最全函数值域的12种求法(附例题,习题)[1]

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

求值域方法常用求值域方法(1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例，反比例，一次函数,指数函数，对数函数，等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域.例2、 求函数x 3y -=的值域。

【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域.例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y .(配方法、换元法)例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。

（配方法) 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域。

2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值。

4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值。

5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域。

6、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

（3)、换元法：(三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。

求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。

解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ]2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

例2、 求函数x 3y -=的值域。

【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。

（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。

函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。

解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。

由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。

故函数的值域是：$[2,4]$。

3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。

1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。

2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。

4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。

解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。

例13.求函数y sinx cosx的值域。

解：由三角函数的性质可知。

1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。

求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。

在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。

例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。

例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。

通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。

例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。

求函数值域的十种方法一．直接法〔观察法〕：对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1．求以下函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】此题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，此题为：0)(≥x f 。

例4．假设,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】此题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

函数值域的求法1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=1211x +的值域 (]1,0（2）求函数y1=2－x 的值域。

(]2-，∞2、（配方法）求下列函数的值域（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84，（2）求函数y =的值域： ][20，（3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C 41 D.433、（换元法）求下列函数的值域（1）21y x =++[)∞+，3 （2）4y x =+ ][234,1+（3）求函数y=32++x x 的值域 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤21,0（4）求函数y = ][2,1（5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤41,41-4、（分离常数法）求下列函数的值域（1）求值域（1）1(4)2x y x x -=≥-+ ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∞，，251-（2）求函数122+--=x x x x y 的值域。

⎪⎭⎫⎢⎣⎡131-，5、（判别式法）求下列函数的值域（1）求函数的值域22221x x y x x -+=++][51，（2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。

⎪⎭⎫⎢⎣⎡229-，（3）已知函数12)(22+++=x bax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ，b 的值. a=2或-2，b=26、(单调性法)求下列函数的值域（1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

(2)-48f =（2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x =7、(数形结合法)求下列函数的值域（1）求函数y=71362+-x x7-542++x x的值域 (]265-，（2）求函数y=712++x x7-1 - 2+x x 的值域 ()1,1-（2）若(0x y =,求x y -的最大、最小值 ][12-，（3）求函数3x sin xcos y -=的值域。

求函数值域的方法（1）直接法：从自变量x 的围出发，推出y=f(x)的取值围；一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}（2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.【例1】求下列函数的值域：（1）y=x 2-4x+5； （2）y=x 2-4x+5，x ∈[1,4]； (3) y=x 2+2x+4, x ∈[0,+∞)（4）y=-x 4+2x 2+3； （5）y=221224x x x x+---； (6) y=4x +2x+1（7）y=2229(log )log 4x x -+； （8）y=sin 2x-sinx+94（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：)0(>+=k xkx y ，用公式来求值域；【例2】求下列函数的值域： （1）y=1x x +,（x>0）； （2）y=41x x +,（x ≠0）； （3）y=9x x+,（0＜x ≤2)；（4）y=x(6-x)； （5）y=212(4)4xx x ≥+,（4）不等式性质法【例3】求下列函数的值域：（1）y=262x +； （2）y=22241022x x x x ++++； （3）y=62sin 1x -（4） （2）y=13()4(1)2x x -+≤-； （3）y=2211log ()()42x x +>（5）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值围，通过解不等式，得出y 的取值围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域. 【例4】求下列函数的值域：（1）y=11x x e e -+； （2）y=2sin 3sin xx+； （3）y=222x x +；（法一）反函数法：（法二）分离变量法：（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. 【例5】求下列函数的值域：（1）y=x 3+arcsinx ； （2）y=1x xa a -(正常数a ≠1,x ≥1)；（3）y=412log (1)x +； （4）y=241()3xx-（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；【例6】（1）y x =+2）y x =【解】（1）设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（2）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[4πα+∈)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-． （8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 【例7】（1）已知224x y +=，求函数u=3x+4y 的值域； （2）（3）对于圆x 2+(y-1)2=1上任一点P （x ，y ），不等式x+y+m ≥0恒成立，数m 的取值围；（4）求函数|1||4|y x x =-++的值域. 解：（2）设，则yxk y kx ==.问题转化为直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1有公共点时，斜率的取值围问题。

高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数的值域。

【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。

（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。