综合应用例6已知a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，求证：a3＋b3＋c3－a(b－c)2－b(c－a)2－c(a－b)2－4abc＜0．解析 要证明多项式的值小于0，可先将它分解因式，只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定．证明：设T ＝a 3＋b 3＋c 3－a (b －c )2－b (c －a )2－c (a －b )2－4abc ． 把该多项式看作是关于a 的3次多项式，令a ＝b ＋c ， 则T ＝(b ＋c )3＋b 3＋c 3－(b ＋c )(b －c )2－b 3－c 3－4(b ＋c )bc ＝2(b 3＋c 3)＋3b 2c ＋3bc 2－2(b 3＋c 3)＋b 2c ＋bc 2－4b 2c －4bc 2 ＝0．由因式定理知，a －(b ＋c )是T 的一个因式．又由于T 是一个轮换对称式，于是b －(c ＋a )，c －(a ＋b )也是T 的因式，因为T 是关于a 、b 、c 的3次式，所以可设T ＝k (a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )．比较两边a 3的系数可得k ＝1． 故T ＝(a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )． 根据题意 a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ． 则有c －a －b ＜0，a －b －c ＜0，b －a －c ＜0． 所以T ＜0．即原不等式成立．例7 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a b ab -+＋1b c bc -+＋1c aca-+＝0，试判断△ABC 的形状． 解析 已知等式去分母，得(a －b )(1＋bc )(1＋ca )＋(b －c )(1＋ca )(1＋ab )＋(c －a )(1＋ab )(1＋bc )＝0．上式的左边是关于a 、b 、c 的轮换对称式，把(a －b )(1＋bc )(1＋ca )展开、整理，得a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2．根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项．由此，上式可写为a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2＋b －c －c 2a ＋ab 2＋b 2ca 2－bc 2a 2＋c －a －a 2b ＋bc 2＋c 2ab 2－ca 2b 2＝0． 整理，得ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝0． 设M ＝ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ．当a ＝b 时，M ＝0，由因式定理知a －b 是M 的一个因式．而M 是关于a 、b 、c 的三次齐次轮换对称式，故M 含有因式(a －b )(b －c )(c －a )．又(a －b )(b －c )(c －a )也是三次齐次轮换对称式，则M 还应有一个常因子，于是可设ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝k (a －b )(b －c )(c －a )． 取a ＝2，b ＝1，c ＝0，得k ＝1． ∴M ＝(a －b )(b －c )(c －a )＝0．∴a ＝b 或b ＝c 或c ＝a ，即a 、b 、c 中至少有两个相等． 故△ABC 必为等腰三角形． 好题妙解】佳题新题品味例分解因式x3(x＋1)(y－z)＋y3(y＋1)(z－x)＋z3(z＋1)(x－y)．解析由于原式是x，y，z的轮换式但不是齐次式，所以当求得(y－z)(z－x)(x－y)的因式后，剩下的因式是A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D．解：当y＝z时，原式＝0．∴y－z是原式的一个因式．设原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D]．由于原式最低为四次项，∴D＝0．∴原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)]．令x＝l，y＝－1，z＝0得2A－B＝－1；①令x＝－1，y＝0，z＝2得5A－2B＋C＝－4；②令x＝1；y＝－1，z＝2得6A－B＋2C＝－7．③解①，②，③组成的方程组，得A＝B＝C＝－1．故原式＝－(y－z)(z－x)(x－y)(x2＋y2＋z2＋yz＋zx＋xy＋x＋y＋z)．中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1．解析关于x，y的对称式可用含x＋y，x－y，xy的式子表示，考虑分组．解：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1＝－(9x2－18xy＋9y2)＋(6x－6y)－1＝－[9(x2－2xy＋y2)－6(x－y)＋1]＝－[9(x－y)2－2×3(x－y)＋1]＝－[3(x－y)－1]2＝－(3x－3y－1)2．竞赛样题展示例分解因式(a＋b＋c)5－a5－b5－c5．解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找出与它同类型的另两个因式．如果在多项式中令a＝－b，则原式＝c5－c5＝0，根据因式定理，则a＋b是原式的一个因式，于是(b＋c)、(c ＋a)也是它的因式．解：因为当a＝－b时，(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝0，所以原式有因式(a＋b)(b＋c)(c＋a)．由于原式是5次对称多项式，根据其特点，可设(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝(a＋b)(b＋c)(c＋a)[k(a2＋b2＋c2)＋m(ab＋bc＋ca)]．①其中k、m是有待确定的系数．令a＝1，b＝1，c＝0，代人①式得30＝2(2k＋m)，即2k＋m＝15．又令a＝0，b＝1，c＝2，代人①式得210＝6(5k＋2m)，即5k＋2m＝35．由此解得k＝5，m＝5．所以(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝5(a＋b)(b＋c)(c＋a)(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待定系数法确定剩下的其他因式．过关检测】A级1．在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )①3x＋2y＋z②x2＋y3＋z4＋x4y3z2③xy2＋y2z3＋z3x④x3＋y3＋z3－x2－y2－z2A．0个B．1个C．2个D．3个2．若x2y＋xy2＋y2z＋yz2＋z2x＋zx2＋3xyz＝k(x＋y＋z)(xy＋yz＋zx)，则k的值是( )A．12B．1 C．3 D．－13．设α＝x1＋x2＋x3，β＝x1x2＋x2x3＋x3x1，γ＝x1x2x3，用α、β、γ表示出x13＋x23＋x33的结果是( ) A．3α－3αβ＋3γB．3β－3αγ＋3γC．3α＋3αβ－3γD．3β－3αβ＋3γ4．分解因式：xy(x2－y2)＋yz(y2－z2)＋zx(z2－x2)．5．分解因式：x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)－(x3＋y3＋z3)－2xyz．6．化简：a(b＋c－a)2＋b(c＋a－b)2＋c(a＋b－c)2＋(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)．7．已知a＋b＋c＋d＝0，a3＋b3＋c3＋d3＝3．(1)求证：(a＋b)3＋(c＋d)3＝0；(2)求证：ab(c＋d)＋cd(a＋b)＝1．B 级1．若()()xyx z y z ++＋()()yz y x z x ++＋()()zx z y x y ++＝1，则x 、y 、x 的取值情况是( )A ．全为零B ．只有两个为零C ．只有一个为零D ．全不为零 2．已知a 、b 、c 均为正数，设p ＝a ＋b ＋c ，q ＝bc a ＋ca b ＋abc，则p 与q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q 3．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，则x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值等于 ．4．如图2-1，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上二数之和都相等．如果13、9、3的对面的数分别是a 、b 、c ，试求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值，3913图2-15．分解因式：(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )＋xyz ．6．分解因式：a 3(a ＋1)(b －c )＋b 3(b ＋1)(c －a )＋c 3(c ＋1)(a －b )．。

学⽽思七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优-绝对经典）第1讲与有理数有关的概念考点·⽅法·破译1．了解负数的产⽣过程，能够⽤正、负数表⽰具有相反意义的量. 2．会进⾏有理的分类，体会并运⽤数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会⽤数轴⽐较两个有理数的⼤⼩，会求⼀个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7⽶⑵收⼈－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】⽤正、负数表⽰实际问题中具有相反意义的量．⽽相反意义的量包合两个要素：⼀是它们的意义相反．⼆是它们具有数量．⽽且必须是同类两，如“向前与⾃后、收⼊与⽀出、增加与减少等等”解：⑴向前－7⽶表⽰向后7⽶⑵收⼊－50元表⽰⽀出50元⑶体重增加－3千克表⽰体重减⼩3千克.【变式题组】01．如果＋10%表⽰增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（⾦华）如果＋3吨表⽰运⼊仓库的⼤⽶吨数，那么运出5吨⼤⽶表⽰为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（⼭西）北京与纽约的时差－13（负号表⽰同⼀时刻纽约时间⽐北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限⼩数和⽆限循环⼩数，因为π＝3.1415926…是⽆限不循环⼩数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是⽆限循环⼩数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】02．（河北秦皇岛）请把下列各数填⼊图中适当位置 15，－1，2，－13，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有⼀列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2017个数是 .【解法指导】从⼀系列的数中发现规律，⾸先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进⾏验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分⼦部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2017个数的分⼦也是1．分母是2017，并且是⼀个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第⼀个数是3＝2 ＋1，第⼆个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四⼗数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了⼀种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有⼀组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2017年河北张家⼝）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和⼏何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.⼏何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表⽰的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ．－5 D ．－1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为⼀个正⽅体纸盒的展开图，若在其中的三个正⽅形A 、B 、C 内分别填⼈适当的数，使得它们折成正⽅体.若相对的⾯上的两个数互为相反数，则填⼈正⽅形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ．－ 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ．－2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的⼤⼩顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的⼏何意义：⼀个数的绝对值就是数轴上表⽰a 的点到原点的距离,即|a|,⽤式⼦表⽰=??-标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b ，其中正确的个数为（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运⽤，因为任何有理数a 的绝对值都是⾮负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.⽽两个⾮负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，⼜|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从⽽把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，⽽(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ①⼜∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a≤x≤96,求y 的最⼤值. 演练巩固·反馈提⾼ 01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ．－6C ． 16D ．－1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若⼀个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表⽰互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )06．若－a 不是负数，则a( )A ．是正数B ．不是负数C ．是负数D ．不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所⽰,则a 、b ，－a ，|b|的⼤⼩关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－a09．⼀个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____. 10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表⽰为1、a 、a ＋b 也可以表⽰成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有⾮负性，也有最⼩值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最⼩值，如果有，求出最⼩值；如果没有，说明理由.15．点A 、B 在数轴上分别表⽰实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表⽰为|AB|．当A 、B 两点中有⼀点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a －b| 当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况: ①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b －a ＝|a －b|；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －(－a)＝|a －b|；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －（－a ）＝|a －b|；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB|＝|a －b|．回答下列问题:⑴数轴上表⽰2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表⽰－2和－5的两点之间的距离是 , 3 ，数轴上表⽰1和－3的两点之间的距离是 4 ；⑵数轴上表⽰x 和－1的两点分别是点A 和B ，则A 、B 之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|＝2，那么x ＝ 1或3；⑶当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最⼩值时，相应的x 的取值范围是 7 ．培优升级·奥赛检测 01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取⼀条长度为201719的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 2017B ． 2017C ． 2017D ． 2017 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所⽰，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( ) A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个03．如果a 、b 、c 是⾮零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A ．－1D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )A ．－1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最⼩值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ．⼀个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最⼩值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成⽴的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）⾮零整数m 、n 满⾜|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有组 09．若⾮零有理数m 、n 、p 满⾜|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp |3mnp|＝ .11．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3的最⼤值和最⼩值.12．电⼦跳蚤落在数轴上的某点k0，第⼀步从k0向左跳1个单位得k1，第⼆步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电⼦跳蚤落在数轴上的点k100新表⽰的数恰好19.94，试求k0所表⽰的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所⼩学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校⾥电脑数相同，允许⼀些⼩学向相邻⼩学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最⼩？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·⽅法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运⽤有理数加法法则进⾏运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会⽤有理数减法解决⽣活中的实际问题.4．会把加减混合运算统⼀成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐⼭）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时⼜涨了0.3元，则股票A 这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，⾸先将具有相反意义的量确定⼀个为正，另⼀个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并⽤绝对值相加，是异号相加，取绝对值较⼤符号，并⽤较⼤绝对值减去较⼩绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元⽉份某⼀天的天⽓预报中，延安市最低⽓温为－6℃，西安市最低⽓温2℃，这⼀天延安市的最低⽓温⽐西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的⾼度为2400⽶，上升250⽶，⼜下降了327⽶，这是飞机的⾼度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔⾼度为－155 m，则它们的平均海拔⾼度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应⽤加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合⼀起；⑵相加得整数结合⼀起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合⼀起；⑷相同符号的数结合⼀起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）13216411618141202．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算111112233420082009++++【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进⾏裂项，然后邻项相消进⾏化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）2的长⽅形，接着把⾯积为12的长⽅形等分成两个⾯积为14的正⽅形，再把⾯积为14的正⽅形等分成两个⾯积为18的长⽅形，如此进⾏下去，试利⽤图形揭⽰的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.-a -b 0b a 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的⼤⼩，然后根据相反数的关系将它们在同⼀数轴上表⽰出来，即可得出结论. 解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和⼜a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较⼤，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表⽰在同⼀数轴上，如图，则它们的⼤⼩关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试⽐较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的⼤⼩【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利⽤有理数的加法法则进⾏运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811 ＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下⾯⼀列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第⼏个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找⼀系列数的规律，应该从特殊到⼀般，找到前⾯⼏个数的规律，通过观察推理、猜想出第n 个数的规律，再⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分⼦与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴⽤关于n（n≥1的⾃然数）的等式表⽰这个规律；⑵当这个等式的右边等于2017时求n.【例７】（第⼗届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极⼤简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（50＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋3＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋49 50＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491) 2+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210 02．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提⾼01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．⽐是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最⼤值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下⾯说法中正确的是（）A．两数⼀定都是正数B．两数都不为0C．⾄少有⼀个为负数D．⾄少有⼀个为正数05．下列等式⼀定成⽴的是（）A．|x|－x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝006．⼀天早晨的⽓温是－6℃，中午⼜上升了10℃，午间⼜下降了8℃，则午夜⽓温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx-值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．⽤含绝对值的式⼦表⽰下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修⼩组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收⼯时所⾛的路线（单位：千⽶）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收⼯时距离A地多远？⑵若每千⽶耗油0.2千克，问从A地出发到收⼯时共耗油多少千克？14．将2017减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国⼀样，也是世界著名的⽂明古国，古代埃及⼈处理分数与众不同，他们⼀般只使⽤分⼦为1的分数，例如13＋115来表⽰25，⽤14＋17＋128表⽰37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（） A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．⾃然数a 、b 、c 、d 满⾜21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于（） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c ⼤⼩关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++的值得整数部分为（）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2017＋3×(－2)2017的值为（） A ．－22017 B ．22017 C ．－22017 D ．2201707．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2017＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32017×72017×132017所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲有理数的乘除、乘⽅考点·⽅法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运⽤乘法法则准确地进⾏有理数的乘法运算，会利⽤运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运⽤倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进⾏有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进⾏有理数的混合运算. 5．理解有理数乘⽅的意义，掌握有理数乘⽅运算的符号法则，进⼀步掌握有理数的混合运算. 经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24?- ⑵1124? ⑶11()()24-?- ⑷25000? ⑸3713()()(1)()5697-?-??-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运⽤法则，⼀是要体会并掌握乘法的符号规律，⼆是细⼼、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248?-=-?=-⑵11111() 24248?=?=⑶11111 ()()() 24248 -?-=+?=⑷250000=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -?-??-=-=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-?-⑵11()124-?⑶(8)(3.76)(0.125)-??-⑷(3)(1)2(6)0(2)-?-??-??-⑸111112(2111)42612-?-+-02．24(9)5025-?3．1111(2345)()2345---04．111 (5)323(6)3333 -?+?+-?【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号D．a、b异号且负数的绝对值较⼤【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，⼜依加法法则，异号相加取绝对值较⼤数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，⼜由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较⼤，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞003．(⼭东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a >，则下列结论成⽴的是（）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 04．(⼴州)下列命题正确的是（）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进⾏有理数除法运算时，若不能整除，应⽤法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应⽤法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除. 解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷=⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=?-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-?=-⑷0(7)0÷-= 【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷?⑵311()(3)(1)3524-?-÷-÷ ⑶530()35÷-?03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷?-【例４】（茂名）若实数a 、b 满⾜0a ba b+=，则ab ab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进⾏分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进⼀步代⼊结论得出结果. 2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>?+=?-<当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从⽽abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数B．0 C．负数D．⾮负数02．若A．b都是⾮零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试⽐较xy-与xy的⼤⼩.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy的值；⑵求32008xy的值.【解法指导】n a表⽰n个a相乘，根据乘⽅的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1 x y=-=-⑴当2,1x y==-时，200820082(1)2xy=-=当2,1x y=-=-时，20082008(2)(1)2xy=-?-=-⑵当2,1x y==-时，33 2008200828(1)xy==-当2,1x y=-=-时，33 20082008 (2)8(1)xy-==--【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m-+-=，则nm的值是___________.02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y--的值，这⾥n是正整数.【例６】（安徽）2017年我省为135万名农村中⼩学⽣免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万⽤科学记数法表⽰为（）【解法指导】将⼀个数表⽰为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学⽣参加中考，103000⽤科学记数法表⽰为（） A ．1.03×105 B ．0.103×105 C ．10.3×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2017年到2012年新增林地⾯积253万亩，253万亩⽤科学记数法表⽰正确的是（）A ．25.3×105亩 B ．2.53×106亩 C ．253×104亩 D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k +++++-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k +++++-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50+++++-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++ -+-+-+＝49222+1+++个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006A ．31003B ．31004C ．1334D ．11000 02．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求11111111 2581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提⾼01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）A ．互为相反数B ．其中绝对值⼤的数是正数，另⼀个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值⼤的数是负数，另⼀个是正数A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（）A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜005．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式a bm cdm+-+的值为（）A．－3 B．1 C．±3 D．－3或106．若a＞1a，则a的取值范围（）A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞107．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④1ab=-，其中能判断a、b互为相反数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个08．若ab≠0，则a ba b+的取值不可能为（）A．0 B．1 C．2 D．－209．1110(2)(2)-+-的值为（）A．－2 B．(－2)21 C．0 D．－21010．(安徽)2010年⼀季度，全国城镇新增就业⼈数289万⼈，⽤科学记数法表⽰289万正确的是（）A．2.89×107 B．2.89×106 C．2.89×105 D．2.89×10411．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n+--+-+-（n为⾃然数）＝___________.13．如果2x yx y+=，试⽐较xy-与xy的⼤⼩.14．若a、b、c为有理数且1a b ca b c++=-，求abcabc的值.15．若a、b、c均为整数，且321a b c a-+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x、y、z两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（）。

（11）用交集解题【知识精读】1． 某种对象的全体组成一个集合。

组成集合的各个对象叫这个集合的元素。

例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。

2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集。

3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。

例如不等式组⎩⎨⎧<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x>3. 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。

把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。

有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。

（如例2）分类解析】例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。

解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数。

例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。

解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。