求无理函数最值的四个策略

求最值方法 -- 高考数学复习一问一答 -------- 最值问题方法总论1高中数学求最值有哪些方法？答：有 9 种方法： 1）配方法 2）鉴别式法； 3）不等式法； 4）换元法； 5）函数单一性法； 6）三角函数性质法； 7）导数法； 8）数形联合发；9）向量法2如何将恒成立问题转变为最值问题？答：1) a f ( x)恒成立，则a f (x)max 2）a f ( x)恒成立，则 a f (x)min一元整式函数最值1、二次函数张口方向、对称轴、所给区间均确立,如何求最值 ?答：1）确立对称轴与x轴交点的横坐标能否在所给区间。

2）假如在所给区间，一个最值在极点处获得，另一个最值在与极点横坐标较远的端点处获得。

3）若不在所给区间，利用函数的单一性确立其最值。

2、二次函数所给区间确立，对称轴地点变化，如何求最值 ?答： 1）挪动对称轴，将对称轴平移到定区间的左边、右边及区间内议论， 2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。

3、二次函数所给区间变化，对称轴地点确立，如何求最值 ?答：分类议论，分为四种状况： 1）对称轴在闭区间左边；2）对称轴在闭区间右边3）对称轴在闭区间内且在中点的左边； 4）对称轴在闭区间内且在中点的右边（或过中点）；4、二次函数所给区间、对称轴地点都不确立，如何求最值 ?答：将此中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，而后如上分四种状况进行议论。

5、什么状况下运用基本不等式求最值？答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。

即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解答：能够考虑睁开后，利用基本不等式求解7、如何求复合型函数的最值答：若函数f ( x), g( x) 在 [ mn.] 上单调性相同，则h( x) f (x)g(x) 在 [m.n] 上与 f ( x), g( x) 有同样的单一性，可利用单一性求h( x) 在[ mn.] 上的最值。

高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。

本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。

难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。

一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。

2．解题思路：作出相应函数的图象草图。

具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。

然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。

3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。

解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。

所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。

(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。

作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。

注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。

例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。

分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。

无理函数最值探求的几种策略无理函数的最值是中学数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题中感到很困惑，本文就一类形如的无理函数最值的解法作一次探求，寻求解决问题求解的多种策略，以便熟练和灵活地运用一些方法去解决问题，以达到举一反三的效果。

例题：求函数的最值一、巧用三角代换求函数最值根据三角函数的特征和性质，在无理函数中巧妙的进行三角换元，使无理问题三角化，从而达到快速求解无理函数最值的目的，显然设元的技巧很关键。

1、解：的定义域，，故可设则。

二、熟用平方判别式求函数最值无理函数的最大特征是含有根号，而平方是去根号的重要手段之一，将无理函数转化为关于的二次方程的函数，利用判别式求函数的最值是常见的方法，但要注意函数定义域对函数最值的制约作用。

解：函数的定义域，显然两边平方得移项再平方整理可得由得又，另外由及，。

三、善用导数求函数最值导数是高中数学新教材中增加的内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题上成为高中数学解题一道靓丽的风景线，要重视导数在解决一些比较复杂函数最值上的作用，善于运用它，体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁、完美的解决。

解：对原函数求导可得：令得又由此可得，四、妙用构造向量求函数最值向量具有代数和几何的双重特性，用向量方法解决代数问题的关键是善于观察问题的外貌结构，挖掘代数结构的向量模型，巧妙构造向量，把原有的问题转化为向量问题求解。

它是一种重要的数学思维方法，是数形结合思想的一个有效载体。

解：原函数变形为可设则得令与的夹角为，，则，如图1，向量的终点在以原点为圆心，为半径的的圆周上，则两向量夹角，当，即，即时，当，即即时，，本文对一类形如的无理函数的最值作了一次多角度，多层次的分析和探求，如果对它加以深入探究当然有更多类型的无理函数的最值值得我们去思考和研究。

通过从特殊到一般的数学思维，寻求到解决问题的不同策略，对培养学生的创造性思维能力，完善学生的认知结构，提高学生的数学素养定有积极的作用。

浅析无理型函数值域的几种常规求法一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。

例1．求函数y ＝3＋42+x 值域。

解：∵42+x ≥2，∴函数值域为[5，+)∞。

二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。

例2．求函数y ＝x －x 21-的值域。

解：函数的定义域为]21,(-∞，函数y=x 和函数y ＝－x 21-在]21,(-∞上均为单调递增函数，故y ≤212121⨯--＝21， 因此，函数y ＝x －x 21-的值域是]21,(-∞。

三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。

例3．求函数y ＝x+x 21-的值域 。

解：定义域为x ∈]21,(-∞，令t ＝x 21- (t ≥0)，则x ＝212t -于是y ＝－21(t －1)2＋1，由t ≥0知函数的值域为]21,(-∞。

本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。

对于形如“y mx n ax b =++±”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t ax b =+，将原函数转化为t 的二次函数，当然也适用于“y mx n ax b =++22±”的函数。

例4. 求函数y x x =-+-23134的值域。

解：令t x =-134，则t ≥0且x t =-14132()，则y t t =-++12722=--1212()t +4。

当t =1，即x =3时，y max =4，当t →+∞时，y →-∞。

故函数值域为(]-∞，4。

另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：例5．求函数y ＝x+21x -的值域。

解：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，∴设x ＝cos θ，θ∈［0，π］ 则y ＝cos θ+sin θ＝2sin （θ+4π）， ∵θ∈［0，π］，∴θ+4π∈［4π，45π］，∴sin （θ+4π）∈［－22，1］，∴2sin （θ+4π）∈［－1，2］，∴函数y ＝x+21x -的值域为［－1，2］。

巧用三角代换求无理函数的最值上海市第五十四中学（邮编200030）裴华明求无理函数的最值问题，是中学数学中常见的问题之一，若用常规方法求解，对于有些题目来说就显得较为繁杂，计算量也较大，但若根据问题的特点巧妙的用三角代换来求解，则可把求无理函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题，使问题得已简化，达到事半功倍的效果。

下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型，仅供参考。

一、当函数的定义域为 x0, a a 0 时，可设x a sin2，0,2例 1、求函数y 1 x x 的最大值和最小值。

解：∵函数的定义域为则原函数可化为x 0,1 ，∴可设x sin 2，0,2 y sin cos 2 sin4又∵ 0则34424∴2sin1即 1y2 24故当0 或2时，ym i n1当时，ymax24例 2、求函数y3x x1的最值。

解：∵函数的定义域为x0,3，∴设 x3sin 2，0,2则原函数可化为y 3 cos 3 sin1 6 sin14∵ 02则444∴2sin2即31y 3 1 242故当4即0 时，y m a x 3 14当4即2时，ymin314二、 当 函 数 的 定 义 域 为 xa,a a 0 时 ， 则 可 设 x a sin ，2 ,2例 3、 求函数 yx 24 x 2 的最大值和最小值。

解：∵函数的定义域为 x2,2 ，∴可设 x 2 sin，2 ,2 则原函数可化为 y2 sin2 2 cos2 2 sin4 2∵则322444∴2 sin1 即4 y 22 224故当 42 即时，ymax2 224当4 即2 时，ymin44三、 当 函 数 的 定 义 域 为 xa, b ， 可 设 xa b a cos 2，0,或者设 xa b bacos ，0,222例 4、 求函数 yx 2 21 3x 的最值。

解：∵函数的定义域为 x 2,7 ，∴可设 x2 7 2 cos 22 5 cos 2，0,2则原函数可化为y5 cos15 sin2 5 sin6∵ 02 则3 66∴3sin1即15 y5226故当6 即0 时，ymax56当即 时，ymin15632例 5、 求函数 y8 2x x 23x 的最大值或最小值。

无理函数最值问题的求解策略首先，对于形如 $f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$ 的无理函数，其中$a,b,c$ 是已知常数，我们可以通过求导的方法来求解最值问题。

首先求导得到 $f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\cdot (2ax+b)$，然后令$f'(x)=0$，解得关于 $x$ 的方程为 $2ax+b=0$。

解得 $x=-\frac{b}{2a}$。

将这个解代入原方程 $f(x)$ 中，求得最值。

其次，对于形如 $f(x)=\sqrt[n]{a(x-b)^m}$ 的无理函数，其中$a,b,m,n$ 是已知常数，同样可以通过求导的方法求解最值问题。

首先求导得到 $f'(x)= \frac{m}{n\cdot (x-b)} \cdot \sqrt[n]{a(x-b)^{m-n}}$，然后令 $f'(x)=0$，解得关于 $x$ 的方程为 $(x-b)^{m-n}=0$。

解得 $x=b$。

将这个解代入原方程 $f(x)$ 中，求得最值。

此外，对于无理函数最大值问题，我们还可以通过等式的性质来解决。

对于 $f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$，易知当 $ax^2+bx+c$ 达到最小值时，$f(x)$ 达到最大值。

因此，我们可以通过对 $ax^2+bx+c$ 进行求二次函数顶点的方法来求解最大值。

对于 $f(x)=\sqrt[n]{a(x-b)^m}$，同样可以通过 $a(x-b)^m$ 达到最小值时，$f(x)$ 达到最大值的方法来求解。

另外，如果无理函数的解析解较复杂或无法找到合适的方法求解最大值或最小值，我们可以尝试使用数值方法进行求解。

常用的数值方法有二分法、牛顿法和割线法等。

这些方法通过迭代逼近的方式来求解函数的最值。

我们可以将无理函数转化为有理函数的形式，然后再利用数值方法求解最大值或最小值。

最后，对于特殊的无理函数，我们还可以采用其他方法来求解最值问题。

无理函数的值域求法求无理函数值域的方法较多，涉及化归转化、函数与方程、数形结合等数学思想方法,对培养学生思维的灵活性、创造性大有裨益. 主要方法有:配方法、换元法、利用函数的单调性、均值不等式、转化为方程有解、数形结合法、构造模型法等．一、应用配方法求值域例1.4y =求函数.解：240(1)44022442,4].y x =≤--+≤∴≤∴≤-≤∴原函数的值域为[评注:配方法适用于解析式中含有二次函数的求值域问题.二、应用换元法将无理函数转化为二次函数或三角函数例2.求函数x x y 21-+=的值域.分析:, 则x 相当于二次项.只需对 x 21-换元，即可将问题转化为二次函数的值域问题. 解：令t x =-21,则212t x -=（0≥t ） ,1)1(212122+--=+-=t t t y ,0≥t 1≤∴y ,即值域为(]1,∞-.评注:形如d cx b ax y +±+= 的函数均可用此法求值域.例3.求函数x x y -+=1的值域.解:函数的定义域为[]1,0，令θ2sin =x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ， 则θθcos cos 12==-x,sin cos )4y πθθθ∴=+=+ 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+43,44πππθsin()4πθ⎤∴+∈⎥⎣⎦,即函数的值域为.⎡⎣ 评注:三角换元时常需选择角的范围. 选择角的范围时不仅要确保换元前后的等价性,还要有利于后续的化简.例4.求y =[4,2]-在上的值域.解:令u =,v =则 226u v += （0u ≥,0v ≥）设u θ,v θ=02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则()))3f πθϑθθθθ==+由02πθ≤≤,得5336πππθ≤+≤ 知1sin()123πθ≤+≤故所求值域为三、利用函数的单调性例5.[0,1],x y ∈=已知求函数.解:122y x y ==,调递减min max [0,1]1(0)202(1)1,2].y x y x y x ∴=∈∴===-==∴内单调递增,当时当时原函数的值域为 例6.求函数x x x f -=1)(（14x <≤）的值域. 解：函数x y xy -==和1都在区间(]4,1 上单调递减， ∴函数x xx f -=1)(在区间(]4,1上是减函数. 于是)1()()4(f x f f ≤<,即值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-,47. 四、应用均值不等式例7.|y x =求函数.解:22222max 11(12211.2x x y x x x x y +-==∴=-==当且仅当,即∵y ≥0 ]1,0[函数的值域是∴ 例8.求函数y =. 解:令t =则0,t ≥2.1t y t =+ 当t=0时,y=0;当t>0时,2110.112t y t t t<==≤++ ∴原函数的值域为10,.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、转化为方程有解例9.求函数y=x-122+x 的值域.解法一:原函数可化为x-y=122+x ,即x>y 且(x-y)2=2x 2+1,亦即x>y 且x 2+2xy+1-y 2=0,原题即求关于x 的方程x 2+2xy+1-y 2=0在(y,+∝)有解的条件.记f(x)=x 2+2xy+1-y 2=0，显然有f(y)=2y 2+1>0。

函数求极值的方法总结一、利用二次方程的判别式求极值在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，依据x在实数范围内有解，由判别式求的。

例1、求函数y=求函数极值的若干方法的极值。

解：将原函变形为关于x的二次方程(y1)x 求函数极值的若干方法 2yx3y=0∵x∈R，且x≠3，x≠1，∴上方程在实数范围内肯定有解。

△= (2y) 求函数极值的若干方法4 (3y)(y1)= 4y(4y3)≥0解之得y≤0 或y≥ 求函数极值的若干方法这里虽然y无最大〔小〕值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法的x分别为x=0和x=3，所以当x=0时，y有极大值0，当x=3时，y有微小值求函数极值的若干方法。

例2、求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。

解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x∵x∈R，∴△= 44y 求函数极值的若干方法≥0，解之得：1≤y≤1∴函数y= 求函数极值的若干方法值域为[1，1]由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，事实上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。

但要留意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值肯定在不等式的解集内，此时，要留意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必需舍去，再重新考虑其极值。

二、利用倒数关系求极值对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

例3、求函数y=2 求函数极值的若干方法的最小值。

解：∵x 求函数极值的若干方法 2x+6 = (x1) 求函数极值的若干方法 +5＞0∴函数的定义域为一切实数，又由 x 求函数极值的若干方法2x+6=(x1) 求函数极值的若干方法 +5 知当x=1时，求函数极值的若干方法取最小值求函数极值的若干方法 ,∴ 求函数极值的若干方法取最大值求函数极值的若干方法 ,此时 y=2 求函数极值的若干方法取最小值 2 求函数极值的若干方法 ,即当x=1时，有y的最小值是 2 求函数极值的若干方法。

浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。

这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。

对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。

本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。

同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。

为无理函数不定积分的求解提供一种思路。

关键字：无理函数不定积分计算方法Abstract: We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words：irrational function indefinite integral method1. 无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处 理工作。

无理函数的值域问题求无理函数的值域问题是初等数学的难点,因该类问题内涵丰富,灵活多变,涉及多个知识点,技巧性、综合性较强,解法灵活多样,因此成为数学竞赛的热点.本文通过对各种解法进行对比研究,试图寻找解决各种类型问题的最佳方法.1.单调性质法[例1]:(2010年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=5-x -x 324-的值域是 .[解析]:[评注]:一个函数我们直接或作一些变形就能判断函数的单调性,用单调求值域是一种比较快捷的方法.无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 同号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 相等)型等,可判断函数单调性,均可用此法.用单调性质法求无理函数的值域时,必须注意到函数隐含的正负性特征和定义域.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)函数y=1+x -x 525-的值域是 .2.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2+x -2-x ( ) (A)是非单调函数,没有反函数 (B)有反函数,且反函数是增函数 (C)有反函数,且反函数是减函数 (D)有反函数,且反函数是非单调函数3.(原创题)求函数y=27+x +x -13-x 的最大值和最小值.4.(原创题)求函数y=27+x +x -14-x -13的最大值和最小值.2.平方分析法[例2]:(2005年全国高中数学联赛试题)使关于x 的不等式3-x +x -6≥k 有解的实数k 的最大值是 .[解析]:[评注]:求无理函数值域的难点是解析式中含有的根式,而平方法是去掉根式的根本方法.无理函数f (x)=b ax ++ax d -(a>0,b>0,d>0)型,或f (x)=ax+b ±q px x a ++22型等,可使用平方法分析求解.用平方法求无理函数的值域时,必须注意到平方前函数中隐含的非负性特征和定义域.[类题]:1.(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)函数y=x -1994+1993-x 的值域是_____.2.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=232+-x x +232x x -+的最大值是 ,最小值是 .3.(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若x 2+y 2=169,则函数f(x,y)=3381024+-x y +3381024++x y 的最大值是 .4.(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .3.代数换元法[例3]:(2006年江苏高考试题)设a 为实数,设函数f(x)=a21x -+x +1+x -1的最大值为g(a).(Ⅰ)设t=x +1+x -1,求t 的取值范围,并把f(x)表示为t 的函数m(t); (Ⅱ)求g(a); (Ⅲ)试求满足g(a)=g(a1)的所有实数a. [解析]:[评注]:此法适用于函数f(x)=ax+b+md cx +,一般令t=d cx +,将原函数转化为t 的二次函数,当然也适用于函数f(x)=ax 2+b+m d cx +2、f(x)=ax 2+bx+k+m d cx +、f(x)=qpx cbx ax +++等.用代数换元法求无理函数的值域时,必须注意到换元后的新变元的取值范围.[类题]:1.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))函数y=x-x -1的值域为 . 2,(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)函数y=2x-5+x 311-的最大值是 . 3.(原创题)函数f(x)=x 2+21x -的值域为 .4.(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . 4.三角换元法(Ⅰ)[例4]:(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x)=2x-24x x -的值域是_________.[解析]:[评注]:若|x|≤R,则可作代换x=Rcos α,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式是22)(a x R --的形式.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.如作代换x=Rsin α,则α∈[-2π,2π],使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=212+-x x 的值域是 . 2.(典型题)函数y=x 21x -+x 2的值域是 .3.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数y=)56)(96(22-+-+-x x x x ,那么它的值域是__________．4.⑴(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)函数f(x)=9102-+-x x +184502-+-x x 的最大值为 . ⑵(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))已知函数f(x)=232-+-x x +652-+-x x ,则函数f(x)的最大值与最小值之差是________.5.三角换元法(Ⅱ)[例5]:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=3-x +x 312-的值域为 .[解析]:[评注]:若x ∈[a,b],则可作代换x=(b-a)sin 2α+a,且α∈[0,2π],或x=2a b -cos α+2b a +,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式的定义域为[a,b]的函数.如无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=ax 2+bx+c+ m t qx px ++2(a<0,q 2-4pr>0)型.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2008年重庆高考试题)(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数y=x -1+3+x 的最大值为M,最小值为m,则Mm的值为 .2.(2010年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设函数f(x)=x -4+2+x 的最大值为M,最小值为m,则M 与m 的乘积为 .3.(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数y=43+x +x 34-的最大值与最小值之和为 .4.(典型题)函数y=x+2+23102-+-x x 的值域是________.6.三角换元法(Ⅲ)[例6]:(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . [解析]:[评注]:若无理函数f(x)中的无理式是c b x a ++2)((a>0,c>0)的形式,可作代换x+b=actan α,且α∈(-2π,2π),则c b x a ++2)(=αcos c.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(原创题)函数f(x)=212+-x x 的值域为 .2.(200年全国高考试题改编题)若函数f(x)=12+x -ax(a>0)在[0,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .3.(原创题)函数f(x)=5422+-x x -x 的值域为 .4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数f(x)=x21(1-x+2221x x +-),x ∈[2,4],则该函数的值域是_____. 7.距离分析法[例7]:(2008年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x ∈R,则函数f(x)=12+x +16)12(2+-x 的最小值为 .[解析]:[评注]:对于有些无理函数的值域问题,巧妙地应用平面上两点间的距离公式,可以起到化难为易,化繁为简的作用,同时借助几何直观,使问题得到顺利解答.[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=222++x x +222+-x x 的最小值是 . ⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=522+-x x +1342+-x x ,则f(x)的最小值为 . ⑶(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)522+-x x +2582+-x x 的最小值为______. ⑷(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数f(x)=50102+-x x +252+x 的值域是 .2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a 是正数,若f(x)=22106a ax x +-+2252a ax x ++(x ∈R)的最小值为10, 则a= .3.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=222++x x -332+-x x 达到最大值时,x 的值是 .⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x ∈R 时,函数y=1022++x x -102+-x x ( ) (A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值 4.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=136324+--x x x -124+-x x 的最大值是 .⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=106324+-+x x x -52324++-x x x 的最大值是 .8.曲线分析法[例8]:(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .[解析]:[评注]:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为距离或截距的范围问题.数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法,运用图形的直观性,通过数形结合使抽象问题直观化,复杂问题简单化,综合问题浅显化,充分训练发散思维.[类题]:1.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=2-x +x -5的最大值是 ,最小值是 .2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值是 .3.(典型题)函数y=4x+223x x -+的值域为 .4.(数学奥林匹克高中训练题(73))函数y=212x x -+-2215x x --的值域为 .9.向量分析法[例9]:(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值. [解析]:[评注]:根据向量的数量积的定义ab =|a ||b |cos<a,b>⇒(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒(ab )2≤|a |2|b |2,等号当且仅当a ∥b 时成立.如求函数f(x)=m x a -+n b x -的最值,可令a =(m,n),b =(x a -,b x -),由(x a -)2+(b x -)2=a-b,f 2(x) =(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒<a,b>∈[0,θ],tan θ=n/m,或cot θ=n/m ⇒cos<a,b>∈[t,1],其中t=min{22nm n +,22nm m +}⇒f 2(x)∈[(m 2+n 2)t,(m 2+n 2)(a-b)].[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值为 .2.(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219. 10.不等式法[例10]:(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219.[解析]: [类题]:1.(数学奥林匹克高中训练题(147))设0≤x ≤8则函数f(x)=1)8)(8(2+-+x x x x 的值域为 .2.(《中等数学》2006年笫6期.数学奥林匹克高中训练题(1))设x ∈R +,则函数y=211x++2xx+1的最大值为 . 3.(数学奥林匹克高中训练题(126))函数f(x)=x(x +1+x -1)的值域为 . 4.(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值.无理函数的值域问题求无理函数的值域问题是初等数学的难点,因该类问题内涵丰富,灵活多变,涉及多个知识点,技巧性、综合性较强,解法灵活多样,因此成为数学竞赛的热点.本文通过对各种解法进行对比研究,试图寻找解决各种类型问题的最佳方法.Ⅰ.解法分析1.单调性质法[例1]:(2010年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=5-x -x 324-的值域是 .[解析]:函数f(x)的定义域为[5,8],且函数y=5-x 在定义域[5,8]内单调递减,y=x 324-在定义域[5,8]内单调递增⇒f(x)在定义域[5,8]内单调递增⇒f(x)的值域是[f(5),f(8)]=[-3,3].[评注]:一个函数我们直接或作一些变形就能判断函数的单调性,用单调求值域是一种比较快捷的方法.无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 同号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=b ax +-d cx +(a 与c 相等)型等,可判断函数单调性,均可用此法.用单调性质法求无理函数的值域时,必须注意到函数隐含的正负性特征和定义域.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)函数y=1+x -x 525-的值域是 .2.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2+x -2-x ( ) (A)是非单调函数,没有反函数 (B)有反函数,且反函数是增函数 (C)有反函数,且反函数是减函数 (D)有反函数,且反函数是非单调函数 解:y=2+x -2-x =224-++x x 在[-2,2]上单调递减⇒有反函数,且反函数是减函数.3.(原创题)求函数y=27+x +x -13-x 的最大值和最小值. 解:函数的定义域为[0,13],y=27+x -x =xx ++2727在[0,13]上单调递减⇒函数y=27+x +x -13-x 在[0,13]上单调递减⇒x=13时,y min =210-13,x=0时,y max =33+13. 4.(原创题)求函数y=27+x +x -14-x -13的最大值和最小值. 解:函数的定义域为[-27,,13],y=x -14-x -13=xx -+-14131在[-27,13]上单调递增⇒y=27+x +x -14-x -13在[-27,13]上单调递增⇒2.平方分析法[例2]:(2005年全国高中数学联赛试题)使关于x 的不等式3-x +x -6≥k 有解的实数k 的最大值是 .[解析]:令y=3-x +x -6,3≤x ≤6,则y 2=3+2)6)(3(x x --(或用二次函数)≤3+[(x-3)+(6-x)]=6,实数k 的最大值是6.[评注]:求无理函数值域的难点是解析式中含有的根式,而平方法是去掉根式的根本方法.无理函数f (x)=b ax ++ax d -(a>0,b>0,d>0)型,或f (x)=ax+b ±q px x a ++22型等,可使用平方法分析求解.用平方法求无理函数的值域时,必须注意到平方前函数中隐含的非负性特征和定义域.[类题]:1.(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)函数y=x -1994+1993-x 的值域是_____.2.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=232+-x x +232x x -+的最大值是 ,最小值是 .解:令x 2-3x=t,y=2+t +t -2.3.(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若x 2+y 2=169,则函数f(x,y)=3381024+-x y +3381024++x y 的最大值是 .解:f 2(x,y)=48y+676+222)10()33824(x y -+=48y+676+22222210169338338242)1024(⨯-+⨯⨯++y y ,y=13,x=0时,f(x)max=1026.4.(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .解:y=x+232+-x x ⇒y-x=232+-x x ≥0⇒(y-x)2=x 2-3x+2⇒(2y-3)x=y 2-2⇒y ≠23,x=3222--y y ⇒y ≥3222--y y ⇒1≤y <23,或y ≥2. 3.代数换元法[例3]:(2006年江苏高考试题)设a 为实数,设函数f(x)=a21x -+x +1+x -1的最大值为g(a).(Ⅰ)设t=x +1+x -1,求t 的取值范围,并把f(x)表示为t 的函数m(t); (Ⅱ)求g(a); (Ⅲ)试求满足g(a)=g(a1)的所有实数a. [解析]:(Ⅰ)t 2=2+221x -∈[2,4]⇒t ∈[2,2],f(x)=m(t)=21at 2-a+t; (Ⅱ)①当a=0时,m(t)=t ⇒g(a)=m(2)=2;②当a>0时,函数m(t)过定点(2,2),对称轴t=-a1⇒g(a)=m(2)=a+2;③当a<0时,函数m(t)过定点(2,2),对称轴t=-a1. 综上[评注]:此法适用于函数f(x)=ax+b+md cx +,一般令t=d cx +,将原函数转化为t 的二次函数,当然也适用于函数f(x)=ax 2+b+m d cx +2、f(x)=ax 2+bx+k+m d cx +、f(x)=qpx cbx ax +++等.用代数换元法求无理函数的值域时,必须注意到换元后的新变元的取值范围.[类题]:1.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))函数y=x-x -1的值域为 . 解:令x -1=t,则t ≥0,且x=1-t 2,则y=1-t 2-t ≤1.2,(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)函数y=2x-5+x 311-的最大值是 . 解:令x 311-=t,则t ≥0,且x=31(11-t 2),则3y=-2t 2+3t+7≤865⇒y 的最大值是2465. 3.(原创题)函数f(x)=x 2+21x -的值域为 .解:令21x -=t,则t ∈[0,1],且x 2=1-t 2,y=1-t 2+t.4.(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . 解:令x-1=t,则f(x)=tt 1)1(2++.当t>0时,f(x)=2221t t ++>1;当t<0时,f(x)=-2221t t ++=-21)211(22++t ≤-22. 4.三角换元法(Ⅰ)[例4]:(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x)=2x-24x x -的值域是_________.[解析]:f(x)=2x-24x x -=2x-2)2(4--x ,设x-2=2cos α,α∈[0,π],则y=4cos α-2sin α+4=25cos(α+φ)+4,其中cos φ=52,φ为锐角,所以当α=0时,y max =8,当α+φ=π时,y min =4-25.[评注]:若|x|≤R,则可作代换x=Rcos α,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式是22)(a x R --的形式.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.如作代换x=Rsin α,则α∈[-2π,2π],使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=212+-x x 的值域是 . 解:设x=cos α,且α∈[0,π].则y=2cos sin +αα,作P(cos α,sin α),A(-2,0),k AP =2cos sin +αα∈[0,33].2.(典型题)函数y=x 21x -+x 2的值域是 .解:设x=sin α(|α|≤2π),则y=sin αcos α+sin 2α=21+22sin(2α-4π),故所求函数值域为[21-22,21+22]. 3.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数y=)56)(96(22-+-+-x x x x ,那么它的值域是__________． 解:f(x)的定义域为[1,5],令x-3=2cos α,α∈[0,π],y=])3(4[)3(22---x x =αα22cos sin 16=2|sin2α|∈[0,2]. 4.⑴(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)函数f(x)=9102-+-x x +184502-+-x x 的最大值为 . 解:f(x)=22)5(4--x -22)25(21--x ,令x-5=4cos α,x-25=21cos β,α,β∈[0,π],4cos α-21cos β=20,f(x)=4sin α+21sin β,f 2(x)+202=(4sin α+21sin β)2+(4cos α-21cos β)2=16+441-168cos(α+β)⇒f 2(x)=57-168cos(α+β)⇒cos(α+β)=-1时,f(x)max =16857+=15.⑵(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一))已知函数f(x)=232-+-x x +652-+-x x ,则函数f(x)的最大值与最小值之差是________. 解:f(x)=2)23(41--x +2)25(41--x ,令x-23=21cos α,x-25=21cos β,α,β∈[0,π],cos α-cos β=2⇒f(x)=21(sinα+sin β)⇒4+4f 2(x)=2-2cos(α+β)≤4⇒f(x)=0.5.三角换元法(Ⅱ)[例5]:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=3-x +x 312-的值域为 .[解析]:f(x)的定义域为[3,4],令x=(4-3)sin 2θ,θ∈[0,2π],则f(x)=sin θ+3cos θ=2sin(θ+3π),3π≤θ+3π≤65π⇒21≤sin(θ+3π)≤1⇒f(x)=3-x +x 312-的值域为[1,2].[评注]:若x ∈[a,b],则可作代换x=(b-a)sin 2α+a,且α∈[0,2π],或x=2a b -cos α+2b a +,且α∈[0,π].此法适用于无理函数f(x)中的无理式的定义域为[a,b]的函数.如无理函数f (x)=b ax ++d cx +(a 与c 异号)型,或f (x)=ax 2+bx+c+ m t qx px ++2(a<0,q 2-4pr>0)型.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(2008年重庆高考试题)(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数y=x -1+3+x 的最大值为M,最小值为m,则Mm的值为 . 2.(2010年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设函数f(x)=x -4+2+x 的最大值为M,最小值为m,则M 与m 的乘积为 .3.(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数y=43+x +x 34-的最大值与最小值之和为 .4.(典型题)函数y=x+2+23102-+-x x 的值域是________.解:由-x 2+10x-23≥0⇒5-2≤x ≤5+2,令x=2cos α+5,α∈[0,π],则y=2cos α+7+2sin α=2sin(α+4π)+7,由 α∈[0,π]⇒α+4π∈[4π,45π]⇒sin(α+4π)∈[-22,1]⇒y ∈[7-2,9]. 6.三角换元法(Ⅲ)[例6]:(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=112-+x x 的值域为 . [解析]:令x=tan α,α∈(-2π,2π),α≠4π,f(x)=ααcos sin 1-=)4sin(21πα-,α-4π∈(-43π,4π)⇒sin(α-4π)∈[-1,0)∪(0,22)⇒f(x)∈(-∞,-22]∪(1,+∞).[评注]:若无理函数f(x)中的无理式是c b x a ++2)((a>0,c>0)的形式,可作代换x+b=actan α,且α∈(-2π,2π),则c b x a ++2)(=αcos c.用三角换元法求无理函数的值域时,必须给定换元中角α的取值范围.使得换元恰取值好为原函数的定义域.[类题]:1.(原创题)函数f(x)=212+-x x 的值域为 .解:令x=2tan α,α∈(-2π,2π),则f(x)=22(sin α-cos α)=sin(α-4π)∈[-1,22). 2.(200年全国高考试题改编题)若函数f(x)=12+x -ax(a>0)在[0,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .解:令x=tan α,α∈(-2π,2π),则f(x)=αcos 1-atan α=ααcos sin 1a -=a ααcos sin 1-a ,取单位圆上的点P(cos α,sin α),A(0,a 1),-k PA =ααcos sin 1-a ,f(x)递减⇔k PA 递增⇔a 1≤1⇔a ≥1. 3.(原创题)函数f(x)=5422+-x x -x 的值域为 . 解:f(x)=3)1(22+-x -12+x ,令x-1=26tan α,α∈(-2π,2π),则f(x)=αcos 3-26tan α-1=26ααcos sin 2--1,取单位圆上的点P(cos α,sin α),A(0,2),-k PA =ααcos sin 2-,k PA ≤-1⇒-k PA ≥1⇒f(x)≥26-1.4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数f(x)=x21(1-x+2221x x +-),x ∈[2,4],则该函数的值域是_____. 解:f(x)=x 21(1-x+2221x x +-)=21(x1-1+2212+-xx)=21[x 1-1+1)11(2+-x ],令1-x 1=tan α∈[21,43],则y=f(x)=21(-tan α+αcos 1)=21ααcos sin 1-,取单位圆上的点P(cos α,sin α),A(0,1),-k PA =ααcos sin 1-,k OA 递增,ααcos sin 1-递减,当tan α=21时,sin α=55,cos α=552⇒f(x)max =415-;当tan α=43时,sin α=53,cos α=54⇒f(x)min =41.7.距离分析法[例7]:(2008年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x ∈R,则函数f(x)=12+x +16)12(2+-x 的最小值为 .[解析]:[评注]:对于有些无理函数的值域问题,巧妙地应用平面上两点间的距离公式,可以起到化难为易,化繁为简的作用,同时借助几何直观,使问题得到顺利解答.[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=222++x x +222+-x x 的最小值是 . ⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=522+-x x +1342+-x x ,则f(x)的最小值为 . ⑶(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)522+-x x +2582+-x x 的最小值为______. ⑷(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数f(x)=50102+-x x +252+x 的值域是 .2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a 是正数,若f(x)=22106a ax x +-+2252a ax x ++(x ∈R)的最小值为10,则a= .3.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=222++x x -332+-x x 达到最大值时,x 的值是 . ⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x ∈R 时,函数y=1022++x x -102+-x x ( ) (A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值4.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=136324+--x x x -124+-x x 的最大值是 .⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=106324+-+x x x -52324++-x x x 的最大值是 .8.曲线分析法[例8]:(2001年全国高中数学联赛试题)函数y=x+232+-x x 的值域为 .[解析]:取点P(x-23,232+-x x ),则点P 在x 2-y 2=41(y ≥0)上,u=x+y+23,直线x+y=u-23在x 轴上的截矩u-23满足-21≤u-23<0,u-23≥21⇔u ∈[1,23)∪[2,+∞). [评注]:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为距离或截距的范围问题.数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法,运用图形的直观性,通过数形结合使抽象问题直观化,复杂问题简单化,综合问题浅显化,充分训练发散思维.[类题]:1.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=2-x +x -5的最大值是 ,最小值是 . 解:取点P(2-x ,x -5),点P 在四分之一圆弧C:x 2+y 2=3(x ≥0,y ≥0)上,u=x+y,直线x+y=u 在x 轴上的截矩u 满足:3≤u ≤6.2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值是 .解:取点P(5-x ,x -8),点P 在四分之一圆弧C:x 2+y 2=3(x ≥0,y ≥0)上,u=x+3y,直线x+y=u 在x 轴上的截矩u 满足:3≤u ≤23.3.(典型题)函数y=4x+223x x -+的值域为 .解:取点P(x,223x x -+),点P 在半圆圆弧C:(x-1)2+y 2=4(0≤y ≤2)上,u=4x+y,直线4x+y=u 在x 轴上的截矩u 满足:-1≤41u ≤217+1⇒-4≤u ≤4+217. 4.(数学奥林匹克高中训练题(73))函数y=212x x -+-2215x x --的值域为 . 解:f(x)的定义域为[-3,3],设y 1=212x x -+(y 1≥0),y 2=2215x x --(y 2≥0),则(x-21)2+y 12=(27)2,(x+1)2+y 22=42, 作此两圆,如图: B y 设直线x=t 与半圆C 1,C 2分别相交于A,B 两点,则有向线段BA 的数量, A即为x=t 时的函数值. C 2 C 1 显然,当x=-3时,y 取得最小值-23;当x=3时,y 取得最大值6. -5 -3 x=t O 3 4 x9.向量分析法[例9]:(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值.[解析]:设a =(31,21,1),b =()13(3x -,x 2,27+x ),则|a |=666,|b |=66,ab =27+x +x -13+x ,其中0≤x ≤13,由(ab )2≤|a |2|b |2得y ≤66666=11,当且仅当a ∥b ,即x=9时,等号成立;又因()13(3x -)2+(x 2)2+(27+x )2=66⇒当且仅当b =(39,0,33),即x=0时,cos<a ,b >≥113313+⇒27+x +x -13+x =ab =|a ||b |cos<a ,b >≥13+33.[评注]:根据向量的数量积的定义ab =|a ||b |cos<a,b>⇒(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒(ab )2≤|a |2|b |2,等号当且仅当a ∥b 时成立.如求函数f(x)=m x a -+n b x -的最值,可令a =(m,n),b =(x a -,b x -),由(x a -)2+(b x -)2=a-b,f 2(x) =(ab )2=|a |2|b |2cos 2<a,b>⇒<a,b>∈[0,θ],tan θ=n/m,或cot θ=n/m ⇒cos<a,b>∈[t,1],其中t=min{22nm n +,22nm m +}⇒f 2(x)∈[(m 2+n 2)t,(m 2+n 2)(a-b)].[类题]:Y.P.M 数学竞赛讲座 71.(2005年全国高中数学联赛试题)使关于x 的不等式3-x +x -6≥k 有解的实数k 的最大值是 .2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=5-x +x 324-的最大值为 .3.(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219. 解:设a =(2,1,1),b =(1+x ,32-x ,x 315-),则|a |=6,|b |=13,ab =21+x +32-x +x 315-=|a ||b | cos<a ,b >=613cos<a ,b >.当b =(25,0,221),即x=23时,cos<a ,b >取得最大值⇒21+x +32-x +x 315-最大值=225+221<219. 10.不等式法[例10]:(2003年全国高中数学联赛试题)设23≤x ≤5,证明不等式21+x +32-x +x 315-<219.[解析]:由(x 1+x 2+…+x n )2=x 12+x 22+…+x n 2+2x 1x 2+2x 1x 3+…+2x n-1x n ≤x 12+x 22+…+x n 2+(n-1)(x 12+x 22+…+x n 2)=n(x 12+x 22+…+x n 2)⇒x 1+x 2+…+x n ≤n22221n x x x +⋅⋅⋅++,当且仅当x 1=x 2=…=x n 时取等号.21+x +32-x +x 315-=1+x +1+x +32-x +x 315-≤214+x ≤219,而等号不能成立.柯西不等式:(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2),当且仅当a 1:x 1=a 2:x 2=…=a n :x n 时等号成立; (21+x +32-x +x 315-)2=(m1m mx 44++n1n nx 32-+k1kx k 315-)2≤(m 1+n 1+k1)[(4mx+4m)+(2nx-3n)+ (15k-3kx)],令4m+2n=3k,y 5≤(m 1+n 1+k1)(4m-3n+15k),取[评注]: [类题]:1.(数学奥林匹克高中训练题(147))设0≤x ≤8则函数f(x)=1)8)(8(2+-+x x x x 的值域为 .解:f(x)=1)8)(8(2+-+x x x x =1)8)(8(22+-+x x x x ≤)1(2)8()8(22+-++x x x x =4,当且仅当x=2时等号成立,值域为[0,4].2.(《中等数学》2006年笫6期.数学奥林匹克高中训练题(1))设x ∈R +,则函数y=211x++2xx+1的最大值为 . 解:设t=x1(t>0),y=21t t ++t+12≤2)1(2t t ++t+12=t t +12+t +12=2-t +12+t +12=2-2(t+11-22)2+22≤ 2+22=223,当且仅当t+11=22,即t=1时等号成立. 3.(数学奥林匹克高中训练题(126))函数f(x)=x(x +1+x -1)的值域为 .解:函数f(x)的定义域为[-1,1],且为奇函数,设21x -=t,0≤t ≤1,f 2(x)=x 2(2+221x -)=2(1-t 2)(1+t)=(1+t)(1+t)(2-2t)≤[3)22()1()1(t t t -++++]3=2764,当且仅当1+t=2-2t,t=31时等号成立⇒f max (x)=938⇒值域为[-938,938]. 4.(2009年全国高中数学联赛试题)求函数y=27+x +x -13+x 的最大和最小值.解:函数的定义域为[0,13],y=27+x +x -13+x =27+x +)13(213x x -+≥27+13=33+13,当且仅当x=0时等号成立;又由柯西不等式:(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2),当且仅当a 1:x 1=a 2:x 2=…=a n :x n 时等号成立;y 2= (27+x +x -13+x )2=(m1m mx 27++n1nx n -13+k1kx )2≤(m 1+n 1+k1)[(mx+27m)+(13n-nx)+kx],令m+k=n,且m1:m mx 27+=n 1:nx n -13=k 1:kx ⇒m 2x+27m 2=13n 2-n 2x=k 2x ⇒x=22222713m n m n +-=22213k n n +∈[0,13],取m=1⇒k=2,n=3,则y 5≤(m 1+n 1+k1)(27m+13n)=112.x=9时等号成立;Ⅱ.类型分析1.函数f(x)=ax+b+m dcx +2.函数f(x)=3.函数f(x)=nbax ++mdcx +4.函数f(x)=ax+b+m t qx px ++25.函数f(x)=6.函数f(x)=7.函数f(x)=8.函数f(x)=9.函数f(x)= 10.函数f(x)=3.函数f(x)=n b ax ++m d cx ++k q px +4.f(x)=ax+b+m t qx px ++25.f(x)=ax 2+bx+c+m t qx px ++26.f(x)=n c bx ax ++2+m t qx px ++27.f(x)=qpx cbx ax +++4.(原创题)函数f(x)=5422+-x x -12+x 的值域为 . 解:设y 1=5422+-x x ,y 2=12+x ⇒。

一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。

∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

代数极值很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.一、条件极值问题例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++=,求1221311111nn nn a a a a a a a a a a -+++++++++++++的最小值.解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++用常数1代换,得1212111()21122n n a a a a a a a a +++++==+++--,同理,21322112na a a a a +=++++-,……, 112112n n n a a a a -+=+++-,令111nini i jj a y a a ===-+∑∑,则12222222ny n a a a +=+++---. 为了利用柯西不等式,注意到11(2)221n ni i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则11111(21)(2)22nn ni i i ii in a a a ===-=-⋅--∑∑∑ 221n i n =⎛⎫= ⎝….∴2221n y n n +-…,即222121n n y n n n -=--….当且仅当 121n a a a n ====时,上式等号成立.从而,y 有最小值21nn -. 评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.例2 设1xy =,且0x y >>.求22x y x y+-的最小值.解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+∆∆>,则2222()2()2x y x y xy y x y x y y+-+∆+==--∆….当且仅当y ∆=即x y ==.因此22x y x y +-的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求111212121a b c +++++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x +===∈,则111212121222y z x a b c y x z y x z++=++++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭2()x y z ++….从而,2()1222[(2)(2)(2)]y z x x y z y x z y x z y y x z z y x x z ++++=++++++++…,即1111212121a b c +++++….当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明23222333121aa ab c+++…而得到最小值.二、多元函数极值问题例4 设,x y R ∈,求函数22(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值.解:22(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =.评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法. 例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足112ni i x =∑…,求121(,,,)(1)nn i i f x x x x ==-∏的最小值.解:当1221,,,,n n n x x x x x --+都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+=, ①则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+⋅=<.∴12121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------…其中121212n n x x x x x x '''+++=+++….再进行形如①的变换2n -次,即可得 12121(1)(1)(1)1()2n n x x x x x x --->-+++…,其中等号当1231,02n x x x x =====时取得.∴所求最小值为12. 评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.例6 给定实数25a >.对于满足条件55111i i i ix a x==⋅=∑∑的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求{}{}1234512345max ,,,,min ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.解:由对称性,设12345x x x x x 剟剟,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,2342342341111(,,)(1)(1)a fx x x x xx u u x x x ==++++++++2111++++…,3,10u-,.另一方面,将34,x x看作常数,23422(,,)(,,0)a f x x x xxβαγαβγ==⋅++>.2x>时,f为凸函数,在21x=或2x u=时取得最大值.同理,f在34,1x x=或u时取得最大值.设f取得最大值时,234,,x x x中有k个为u,3k-个为1,0,1,2k=.此时,1(31)(31)kf ku k u ku u=+-+++-++=222(1)3(1)(4)(41)u u u uk ku u u--++-++.f为开口向下的抛物线,对称轴为32k=,故1k=或2时,f取得最大值.23421(,,)(23)(3)6()13a f x x x u uu u∴=++=++ (21)=+,u∴={}{}1234512345max,,,,min,,,,x x x x xx x x xx22,⎡⎤⎛⎢⎥∈⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、无理函数极值问题例7求函数()f x=的最大值.解:由于()f x==.令2(3,2),(0,1),(,)A B P x x,则()f x PA PB=-.于是,问题转化为在抛物线2y x=上求一点P,使PA PB-最大.因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线AB和抛物线必相交,交电由方程组2121030y xyx⎧=⎪⎨--=⎪--⎩确定,消去y,得2330x x--=.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,()f x有最大值AB=评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PA PB-例8求函数()2f x x=.解:由于()22f x x x ==+,可令1sin ,[,]2222x ππθθ-=∈-,则12x θ=.于是5()()11sin()2f x g θθθθϕ==+=++,其中ϕ=. 因为[,]22ππθ∈-,故]22ππθϕ+∈+,从而sin()[θϕ+∈,即7()[1]2g θ∈,故min max 7()1()2f x f x ==. 评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.例9 求函数y 的最小值．解：先求定义域(,0][2,)-∞⋃+∞，注意到两个根号内的函数在(,0]-∞上都递减，在[2,)+∞上都递增，故原函数亦如此．故min min{(0),(2)}1y f f ==．当0x =时取到最小值．评注:运用单调性,简单巧妙.例10 求函数y =解:（构造法）：y =(,1)P x 到定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和，故min y =．解法二:y =≥=≥0x =时，两等号同时成立，故min y =．例11 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值．解：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；22)7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=． 解法二：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-． 126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 12022≤-≤∴v u (1)．v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：1222≤+vy y ，易知0≥y ，0)7(12≥--=x v ……（2）12222≤+≤∴vy y y ，32≤∴y ，当6=x 时（1）、（2）同时取等号．故)(x f 有最大值3212=．解法三：)(x f 的定义域为[6，8]，686)6(8)(-+-=---=x x x x x x x f ，x -8 ，61-+x x在[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”． 四、分式函数极值问题例12 设,,x y z 是不全为零的实数,求2222xy yzx y z+++的最大值. 解:)222xy yz ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭222222*********a a x y by z x b y z a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….令1122a b a b =+=,解得5a b ==.所以2222()2xy yz x y z +++….当且仅当105x z ==时等号成立. 故2222xy yzx y z+++评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数,a b 作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.例13 对所有,,a b c R +∈,+.解:作代换x y z ===,则,,(0,)x y z ∈+∞.从而,2228a x a bc =+,即22181bcx a =-.同理,222218181,1ac ab y b z c -=-=.将以上三式相乘, 得222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若1x y z ++<,则01,01,01x y z <<<<<<. 故222222222111(1)(1)(1)111x y z x y zx y z ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222[()]x x x y z 2->∑∏222[()(2)]y z x y z x y z +++=∏512=.矛盾.所以1x y z ++….从而,当a b c ==时,所求最小值为1.评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在222111111512x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的条件下,求x y z ++的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.例14 已知,,a b c R +∈,求938432a b cb c c a a b+++++的最小值. 解:对分母进行代换,令3,84,32b c x c a y a b z +=+=+=, 则111131111,,386216461612a x y zb x y zc x y z =-++=-+=+-. 故914191496138432861648a b c y x z x z y b c c a a b x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由均值不等式得 上式1116147461286164848⨯+⨯+⨯-=….当且仅当2,3y x z x ==时等号成立.∴当10,21a c b c ==时,所求最小值为4748.评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.例15 设,,a b c 为正实数,且abc a c b ++=,求222223111p a b c =-++++的最大值. 解:设tan ,tan ,tan a b c αβγ===,,,(0,)2παβγ∈.由abc a c b ++=,得1a cb ac+=-,即tan tan()βαγ=+,从而βαγ=+.故2222cos 2cos ()3cos p αγγ=-++2cos 21cos(22)13cos ααγγ=+-+-+22sin sin(2)3cos γαγγ=++22102sin 3cos 33sin 2sin 3γγγγ+=-+剟.因此,当12,sin 23παγγ+==,即,24a b c ===时,max 103p =. 评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.。

无理函数的特性总结无理函数是指含有无理数的函数，其表达式中包含有根号、指数或对数等无理运算。

无理函数在数学中具有一些特殊的性质和特点，下面将对无理函数的主要特性进行总结。

一、无理函数的定义域和值域对于无理函数f(x)，其定义域是使得f(x)有意义的x的取值范围。

一般来说，无理函数的定义域可以通过各种限制条件得到，例如要求根号内的数为非负数等。

而无理函数的值域则是函数在定义域内得到的所有可能的取值。

二、无理函数的奇偶性无理函数的奇偶性与函数的对称性有关。

如果对于无理函数f(x)，当x为任意实数时，都有f(-x) = -f(x)，则认为该无理函数是奇函数。

如果对于无理函数f(x)，当x为任意实数时，都有f(-x) = f(x)，则认为该无理函数是偶函数。

当无理函数既不满足奇函数的定义，也不满足偶函数的定义时，则称该无理函数是非奇非偶函数。

三、无理函数的连续性无理函数的连续性是指函数在定义域内的所有点上都存在极限，并且函数的极限值等于函数在该点的函数值。

一般来说，无理函数在其定义域的每个断点上都不连续，例如无理函数的分母为0的点或者无理函数的根号内为负数的点。

在无理函数连续的区间上，可以利用无理函数的特点进行函数的求解和性质的分析。

四、无理函数的单调性无理函数的单调性指的是函数随着自变量的增大或减小而呈现递增或递减的趋势。

要判断无理函数的单调性，可以通过求导数或者利用函数的图像性质进行分析。

在无理函数的导数存在的情况下，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。

五、无理函数的极值与拐点无理函数在其定义域内可能存在极值点和拐点。

极大值和极小值点是函数在该点附近取得最大和最小函数值的点，而拐点则是函数图像在该点处有曲线从凹向上凸或从凸向下凹的变化趋势。

六、无理函数的对称轴对于某些无理函数，可能存在对称轴使得函数关于该轴对称。

对称轴可以通过观察函数的图像或者利用函数的性质进行确定。

七、无理函数的渐近线无理函数的渐近线是指函数图像趋向于无穷远处时的趋势。

专题1: 一类无理函数最值的求法若A、B为平面内的两个定点，P为一个动点，那么1. 当P在线段AB上时，最小。

2. 当P在线段AB 的延长线上时，最大。

利用以上原理，结合解析几何知识可巧妙地求形如的最值问题。

例1. 求的最小值。

分析：可看作是求x 轴上的点到点A（0，2）和点B（12，-3）距离之和的最小值。

如图1，当点P在线段AB上时，有最小值例2. 求的最大值。

分析：因为可看作是求x轴上的点P（x，0）到点A和点B（3，1）距离之差的最大值。

如图2，当点P 在线段AB的延长线上时，有最大值例3. 若，求的最大值。

分析：因为，所以只考虑的情况即可。

当时，可以看作是x轴上的点P（x，0）到点和点距离之差的最大值。

如图3，当P 在线段AB的延长线上时，有最大值一般地，可以理解为横轴上的点P（x，0）到A（a，b）和B（c，d）的距离之差。

当点P在线段AB的延长线上时，。

P 点的横坐标由直线AB与x轴的交点决定，当AB 不垂直于x轴时，AB的方程令。

当AB垂直于x轴时，，AB的方程为；当AB与x轴平行时，不存在点P ，使最大，即y无最大值。

用以上思想可以解更一般的求最值问题。

例4.求的最小值。

分析：可看作是求抛物线上的点到点A （-1，3）和点B（3，2）距离之和的最小值。

如图4，抛物线与线段AB有交点，所以专题2: 三角法专题3:复数法专题4:求一类无理函数值域的新视角形如y=u)(xg+v)(xf，其中g(x)+f(x)=c(常数),u,v>0类型的无理函数值域问题，要求y=u)(xg+v)(xf的值域，可构造向量a=（u,v）,b=()(xg,)(xf)，则原函数等价于y=><=⋅bababa,cos||||，此式中||||,ba都为定值，于是只须求出cos<>ba,的范围即可，而<>ba,的大小情况可结合ba,的几何意义来得到。

例1求y=x x -++2213的值域。

２／ 、２ ／６＝、２； ｂ＝ （，） 与 ｂ夹角最 ／６ 当 ／ ０３时，
大， ｍ ＝ ・ 一２／ ６＝３ 、２ ， Ｙｉ ｂ 、 ／ ２ —２／ ６ 故函数 ／
Ｙ ＝ 、２ ， ＋１＋ ４，２一Ｕ ＝ 、２ １ ／ 、１ ／ ／ ＋ ＋ ／
（ ２ －１、 ４ ｕ ．．３ ≤５ ０ ≤４ 、 ｔ ，／ —２ ） ’ ≤８ ， ≤ｔ ， ／ － ， ２ ’ Ｉ ＝５ ． 与 ｂ的终点形成图形３ Ｉ ， ｂ ． ．
图 １
例 ２ 求 函数 Ｙ＝ 一３ ，ｌ 一９ ＋ ／ ｏ ｘ 的值
域． 解： ～ ３＋ 、 Ｙ＝ ， ／ Ｔ ＝ ． ｘ＋ ３
图３
厕 一令＝ ， ＝ ： ３ （） （ ． ， ｓ
（ 下转封底）
维普资讯
・
．
．
一
【 求出的都是函数最大值， １ ］ 且最大值都是出现在
与 ｂ同向时． 若 与 ｂ不可能同向， 函数就 没有最大值 吗？ 若有， 如何求？ 有 没有 最小值
呢？若有， 又如何求？ 通过研究发现， 构造 向量
、１Ｉ． 与 ｂ的终点形成图形 ２ 由图２ ／０ ． ／ ． ． 易知， 当 与 同 向时， 与 夹角最小， ｍ ｘ： Ｙａ
新加的“ 基本数学 思想” 我们 已经提倡多年 ，
现 已成为中国数学教育 的特色之一． 那么， 什么 是“ 基本数学活动经验” 呢？ 如何加以界定？ 似 乎还需要做一个基础性 的研究．
力” “ 、 数学美学欣赏” 等能力， 值得探讨．
此外， 一个突出的问题是，“ 前三基” 都是客 观 的数学 问题， 可以定 出一般的要求． 但是数学 活动经验则 是因人而异， 涉及个人的感受、 感悟
（ 上接第５３ 页） —３ 例４ 求Ｙ ． ２ 一、 —３ ０ ：３／ —１ ／ 的值域． ｖ Ｘ ４

如何求最大值函数在数学中，求解一个函数的最大值是一项基本的技能。

无论是在求解实际问题中的最优解，还是在理论数学推导中的应用，找出函数的最大值都是一个重要的问题。

在本文中，我们将讨论几种常用的方法来求解一个函数的最大值。

方法一：导数法导数法是求解函数最大值最常用的方法之一。

要求一个函数的极值，首先需要求出这个函数的导数。

然后将导数为0的点作为候选值，再通过二阶导数测试确定极值点是极大值还是极小值。

这种方法通常适用于多项式函数和一些具有封闭形式的函数。

方法二：图形法对于一些简单的函数，我们可以通过观察函数的图形来确定最大值点。

在函数图像上找到最高的点，就是函数的最大值。

这种方法适用于一些简单的函数，可以帮助我们直观地理解函数的最大值问题。

方法三：约束条件法有时候，我们并不是直接求解函数的最大值，而是在一些约束条件下求解函数的最大值。

这就需要用到约束条件法。

我们首先建立带约束条件的函数，然后通过拉格朗日乘子法或者其他方法来求解函数的最大值。

这种方法在优化问题中经常被使用。

方法四：数值方法对于一些复杂的函数，求解最大值可能没有解析解，这时候我们可以借助数值方法来求解函数的最大值。

常用的数值方法包括梯度下降法、牛顿法等。

这些方法可以通过迭代的方式逼近函数的最大值。

结论求解最大值函数是数学中一个重要而常见的问题。

通过导数法、图形法、约束条件法和数值方法，我们可以灵活地求解各种函数的最大值。

不同的方法在不同的场景下都有其独特的优势，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的最大值。

这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题中的优化和最大化等应用。

【例 5】设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的
1 最大值与最小值之差为2，则 a＝________.
分析 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函 数的最值，然后利用条件求得参数a的值．
解析 ∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增 函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为
又两边平方，得y2＝4＋2 1－x· x＋3
＝4＋2 (1－x)(x＋3).
所以当x＝－1时，y取得最大值M ＝2 2；当x＝－3或
1时，y取得最小值m
m ＝2，∴
M
＝
22.故选C.
分析 对于形如y＝ a－cx＋ cx＋b的无理函数的最 值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b) ＋2 (a－cx)(cx＋b)的最值问题，这只需利用二次函 数的最值即可求得．
七、判别式法
把函数转化为 x 的二次方程 F (x，y)＝0，通过方程
有实根，判别式 Δ≥0，从而求得函数的最值．判
ax2＋bx＋c
别式法多用于求形如 y＝
(a，d 不同时为 0)
dx2＋ex＋f
的分式函数的最值．
x2－3x＋4
【例 7】求函数 y＝
的最大值和最小值．
x2＋3x＋4
分析 本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)． ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 点评 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量 的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置 关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时 要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据 不同情况分类解决．