初中培优竞赛含详细解析 第1讲 整数的基本性质

整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。

任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。

性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。

二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。

例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。

例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。

例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。

例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。

初中数学竞赛教程21整数的性质整数是数学中非常基本且重要的概念之一、它是全体正整数、负整数和零的集合，用整数集表示为Z，数学符号为Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。

整数的性质涉及到整数的四则运算、整数的大小比较以及整数的奇偶性等方面。

下面就对整数的性质进行详细介绍。

一、整数的四则运算1.加法：对于整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。

加法满足交换律，即a+b=b+a；加法还满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。

2.减法：对于整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。

3.乘法：对于整数a和b，它们的积a×b也是一个整数。

乘法满足交换律，即a×b=b×a；乘法还满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。

4.除法：对于整数a和b，其中b不等于0，a/b的商可能是一个整数，也可能是一个带有小数部分的数。

二、整数的大小比较1.大小关系：对于两个整数a和b，如果a<b，称a小于b；如果a>b，称a大于b；如果a=b，称a等于b。

2.大于0和小于0：正整数都大于零；负整数都小于零。

三、整数的奇偶性1.奇数：整数中，除了能被2整除的数字外，其他的数字都是奇数。

奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为任意整数。

2.偶数：能被2整除的数字为偶数。

偶数可以表示为2k的形式，其中k为任意整数。

3.奇数和奇数的和是偶数，奇数和偶数的和是奇数，偶数和偶数的和是偶数。

四、整数的性质定理1.整数的加法性质：对于任意整数a和b，有a+b=b+a，即整数的加法满足交换律。

2.整数的减法性质：对于任意整数a和b，有a-b=a+(-b)，即整数的减法可以转化为加法运算。

3.整数的乘法性质：对于任意整数a、b和c，有(a+b)×c=a×c+b×c，即整数的乘法满足分配律。

4.整数的除法性质：对于任意整数a、b和c，如果a=b×c，且b不等于0，则a除以b的余数为0。

初中数学竞赛题选知识点梳理数学竞赛是中学生们展示数学才能的舞台，也是检验数学基础和解题能力的重要考验。

在参加数学竞赛前，对一些常见的知识点进行梳理和总结，可以帮助同学们更好地应对竞赛题目。

本文将就初中数学竞赛中常见的知识点进行梳理，并举例说明。

一、整数1. 整数的性质：正整数、负整数、绝对值、相反数、零等。

例如，如果一个题目中涉及到判断两个整数的大小，我们可以根据正整数大于零、负整数小于零、相反数的关系来判断。

2. 整数的加法和减法运算：在竞赛中，整数的加法和减法是最基础且常见的题型。

熟练掌握整数的加减法规则是解题的基础。

例如：（1）计算：(-3) + 5 = ?（2）计算：9 - (-4) = ?3. 整数的乘法和除法运算：整数的乘法和除法也是常见的竞赛题型。

简化表达式、掌握整数的乘法和除法规则是解题的要点。

例如：（1）计算：(-2) × 3 = ?（2）计算：(-16) ÷ (-4) = ?二、代数与方程式1. 代数表达式：熟悉代数表达式的定义和基本操作，能够将问题转化为代数符号表示的形式。

例如，将一个题目给出的条件用字母表示，然后列出方程式解决。

2. 一元一次方程：能够解一元一次方程，包括加减乘除四则运算。

例如：（1）解方程：x + 3 = 9（2）解方程：3x - 5 = 73. 一元二次方程：掌握求解一元二次方程的基本方法，包括二次项系数为1和非1的情况。

例如：（1）解方程：x^2 - 4x = 0（2）解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0三、平面几何1. 直角三角形：了解直角三角形的性质，包括勾股定理和三角函数的应用。

例如：（1）给出一个直角三角形的两个已知边，计算未知边的长度。

（2）给出一个直角三角形的一个已知边和一个已知角度，计算其他边的长度。

2. 三角形的面积：了解三角形面积的计算方法，包括海伦公式和正弦定理的应用。

例如：（1）计算给定三角形的面积。

（2）根据给定的两个边和夹角，计算三角形的面积。

第一讲 整数的基本知识整数的研究在数学里占有极为重要的地位特别是整数问题的灵活性和独特性，有利于培养和考查学生的综合素质．因此，各级各类数学竞赛，整数的问题涉及较多．一、竞赛中涉及的问题(一)十进制整数及表示方法通常所说的数都是十进制的数．如：12本书的12；1999年的1999等。

一个二位数可表示为ab 或l0a ＋b ；一个三位数可表示为abc 或l00a ＋10b ＋c ．其中a 、b 、c 是0，1，…，9中的数，且a ≠0，如1999=1×103＋9×102＋9×10＋9．一般地：一个十进制的n ＋1位的自然数N 可表示为： N=1210...n n a a a a a -=1212101010...1010n n n n a a a a a --⨯+⨯++⨯+⨯+，其中a i (i ＝0，1，2，…，n)都是整数，0≤a i ≤9，且a i ≠0．(二)质数与合数一个大于1的正整数a ，若仅有1与a 这两个正约数，则a 叫做质数(或素数)；若还有其他的正约数，则a 叫做合数．若将自然数(正整数)按约数的个数分类，可分为三类：1、质数、合数．质数、合数具有以下性质：(1)1既不是质数也不是合数(2)质数有无穷多个，不存在最大质数，但存在最小质数2，也是质数中惟一的偶数．(3)若…个正整数a 的一个约数P 是质数，则约数P 叫做a 的质约数(质因数)．(4)任何一个大于1的自然数N 都能分解成质因数的连乘积形式：N ＝1212n a a a n P P P （*） 其中P i (i=1，2…n)为质数，a i (i ＝1，2…n)为自然数．如果不考虑因数的顺序，这种分解式是惟一的．(5)一个合数分成标准（*）后，约数的个数为(a l ＋1)(a 2＋1)...(a n ＋1)．如：12＝22×3，它的约数的个数为(2＋1)(1＋1)＝3×2＝6(三)最大公约数与最小公倍数自然数a 1，a 2，…a n 公有的约数叫做n 个数的公约数，其中最大的一个公约数，叫做这n个数的最大公约数．记作(a 1，a 2，… a n )＝d ，其中d 、n 为正整数，且n ≥2．若(a 1，a 2，…a n )＝1，则叫a 1,a 2,…a n 互质．如(4，9)＝1，就说4和9互质．自然数a 1，a 2，…a n 公有的倍数叫做n 个数的公倍数，其中最小(除0以外)的—个公倍数．叫做这n 个数的最小公倍数．记作 [a 1，a 2，…，a n ]＝m ，其中m 、n 为正整数，且m ≥2最大公约数与最小公倍数的求法：将每个数分解成质因数的乘积，这些书中各质因数最高次幂的乘积就是这些数的最小公倍数；各质因数最低次幂的乘积就是这些数的最大公约数．通常还可以用公式：ab ＝(a ，b)[a ，b](四)奇数与偶敷整数可以分为奇数和偶数两类。

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（15）整数的分类【知识精读】1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数(0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。

－9＝5（－2）＋1。

）2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。

例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。

m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。

4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

整数的概念和性质整数是数学中的一种基本数集，由正整数、负整数和零组成。

本文将以探讨整数的概念和性质为主题，详细阐述整数的定义、运算规则以及在实际生活中的应用。

一、整数的定义整数是数学中的一种数集，用符号“Z”表示，其定义如下：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}在整数集中，包含了无穷多个整数，其中包括正整数、负整数和零。

正整数表示大于零的整数，负整数表示小于零的整数，而零表示不大于也不小于零的整数。

二、整数的性质1. 整数的加法性质：- 任何整数加零，结果仍然是原整数。

- 正整数相加，结果仍然是正整数。

- 负整数相加，结果仍然是负整数。

- 正整数与负整数相加，结果可能是正整数、负整数或零。

2. 整数的减法性质：- 任何整数减零，结果仍然是原整数。

- 正整数减正整数，结果可能是正整数、负整数或零。

- 负整数减负整数，结果可能是正整数、负整数或零。

- 正整数减负整数，结果可能是正整数、负整数或零。

- 负整数减正整数，结果可能是正整数、负整数或零。

3. 整数的乘法性质：- 任何整数乘以零，结果为零。

- 正整数乘以正整数，结果为正整数。

- 负整数乘以负整数，结果为正整数。

- 正整数乘以负整数，结果为负整数。

- 负整数乘以正整数，结果为负整数。

4. 整数的除法性质：- 任何整数除以零是不符合数学规则的，因为除数不能为零。

- 正整数除以正整数，结果可能是正整数、负整数或零。

- 负整数除以负整数，结果可能是正整数、负整数或零。

- 正整数除以负整数，结果可能是正整数、负整数或零。

- 负整数除以正整数，结果可能是正整数、负整数或零。

5. 整数的乘方性质：- 任何整数的零次幂等于1。

- 非零整数的正整数次幂结果仍然是整数。

- 非零整数的负整数次幂结果可能是整数或小数。

三、整数在实际生活中的应用整数在我们的日常生活中有着广泛的应用，尤其在计算、统计和代数等领域中起到了重要作用。

初中七年级数学竞赛培优讲义《初中七年级数学竞赛培优讲义》哎呀，一提到数学竞赛培优讲义，我这心里就像揣了只小兔子，怦怦直跳！为啥？因为这可真是个充满挑战又超级有趣的东西啊！你想想，数学就像一座神秘的城堡，里面藏着无数的宝藏和秘密。

而七年级的数学竞赛培优讲义，那就是打开这座城堡大门的一把神奇钥匙！我们先来说说那些有趣的几何图形吧。

三角形、四边形、圆形，它们就像是城堡里不同形状的房间。

三角形稳定得像泰山，不管怎么推怎么挤，它都稳稳当当的，难道这还不够神奇吗？四边形呢，有时候像个调皮的孩子，轻轻一拉就变形了。

圆形就更妙啦，像个超级大皮球，从哪个角度看都那么圆润可爱。

再讲讲代数部分，那些字母和数字的组合，就像是一场精彩的魔术表演。

X、Y 一会儿变大，一会儿变小，一会儿又消失不见，然后又突然冒出来，这难道不像魔术师手中的道具，让人眼花缭乱又惊喜连连？我们在课堂上，老师拿着培优讲义，就像拿着一本武功秘籍，给我们传授着一招一式。

“同学们，这道题可不容易哦，大家好好想想！”老师这么一说，大家都皱起了眉头，开始苦思冥想。

我心里想：“哼，我就不信我解不出来！”然后和同桌小声嘀咕：“你觉得从哪里入手好？”同桌挠挠头：“我也不太清楚呢，咱们再看看。

”小组讨论的时候那才热闹呢！“我觉得应该这样做。

”“不对不对，应该那样。

”大家争得面红耳赤，可谁也不服谁。

最后老师来给我们指点迷津，一下子就恍然大悟，那种感觉，就像在黑暗中突然看到了光明，别提多兴奋啦！做数学竞赛题，有时候就像爬山。

一开始觉得山坡好陡啊，怎么爬都爬不上去。

可是当你咬咬牙，坚持一下，突然就发现找到了一条小路，然后顺着这条路，一下子就爬到了山顶，那种成就感，简直无与伦比！数学竞赛培优讲义里的每一道题，都是一个小怪兽，我们就是勇敢的战士，拿着知识的武器去打败它们。

有时候会被小怪兽打得晕头转向，但是只要不放弃，总有战胜它们的时候。

经过这么长时间的学习和努力，我深深地觉得，数学竞赛培优讲义虽然难，但是它就像一个超级好玩的游戏，只要你用心去玩，就能从中获得无尽的乐趣和收获。

专题1：整数的基本性质一、选择题1．（希望杯竞赛题）三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（）A．28 B．27 C．26 D．252．（第17届五羊杯竞赛题）设n为正整数，12=．已知m的约数个数是n的约数个数的2倍，m n则符合这种情形的最小的n是（）位数．A．1 B．2 C．3 D．不少于43．（2005年河南省竞赛题）探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9，…，那么32005的个位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．14．（黄冈市竞赛题）若p为质数，35p+为（）．p+仍为质数，则57A．质数B．可为质数也可为合数C．合数D．既不是质数也不是合数5．（江苏第19届初中数学竞赛题）甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中耙环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（）．A．0 B．1 C．2 D．36．（第18届五羊杯竞赛题）2006和3007的最大公约数是（）．A．1 B．7 C．11 D．137．（英国中学数学竞赛题）在音乐中，三十二分音符的时值是四分音符时值一半的一半的一半．1个全音符的时值相当于4个四分音符，则1个全音符相当于（）个三十二分音符．A．8 B．16 C．32 D．64 E．128 8．（1997年学习报竞赛题）有1997盏亮着的电灯，各由一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，…，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的灯的盏数为（）A．1464 B．533 C．999 D．9989．（2006年全国初中数学竞赛题）在高速公路上，汽车从3 km处开始，每隔4 km经过一个限速标志牌；并且从l0 km处开始，每隔9 km经过一个速度监控仪．刚好在19 km处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）．A．36 B．37 C．55 D．9010．（2001年重庆市竞赛题）从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数共有（）个．A ．64B ．48C ．56D ．4611．（英国中学数学竞赛题）吉尔最近搬进了新居，房号是一个三位数．这个数与三个位数上的数字之和是429．请问房号三个位数上的数字的乘积是（ ）．A ．20B ．28C ．30D ．36E ．4812．（英国中学数学竞赛题）英文单词“thirty （30）”由6个字母组成，6305=÷．同样，单词“forty（40）”由5个字母组成，5408=÷．下列（ ）个单词所表示的数字不是它所含字母数目的倍数．A ．six （6）B ．twelve （12）C ．eighteen （18）D ．seventy （70）E ．ninety （90） 13．（第15届希望杯培训题）已知x ，y 为整数，以下有四个条件：①x 为偶数；②y 为偶数；③x y +为偶数；④x y -为偶数．其中，能使乘积xy 为偶数的条件有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．414．（2004年全国初中数学联赛题）已知p ，q 均为质数，且满足25359p q +=．则以3p +，1p q -+，24p q +-为边长的三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形15．（第17届希望杯竞赛题）三角形三边的长a ，b ，c 都是整数，且[],,60a b c =，(),4a b =，(),3b c =（注：[],,a b c 表示a ，b ，c 的最小公倍数，(),a b 表示a ，b 的最大公约数）．则a b c ++的最小值是（ ）．A ．30B ．31C ．32D ．3316．（2005年河北初中数学竞赛题）在小于1000的正整数中，能被5整除或能被7整除，但是不能被35整除的数的个数为（ ）．A ．285B ．313C ．341D ．36917．（“希望杯”竞赛题）当x 取1到10之间的质数时，四个式子：22x +，24x +，26x +和28x +的值中，共有质数（ ）个．A ．6B ．9C ．12D ．1618．（2004年山东省初中数学竞赛题）已知n 是奇数，m 是偶数，方程组20041128y n x y m+=⎧⎨+=⎩有整数解0x ，0y ，则（ ）． A ．0x ，0y 均为偶数B ．0x ，0y 均为奇数C ．0x 是偶数，0y 是奇数D ．0x 是奇数，0y 是偶数19．（第16届希望杯竞赛题）若a ，b 均为正整数，且()m ab a b =+，则（ ）．A ．m 一定是奇数B ．m 一定是偶数C ．只有当a ，b 均为偶数时，m 是偶数D ．只有当a ，b 中一个为偶数，另一个为奇数时，m 是偶数20．（英国中学数学竞赛题）鲍勃和杰瑞是两个建筑工人，他俩以相同的价格买来了砖．鲍勃以每10块砖£6价格出售，杰瑞以每12块砖£7价格出售．假设他俩售出砖的数目相同，请问要等售出（ ）块砖后，鲍勃会比杰瑞多赚£4．A ．42B ．60C ．72D ．120E ．24021．（第14届五羊杯竞赛题）2002的不大于100的正约数有（ ）．A ．10个B ．9个C ．8个D ．11个22．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果()()()12233S a n b n c n =++++++，那么（ ）．A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能确定 23．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知n 是整数，现有两个代数式：①23n +，②41n -．其中能表示“任意奇数”的（ ）．A ．只有①B ．只有②C ．有①和②D ．—个也没有24．（五羊杯竞赛题）在下面图形中，共有（ ）个可以一笔画成（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）．A ．0B ．1C ．2D ．325．（第17届五羊杯竞赛题）以下关于质数和合数的4种说法中，准确的说法共有（ ）种．①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和必为非合数．A ．3B ．2C ．1D ．026．（第17届五羊杯竞赛题）已知x 和y 都是两位的自然数，x 和y 的最大公约数是2．最小公倍数是100，则22x y +=（ ）．A ．2516B ．10004C ．2516或10004D ．无法计算27．（第14届希望杯竞赛题〗对任意的三个整数，则（ ）．A ．它们的和是偶数的可能性小B ．它们的和是奇数的可能性小C ．其中必有两个数的和是奇数D ．其中必有两个数的和是偶数28．（2001年全国初中数学竞赛题）如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2a b +，2b c +，2c a +（ ） A ．都不是整数 B ．至少有两个整数 C ．至少有一个整数 D ．都是整数29．（第18届五羊杯竞赛题）设整数n 满足01000n <<，11n a =⨯，a 也是整数，而且n 的各位数字和恰好也是a ，那么这样的n （ ）．A ．至少有3个B ．恰有2个C ．刚好有1个D ．不存在30．（2003年全国初中数学竞赛题）某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3≥），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（ ）．A ．1种B ．2种C ．4种D ．0种二、填空题31．（2002年四川省竞赛题）立方体的每一个面都写着一个自然数．并且相对两个面所写两个数之和相等，10，12，15是相邻三面上的数，若10的对面写的是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是质数c ，则222a b c ab bc ca ++---的值等于__________．32．（希望杯竞赛题）若a ，b ，c 是1998的三个不同的质因数，且a b c <<，则()a b c +=__________．33．（第17届五羊杯竞赛题）9个连续的正奇数中，最多有__________个质数．34．（2000年甘肃省小学数学冬令营竞赛题）已知6a b x ⨯+=，其中a ，b 均为小于1000的质数，x 是偶数，那么x 的最大值是__________．35．（2000年吉林省小学数学夏令营竞赛题）A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七盏灯各自装有一个拉线开关．开始B ，D ，F 亮着，一个小朋友按从A 到G ，再从A 到G ，再A 到G 的顺序依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是__________．36．（第18届五羊杯竞赛题）设a 1=12×8，a 2=102×98，a 3=1002×998，a 4=10002×9998，…，又设S =a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 20，那么S 的各位数字和为________．37．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知a 是质数，b 是奇数，且22001a b +=，则a b +=__________．38．（江苏第17届初中数学竞赛题）已知四个正整数的积等于2002，而它们的和小于40，那么这四个数是__________．39．（第17届希望杯竞赛题）2m+2006+2m （m 是正整数）的末位字数是________．40．（第18届五羊杯竞赛题）如果n 为正偶数，并且()21n -整除n 2006-1，那么n 的最大值为________．41．（第15届希望杯竞赛题）已知p ，q ，1pq +都是质数，且40p q ->，那么满足上述条件的最小质数p =__________，q =__________．42．（上海市竞赛题）写出10个连续自然数，它们个个都是合数，这10个数是__________．43．（第18届五羊杯竞赛题）A 是整数，0A >，且2006A -是一个完全立方数，则A 的最小值是__________．44．（第4届中国趣味数学决赛题）下面的算式中，每个汉字代表一个数字（0~9），不同汉字代表不同数字，则美+妙+数+学+花+园=________．45．（第7届“小数生数学杯”数学竞赛题）某书店所卖的贺年片，单价全部是以“角”为单位的整数．小杨用30元钱在这家书店一次购买同一种贺年片若干张．一周之后，这家店的贺年片全部降价，小杨上次买的那种贺年片每张降价1元．如果小杨现在还花30元钱．就可以比降价前多买8张．则降价前，这种贺年片每张__________元，小杨买了这种贺年片__________张．46．（2005年浙江省小学数学活动课夏令营）用数字0，1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，偶数有__________个．47．（第15届俄罗斯数学节日竞赛题）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是__________．48．（2005年全国初中数学联赛题）设n 为自然数，如果2005能写成n 个正的奇合数之和，就称n 为“好数”，则这种好数有__________个．49．（江苏省第21届初中数学竞赛题）若p 和q 为质数，且5391p q +=，则p =__________，q =__________．50．（2002年浙江省小学数学夏令营）将()1232002n +++⋅⋅⋅++表示为()1n n >个连续自然数的和，共有__________种不同的表示方法．51．（第15届希望杯竞赛题）若正整数x ，y 满足200415x y =，则x y +的最小值是__________．52．（希望杯竞赛题）将2001表示为若干个（多于1个）连续正奇数的和，考虑所有不同的表示方法，将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组，则这一组中最大的数是__________．53．（希望杯竞赛题）3个质数a ，b ，c 的乘积等于这3个质数的和的5倍，则a 2+b 2+c 2=________．54．（五羊杯竞赛题）n 不是质数，n 可以分解为2个或多于2个质因数的积，每个质因数都大于10，n 最小值等于__________． 55．（哈尔滨市第13届“未来杯”竞赛题）一个六位数ABABAB 乘以4080的结果恰是6个连续自然数的积，则这6个连续自然数的和是__________．56．（希望杯竞赛题）已知三个质数m ，n ，p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++的值为__________．57．（第17届五羊杯竞赛题）在1~2005的所有正整数中，共有________个整数x ，使33x +1和x 3被5除的余数相同．58．（2004年全国初中数学联赛题）设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m =__________．59．（第19届江苏省初中数学竞赛题）黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，…，擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和是2004，那么，擦去的奇数是__________．60．（2005年武汉市明心奥数挑战赛题）整数N 恰好具有6个不同的约数（包括1和N 在内）．其中5个约数之积是648．那么整数N 的另一个约数是__________．61．（全国初中数学联赛题）1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是__________．62．（第18届五羊杯竞赛题）如果A ，B ，C 是三个质数，而且14A B B C -=-=，那么A ，B ，C 组成的数组（A ，B ，C ）共有__________组．63．（第14届希望杯竞赛题）正整数m 和n 有大于1的最大公约数，且满足3371m n +=，则mn =__________．64．（2002年吉林省小学数学竞赛题）甲、乙、丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是3960，那么乙最多买__________本．65．（第14届希望杯竞赛题）a 和2182a a +-都是正整数，则a =__________． 66．（2004年“陈省身杯”数学邀请赛题）已知两个自然数，每一个数除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，而这两个数的最小公倍数是975，则这两个数分别是__________，__________．67．（哈尔滨市第16届“未来杯”竞赛题）小兰家的电话号码是个七位数，它恰好是一个100以内最大的质数与另外几个连续质数的乘积，这个积的后四位数恰好是前三位数的10倍，则小兰家的电话号码是__________．68．（哈尔滨市第16届“未来杯”竞赛题）中央大街右边的门牌号1，3，5，…，25中任意一个数与左边的门牌号2，4，6，…，26中任意一个数相乘，在得到的许多不同的积中，能被6整除的个数，正好与王老师的年龄相同，则王老师今年__________岁．69．（第14届五羊杯竞赛题）自然数1n ≥，满足：2002n ⨯是完全立方数，2002n ÷是完全平方数．这样的n 中的最小者是__________．70．（2003年全国初中数学联赛题）已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍．那么a ，b 中较大的数是__________．三、解答题71．（第17届希望杯竞赛题）（1）求证：奇数的平方被8除余1；（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．72．（第21届江苏省初中数学竞赛题）已知k ，a ，b 为正整数，k 被a 2，b 2整除所得的商分别为m ，m+116．（1）若a ，b 互质，求证：22a b -与a 2，b 2都互质；（2）当a ，b 互质时，求k 的值；（3）若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．73．（首届华杯赛试题）一个六位数3434ab 能同时被8和9整除，已知a +b =c ，求c 的最小值．74．（北京市竞赛题）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，3，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到．请举一例；若不能办到，请说明理由．75．（首届华杯赛试题）数学老师做了一个密码给同学们破解，密码是PQRQQS ，相同字母代表相同的数字，不同字母代表不同的数字．已知这6个数字之和等于31，且：P 是任何整数的约数（因子）；Q 是合数；R 被任何一个数去除，答案都会一样；S 是质数．这个密码是什么？76．（第13届日本奥数决赛题）平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字，相同的字母代表相同的数字）：AB BA ⨯=．大介：“得数是2872．”平太：“不对．”大介：“个位的数字对吗？”平太：“对．”大介：“其他数位的数字有对的吗？”平太：“这是保密的．但你调换一下四位数2872中4个数字的位置，就能得出正确答案．” 请求出正确答案．77．（首届华杯赛试题）已知p 是质数，且2006p -也是质数．若()2006p -乘()2006p +的积等于自然数k ．求k 的最大值．78．（第五届加拿大数学竞赛题）求证：如果p 与2p +都是大于3的质数，那么6是1p +的因数．79．（北京市竞赛题）1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．80．（首届华杯赛试题）观察下列数列，求出第90个数除以3的余数：10，13，23，36，59，95，154，…．81．（安徽省竞赛题）甲、乙、丙3人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍．已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11．试求每人得糖的块数．82．（1998年香港小学生数学竞赛题）A ，B ，C ，D 四个数之和为59，问：2222A B C D +++，3333.A B C D +++，4444A B C D +++，5555A B C D +++这四个数中共有几个奇数？83．（首届华杯赛试题）一个六位数3434ab 能同时被8和9整除．已知a b c +=，求c 的最小值．84．（1997年五羊杯竞赛题）已知p ，2p +，6p +，8p +，14p +都是质数，则这样的质数p 共有多少个？85．（2006年国际城市竞赛题）已知正整数m ，n n =，求n 的最大值．86．（首届华杯赛试题）已知x ，y ，z 是3个小于100的正整数，且x y z >>，x y -，x z -及y z -均是质数，求x z -的最大值．87．（第3届华杯赛复赛题）能同时被6，7，8，9整除的五位数有多少个？88．（第1届华杯赛决赛题）一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多约数是两位数，则这些两位的约数中，最大的是几？89．（2006年国际城市竞赛题）小琳用计算器求三个正整数a ，b ，c 的表达式a b c+的值．她依次按了a ，＋，b ，÷，c ，＝，得到数值11．而当她依次按b ，＋，a ，÷，c ，＝时，惊讶地发现得到的数值是14．这时她才明白计算器是先做除法再做加法的，于是她依次按（，a ，＋，b ，），÷，c ，＝，得到了正确的结果．这个正确结果是什么？90．（湖北省荆州市竞赛题）已知正整数p ，q 都是质数，且7p q +与11pq +也都是质数，试求q p p q +的值．91．（希望杯竞赛题）某书店积存了画片若干张，每张按5角出售，无人买，现决定按成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，问：共积压了多少张画片？92．（荆州市竞赛题）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地．选用边长为x cm规格的地砖，恰用n块；若选用边长为y cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知：x，y，n都是正整数，且()x y=．试问这块地有多少平方米？,193．（希望杯竞赛题）（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和．（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？（3）—个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？94．（2005年全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）小鸣用48元按零售价买了若干本练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价为每本多少元？95．（1998年美国小学数学奥林匹克）30！表示从1～30的所有自然数的连乘积，即⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯．如果这个积被分解成质数相乘的形式，求它所包含的因数5的个数．123428293096．（2001年华罗庚金杯复赛题）能否找到自然数a和b，使22=+．a b200297．（第15届全俄中学生数学竞赛题）在1，2，3，…，1989中的每个数前添上“＋”或“－”号，求使其代数和为最小的非负数．98．（第17届希望杯竞赛题）（1）证明：奇数的平方被8除余1；（2）请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．99．（江苏省第21届初中数学竞赛题）k，a，b为正整数，k被2a，2b整除所得的商分别为m，116m+．（1）若a，b互质，证明22-与2a，2b都互质；a b（2）当a，b互质时，求k的值；（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．100．（首届华杯赛试题）已知在三位数中，数字之和是6的倍数的三位数共有p个，求p的值．。

第一章 整数一、自然数的十进制表示数的进位制很多，常用的是十进位制，简单地说，就是用十个不同的数字符号（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）和由低向高位“满十进一”的位制原则，就可以写出一切自然数来.对于一切十进位制的自然数，都可以用其各位上单位的和的形式来表示，如：510910*********3+⨯+⨯+⨯=，对于任意自然数N ，都可以表示为：01221110101010a a a a a N n n nn +⨯+⨯++⨯+⨯=-- 的形式，这里0121,,,,,a a a a a n n -各表示0到9这十个数字中的任意一个，但0≠n a . 有时还把该自然数N 表示成0121a a a a a n n -（0≠n a ），在上面加一横，意在避免与0121,,,,,a a a a a n n -的乘积发生混淆.例1．一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数.例2．设n 为正整数，计算 99999个n × 99999个n ＋199999个n例3．试问，是否存在整数ab 和cd ，使得abcd cd ab =⋅？二、奇数与偶数一个整数，不是奇数就是偶数.概念：偶数：能被2整除的整数叫做偶数；奇数：不能被2整除的整数就叫做奇数.我们常用n2表示偶数，用12+n或12-n表示奇数（n为整数）.奇数偶数的常用性质：（1）奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数（2）奇数个奇数相加，其和为奇数；偶数个奇数相加，其和为偶数；任意多个偶数相加，和总为偶数；（3）任意多个奇数相乘，积为奇数；任意个偶数相乘，积为偶数.推论：奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，（4）若干个整数的积为奇数，则每个整数都为奇数；若干个整数的积为偶数，则其中至少有一个是偶数；（5）两个连续整数，必有一个是奇数，一个是偶数；两个连续整数的和是奇数，积是偶数. （6）若a是整数，则a，a-，a具有相同的奇偶性；（7）若a，b是整数，则babaabbaba-+--+,,,,具有相同的奇偶性.例4．在2010个自然数1，2，3，…，2010的每一个数前面任意添加“＋”号或“－”号，然后将这2010个整数相加，请你判断，最后的结果是奇数还是偶数？例5．已知cba，，中有两个奇数，一个偶数，试判断()()()321+++cba的奇偶性.例6．计算：()223521+-例7．已知y x ，均为一位正整数，且满足y x y x 9292=⋅，求y x ，的值.例8．已知自然数y x ,满足606341993=+y x ，求xy 的值.例9．某次九年级数学竞赛共有20道题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错扣1分. 求证：不论多少人参赛，全体学生的得分总分一定是偶数.三、整数的整除（1）定义：设a ，b 是整数，0≠b ，如果有整数p ，使得bp a =，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，记作a b .又称b 为a 的约数，a 为b 的倍数.如果a 不是b 的倍数，则称整数b 不整除a ，或称a 不能被b 整除.（2）整除的常用性质： ① 若b a ，c b ，则c a .② k 是任意整数，若a b ，则ka b . ③ 若b a ，c a ，则()c b a ±. ④ 若ab m ，()1,=a m ，则b m .⑤若mb，则[]ma，ma,.b⑥若mb，且()1a，mab.a，则m,=b（3）整数整除的常用判定方法：①若整数M的个位数是偶数，则M2.②若整数M的个位数是0或5，则M5.③若整数M的各位数字之和是3的倍数，则M3；若整数M的各位数字之和是9的倍数，则M9.4；④若整数M的末两位数是4的倍数，则M若整数M的末两位数是25的倍数，则M25.⑤若整数M的末三位数是8的倍数，则M8；若整数M的末三位数是125的倍数，则M125.11.⑥若整数M的奇位上数字之和与偶位上的数字之和的差是11的倍数，则M例10．在一个两位数的两个数字中间插入一个数字后，这个两位数就变成了一个三位数，且该三位数是原来两位数的9倍，则这样的两位数有多少个？例11．若78N=是一个能被17整除的四位数，求x.2x例12．从1到2000这2000个数中，有多少个数既不能被4整除，又不能被6整除？例13．五位数xy 538能被3，7，11整除，求22y x -的值.例14．已知整数45613ab 能被198整除，求a 与b 的值.四、质数与合数（没有说明的情况下，只在正整数范围内讨论）如果一个大于1的正整数只能被1和其本身整除，就把这个数叫做质数（也叫素数），如果还能被1和本身以外的数整除，就称其为合数.（负数的绝对值是质数的话，这个负数也是质数，在后面的章节中，如果没有特殊说明，只在正整数范围内考虑质数合数） 特别注意的是：1即不是质数也不是合数.五、质因数的分解我们经常把一个大于1的整数分解为若干个质数的连乘积形式，这就是所谓的分解质因数，乘积中的每一个质数，都叫做这个整数的质因数.关于质因数分解有以下定理：算数基本定理 任意一个大于1的整数N 都可以分解为质因数的乘积.如果不考虑这些质因数的次序，那么这种分解是唯一的.通常可以表示成以下形式：n n p p p N ααα 2121=()*在上式中，n p p p ,,,21 都是质数且互不相同，n ααα,,,21 都是正整数.这种分解式称为 正整数N 的标准分解式.例如540的标准分解式是53254022⨯⨯=.推论1（约数个数定理） 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示， 那么N 共有正约数()()()11121+++n ααα 个，这些约数包括1和N 本身.推论2 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 是一个完全平方数的充要条件是n ααα,,,21 都是偶数，即N 的正约数个数是奇数.由此可以得到 质数的如下整除性质：（1）p 是质数，b a ,都是整数，如果ab p ，则a p 或b p ，特别地2a p 时，a p ； （2）n p p p ,,,21 是不同的质数，a 是整数，如果a p 1，a p 2，a p n , ，则a p p p n 21.例15．已知质数q p ,满足3153=+q p ，求13+q p 的值.例16．3个质数之积是这3个质数之和的17倍，求这3个质数.例17．已知p 是质数，36+p 也是质数，求4811-p 的值.例18．写出30个连续的自然数，使得个个都是合数.例19．360能被多少个不同的正整数整除.例20．写出在100以内的具有10个正约数的所有正整数.例21．求392的标准分解式，并求其全部正约数的和.例22．已知三位数abc是一个质数，如果将这个三位数重复写一遍，就得到一个六位数abcabc，问这个六位数一共有多少个不同的正约数.六、公约数与公倍数（一般情况下，只在正整数范围内讨论）（1）公约数与最大公约数整数a和b都有的约数，叫做a和b的公约数，a和b的最大公约数可以表示为()ba,，若()1a，则称a和b互质.b,=（2）公倍数和最小公倍数如果一个数既是a 的倍数又是b 的倍数，那么就称其为a 和b 的公倍数，a 和b 的最小公倍数记作[]b a ,定理1：若a ，b 是正整数，则()[]b a b a ab ,,=定理2：若a ，b 是正整数，则()()b a b b a ,,=+；()()b a b b a ,,=-例23．已知b a ,两正整数的最大公约数是6，最小公倍数是36，求b a ,这两个数.例24．正整数n m ,的最大公约数大于1，且满足3713=+n m ，求mn 的值.七、完全平方数如果N 是整数，且M N =2，则称整数M 为完全平方数（简称平方数），平方数M 有 以下常用性质：（1） 若M 是整数，则平方数2M 与()21+M 之间不存在其他平方数，即两个连续平方数之间任何一个数都不是平方数；（2） 平方数M 的末尾数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8； （3） 偶数的平方必是4的倍数，而奇数的平方必是8的倍数加1；（4） 平方数的末尾数是奇数时，其十位数必为偶数，平方数的末尾是6时，其十位数必为奇数；（5） 两个平方数的乘积还是平方数，一个平方数与一个非平方数的乘积肯定不是平方数； （6） 任何平方数除以3，余数不可能是2；除以4，余数不可能是2，3；除以5，余数不可能是2，3；除以8，余数不可能是2，3，5，6，7；除以9,余数不可能是2，3，5，6，8.例25．若N 是一个完全平方数，则它后面的一个完全平方数是_______________.例26．求自然数n ，使得n n S n 542+=为完全平方数.例27．直角三角形两条斜边长b a ，均为正整数，且a 为质数，若斜边场也是整数，求证 ()12++b a 是完全平方数.八、带余除法设整数a 除以整数b ()0≠b ，所得的商和余数分别为q 和r ()b r <≤0，则有r bq a +=， 即：被除数＝除数×商＋余数.（1）整数n m ,除以d 所得余数相同()n m d -⇔.（2）用任意连续n ()0>n 个整数除以n ，所得的余数中，0，1，…，1-n 各出现一次.九、末位数rk a+4与r a 有相同的末位数.其中a 为整数，k 为非负整数，r 为1、2、3、4中的任意一个.（注意：不要取0=r ）例28．今有自然数带余除法算式8 C B A =÷，如果2178=++C B A ，求A 的值.例29．若一个正整数a 被2，3，4，5，6，7，8，9这八个自然数除，所得的余数都为1，求a 的最小值.例30．20032003的个位数是多少？习题一1、某校九年级（1）班同学做一个数学实验：在黑板上写上1，2，3，…，40这40个数，第一个同学上来擦去其中任意两个数，然后写上他们的和或者差，第二个同学、第三个同学及以后每位同学都按此规则操作，直到黑板上只有一个数为止，问：最后一个数是奇数还是偶数，为什么？2、已知z y x ,,为正整数，且z y ,均为质数，并满足zyxyz x 111,=+=，求x 的值.3、有()3≥n n 位同学围成一圈，求证：相邻两人是一男一女的对数必是偶数.4、设有101个自然数，记为101321,,,,a a a a ，已知10132110132a a a a x ++++= 为 偶数，判断10199531a a a a a y +++++= 是奇数还是偶数，说明理由.5、设y x ,为两个不同的正整数，并且5211=+yx，求y x +的值.6、设k a a a a ,,,,321 是k 个互不相等的正整数，且1995321=++++k a a a a ，求k 的最大值.7、已知正整数a 恰有12个正约数（包括1和a ），求符合要求的a 的最小值.8、将1，2，3，…，37排成一行：3721,,,a a a ，1,3721==a a ，并使k a a a +++ 21能被1+k a 整除（36,,2,1 =k ）.求（1）37a ；（2）3a .9、一个三位数，等于它的各位数字之和的12倍，试写出所有这样的三位数.10、求方程10047=+y x 的非负整数解.11、已知q p 、都是质数，1是以x 为未知数的方程9752=+q px 的根，则410140++q p 的值是多少？12、正方体的每个面上都写着一个自然数，并且相对的两个面所写的两数之和相等， 若10的对面写的是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是质数c ， 那么ac bc ab c b a ---++222的值是多少？13、已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是多少？14、今天是星期日，若明天算第一天，则第333201121+++ 天是星期几？15、z y x ,,为互不相等的自然数，且135032=z xy ，则z y x ++的最大值是多少？16、[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]32.3=，已知正整数n 小于2002，且263nn n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，则这样的n 有多少个？。

装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。