一类无理式函数值域的解法

解： ‘ ． ‘ １ 一 ≥０， ． ＿ ．一１ ≤ ≤１ ．
故函数的定义域为［ 一 １ ， １ ］ ．
故 函数的定义域： 勾［ 一 １ ， １ ］ ． 设 ＝ ｃ ｏ ｓ ， ０ ∈［ ０ ， １ Ｔ ］ ，
２ 基本不等式法
例 ２ 求 函数 ｙ： 的值 域．
故 函 数 的 定 义 域 为 ［ 一 １ ３ ， ＋ ∞ ） ．
设￡ ：、
从而 ， ， ＝ ２・
√ ＋ １
分析： 抓住 函数解析式 的特点 ， 通过 函数解析式 的 裂项 变形 ， 进一步利用基本不等式求出 函数的值域
＋ １＝ ＿ １ 即 ＝ ０时等
√ ＋１
的值域为［ ２ ， ＋ ∞） ．
薄弱环节． 尤其是在遇 到无理 函数求值域 时更是让
学生无 所 适从． 本 文就 通 过 几 个 例 子谈 常见 无 理 函 数 的值 域 的一 些求法 ．
３ 换 元 法
例 ３ 求函数 ） ， ： ２ ｘ ＋、 ／ ／ １ 一 的值域 ．
分析 ： 抓 住 函数解 析式 的特点 ， 通过换 元 法将无 理 函数 有理化 ， 或 通 过 三角 换 元 法从 而 求 出 函数 值
１ 观 察 法 例 １ 求 函数 Ｙ ＝ ２ ＋￣ ／ ＋ １ 值域．
分析 ： 抓住 函数 定 义域及其 解 析式 的特 点 ， 从 而
观察 出 函数 的值 域．
了， 则￡ ＞０且 ： ／
叶
， 其中￡ ＞ Ｉ ０ ，
＋ ３ 一
￡ ２ 一 ￡ 一 ７
，
解： ’ ． 。 函 数Ｙ ＝ 圭 的 定 义 域 为Ｒ ，
√ 十 Ｊ
故函 数Ｙ ＝ ＋ ３ 一

一类无理型函数的最值(值域)的求法再探究广东省兴宁市第一中学 (514500) 蓝云波文[1]对形如d cx n b ax m y +++=（其中0≠mn ，0<ac ）的无理型函数的最值(值域)的问题作了有益的探究.其中，对此类函数的第二种类型d cx n b ax m y +++=（0>mn ，0<ac ）的最值（值域）问题，从不同角度出发，得出了七种最大值的求法和五种最小值的求法.这些方法都是高中数学中求函数最值（值域）的重要方法.不过笔者认为，文[1]的有些地方是值得商榷的.另外，笔者通过探究，给出其他几种解法，供大家参考. 原题：（2011年全国高中数学联赛四川赛区初赛第4题）函数x x y 3245-+-=的最大值为（ ） A.3 B.3 C.32 D.33 答案：C在文[1]中，给出了一种判别式法，其解答如下：x x y 3245-+-=Θ，0≥∴y ，)324)(5(232452x x x x y --+-+-=， )324)(5(21922x x x y --=-+∴，01922≥-+∴x y ，)84138()2324(162422=+-+-+∴y y x y x .0)84138(64)2324(2422≥+---=∆∴y y y . 01224≤-∴y y ，1202≤≤∴y .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+≥∴1200192022y x y y ，323≤≤∴y ，y ∴的最小值为3，最大值为32.其实这种解法是有硬伤的.最终答案无误纯属巧合.例如2013年全国高中数学联赛江西赛区初赛第6题：函数x x x f -+-=363)(的值域是 .运用这种方法则是行不通的.其错误的根源有两点：其一：忽视了函数的定义域，原题函数的定义域是[]8,5，其解法仅仅考虑方程0)84138()2324(162422=+-+-+y y x y x 有解，而非在[]8,5上有解；其二：其解法求最小值时是运用01922≥-+x y 得到的，并且按其思路是用max min 2)219()(x y -≥求出的.这也是有问题的，因为y 的值是依赖于x 的值的变化而变化的.事实上，此题运用判别式法是比较困难的.笔者通过探究，得出下列另外几种解法.另解一:利用不等式同时取等号求最小值()()()x x x x x y 3245221932452--+-=-+-=Θ，[]8,5∈x .()()03245≥--∴x x ，162-≥-x ，当且仅当8=x 时，等号同时成立.301619=+-≥∴y .即函数x x y 3245-+-=的最小值为3.另解二:利用方差求最小值在文[1]中，给出了如下利用方差求最大值的方法：x x y 3245-+-=Θ，[]8,5∈x .令3324,5x b x a -=-=，则b a y 3+=，易知1个a 与3个b 的平均数为4y n =.方差为222443441⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b y a y S ()438316222b a y b a y +++-=，b a y 3+=Θ，016432222≥-+=∴y b a S .43)9324(3)5(414316222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+≤∴x x b a y .122≤∴y ，当4y b a ==，即423=x 时，y 有最大值为32.其实，此题利用方差是可以求出最小值的.()()16316343164322222222b a b a b a y b a S -=+-+=-+=Θ.33245x x b a ---=-Θ在[]8,5上单调递增，31≤-≤-∴b a ，()32≤-∴b a .1692≤∴S ，163169431694316222=-=-+≥∴b a y ，32≥∴y ，当且仅当8=x 时，y 有最小值3.另解三:利用对偶关系求最值x x x x y -⨯+-=-+-=8353245Θ，[]8,5∈x .设x x y -⨯+-=835的对偶式538-⨯--=x x z ，因为z 在[]8,5上单调递减，33≤≤-∴z ，902≤≤∴z .又()()125388352222=-⨯--+-⨯+-=+x x x x z y Θ.2212y z -=∴，91202≤-≤∴y ，1232≤≤∴y ，显然0>y ，323≤≤∴y .y ∴的最小值为3，最大值为32.另解四:利用函数的单调性的定义求最值设1x ，[]8,52∈x ，且21x x <，再设)(x f y =x x 3245-+-=.则)()(21x f x f - 221132453245x x x x -----+-=()()212132432455x x x x ---+---= 21122121324324)(355x x x x x x x x -+--+-+--=()()()()()2121221121324324555332453324x x x x x x x x x x -+--+----+---⋅-=. 021<-x x Θ，()()0324324552121>-+--+-x x x x ，故只需考虑 ()()53324533242211---+---x x x x 的正负.记53324)(---=x x x g ，则)(x g 在[]8,5上单调递减，令0)(=x g 得423=x ，故当4235≤≤x 时，0)(≥x g ，当8423≤≤x 时，0)(≤x g .∴当4235≤≤x 时，0)()(21<-x f x f ，此时)(x f 单调递增；当8423≤≤x 时，0)()(21>-x f x f ，此时)(x f 单调递减.∴当423=x 时，)(x f 有最大值=)423(f 32.又3)5(=f Θ，3)8(=f .∴)(x f 的最小值为3.故函数x x y 3245-+-=的最小值为3，最大值为32. 另解五:利用复数的性质求最值 此法要用到复数的两个重要性质.容易证明复数()R b a bi a z ∈+=,具有下列两个性质：（1）()()z z z ≥+Im Re ，当且仅当()()0Im Re =⋅z z 时等号成立；（2）()z z ≤Re ，当且仅当()0Im =z 时等号成立；其中()z Re 、()z Im 分别为复数z 的实部和虚部.x x y 3245-+-=Θ的定义域为[]8,5.设i x x z ⋅-+-=3245，则x z 219-=，由性质（1）()()z z z ≥+Im Re 知：382192193245=⨯-≥-≥-+-x x x ，当且仅当8=x 时等号成立，且此时满足()0Re =z . 3≥∴y . 又xx y -⨯+-⨯=8351Θ，设i x x z i z ⋅-+-=⋅-=85,3121.则()()i x x x x z z ⋅---+-+-=⋅1538324521， ()()3215382452221=---+-+-=⋅∴x x x x z z . 由性质（2）得()2121Re z z z z ⋅≤⋅，323245≤-+-∴x x ，当且仅当()0Im 21=⋅z z ，即01538=---x x 时等号成立，此时解得423=x .32≤∴y . y ∴的最小值为3，最大值为32.这样，笔者通过上述探究，得到形如d cx n b ax m y +++=（0>mn ，0<ac ）的无理型函数的其他五种最小值的求法和三种最大值的求法.参考文献[1]彭小明.一类无理型函数的最值(值域)的求法探究[J].中学数学研究.2013（4）.。

・３ ・ ９
一
ｙ≥
＝
（ － ）ｂ－ ａ ａ ｃ—￣ ａ） （ ：
一
．
） √一 ， ， ≤
｝ ｂ
一 — ‘
即
，≤ 一 ，
即
图３
图 ４
图７
图８
３ 求 Ｙ＝
＋６一ｘ ａ＞ ， （ ｏ ≥Ｏ） 的值 域
（ ） ０＜ａ＜１ｂ＜ ４当 ， ０时 ，０ ， 双 曲线 方程 ｋ ＞１得 （ ） 如 图 ８可 按 切线确 定 截距 最小 值 为 ４， ，
Ａ ￣ ｍ，） （， ０ 时截距最小， ／ ｎ 此时
一 －ａ ｄ
①当ｃ ≤。时， 按所通过 的点 Ｂ ０ ｉ ） （， 确 定截距最大值 ， ～ ≤ 得 Ｙ
， 线 过点 直
是ｙ 一 ≥ 一 ．
ｙ √ ｍ 啪 √＿
（ ） ＩＩ ｌ 时Байду номын сангаас， ２ 当 ≤ 口ｌ ｃ ≥
２ ≤ ≤导 ＝戈 一 ３ １ 则一 ≤ ≤ ． ＝ ｕ ｝令 ５
， ，
图５
图６
得≥设 ＝－ ， 方 。 ￥ 竽则 程 ． ｙ 原
Ｚ
（ ） ０＜口≤１ ６＞０时 ，ｏ １ 如 图 ６ 按 双 ２当 ， 后≥ ， ．
可化 为 ｓ ＝ ｖ 消去 ， ＋ ２， 可得椭 圆方程
方程（ ）且切线确定截距最大值 ， ３， 得
—
例 １ 求 Ｙ ＋ ＋ ／ ：一 ７ ２￣ 厂
域．
，
＿ 的值
（ —） ａ－１ ｂ
一 ＝ 一
解
原方 程 可化 为
即
ｙ≥
（萼 （孚 ２一 一） ． ， ） 一 ＝ ２ ＋ ， ＋ ）√ （ 。 一 萼

一类无理函数值域的解法探究赵韵 指导老师 嵇伟民 （淮阴师范学院数学系 江苏淮安 160501092）摘要：本文主要探索型如，其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域的新解法，主要有构造三角函数法、构造圆的方法、构造对偶函数法、构造向量法，并由此探索出求此类无理函数值域的一般性结论。

关键词：无理函数 值域 三角函数 圆 对偶函数 向量 一般性结论有这样一道例题：求的值域。

在一般情况下，求函数的值域，常用的方法有观察法、图像法、判别式法等等，但对于求型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域，就有很多的限制和不妥。

对此，我们来探索其他的一些新的方法和手段。

一、几种解法（1）构造三角函数法型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0的无理函数，其式子可化为 ⎛⎝，这时，可利用三角函数代换，设=sin θ，=cos θ，有y=m sin θ+n cos θ），θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用“合二为一”的思想，y= )θϕ⎤+⎦，其中tan ϕ=nm，可简记为y=A sin ()θϕ+,其中A=0<θ+ϕ<π，所以，当θ=0时，y m in =A sin θ，当θ=2π时，y m ax =A sin()2πϕ+，即y m ax =A cos ϕ。

从而，型如其中r (x) + s (x)= c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域为y ∈[]sin ,cos A A ϕϕ，其中，A=tan ϕ=n m。

（2）构造对偶函数法对于型如y=m r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数，在满足其定义域[],x a b ∈的前提下，构造对偶函数 y '=,则有2'239y y+=，判断其在定义域上的单调性，可知其在定义域上为单调递增函数，故可分别得到其最大值和最小值为y m ax ，y m in 。

浅析无理型函数值域的几种常规求法一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。

例1．求函数y ＝3＋42+x 值域。

解：∵42+x ≥2，∴函数值域为[5，+)∞。

二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。

例2．求函数y ＝x －x 21-的值域。

解：函数的定义域为]21,(-∞，函数y=x 和函数y ＝－x 21-在]21,(-∞上均为单调递增函数，故y ≤212121⨯--＝21， 因此，函数y ＝x －x 21-的值域是]21,(-∞。

三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。

例3．求函数y ＝x+x 21-的值域 。

解：定义域为x ∈]21,(-∞，令t ＝x 21- (t ≥0)，则x ＝212t -于是y ＝－21(t －1)2＋1，由t ≥0知函数的值域为]21,(-∞。

本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。

对于形如“y mx n ax b =++±”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t ax b =+，将原函数转化为t 的二次函数，当然也适用于“y mx n ax b =++22±”的函数。

例4. 求函数y x x =-+-23134的值域。

解：令t x =-134，则t ≥0且x t =-14132()，则y t t =-++12722=--1212()t +4。

当t =1，即x =3时，y max =4，当t →+∞时，y →-∞。

故函数值域为(]-∞，4。

另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：例5．求函数y ＝x+21x -的值域。

解：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，∴设x ＝cos θ，θ∈［0，π］ 则y ＝cos θ+sin θ＝2sin （θ+4π）， ∵θ∈［0，π］，∴θ+4π∈［4π，45π］，∴sin （θ+4π）∈［－22，1］，∴2sin （θ+4π）∈［－1，2］，∴函数y ＝x+21x -的值域为［－1，2］。

⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部

则
u2 3
+
v2 6
=
1 (u
≥
0, v
≥
0)，
该式表示椭圆
u2 3
+
v2 6
=
1
在第一象限的部分，如
图 2 所示，
则 y 为直线 y = u + v 的纵截距，
移动直线 y = u + v ，由图 2 可知当直线过点 ( 3,0)
时，直线的纵截距最小，此时 m 取得最小值 3 ，
当直线与该椭圆在第一象限的部分相切时，直线
整理得
y2 4
+
(x - 3)2 2
= 1 ，其图象如图 4 所示.
图3
则 f (x) = u + v，设 m = f (x)，
则 m 为直线 m = u + v 的纵截距，
移动直线 m = u + v ，由图 3 可知当直线过双曲线上
的点 (-1,0) 时，直线的纵截距最小，m 取得最小值 -1 ，
（作者单位：甘肃省徽县第一中学） 57
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
的纵截距最大，此时 m 取得最大值，
将直线与椭圆的方程联立，消去 u 可得 7v2 - 8yv +
4y2 - 12 = 0 ， 由△≥0，可得 y ≤ 3 ，
量换元，可将原问题转化为直线与椭圆的
位置关系问题，通过数形结合，就能快速求得函数的
值域.该解法简单明了，巧妙地避免了繁琐的代数运
消去 x 后得到关于 u 、v 的双曲线方程为：
(u
- 1)2 4
-
v2 8
=
1(v
≥

形如y=ax+b＋cx+d的函数的值域问题陕西省武功县普集高级中学张磊类型I a+b=0 (a×b≠0)解法1平方法——转化为二次函数在闭区间上的值域问题范例1 求y=3−x+x+1的值域解：依题得3−x≥0x+1≥0可得−1<x<3即定义域为 −1 ，3因为y>0，所以两边平方得：y2=4+2−（x−1）2+4因定义域为 −1 ，3，对称轴x=1∈ −1 ，3，所以4≤y2≤8由y>0可得，2≤y≤22即值域为2，22解法2三角换元法①---利用辅助角公式转换为三角函数在闭区间上的值域问题令ax+b=c+d sinθcx+d=c+dcosθ其中θ∈ 0，π2则问题转化为y=c+d sinθ+c+dcosθ在 0，π2上的值域问题。

于是例1第二种解法如下：令3−x=2sinθx+1=2cosθ其中θ∈0，π2则原函数化为y=2sinθ+2cosθ在0，π2上的值域问题。

由辅助角公式得y=22sin（x+π4）因为θ∈0，π2，所以x+π4∈π4，3π4，∴2≤y≤22即值域为2，22解法3代数换元法---转化为线性规划问题（该方法具有一般性）令ax+b=ucx+d=v ，则问题转化为目标函数y=u+v在f u，v=0u≥0v≥0上的最值问题。

于是例1第三种解法如下：令3−x=u ，x+1=v ，则问题转化为y=u+v在u2+v2=4u≥0v≥0上的最值问题。

结合图像可知，当直线y=u+v过点（2 ，0），（ 2 ，2）时截距y取得最小和最大值2和22。

即值域为2，22解法4三角换元统一方法②---令ax+b=y2sin4θcx+d=y2cos4θ其中θ∈ 0，π2y>0上式中消去x得到：以y为函数，θ为自变量的函数的求值域问题（该方法具有一般性）于是例1第四种解法如下：令 3−x =y 2sin 4θx +1=y 2cos 4θ ，消去x 得y 2=4sin 4θ+cos 4θ 因y >0 ，sin 2θ+cos 2θ=1 ，所以y =2（sin 2θ−12）+12，由θ∈ 0，π2 ，所以sin 2θ∈ 0，1 ，∴2≤y ≤2 2即值域为 2，2 2注意 若仅求最大值还可以利用下面几种方法⑴ 利用均值不等式的推论a +b ≤ 2（a 2+b 2）求解更简单，即y= 3−x + x +1≤2 （ 3−x ）2+（ x +1）2=2 2 ，所以y max =2 2⑵ 也可以利用柯西不等式求解y= 3−x + x +1=1× 3−x +1× x +1≤ （ 3−x ）2+（ x +1）2=2 2⑶ 也可以利用a b≤ ab求解a=（1 ，1） ，b=（ 3−x ， x +1）∴y =a b≤ ab= 12+12（ 3−x ）+（ x +1）=2 2类型II 若a 与c 异号但不是互为相反数时，上述方法2，方法3，方法4均适合，若仅求最大值柯西不等式也是很好的方法。

求函数值域的解题方法总结（16种）在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数()x 323y -+=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。

（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2x 1x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。

（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数()2x x-y 2++=的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。

此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

数形结合在一类无理函数问题的应用上海市青浦区教师进修学院 倪明数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学．数形结合的思想方法是指概括数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析它的代数意义（即数量关系），理解它的几何意义，使数量关系和空间图形巧妙和谐结合起来．充分利用这种结合可以恰当地改变问题或改变提问的角度，灵活地进行数与形关系的转化来解决问题．数形结合和转化可起到化抽象为直观的“以形辅数”作用和化直观为精细的“以数解形”作用．在一维空间实现数形结合的桥梁是数轴，即实数与数轴上的点存在一一对应关系；在二维空间实现数形结合的桥梁是坐标系，即有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在一一对应关系．本文试从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题． 一、理解形如)()(x g x f =（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数图像形如)()(x g x f =（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数是教学中经常碰到的函数类型，在高一时我们习惯从对解析式的研究得到它们的系列性质，局限于用描点法得到它们的图像．在学习了解析几何后我们就可以了解它们具体的图像，同时也多了一条解决问题的途径．（一）当)(x g 是一次函数时，可设)0()(≠+=a b ax x g 则将)()(x g x f =两边平方可得)0,0(2≥≠+=y a bax y 整理)0,0()(2≥≠+=y a abx a y 即函数图像是以)0,(ab-顶点的抛物线在y 轴上方（含顶点）的部分．以x y =例，具体图像如下．（二）当)(x g 是二次函数时，可设)(2++=cbx ax x g 边平方可得)0,0(22≥≠++=y a cbx ax y 整理得ab ac a b x a y 44)2(222-++=)0,0(≥≠y a ，即函数图像是以)0,2(ab-为顶点的圆、椭圆或双曲线在y 轴上方（含顶点）的部分．以函数322++=x x y 、7422+-=x x y 、122++-=x x y 、1422++-=x x y 为例，具体图像如下：隐藏 g(x)的图象（一）函数问题 例１（上海09高考理14）将函数2642--+=x x y [])60(，∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为？解：由2642--+=x x y 得[])6,0(13)2()3(22∈=++-x y x ，它的图像是以)2,3(-心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C kx y =，当0=θ时，231=-=OCk k ，此时直线的倾斜角为y 轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图像，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图像，旋转角为β-90，则23)90tan(=-β，即23arctan =θ． （二）方程问题方程和不等式可以看成函数的特定状态，是情理中的事．例2 若方程01)1(2=+++x a x 有实数解，实数a 范围．解一：用解无理方程的一般方法得（1）0=a 数解0=x ；（2）0≠a 时，两边平022)1(2222=++-a x a x a ，①012=-a 即=a 1-=x ，经检验其中1-=a 时无实数解；②012≠-a T'根就比较困难．解二：整理方程得axx -=++1)1(2将方程有实数解看成函数1)1(2++=x y 和函数axy -=法一可得21≤<-a ．（三）不等式问题例3若不等式a x x +>-228恒成立，求实数a 解：将不等式两边分别构造为函数(282≥-=y x y ,a x y +=（如图）当直线系位于半椭圆下方时，符合题意，例4若关于x 的不等式0)lg()1lg(212>+--b ax x )21,32(-，求实数a ，b 的值． 解析：将不等式0)l g ()1l g (212>+--b ax x 等价化012>+>-b ax x ，不等式两边分别构造)11(12<<--=x x y 和0,>+=y b ax y 33和)23,21(，进而可求得直线方程中a ，b 的值． 三、构造几何意义的量，利用“以形助数”解一类无理函数值域问题 （一）形如)0()(<+++=ac d cx b ax x f 其中例5（1） 求函数x x y -++=54的值域．解：令4+=x s ，x t -=5则9)5()4(2222=-++=+x x t s ，0,0≥≥t st s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标当直线t s y +=与圆弧922=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-T')3,0()0,3(、，当23=y 时直线与圆弧相切，所以函数的值域是[]23,3．（2） 求函数x x y -++=642的值域．解：令42+=x s ，x t -=6则16)6(2)42(22222=-++=+x x t s ，,0≥t s t s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 直线t s y +=与椭圆弧181622=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-的直线系．当22=y 时直线过上顶点)22,0(，当62=y 时直线与椭圆弧相切，所以函数的值域是[]62,22． （二）形如)0()(>+-+=ac d cx b ax x f 其中 例6 （1）求函数54--+=x x y 的值域．解：令4+=x s ，5-=x t则9)5()4(2222=--+=-x x t s ，0,0≥≥t st s y -=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 中，当直线t s y -=与双曲线的19922=-t s 0,0≥≥t s 在第一象限图像有公共点时的取值范围． 在平面直角坐标sOt 中，0=--y t s 表示斜率为1系．当3-=y 时直线过右顶点)0,3(，当0=y 线的渐近线重合，所以函数的值域是[)0,3-． （2） 求函数112+--=x x y 的值域（略）说明：形如)0()(>+++=ac d cx b ax x f 其中和形)0()(<+-+=ac d cx b ax x f 其中 以上利用有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在的一一对应关系介绍了“以形辅数”在一类无理函数问题中的应用，考虑到实数对的表示还有多种形式：用三角表示)sin ,cos (θθr r 、向量的坐标表示),(y x 和复数的坐标表示（即用复数的实部与虚部作坐标表示点），所以这些题的解法还有很多，在这里就不一一赘述了．值得一提的是，在教与学中要加强数和形的转化意识，常见的有函数式⇔函数图像、二元方程⇔曲线方程、向量模复数模⇔坐标平面上两点之间距离等．数形结合是重要的数学思想和常用的数学方法，本文从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题，当然，在由“数”到“形”的转化中还要关注转化的精确性，这样才能更好地体现数学抽象化和形式化的魅力。

求函数值域的8种方法带例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——求函数值域的8种方法。

你们知道吗，学习数学的时候，我们经常会遇到一些让我们头疼的问题，比如求一个函数的值域。

别着急，我今天就来教你们8种简单易懂的方法，让你轻松搞定这个难题。

我们来看第一种方法：观察法。

这种方法很简单，就是直接观察函数在哪些区间内取值。

比如，我们来看一个例子：求函数f(x) = x^2在区间[-1, 2]内的值域。

我们可以看到，当x = 0时，f(x) = 0;当x = 1时，f(x) = 1;当x = 2时，f(x) = 4。

所以，这个函数在这个区间内的值域是[0, 4]。

接下来，我们来看第二种方法：图像法。

这种方法需要用到一些图形工具，比如Excel或者Python的matplotlib库。

我们可以通过绘制函数的图像来直观地看到函数在哪些区间内取值。

比如，我们还是以f(x) = x^2为例。

我们可以在Excel中输入x和f(x)的值，然后通过“插入”->“散点图”功能绘制出函数图像。

从图像中，我们可以看出函数在[-1, 0]和[2, +\infty)内都单调递增，所以这两个区间都是函数的值域。

而在[0, 2]内，函数是先单调递减再单调递增的，所以这个区间也是函数的值域。

因此，这个函数的值域是[0, 4]。

第三种方法：分段法。

这种方法适用于那些在某个区间内单调递增或单调递减的函数。

比如，我们还是以f(x) = x^2为例。

我们可以发现，当x在[-1, 0]和[2, +\infty)内时，函数都是单调递增的；而当x在[0, 2]内时，函数是先单调递减再单调递增的。

所以，我们可以将这个问题分成两个子问题：求f(x)在区间[-1, 0]和[2, +\infty)内的值域；以及求f(x)在区间[0, 2]内的值域。

通过分段法，我们可以分别求出这两个子问题的解，然后将它们合并起来得到原问题的解。

因此，这个函数的值域是[0, 4]。

高中函数求值域的九种方法和例题讲解
【读者按】高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.
一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，
故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的知域为.
点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数。

求值域的方法
求函数的值域是一项重要的数学问题，常用的方法有以下几种：
1. 查找可行解法
对于一些简单的函数，可以通过观察函数的图像或者通过给定的条件直接找到函数的值域。

例如，如果给定的函数是一个线性函数，那么它的值域就是整个实数集。

如果函数是一个常值函数，那么它的值域就是这个常数。

2. 数学推导法
对于一些复杂的函数，可以通过数学推导找到函数的值域。

首先，我们可以求出函数的定义域，然后对于定义域中的每一个值，求出函数的取值范围，最后将这些取值范围合并得到函数的值域。

3. 极限分析法
对于一些无法通过直接求值的函数，可以通过极限的分析来估计函数的值域。

我们可以求出函数的导数或者极限，然后根据函数的单调性和极值点来确定函数的值域。

希望以上这些方法能够帮助你求解函数的值域问题。

求一类无理函数值域的一般结果
邹明;曹仲会
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2000(000)001
【总页数】1页(P6)
【作者】邹明;曹仲会
【作者单位】山东省安丘县第一中学;山东省安丘县实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.625
【相关文献】
1.巧用三角换元法求一类二次曲线型无理函数的值域 [J], 吴智
2.求一类无理函数的值域 [J], 刘建祖
3.运用向量的数量积求一类无理函数的值域 [J], 彭世金
4.构造对偶函数求一类无理函数的值域 [J], 郭兴甫
5.构造向量求一类无理函数的值域 [J], 熊成毅
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类无理式函数值域问题的统一解法
陈立强
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2012(000)010
【摘要】求函数值域是高中数学教学的重点和难点，文[1]探讨了一类无理式函数最大值的解法，经过研究，笔者给出这类非单调无理式函数值域的一种统一解法，即通过换元转化为研究直线与圆锥曲线（段）的关系．
【总页数】2页(P36-37)
【作者】陈立强
【作者单位】200023 上海市卢湾高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一类三角函数值域的统一解法 [J], 岳昌庆
2.一类无理函数值域问题的通用解法 [J], 崔健
3.一类目标函数最值问题的统一解法 [J], 盖传敏
4.一类函数值域问题的图形解法 [J], 杜占兴
5.一类与函数零点个数有关问题的统一解法 [J], 徐正印;白庆全
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

函数值域问题解法归纳
函数值域问题解法归纳
通过值域的定义求值域是最简单直接的一种方法，但是有时也是我们最常忽略的一种方法，因为它的简单，所以是我们在学习值域中最早接触过的一种方法，但是在一些考察思维能力的大题中，伴随着一些阅读信息出现时，往往会给我们造成一些困扰。

今天的学习希望大家就从定义出发理解函数值域。

分离常数，是高中数学的常用方法，分离常数的思路是将变量和常量分开研究，是解决矛盾的一种重要思路。

该方法在求函数值域中也有非常广泛的应用。

今天我们就一起来看看如何用分离常数的方法求函数值域。

在求值城的问题中，往往问题可以转化为我们常见的基本函数，这些函数的性质你是否都很熟悉，并能灵活应用呢？今天我们就通过几个例子来看看基本函数，在求值域题目中的应用。

判别式法实际上体现了一种方程思想，将函数的值域问题转化为方程有解的问题。

同学们在学习时要注意什么形式的函数可以考虑这种方法，同时要注意，它有哪些适用条件。