初中数学竞赛培优——因式分解

第一讲 因式分解一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ）A ．(2a+3)()2a-3)=4a 2-9;B ．4m 2-9=(2m+3)(2m-3)C ．m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;D ．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y);B ．)3(33111x y y x y x y x n m n m n m +-=+---+C ．6)133)((2)(2)(2+--=---b a b a a b b a ;D ．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 )3．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．)444221)(221()(81223b ab a b a b a b a ++++++-=+-B ．)2)(2(4)(222222222xy y x xy y x y x y x -+++=-+C ．22)1(4448-=--a a aD ．))()(()()(22b a b a y x x y b y x a -+-=-+-4．下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1)B ．4xy + 1 – 4)21)(21(22y x y x y x ---+=-C ．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x )D ．)21)(21(41422y x y x y x xy --++=--+-5．下列因式分解的变形中，正确的是（ ）A ．))(1()1(22a x x a x a x --=++-B ．)13)(12(61652++=++m m m m C ．))(()(2222222b y a y b a y b a y ++=+⋅++D ．)1)(4)(2)(1(8)3(2)3(222-+--=----x x x x x x x x二、填空题1．在代数式164)3(,)2(,144)1(2222++++-n n mn m x x 中是完全平方式的是__________。

竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a2－b2=a＋ba－b；a n－1=a－1 a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋12、a2±2ab＋b2=a±b2；3、x2＋a＋bx＋ab=x＋ax＋b;4、a3＋b3=a＋ba2－ab＋b2; a3－b3=a－ba2＋ab＋b2;二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法;3、考虑顺序：1提公因式法；2十字相乘法；3公式法；4分组分解法；1、添项拆项例1因式分解：1x4＋x2＋1；2a3＋b3＋c3－3abc1分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=x2＋12－x2=x2＋1＋xx2＋1－x2分析：a3＋b3要配成a＋b3应添上两项3a2b＋3ab2解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b －3ab2=a＋b3＋c3－3aba＋b＋c=a＋b＋ca＋b2－a＋bc＋c2－3aba＋b＋c =a＋b＋ca2＋b2＋c2－ab－ac－bc例2因式分解：1x3－11x＋20； 2a5＋a＋11分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提;注意这里16是完全平方数解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝xx2－16＋5x＋4=xx＋4x－4＋5x＋4 =x＋4x2－4x＋52分析：添上－a2和a2两项,分别与a5和a＋1组成两组,正好可以用立方差公式解：a 5＋a ＋1＝a 5－a 2＋a 2＋a ＋1=a 2a 3－1＋a 2＋a ＋1=a 2a －1 a 2＋a ＋1＋a 2＋a ＋1=a 2＋a ＋1a 3－a 2＋12、待定系数法例3因式分解2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20解：∵2x 2＋3xy －9y 2=2x －3yx ＋3y,故用待定系数法,可设2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=2x －3y ＋ax ＋3y ＋b,其中a,b 是待定的系数,比较右边和左边的x 和y 两项的系数,得⎩⎨⎧-=-=+333142b a b a 解得 54==b a ∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=2x －3y ＋4x ＋3y ＋5另解原式=2x 2＋3y ＋14x －9y 2＋3y －20,这是关于x 的二次三项式常数项可分解为－3y －43y ＋5,用待定系数法,可设2x 2＋3y ＋14x －9y 2＋3y －20=mx －3y －4nx ＋3y ＋5比较左、右两边的x 2和x 项的系数,得m=2, n=1∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=2x －3y ＋4x ＋3y ＋5三、重点定理1、余式定理：整多项式fx 除以x-a 商为qx,余式为r,则fx=x-aqx+r;当一个fx 除以x – a 时, 所得的等于 fa;例如：当 fx=x^2+x+2 除以 x – 1 时,则=f1=1^2+1+2=4;2、因式定理：即为的推论之一：如果多项式fa=0,那么多项式fx 必定含有因式x-a;反过来,如果fx 含有因式x-a,那么,fa=0;四、填空题1、两个小朋友的年龄分别为a 和b,已知a 2＋ab=99,则a= ,b= ;2、计算：x ＋62x －62=x 2－362 ;3、若x ＋y=4,x 2＋y 2=10,则x －y 2= ;4、分解因式：a 2－b 2＋4a ＋2b ＋3= ;5、分解因式：4x3－31x＋15= ;6、分解因式：x4＋1987x2＋1986x＋1987= ;五、选择题7、x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz因式分解后的结果是 ;Ay－zx＋yx－z By－zx－yx＋zCy＋zx－yx＋z Dy＋zx＋yx－z8、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除,则这两个整数是 ;A41,48 B45,47 C43,48 D41,479、n为某一自然数,代入代数式n3－n中计算其值时,四个同学算出如下四个结果,其中正确的结果只能是 ;A388944 B388945 C388954 D388948六、将下列各式分解因式10、x4＋x2y2＋y4 11、x4＋412、x4－23x2y2＋y4 13、x3＋4x2－914、x3－41x＋30 15、x3＋5x2－1816、x3＋3x2y＋3xy2＋2y3 17、x3－3x2＋3x＋718、x3－9ax2＋27a2x－26a3 19、x3＋6x2＋11x＋620、a3＋b3＋3a2＋b2＋3a＋b＋221、3x3－7x＋10 22、x3－11x2＋31x－21七、解答题23、已知x－y＋4是x2－y2＋mx＋3y＋4的一个因式,求m的值;24、求方程xy－x－y＋1=3的整数解;解：原方程可化为x－1y－1=3∵x,y整数,∴原方程可化为四个方程组:x－1=1 x－1=3 x－1=－1 x－1=－3y－1=3 y－1=1 y－1=－3 y－1=－1 解得：x,y的解为2,4、4,2、0,－2、－2,0。

因式分解学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)若x=1，则1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2013+x(1+ x)2014=．【答案】22015【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式(x+1)，得到(1+x)2015，再将x=1代入即得答案．【详解】解：当x=1时，原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2012+x(1+x)2013]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2011+x(1+x)2012]=⋯=1+x2015=22015．故答案为：22015．2(2024·全国·七年级竞赛)若a、b是正整数，且756a=b3，则a的最小值是．【答案】98【分析】本题主要考查了因式分解、有理数乘方等知识点，掌握因式分解的应用是解题的关键．先将756因式分解，然后表示出a的最小值即可解答．【详解】解：∵756=33×22×7，756a=b3，∴a=b3756=b333×22×7，∴a min=2×72=98．故答案为98．3(2024·全国·八年级竞赛)已知a、b为正整数，且满足ab+a+b=2011，则满足条件的有序实数对(a, b)的组数是．【答案】4【分析】本题主要考查因式分解的应用，将ab+a+b+1=2012变形为a+1b+1=22×503，根据a、b为正整数得a+1≥2，b+1≥2，再分类讨论即可求解【详解】解：∵ab+a+b+1=2012，∴a+1b+1=22×503，又a、b为正整数，∴a+1≥2，b+1≥2，∴a+1=2b+1=1006,a+1=4b+1=503,a+1=503b+1=4,a+1=1006b+1=2，共4组，即有序实数对(a,b)共有4组．4(2024·全国·八年级竞赛)设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则ab2+b2-3a+12a2015=．【答案】-1【分析】本题考查了分式的化简求值，将a 2+2a -1=0与b 4-2b 2-1=0的差进行因式分解，得到a +b 2 a -b 2+2 =0，推出a 与b 的关系，并判断其是否满足1-ab 2≠0，最后将其代入ab 2+b 2-3a +12a2015中化简求解，即可解题．【详解】解：a 2+2a -1 -b 4-2b 2-1 =0，a +b 2 a -b 2+2 =0，若a -b 2+2=0，则b 2=a +2，则1-ab 2=1-a a +2 =-a 2+2a -1 =0，矛盾．所以a +b 2=0，即b 2=-a ，所以ab 2+b 2-3a +12a 2015=-a 2-a -3a +12a 2015=-a 2+2a +2a -12a 2015=-2a 2a 2015=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若m 2=n +2015，n 2=m +2015m ≠n ，则m 3-2mn +n 3的值为．【答案】-2015【分析】本题考查整式的化简求值，利用m 2=n +2015与n 2=m +2015m ≠n 的差，结合平方差公式进行因式分解，得出m +n =-1，将m 3-2mn +n 3变形为含m +n 的式子，再将m +n =-1代入式子，即可解题．【详解】解：由题知，m 2-n 2=n -m ，则m +n =-1，又m 3-2mn +n 3=m m 2-n -n m -n 2 =2015m +n =-2015．故答案为：-2015．6(2024·全国·八年级竞赛)已知多项式a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24分解因式后能够变成两个含有a 、b 的一次因式的乘积，则实数k 的值为．【答案】-18【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，二元一次方程组的求解，根据因式分解结合多项式乘以多项式可得m +n =7①，mn =k ②，3n -8m =43③，利用加减消元法求解二元一次方程组得到m ，n 的值，即可求出最后结果．【详解】解：a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24可分解为a +bm +3 a +nb -8 ，∴a +bm +3 a +nb -8=a 2+mab +3a +nab +mnb 2+3nb -8a -8mb -24=a 2+m +n ab +mnb 2-5a +3n -8m b -24，∵a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24，∴m +n =7①，mn =k ②，3n -8m =43③，③-3×①得：-8m -3m =43-3×7，解得：m =-2，将m =-2代入①得：n =9，∴k =mn =-18，故答案为：-18．7(2024·全国·八年级竞赛)已知：x =2012t +801，y =2012t +803，z =2012t +805，则x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx =．【答案】12【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出x -y =-2，y -z =-2，x -z =-4，再根据完全平方公式把原式因式分别为12x -y 2+y -z 2+z -x 2，据此代值计算即可．【详解】解：∵x =2012t +801，y =2012t +803，z =2012t +805，∴x -y =-2，y -z =-2，x -z =-4x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx=12x 2-2xy +y 2 +12y 2-2yz +z 2 +12x 2-2xz +z 2 =12x -y 2+y -z 2+z -x 2=12-2 2+-2 2+-4 2=124+4+16 =12，故答案为：12．8(2024·全国·八年级竞赛)分解因式：1-m 2-n 2+2mn =．【答案】(1+m -n )(1-m +n )【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，利用添括号把1-m 2-n 2+2mn 后三项放一起，得到1-m 2-2mn +n 2，利用完全平方公式进行因式分解，得到1-m -n 2，再利用平方差公式因式分解即可求解，掌握分组分解法是解题的关键．【详解】解：原式=1-m -n 2，=1+m -n 1-m +n ，故答案为：1+m -n 1-m +n ．9(2024·全国·七年级竞赛)若2x -3 +y -2 2=0，则x 2-2xy +y 2=．【答案】14/0.25【分析】根据非负数的性质求出x =32,y =2．再把字母的值代入x 2-2xy +y 2=x -y 2进行求解即可，此题考查了求代数式的值、完全平方公式和非负数的性质，求出字母的值是解题的关键．【详解】解：∵2x -3 +y -2 2=0，2x -3 ≥0,y -2 2≥0，∴2x -3 =0,y -2 2=0，∴2x -3=0,y -2=0，∴x =32,y =2．∴x 2-2xy +y 2=x -y 2=32-2 2=14，故答案为：1410(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足1a -1b +1c =1a -b +c，则△ABC 的形状为．【答案】等腰三角形【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出bc -ac +ab abc =1a -b +c，得出abc =a -b +c ab -c a -b ，再进行因式分解，进而得出a =b 或b =c ，即可得出答案．【详解】∵1a -1b +1c =1a -b +c，∴bc -ac +ab abc =1a -b +c，∴abc =a -b +c ab -c a -b=ab a -b -c a -b 2+abc -c 2a -b ，a -b ab -c a -b -c 2=0，a -b ab -ac +bc -c 2 =0，∴a -b b -c a +c =0，∴a =b 或b =c ．故答案为：等腰三角形．11(2024·全国·八年级竞赛)已知a 2+b 2=2,x 2+y 2=1003，则多项式(ax +by )2+(bx -ay )2的值为．【答案】2006【分析】本题考查了整体代入求多项式的值，整式的混合运算，分组法因式分解等知识．先将(ax +by )2+(bx -ay )2进行计算得到a 2x 2+b 2x 2+b 2y 2+a 2y 2，再利用分组因式分解得到a 2+b 2 x 2+y 2 ，整体代入即可求解．【详解】解：(ax +by )2+(bx -ay )2=a 2x 2+b 2y 2+2abxy +b 2x 2+a 2y 2-2abxy =a 2x 2+b 2x 2+b 2y 2+a 2y 2=x 2a 2+b 2 +y 2a 2+b 2 =a 2+b 2 x 2+y 2 =2×1003=2006．12(2015·全国·八年级竞赛)若n 为整数，且n 2+9n +30是自然数，则n =．【答案】-14或-7或-2或5【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，设n 2+9n +30=p (p 为非负整数)，则可推出2n +9 2+39=4p 2，进而得到2p +2n +9 2p -2n -9 =39，再由题意可得2p +2n +9和2p -2n -9都是整数，再由39=-1×-39 =1×39，由此得到2p +2n +9=12p -2n -9=39或2p +2n +9=392p -2n -9=1 或2p +2n +9=32p -2n -9=13 或2p +2n +9=132p -2n -9=3 ，解方程组即可得到答案．【详解】解：设n 2+9n +30=p (p 为非负整数)，∴n 2+9n +30=p 2，∴4n 2+36n +120=4p 2∴2n +9 2+39=4p 2，∴4p 2-2n +9 2=39，∴2p +2n +9 2p -2n -9 =39，∵n ，p 都为整数，∴2p +2n +9和2p -2n -9都是整数，∵39=1×39=3×13∴2p+2n+9=12p-2n-9=39或2p+2n+9=392p-2n-9=1或2p+2n+9=32p-2n-9=13或2p+2n+9=132p-2n-9=3，解得p=10n=-14或p=10n=5或p=4n=-7或p=4n=-2∴n=-14或-7或-2或5，故答案为：-14或-7或-2或5．13(2024·全国·九年级竞赛)分解因式：a2-b2-2a+1=．【答案】(a-1+b)(a-1-b)【分析】先分组，得到(a2-2a+1)-b2，运用完全平方公式变形得到(a-1)2-b2，再根据平方差公式分解因式.【详解】a2-b2-2a+1=(a2-2a+1)-b2=(a-1)2-b2=(a-1+b)(a-1-b)，故答案为：(a-1+b)(a-1-b).【点睛】此题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.14(2024·全国·八年级竞赛)正整数a、b满足ab+a+b=90，则ab=．【答案】72【分析】本题考查因式分解的应用，根据条件可得a+1b+1=91，然后由a、b为正整数，可得a+1>1且b+1>1，进而求出a，b的值，代入求值即可．【详解】解：∵ab+a+b=90，∴ab+a+b+1=91，即a+1b+1=91，又∵a、b为正整数，∴a+1>1且b+1>1∴a+1=7b+1=13，a+1=13b+1=7，解得：a=6 b=12或a=12b=6，∴ab=6×12=72，故答案为：72．15(2024·全国·八年级竞赛)分解因式：2x3-12x2y+18xy2=．【答案】2x x-3y2【分析】本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式2x，再运用完全平方公式进行分解因式即可求解，掌握分解因式的方法是解题的关键．【详解】解：2x3-12x2y+18xy2=2x(x2-6xy+9y2)=2x x-3y2，故答案为：2x x-3y2．二、单选题16(2024·全国·八年级竞赛)若a=20072+20072×20082+20082，则关于a的说法正确的是( )．A.是正整数，而且是偶数B.是正整数，而且是奇数C.不是正整数，而是无理数D.无法确定【答案】B【分析】设n=2007，将根号下的整式通过加添项凑成完全平方式，去掉根号，再根据整式的性质进行判断正负性和奇偶性，本题考查了运用完全平方公式分解因式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式，及加添项的分解因式技巧．【详解】设n=2007，a=n2+n2n+12+n+12=n2-2n n+1+n+12+2n n+1+n2n+12=n+1-n2+2n n+1+n n+12=1+2n n+1+n n+12=1+n n+12=1+n n+1∵n n+1是偶数，∴1+n n+1是奇数，选项B符合题意，故选：B．17(2024·全国·九年级竞赛)任意正整数n都能够分解成两个正整数的乘积，若相乘的这两个正整数之差的绝对值最小，则分别记为a、b a≤b，并规定f n=ab．例如：f6 =23,f7 =17,f12=34，现有下列说法：①f2 =12；②f24=38；③若n是一个完全平方数，则f n =1；④若n是一个完全立方数，即n=a3(a是正整数)，则f n=1a．其中正确的有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是解本题的关键．①将2分解因数，进而找出2的两个因数即可得出结论；②将24分解因数，进而找出24的两个因数即可得出结论；③根据题意找出n的符合题意的分解即可得出结论；；④利用“相乘的这两个正整数之差的绝对值最小”举出反例，进而确定此说法错误即可．【详解】解：①∵2=1×2，∴f2 =12，此说法正确；②24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24-1>12-2>8-3>6-4，所以4×6是24的符合题意的分解，所以f24=23，故错误；③∵n是一个完全平方数，设n=x2x>0，∴x×x是n的符合题意的分解，则f n =1，此说法正确；④若n是一个完全立方数，即n=a3(a是正整数)，∵a是正整数，如64=43=8×8，f64=88≠18，则f n =1a不一定成立，此说法错误．综上所述，有两个正确，故答案为：B ．18(2024·全国·八年级竞赛)三位数abc 的平方的末三位数恰好是abc ，这样的三位数abc有()A.0个B.1个C.2个D.多于2个【答案】C【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键．【详解】由题意知abc 2-abc =abc abc-1 是1000的倍数，∵1000=8×125，abc ,abc-1=1，∴(1)8整除abc 且125整除abc -1 ；(2)125整除abc 且8整除(abc-1)，由(1)得abc =376，由(2)得abc=625，∴共有两个，故选C ．19(2024·全国·八年级竞赛)已知实数m 、n 、p 满足m 2-2p =7，n 2-6m =-17，p 2+2n =-1，则m +n +p 的值等于( )．A.2 B.4 C.3 D.5【答案】C【分析】本题考查了因式分解的完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键，先将三式相加，并移项配方成三个完全平方式，即可得到答案．【详解】将m 2-2p =7，n 2-6m =-17，p 2+2n =-1三式相加，得m 2-2p +n 2-6m +p 2+2n =7-17-1整理得m 2-6m +9+n 2+2n +1+p 2-2p +1=0即(m -3)2+(n +1)2+(p -1)2=0∴m =3，n =-1，p =1，∴m +n +p =3．20(2024·全国·八年级竞赛)已知在△ABC 中，a 、b 、c 是三边的长，且a 2-12b 2-c 2+4ab +8bc =0，那么b a +c 的值是( )．A.14 B.12 C.34 D.1【答案】B【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出a +2b 2-4b -c 2=0，得出a +2b +4b -c a +2b -4b +c =0，求出a -2b +c =0，再代入求值即可得出答案．【详解】解：∵a 2-12b 2-c 2+4ab +8bc =0，∴a 2+4ab +4b 2 -16b 2-8bc +c 2 =0，a +2b2-4b -c 2=0，a +2b +4b -c a +2b -4b +c =0，∵a +b -c >0，∴a +6b -c ≠0，∴a -2b +c =0，∴b a +c =12．故选：B ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，则a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2为()A.正数B.负数C.零D.无法确定【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解，三角形三边的关系，先利用平方差公式和完全平方公式把原式分解因式得到a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c ，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边推出a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2<0即可得到答案．【详解】解：a 2+b 2-c 2 2-4a 2b2=a 2+b 2+2ab -c 2 a 2+b 2-2ab -c 2 =a +b 2-c 2 a -b 2-c 2=a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c ，∵a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，∴a +b +c >0，a +b -c >0，a +c -b >0，a -b -c <0，∴a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c <0，∴a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2<0故选：B ．22(2024·全国·八年级竞赛)若多项式x 2+mx +12因式分解得x +3 x +n ，则m +n =()A.8B.9C.10D.11【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m 和n 的值，再求解即可．【详解】解：由已知，x +3 x +n =x 2+3+n x +3n =x 2+mx +12故可得，3+n =m ,3n =12，∴n =4，m =3+n =7，∴m +n =4+7=11，故选：D三、解答题23(2024·全国·八年级竞赛)有n (n ≥2且为整数)支乒乓球队进行单循环赛，每支参赛队同其他各队都进行一场比赛．如果用a i 和b i 分别表示第i (i =1,2,3,⋯,n )支球队在整个赛程中胜与负的局数求证：a 21+a 22+⋯+a 2n =b 21+b 22+⋯+b 2n ．【答案】见解析【分析】本题考查了等式证明问题，利用平方差公式进行因式分解，作差比较是非常常用的方法．找出比赛规则下隐含的条件a i +b i =n -1，且a 1+a 2+⋯+a n =b 1+b 2+⋯+b n 是证题的关键．【详解】证明：∵比赛没有平局，且所有球队胜的总场数与负的总场数相等，∴a i +b i =n -1，且a 1+a 2+⋯+a n =b 1+b 2+⋯+b n ．∴a 2i -b 2i =a i +b i a i -b i =n -1 a i -b i ，∵a 21+a 22+⋯+a 2n -b 21+b 22+⋯+b 2n =a 21-b 21 +a 22-b 22 +⋯+a 2n -b 2n=a 1+b 1 a 1-b 1 +a 2+b 2 a 2-b 2 +⋯+a n +b n a n -b n=n -1 a 1-b 1 +n -1 a 2-b 2 +⋯+n -1 a n -b n =n -1 a 1-b 1+a 2-b 2+⋯+a n -b n =n -1 a 1+a 2+⋯+a n -b 1-b 2-⋯-b n =n -1 a 1+a 2+⋯+a n -b 1+b 2+⋯+b n =0；∴a 21+a 22+⋯+a 2n =b 21+b 22+⋯+b 2n ．24(2024·全国·九年级竞赛)中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法：①S =14a 2b 2-a 2+b 2-c 222；②S =p p -a p -b p -c ．(其中a 、b 、c 为三角形的三边长，p =a +b +c2,S 为面积)(1)请证明：14a 2b 2-a 2+b 2-c 222=p p -a p -b p -c ；(2)如图，线段MN =6，点B 在MN 上，且MB =4，点A 是线段MB 上一点，分别以A 、B 为圆心，AM 、BN 的长为半径画圆，⊙A 和⊙B 交于点P ，直接写出△PAB 的面积的最大值：．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查了乘法公式的应用，二次函数的图象与性质．(1)对被开方数的字母因式利用乘法公式变形即可完成；(2)设AB =a ，则PA =4-a ，利用S =p p -a p -b p -c 表示出面积，再利用二次函数知识即可求解．【详解】(1)证明：∵14a 2b 2-a 2+b 2-c 222 =14ab +a 2+b 2-c 22 ab -a 2+b 2-c 22=14×(a +b )2-c 22×c 2-(a -b )22=14×(a +b +c )(a +b -c )2×(c +a -b )(c -a +b )2=a +b +c 2⋅a +b -c 2⋅c +a -b 2⋅c +b -a 2，∵p =a +b +c 2，∴a +b -c =2p -2c ，c +a -b =2p -2b ，c +b -a =2p -2a ，∴a +b +c 2⋅a +b -c 2⋅c +a -b 2⋅c +b -a 2=p (p -c )(p -b )(p -a )，∴14a 2b 2-a 2+b 2-c 22 2=p p -a p -b p -c ；(2)解：设AB=a，则PA=MB-AB=4-a，PB=BN=MN-MB=2，∴p=12MN=3，∴S=33-a3-23-4-a=3(-a2+4a-3)=-3(a-2)2+3，而对于-3(a-2)2+3，当a=2时，它有最大值3，∴S有最大值3；故答案为：3．25(2024·全国·八年级竞赛)在实数范围内因式分解：(1)-2x3+26x2y-3xy2；(2)a4+a2-6；(3)4(b+1)4-4b2-8b-3．【答案】(1)-x2x-3y2(2)a+2a-2a2+3(3)2b2+4b+12【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．(1)先提取公式因，再利用完全平方公式的方法进行因式分解即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式的方法进行因式分解即可；(3)利用完全平方公式的方法进行因式分解即可．【详解】(1)解：-2x3+26x2y-3xy2=-x2x2-26xy+3y2=-x2x2-26xy+3y2=-x2x-3y2；(2)a4+a2-6=a2-2a2+3=a+2a-2a2+3；(3)4(b+1)4-4b2-8b-3=4b+14-4b+12+1=2b+12-12=2b2+4b+12．26(2024·全国·八年级竞赛)已知a=xm2+1+2008,b=xm2+1+2009,c=xm2+1+2010，且abc=6，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值．【答案】1 2【分析】本题考查了分式化简求值，根据题意得出a-b=-1,b-c=-1,c-a=2是解题关键．【详解】解：依题意得：a-b=-1,b-c=-1,c-a=2，原式=a2+b2+c2-bc-ca-ababc=2a2+2b2+2c2-2bc-2ca-2ab2abc=a-b2+b-c2+c-a22abc=-12+-12+222×6=12．27(2024·全国·八年级竞赛)设a，b，c，d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=33，求d+b的值．【答案】5937或375【分析】本题主要考查了幂的乘方、因式分解的应用、解方程组等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．设a5=b4=m20,c3=d2=n6，则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3，进而得到c-a=n2-m4=33；再根据题意因式分解可得n+m2n-m2=33×1=11×3，再分为n+m2=33n-m2=1或n+m2=11n-m2=3两种情况求得m、n，进而求得b、d，最后求和即可．【详解】解：设a5=b4=m20,c3=d2=n6，则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3．∵c-a=n2-m4=33，∴n+m2n-m2=33×1=11×3．∵a，b，c，d均为正整数，∴m，n也为正整数，∴n+m2=33n-m2=1或n+m2=11n-m2=3，∴n=17m=4或n=7m=2，∴b=1024d=4913或b=32d=343，∴b+d=5937或375．故答案为：5937或375．28(2024·全国·八年级竞赛)已知a+b=3，x+y=5，ax+by=7．求a2+b2xy+ab x2+y2的值．【答案】56【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子因式分解成ay+bxax+by，再由一直条件式得到ax+ay+bx+by=15，进而求出ay+bx=8，据此可得答案．【详解】解：a2+b2xy+ab x2+y2=a2xy+b2xy+abx2+aby2=ax ay+bx+by bx+ay=ay+bxax+by，∵a+b=3，x+y=5∴a+bx+y=15，∴ax+ay+bx+by=15，∵ax+by=7，∴ay+bx=8，∴原式=8×7=56．29(2024·全国·八年级竞赛)已知：4a-b是11的倍数，其中a，b是整数，求证：40a2+2ab-3b2能被121整除．【答案】证明见解析【分析】本题考查了因式分解，整数的整除性，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．设4a-b=11n，则b =4a-11n，先将代数式40a2+2ab-3b2因式分解，再将b的值代入并化简得121n2a-3n，即能证明结论．【详解】设4a-b=11n，则b=4a-11n，40a2+2ab-3b2=4a-b10a+3b=11n10a+34a-11n=121n2a-3n．故40a2+2ab-3b2能被121整除．30(2021·全国·九年级竞赛)因式分解x4+x2+2ax+1-a2【答案】x2+x+1-ax2-x+a+1【分析】利用“配方法”即先配方，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：x4+x2的特点，添上x2，-x2两项，原式=x4+2x2+1-x2+2ax-a2=x2+12-(x-a)2=x2+x+1-ax2-x+a+1【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式．。

第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。

初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．。

专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题） 8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）。

因式分解培优题(超全面、详细分类)因式分解专题培优将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。

初中阶段常用的因式分解方法如下：1.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。

2.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3.考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法。

一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如：1) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)2) a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^23) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)4) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)以下是几个常用的公式：5) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^26) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)7) an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b^2 + … + abn-2 + bn-1)，其中n为正整数；8) an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … + abn-2 - bn-1)，其中n为偶数；9) an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … - abn-2 + bn-1)，其中n为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如：例题1：分解因式：-2x^5n-1yn+4x^3n-1yn+2-2xn-1yn+4；例题2：分解因式：a^3 + b^3 + c^3 - 3abc。

初中数学竞赛精品标准教程及练习19因式分解因式分解是数学中一个非常重要的概念和方法，它在初中数学竞赛中也是经常出现的题型之一、掌握因式分解的方法对于解题有很大的帮助。

下面是一篇关于因式分解的精品标准教程及练习，共1200字以上。

一、因式分解的概念因式分解是指将一个代数式写成若干个因式的乘积的过程。

通俗地说，就是找到一个式子的“因子”，使得式子能够被“因子”相乘得到。

例如，对于一个简单的算式12=2×2×3，我们可以将12写成2×2×3的形式，这就是因式分解的过程。

二、基本的因式分解方法基本的因式分解方法主要有两种：公因式提取和配方法。

1.公因式提取公因式提取是指将一个代数式中的公因式分解出来。

例如:将4x+12分解为4(x+3)4是4x和12的公因式，x+3是剩余部分。

2.配方法配方法是指将一个代数式按照指定的分法进行拆分，然后再将拆分后的各部分进行因式分解。

例如：将x²+3xy+2y²分解为(x+y)(x+2y)第一步，我们观察到第一项是x²，第二项是3xy，第三项是2y²，我们希望通过拆分得到两个相同的式子，这就需要把x²拆分成两个相同的项，即(x+y)(x+2y)。

三、因式分解的练习题练习1：将6x+9分解为3(2x+3)练习2：将x²-4y²分解为(x+2y)(x-2y)练习3：将3x³-27y³分解为3(x-3y)(x²+3xy+9y²)练习4：将x²+7xy+12y²分解为(x+4y)(x+3y)练习5：将6a²b²c-18a²b²分解为6a²b²(c-3)练习6：将x³+y³分解为(x+y)(x²-xy+y²)练习7：将16x²-40xy+25y²分解为(4x-5y)²练习8：将8x³y+12x²y²分解为4xy(2x²+3xy)以上就是因式分解的精品标准教程及练习，掌握了这些基本的方法和技巧，相信大家能够在初中数学竞赛中取得不错的成绩。

初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结初中数学竞赛专题培训因式分解1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上2222(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求22222式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图归并在一同，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；第1页第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数算作来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．申明(4)中有三个字母，解法仍与前面的相似．2．求根法我们把形如anx+an-1x+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)透露表现．如对上面的多项式f(x)f(1)=1-3×1+2=0；f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理222252nn-1=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，22所以原式=(x-2)(x-2x+2)．申明在上述解法中，出格要留意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x-3x+7x-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±4322为：的根，则必有p是a的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式举行因式分化．例2分化因式：x-4x+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=2-4×2+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)32223232所以，原式有因式9x-3x-2．解9x-3x+7x-3x-2=9x-3x-2x+9x-3x-2=x(9x-3x-2)+9x-3x-2=(9x-3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式22223243224322可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．第2页总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如许，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种紧张的解题方法，使用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分化成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未肯定，这时候能够用一些字母来透露表现待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积，按照多项式恒等的性子，双方对应项系数应该相等，或取多项式华夏有字母的几个非凡值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分化的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3．分析由于(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分化因式，那末它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使题目获得解决．解设x+3xy+2y+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有22222222在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式．解设原式=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd，所以有4322222由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．22说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等能够不加以斟酌．此题如果b=1，d=7代入方程组后，无法肯定a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分化中也有效武之地．操演1．用双十字相乘法分化因式：解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．申明此题也可用双十字相乘法，请同学们本人解一下．例5分化因式：x-2x-27x-44x+7．阐发此题所给的是一元整系数多项式，按照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检修，它们都不是原式的根，所以，432(1)x-8xy+15y+2x-4y-3；(2)x-xy+2x+y-3；(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．222222第3页2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：。

专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)例1. A 提示 将原式重新整理成关于x 的二次三项式例2. (1) (23)()a b c a b c ++++ 提示 原式222(34)(352)a b c a c bc b =+++++(2) 2()(2)x y x z -- 提示 原式2232(2)(24)(2)x z y xz x y x x z =-+-+-例3. 原式223222(1)(22)(1)(1)(2(1)(1)(1)x a x x a x x x x a x x a x x =+++++--=+++++-22(1)(21)(1)(1)(1)x a ax x x x a x a =+++-=++++-例4. 12k = 提示 222(2)()x xy y x y x y +-=+- ∴可设原式(22)()x y x y n =++-+展开比较对应项系数得28,2210,2,n n k n +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得＝12．例5 原式＝()2221x x -+． 例6 设2－（a ＋5）＋5a －1＝（＋b ）（＋c ）＝2＋（b ＋c ）＋bc ．∴()5,5 1.b c a bc a +=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩①② ①×5＋2得bc ＋5（b ＋c ）＝－26，bc ＋5（b ＋c ）＋25＝－1，（b ＋5）（c ＋5）＝－1．∴51,51b c +=⎧⎨+=-⎩或51,5 1.b c +=-⎧⎨+=⎩ ∴4,6b c =-⎧⎨=-⎩或6,4.b c =-⎧⎨=-⎩故a ＝5． A 级1．（3a ＋2b －c ）（3a －2b ＋c ）2．（＋3y ）（＋2y ＋1）3．（＋y ＋1）（－y ＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a ＋b ）（a －b ＋c ）；（2）（a ＋c －2b ）2；（3）（－2）（2－＋a ）；（4）（－2y ＋3）（2－3y －4）；（5）（＋1）（y ＋1）（－1）（y －1）．10．提示：由题意得4,4 1.b c abc a+=--⎧⎨=-⎩①②①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得3,5bc=-⎧⎨=-⎩或5,3,bc=-⎧⎨=-⎩故a＝4．11．∵2－3y－4y＝（＋y）（－4y），∴可设原式＝（＋y＋m）（－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．＝－52．－2 提示：原式＝（2＋3－）－2y（＋2），令＝－2．3．5提示：令原式＝（－y＋4）·A，取一组，y的值代入上式．4．－35．C 提示：＝－1，＝－2是方程3＋a2＋b＋8＝0的解．6．C 提示：原式＝（－2y）2＋（2＋3）2＋167．A 提示：原式＝2（－2y）2＋（－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．8．C9．＝－3 提示：因2＋3＋2＝（＋1）（＋2），故可令原式＝（＋my＋1）·（十ny＋2），展开比较对应项系数求出．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右边．11．将原等式展开2＋（a＋b＋c）＋ab－l0c＝2－10－11．∴10,1011.a b cab c++=-⎧⎨-=-⎩①②①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴101,1011.ab+=⎧⎨+=-⎩或101,1011.ab+=-⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=⎧⎨+=-⎩或1011,10 1.ab+=-⎧⎨+=⎩∴9,21ab=-⎧⎨=-⎩或11,1ab=-⎧⎨=⎩或1,11ab=⎧⎨=-⎩或21,9.ab=-⎧⎨=-⎩代入①得c＝0或20．12．原式＝（5＋34y）－（53y＋152y3）＋（4y4＋12y5）＝4（＋3y）－52y2（＋3y）＋4y4（＋3y）＝（＋3y）（4－52y2＋4y2）＝（＋3y）（2－4y2）＝（＋3y）（＋y）（－y）（＋2y）（－2y）．当y＝0时，原式＝5≠33;当y≠0时，＋3y，－y，－2y，＋2y，＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．。

初中数学竞赛专题——因式分解多式的因式分解是代数式恒等形的基本形式之一，它被广泛地用于初等数学之中，是我解决多数学的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性，学些方法与技巧，不是掌握因式分解内容所必需的，而且于培养学生的解技能，展学生的思能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介了提取公因式法、运用公式法、分分解法和十字相乘法．本及下一在中学数学教材基上，因式分解的方法、技巧和用作一步的介．1．运用公式法在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2)a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3)a 3 3 2 2 +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4)a 3 3 2 2 -b =(a -b)(a +ab+b ) ．下面再充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3b2+⋯ +ab n-2 +b n-1 ) 其中 n 正整数；(8)a n n n-1 n-2b+an-3 2 n-2n-1) ，其中 n 偶数；-b =(a+b)(a -a b -⋯ +ab -b(9)a n+b n=(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2 -⋯ -ab n-2+b n-1) ，其中 n 奇数．运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．解(1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1 y n[(x 2n) 2 -2x 2ny2+(y 2) 2]=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2n-1 nn 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( - Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz -2yz) ．(3) 原式 =(a 2 -2ab+b 2)+( -2bc+2ca)+c 21＝(a -b) 2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c) 2．本小可以稍加形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( - b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b )=a 5(a 2-b2)+b 5(a 2-b2) =(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a4 3 2 2 3 4 - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )2 43 2 2 3 4=(a+b) (a - b)(a - a b+a b -ab +b )例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本上就是用因式分解的方法明前面出的公式(6) ．分析我已知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，将此公式形3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．3 3解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ．明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很多有用的，例如：我将公式 (6) 形3 3 3a +b +c -3abc3 3 3；当 a+b+c＞ 0 3 3 3 3 3 3然，当 a+b+c=0 ， a +b +c =3abc ， a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc，而且，当且当 a=b=c ，等号成立．如果令x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有等号成立的充要条件是 x=y=z ．也是一个常用的．例 3 分解因式： x15 +x14+x13+⋯+x2+x+1．2分析个多式的特点是：有 16 ，从最高次 x15开始， x 的次数次减至 0，由此想到用公式 a n -b n 来分解．解因x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，所以明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的，即把多式中的某一拆成两或多，或者在多式中添上两个符合相反的，前者称拆，后者称添．拆、添的目的是使多式能用分分解法行因式分解．例4 分解因式： x3 -9x+8．分析本解法很多，里只介运用拆、添法分解的几种解法，注意一下拆、添的目的与技巧．解法 1 将常数8 拆成 -1+9．33=(x -1) - 9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x +x-8) ．解法 2 将一次 -9x 拆成 -x-8x ．原式 =x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次x3拆成 9x3-8x3．原式 =9x 3 3-8x -9x+8=(9x 3 3+8)- 9x)+( -8x2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x+x+1)2=(x -1)(x +x-8) ．3解法 4 添加两项 -x 2+x 2． 原式 =x 3 -9x+8322=x -x +x -9x+8 =x 2 (x - 1)+(x -8)(x -1) =(x -1)(x 2+x-8) ．说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规， 主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2 -1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4)a 3b-ab 3+a 2+b 2 +1．解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1．96 3原式 =x +x +x - 1- 1-1=(x 963-1)+(x -1)+(x -1)=(x 363333-1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3) ． (2) 将 4mn 拆成 2mn+2mn ．22原式 =(m -1)(n -1)+2mn+2mn2 222=mn -m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n)=(mn+1) 22-(m-n)=(mn+m-n+1)(mn -m+n+1)．(3) 将 (x 2-1) 2 拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式 =(x+1) 4+2(x 2222+(x -1) 4 -1) -(x -1)=［ (x+1) 422422+2(x+1) (x -1) +(x -1) ] - (x -1)=［ (x+1) 22222+(x - 1) ] -(x -1)22222+1)(x 2+3) ．=(2x +2) -(x - 1) =(3x (4) 添加两项 +ab-ab ．332 2原式 =a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b- ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)42=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b+1)2=[a(a -b)+1](ab+b+1)=(a 2 2+ab+1) ．-ab+1)(b说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y，则原式 =(y+1)(y+2)- 12=y2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将2看作一个整体，比如今2x +x+1 x +x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令y=2x2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例 8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y ，则5原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2 +5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2 -1) -36x24 2 2 2 2=6［(x -2x +1)+2x ］ +7x(x -1) -36x=6[(x 2 2]+7x(x2 2 - 1)2+2x -1) -36x=6(x 2 2+7x(x2 2 -1) -1) -24x=[2(x 2- 1) -3x］［ 3(x 2-1)+8x]=(2x 2 -3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2说明本解法实际上是将 x -1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法 2原式 =x2 [6(t 2+2)+7t -36]=x2 (6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2 [2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]2 2+8x-3)=(2x - 3x-2)(3x=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2 ) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解原式 =[(x+y) 2 2 2．令 x+y=u， xy=v ，则-xy] -4xy[(x+y) -2xy]2 2 2原式 =(u -v) -4v(u -2v)=u4-6u2v+9v22 2=(u -3v)6=(x 2+2xy+y 2 -3xy) 2=(x 22 2．-xy+y )7。

章节复习之因式分解（培优篇） 因式分解的方法一——基本方法知识要点：因式分解的基本方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。

在对一个多项式进行因式分解时，应根据多项式的特点选择合理的分解方法。

A 卷一、填空题1、分解因式：_______________419122=+-+y x x n n . 2、（河南省竞赛题）分解因式：_______________63522=++++y y x xy x . 3、已知242--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的可能取值为 .4、（2000年第16届“希望杯”竞赛题）分解因式：()()__________122=++-+b a b a ab . 5、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）如果x 、y 是整数，且12005200422=-+y xy x ，那么_________=x ，_________=y .二、选择题6、如果多项式9142++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 、6- B 、6 C 、32或32- D 、34或34- 7、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）已知二次三项式c bx x ++22分解因式后为()()132+-x x ，则（ ）A 、3=b ，1-=cB 、6-=b ，2=cC 、6-=b ，4=cD 、4-=b ，6-=c8、（江苏省南通市2005年中等学校招生考试题）把多项式1222-+-b ab a 分解因式，结果为（ ）A 、()()11--+-b a b aB 、()()11-++-b a b aC 、()()11-+++b a b aD 、()()11--++b a b aB 卷一、填空题9、研究下列算式：252514321==+⨯⨯⨯；21112115432==+⨯⨯⨯；==+⨯⨯⨯36116543219；22984117654==+⨯⨯⨯，……用含n 的代数式表示此规律（n 为正整数）是 .二、选择题10、对于这5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③()x x 422+-；④()()m n n n m m -+-63；⑤()()b d c c b d y d c b x 222-+-----+其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）A 、①②⑤B 、②④⑤C 、③④⑤D 、①②④11、已知二次三项式10212-+ax x 可以分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ） A 、a 一定是奇数 B 、a 一定是偶数 C 、a 可为奇数也可为偶数 D 、a 一定是负数 三、解答题 12、分解因式：（1）（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）分解因式：()()()33322y x y x -----（2）122229227131+++--n n n x x x （3）2222222ab x b b a abx bx x a ax +-+-+- （4）()222224b a abx x b a +--- （5）()()()b a c a c b c b a -+-+-222 （6）613622-++-+y x y xy xC 卷一、解答题13、n （1 n ）名运动员参加乒乓球循环赛，每两人之间正好只进行一场比赛。

初中数学竞赛辅导 专题一：因式分解 班级 姓名因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，可以化和为积，因式分解的基本方法有： (1)提公因式法；(2)公式法；(3)分组分解法；即“一提，二套，三分组”因式分解的技巧包括：十字相乘法、双十字相乘法、换元法、添项（拆项）法、待定系数法、利用因式定理分解等．乘法公式: 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 33322222213()()()[()()()]2a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=++++---=++-+-+-一、基本方法：1．220091(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++2．分解因式：66a b - 3．分解因式： 326116x x x +++4．分解因式：632827x x -+ 5. (252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+6． 444444(34)(74)(394)(54)(94)(414)++++++=类似4444444444(10324)(22324)(34324)(46324)(58324)(4324)(16324)(28324)(40324)(52324)++++++++++=444441111144444444441111144444(2)(4)(6)(8)(10)(1)(3)(5)(7)(9)++++++++++=7. (1)已知3330,0a b c a b c ++=++=,求151515a b c ++的值.(2)33332009200920092009,,a b c d a b c d a b c d +=++=++=+已知求证8.求证：在,m n 都是大于1的整数时，444m n +是合数。

专题37因式分解一、十字相乘【学霸笔记】利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2. 二次项系数不为1的十字相乘在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）A. 1B C D. 2【解答】C【解析】，分以下两种情况考虑：由①可得m ＝1，由②可得，故选C .【巩固】求证：若7的倍数，其中x 、y 都是整数，则是49的倍数.二、利用因式分解计算求值【典例】已知x 、y 是二元一次方程组{x −2y =32x +4y =5的解，则代数式x 2﹣4y 2的值为 ．【解答】解：{x −2y =3①2x +4y =5②，①×2﹣②得 ﹣8y ＝1， y =−18，把y =−18代入②得 2x −12=5， x =114， x 2﹣4y 2＝（114）2−4×(−18)2=152，故答案为：152．【巩固】设a =20042−2003×(20042+2005)2003×(20022−2001)−20023，b =20053−2004×(20052+2006)2004×(20032−2002)−20033，则a 、b 的大小关系是（ ） A ．a ＞b B ．a ＝bC ．a ＜bD ．无法确定三、利用因式分解证明【典例】求证：当n 为整数时，多项式（2n +1）2﹣（2n ﹣1）2一定能被8整除．【解答】证明：原式＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2•4n＝8n，∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．【巩固】（1）证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；（2）证明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n为正整数）．巩固练习1．已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于（）A．7B．9C．3D．52．已知a+b+c＝3，a2+b2+c2＝3，则a2017+b2018+c2019的值是．3．已知：x2﹣8x﹣3＝0，则（x﹣1）（x﹣3）（x﹣5）（x﹣7）的值是．4．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b＝0，求u＝9a2+72b+2的最小值．5．已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，求多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值．6．已知n是正整数，且n4﹣16n2+100是质数，求n的值．7．设k为正整数，证明：（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积．8．已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值．9．已知四个实数a，b，c，d，且a≠b，c≠d．若四个关系式：a2+ac＝4，b2+bc＝4，c2+ac ＝8，d2+ad＝8同时成立，试求a，c的值．10．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：a+b+c＝32①b+c−a bc +c+a−bca+a+b−cab=14②是否存在以√a，√b，√c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．11．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）＝321，规定F（n）=E(n)−D(n)198，如F（123）=321−123198=1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）＝5，记k=2D(s)+D(t)9，求k的最大值．专题37因式分解一、十字相乘【学霸笔记】利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2. 二次项系数不为1的十字相乘在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）A. 1B C D. 2【解答】C【解析】，分以下两种情况考虑：由①可得m ＝1，由②可得，故选C .【巩固】求证：若7的倍数，其中x 、y 都是整数，则是49的倍数.【解答】见解析 【解析】证明：∵7的倍数，设（m 为整数），∵x 、m 是整数，∴也是整数，∴是49的倍数.二、利用因式分解计算求值【典例】已知x 、y 是二元一次方程组{x −2y =32x +4y =5的解，则代数式x 2﹣4y 2的值为 ．【解答】解：{x −2y =3①2x +4y =5②，①×2﹣②得 ﹣8y ＝1， y =−18，把y =−18代入②得 2x −12=5， x =114， x 2﹣4y 2＝（114）2−4×(−18)2=152， 故答案为：152．【巩固】设a =20042−2003×(20042+2005)2003×(20022−2001)−20023，b =20053−2004×(20052+2006)2004×(20032−2002)−20033，则a 、b 的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定【解答】解：∵a=20042−2003×(20042+2005) 2003×(20022−2001)−20023=20042(1−2003)−2003×20052003×20022−2003×2001−20023=20042−20042×2003−(2004−1)×(2004+1)2003×20022−2003×2001−20023=20042−20042×2003−20042+120022×(2003−2002)−(2002+1)×(2002−1)=−20042×2003+120022−20022+1＝﹣20042×2003+1＜0，b=20053−2004×(20052+2006) 2004×(20032−2002)−20033=20053−2004×20052−2004×20062004×20032−2004×2002−20033=20052×(2005−2004)−(2005−1)×(2005+1)(2004−2003)×20032−(2003+1)×(2003−1)=20052−20052+120032−20032+1＝1＞0，∴a＜b．故选：C．三、利用因式分解证明【典例】求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．【解答】证明：原式＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2•4n＝8n，∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．【巩固】（1）证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；（2）证明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n为正整数）．【解答】（1）证明：设a＝2002，原式＝（a﹣3）（a﹣2）（a﹣1）（a+1）（a+2）（a+3）+36＝（a2﹣1）（a2﹣4）（a2﹣9）+36＝a6﹣（1+4+9）a4+（4+9+36）a2﹣36+36＝a6﹣14a4+49a2＝a 2（a 4﹣14a 2+49） ＝a 2•（a ﹣7）2 ＝[a （a ﹣7）]2．故1999×2000×2001×2003×2004×2005+36＝[2002（2002﹣7）]2＝（2002×1995）2，即1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；（2）证明：98n +4﹣78n +4＝（92n +1）4﹣（72n +1）4＝[（92n +1）2+（72n +1）2][（92n +1）2﹣（72n +1）2]＝[（92n +1）2+（72n +1）2]（92n +1+72n +1）（92n +1﹣72n +1），∵n 为正整数，∴（92n +1）2+（72n +1）2，92n +1+72n +1，92n +1﹣72n +1都是偶数，∴[（92n +1）2+（72n +1）2]（92n +1+72n +1）（92n +1﹣72n +1）能被8整除，即98n +4﹣78n +4能被8整除．巩固练习1．已知x ＝2m +n +2和x ＝m +2n 时，多项式x 2+4x +6的值相等，且m ﹣n +2≠0，则当x ＝3（m +n +1）时，多项式x 2+4x +6的值等于（ ） A ．7B ．9C ．3D ．5【解答】解：∵x ＝2m +n +2和x ＝m +2n 时，多项式x 2+4x +6的值相等， ∴二次函数y ＝x 2+4x +6的对称轴为直线x =2m+n+2+m+2n 2=3m+3n+22，又∵二次函数y ＝x 2+4x +6的对称轴为直线x ＝﹣2， ∴3m+3n+22=−2，∴3m +3n +2＝﹣4，m +n ＝﹣2，∴当x ＝3（m +n +1）＝3（﹣2+1）＝﹣3时， x 2+4x +6＝（﹣3）2+4×（﹣3）+6＝3． 故选：C ．2．已知a +b +c ＝3，a 2+b 2+c 2＝3，则a 2017+b 2018+c 2019的值是 ．【解答】解：∵a +b +c ＝3，a 2+b 2+c 2＝3， ∴a 2+b 2+c 2﹣2（a +b +c ）+3＝0， ∴（a ﹣1）2+（b ﹣1）2+（c ﹣1）2＝0， ∵（a ﹣1）2≥0，（b ﹣1）2≥0，（c ﹣1）2≥0， ∴{a −1=0b −1=0c −1=0， ∴{a =1b =1c =1， ∴a 2017+b 2018+c 2019＝12017+12018+12019＝3， 故答案为：3．3．已知：x 2﹣8x ﹣3＝0，则（x ﹣1）（x ﹣3）（x ﹣5）（x ﹣7）的值是 ． 【解答】解：∵x 2﹣8x ﹣3＝0， ∴x 2﹣8x ＝3（x ﹣1）（x ﹣3）（x ﹣5）（x ﹣7）＝（x 2﹣8x +7）（x 2﹣8x +15）， 把x 2﹣8x ＝3代入得：原式＝（3+7）（3+15）＝180． 故答案是：180．4．设实数a ，b 满足：3a 2﹣10ab +8b 2+5a ﹣10b ＝0，求u ＝9a 2+72b +2的最小值． 【解答】解：由3a 2﹣10ab +8b 2+5a ﹣10b ＝5（a ﹣2b ）+（a ﹣2b ）（3a ﹣4b ） ＝（a ﹣2b ）（3a ﹣4b +5）＝0， 所以a ﹣2b ＝0，或3a ﹣4b +5＝0． ①当a ﹣2b ＝0，即a ＝2b 时，u ＝9a 2+72b +2＝36b 2+72b +2＝36（b +1）2﹣34，于是b ＝﹣1时，u 的最小值为﹣34，此时a ＝﹣2，b ＝﹣1．②当3a ﹣4b +5＝0时，u ＝9a 2+72b +2＝16b 2+32b +27＝16（b +1）2+11， 于是b ＝﹣1时，u 的最小值为11，此时a ＝﹣3，b ＝﹣1． 综上可知，u 的最小值为﹣34．5．已知a ＝2019x +2016，b ＝2019x +2017，c ＝2019x +2018，求多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值．【解答】解：∵a ＝2019x +2016，b ＝2019x +2017，c ＝2019x +2018， ∴a ﹣b ＝﹣1，a ﹣c ＝﹣2，b ﹣c ＝﹣1，∴a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac =12[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]=12[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]＝3．6．已知n 是正整数，且n 4﹣16n 2+100是质数，求n 的值．【解答】解：∵n 4﹣16n 2+100＝n 4+20n 2+100﹣36n 2＝（n 2+6n +10）（n 2﹣6n +10）， ∵n 2+6n +10≠1，而n 4﹣16n 2+100为质数， ∴n 2﹣6n +10＝1，即|（n ﹣3）2＝0， 解得n ＝3． 故答案为：3．7．设k 为正整数，证明：（1）如果k 是两个连续正整数的乘积，那么25k +6也是两个连续正整数的乘积； （2）如果25k +6是两个连续正整数的乘积，那么k 也是两个连续正整数的乘积． 【解答】证明：（1）设两个连续正整数可表示为x ，x +1，那么k ＝x （x +1）， 25k +6， ＝25x （x +1）+6， ＝25x 2+25x +6， ＝（5x +2）（5x +3）， ∴也是两个连续数的乘积，∴如果k 是两个连续正整数的乘积，那么25k +6也是两个连续正整数的乘积；（2）设25k +6＝m （m +1），m 为正整数，则100k +25＝4m （m +1）+1＝4m 2+4m +1＝（2m +1）2＝52×（4k +1）， ∴2m +1是5的倍数，且（2m +1）/5是奇数， ∴设2m+15=2x +1（x 为正整数），则4k +1＝（2m+15）2＝（2x +1）2，∴4k +1＝4x 2+4x +1， ∴4k ＝4x 2+4x ， ∴k ＝x （x +1），∴k 是连续两个正整数的积．8．已知关于x 、y 的二次式x 2+7xy +ay 2﹣5x ﹣45y ﹣24可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值．【解答】解：∵x 2﹣5x ﹣24＝（x ﹣8）（x +3），∴设原式＝（x ﹣8+my ）（x +3+ny ）＝x 2+（m +n ）xy +mny 2﹣5x +（﹣8n +3m ）y ﹣24， 即x 2+7xy +ay 2﹣5x ﹣45y ﹣24＝x 2+（m +n ）xy +mny 2﹣5x +（﹣8n +3m ）y ﹣24， ∴﹣8n +3m ＝﹣45，m +n ＝7，∴m ＝1，n ＝6，a ＝mn ＝6．答：a 的值为6．9．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a ≠b ，c ≠d ．若四个关系式：a 2+ac ＝4，b 2+bc ＝4，c 2+ac ＝8，d 2+ad ＝8同时成立，试求a ，c 的值．【解答】解：由（a 2+ac ）﹣（b 2+bc ）＝4﹣4＝0，（c 2+ac ）﹣（d 2+ad ）＝8﹣8＝0， 得 （a ﹣b ）（a +b +c ）＝0，（c ﹣d ）（a +c +d ）＝0，∵a ≠b ，c ≠d ，∴a +b +c ＝0，a +c +d ＝0，∴b ＝d ＝﹣（a +c ）．又（a 2+ac ）+（c 2+ac ）＝4+8＝12，（a 2+ac ）﹣（c 2+ac ）＝4﹣8＝﹣4，得a +c =±2√3，（a ﹣c ）（a +c ）＝﹣4．当a +c =2√3时，a −c =−2√33， 解得a =2√33，c =4√33，b =d =−2√3 当a +c =−2√3，a −c =2√33，解得a =−2√33，c =−4√33，b =d =2√3． 10．已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：a +b +c ＝32 ①b+c−a bc +c+a−b ca +a+b−c ab =14② 是否存在以√a ，√b ，√c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．【解答】解法1：将①②两式相乘，得(b+c−a bc+c+a−b ca +a+b−c ab )(a +b +c)=8， 即(b+c)2−a 2bc +(c+a)2−b 2ca +(a+b)2−c 2ab =8， 即(b+c)2−a 2bc −4+(c+a)2−b 2ca −4+(a+b)2−c 2ab =0， 即(b−c)2−a 2bc +(c−a)2−b 2ca +(a+b)2−c 2ab =0， 即(b−c+a)(b−c−a)bc +(c−a+b)(c−a−b)ca +(a+b+c)(a+b−c)ab =0， 即(b−c+a)abc [a(b −c −a)−b(c −a +b)+c(a +b +c)]=0， 即(b−c+a)abc [2ab −a 2−b 2+c 2]=0，即(b−c+a)abc [c 2−(a −b)2]=0， 即(b−c+a)abc (c +a −b)(c −a +b)=0，所以b ﹣c +a ＝0或c +a ﹣b ＝0或c ﹣a +b ＝0，即b +a ＝c 或c +a ＝b 或c +b ＝a ．因此，以√a ，√b ，√c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°． 解法2：结合①式，由②式可得32−2a bc+32−2b ca +32−2c ab =14， 变形，得1024−2(a 2+b 2+c 2)=14abc ③又由①式得（a +b +c ）2＝1024，即a 2+b 2+c 2＝1024﹣2（ab +bc +ca ），代入③式，得1024−2[1024−2(ab +bc +ca)]=14abc ，即abc ＝16（ab +bc +ca ）﹣4096．（a ﹣16）（b ﹣16）（c ﹣16）＝abc ﹣16（ab +bc +ca ）+256（a +b +c ）﹣163＝﹣4096+256×32﹣163＝0，所以a ＝16或b ＝16或c ＝16．结合①式可得b +a ＝c 或c +a ＝b 或c +b ＝a ．因此，以√a ，√b ，√c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．11．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n ，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D （n ），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E （123）＝321，规定F （n ）=E(n)−D(n)198，如F （123）=321−123198=1． （1）计算：F （159），F （246）；（2）若D （s ）是百位数字为1的数，D （t ）是个位数字为9的数，且满足F （s ）+F （t ）＝5，记k =2D(s)+D(t)9，求k 的最大值． 【解答】解：（1）∵D （159）＝159∴E （159）＝951∴F （159）=E(159)−D(159)198=792198=4 ∵D （246）＝246∴E （246）＝642∴F （246）=E(246)−D(246)198=396198=2 （2）设s 、t 的每个数位上的数字递增数值分别为x 、y∵x 、y 为各个数位上的递增数值，递增后的数值不能使各数位上的数字超过9∴x 、y 分别取1﹣4的整数∴D（s）＝100+10（1+x）+（1+2x）＝12x+111D（t）＝100（9﹣2y）+10（9﹣y）+9＝999﹣210y ∴E（s）＝100（1+2x）+10（1+x）+1＝210x+111 E（t）＝900+10（9﹣y）+（9﹣2y）＝999﹣12y∴F（s）=E(s)−D(s)198=(210x+111)−(12x+111)198=x同理F（t）＝y∵F（s）+F（t）＝5∴x+y＝5∴y＝5﹣x∵k=2D(s)+D(t)9∴k=2(12x+111)+(999−210y)9=24x+222+999−210(5−x)9＝26x+19∵1≤x≤4，且x为整数∴当x＝4时，k最大值为123．。