函数的值域专题

求函数定义域和值域专题1 知识点拨一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、复合函数定义域的求法：取交集及分类讨论；6、抽象函数定义域的求法；二、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

例1：求函数f(x)=211xx-+的定义域．三、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2 ：求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.四、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3：求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。

⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - （4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f五、抽象函数1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

专题二：函数值域的求法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。

遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。

原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。

本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。

一、直接法方法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

【例题1】求函数()1y x =≥的值域。

)+∞【例提2】求函数y = [)1,+∞【例题3】求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、配方法方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例题】求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

三、最值法：方法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

【例题1】求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。

函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］【例题2】求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例题3】求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、反函数法方法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

专题5函数的定义域与值域专题知识梳理1．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．(2)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．(3)常见基本初等函数的定义域：①分式函数中分母不等于零；②偶次根式函数中被开方式大于或等于0；③一次函数、二次函数的定义域为R ．④y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ．⑤y ＝tanx 的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k ∈Z }．⑥函数log a y x =的定义域为{x|x>0}．2．函数的值域(1)在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域：①y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．②y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为24[,)4ac b a -+∞；当a<0时，值域为24(,]4ac b a --∞．③y ＝k x(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④y ＝a x (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]．⑦y ＝tanx 的值域是R ．3．最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2)存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ．那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)．考点探究考向1函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x －104－2x ；（2）()312log (1)xf x x -=-；（3）已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．题组训练1.（2019·江苏卷）函数的定义域是______．2．已知函数[lg(1)]y f x =+的定义域为[0,9]，则()y f x =的定义域为________.3.已知函数f （x ）的定义域是1(,8]2，则(2)x f 的定义域是．【例2】(1)若函数f(x)R，则a的取值范围为________；(2)若函数y＝ax＋1ax2＋2ax＋3的定义域为R，则实数a的取值范围是________．题组训练1.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______．2.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．考向2函数的值域【例】求下列函数的值域．(1)y＝x＋4x；(2)y＝2x－1＋5－2x；(3)y＝2x－1x＋1，x∈[3，5]；(4)y＝x2－4x＋5x－1(x>1)．题组训练1.函数的值域是______．2.函数的值域为__________．3.函数的值域是______．4.函数的值域为________．考向3函数的定义域、值域和最值的综合题【例】已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．题组训练1.已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．2.已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．3.若函数y＝f(x)＝12x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的值为_______．4.（拔高题）已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．。

专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。

x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。

二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。

其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。

例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。

2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。

2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。

例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。

解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。

即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。

三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。

22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。

一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。

∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

专题：函数的值域问题高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：(1)一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.(2)二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.， (3)反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. (4)指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.(5)对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.(6)正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.3.求值域的常见方法（1）直接观察法（基本函数法）：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域。

对于一些比较简单的函数，如正比例、反比例、一次函数、指数函数、对数函数、等等，其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

值域简略演习题 【2 】 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域2.求函数132)(++=x x x f 的值域 3. 求函数133)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域5.13213)(x x +⋅-=x f 6.1)(22+--=x x x x x f 7.x-1x3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f10.2610y x x =++11.2256y x x =-++12.2cos 13cos 2x y x +=- 13.求函数()11,1y x x x =-++≥的值域.值域的求法增强演习题解答题（共10小题）1．已知函数的界说域为聚集A,函数的值域为聚集B,求A∩B 和（CRA ）∩（CRB ）．2．已知函数f （x ）=x2﹣bx+3,且f （0）=f （4）．（1）求函数y=f （x ）的零点,写出知足前提f （x ）＜0的x 的聚集;（2）求函数y=f （x ）在区间（0,3]上的值域．3．求函数的值域：．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2;（2）;（3）;（4）;（5）（6）;5．求下列函数的值域（1）;（2）;（3）x∈[0,3]且x≠1;（4）．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2;（2）y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];（3）y=x2﹣2x﹣3,x∈（﹣1,2];（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3,求f（x）的值域．9．已知f（x）的值域为,求y=的值域．10．设的值域为[﹣1,4],求a.b的值．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知函数的界说域为聚集A,函数的值域为聚集B,求A∩B和（CRA）∩（CRB）．考点：函数的值域;交.并.补集的混杂运算;函数的界说域及其求法.专题：盘算题.剖析：由可求A,由可求B可求解答：解：由题意可得∴A=[2,+∞）,∵∴B=（1,+∞）,CRA=（﹣∞,2）,CRB=（﹣∞,1]﹣﹣﹣（4分）∴A∩B=[2,+∞）∴（CRA）∩（CRB）=（﹣∞,1]﹣﹣﹣﹣﹣（6分）点评：本题重要考核了函数的界说域及指数函数的值域的求解,聚集的交集.补集的根本运算,属于基本试题2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3,且f（0）=f（4）．（1）求函数y=f（x）的零点,写出知足前提f（x）＜0的x的聚集;考点：函数的值域;二次函数的性质;一元二次不等式的解法.专题：盘算题.剖析：（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称,用公式可以求出b=4,代入函数表达式,解一元二次不等式即可求出知足前提f（x）＜0的x的聚集;（2）在（1）的基本上,运用函数的单调性可以得出函数在区间（0,3]上的最值,从而可得函数在（0,3]上的值域．解答：解：（1）因为f（0）=f（4）,所以图象的对称轴为x==2,∴b=﹣4,函数表达式为f（x）=x2﹣4x+3,解f（x）=0,得x1=1,x2=3,是以函数的零点为：1和3知足前提f（x）＜0的x的聚集为（1,3）（2）f（x）=（x﹣2）2﹣1,在区间（0,2）上为增函数,在区间（2,3）上为减函数所以函数在x=2时,有最小值为﹣1,最大值小于f（0）=3因而函数在区间（0,3]上的值域的为[﹣1,3）．点评：本题重要考核二次函数解析式中系数与对称轴的关系.二次函数的单调性与值域问题,属于中档题．只要控制了对称轴公式,运用函数的图象即可得出准确答案．3．求函数的值域：．考点：函数的值域.专题：盘算题;转化思惟;判别式法.剖析：因为对随意率性一个实数y,它在函数f（x）的值域内的充要前提是关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解,是以“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解,求y的取值规模”．解答：解：判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立,∴函数的界说域为R．由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①①当y﹣2=0即y=2时,①即3x+0=0,∴x=0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时,∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根,∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0,∴1≤y≤5且y≠2,∴原函数的值域为[1,5]．点评：判别式法：把x作为未知量,y看作常量,将原式化成关于x的一元二次方程情势,令这个方程有实数解,然后对二次项系数是否为零加以评论辩论：（1）当二次项系数为0时,将对应的y值代入方程中进行磨练以断定y的这个取值是否相符x有实数解的请求．（2）当二次项系数不为0时,运用“∵x∈R,∴△≥0”求解,此时直接用判别式法是否有可能产生增根,症结在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形．4．求下列函数的值域：（1）y=3x2﹣x+2;（2）;（3）;（4）;（5）（6）考点：函数的值域.专题：常规题型.剖析：（1）（配办法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+（2）看作是复合函数先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0）,则原函数可化为y=,再配办法求得μ的规模,可得的规模．（3）可用分别变量法：将函数变形,y===3+,再运用反比例函数求解．（4）用换元法设t=≥0,则x=1﹣t2,原函数可化为y=1﹣t2+4t,再用配办法求解（5）由1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1,可用三角换元法：设x=cosα,α∈[0,π],将函数转化为y=cosα+sinα=sin（α+）用三角函数求解（6）由x2+x+1＞0恒成立,即函数的界说域为R,用判别式法,将函数转化为二次方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有根求解．解答：解：（1）（配办法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣）2+≥,∴y=3x2﹣x+2的值域为[,+∞）（2）求复合函数的值域：设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0）,则原函数可化为y=又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4,∴0≤μ≤4,故∈[0,2],∴y=的值域为[0,2]（3）分别变量法：y===3+,∵≠0,∴3+≠3,∴函数y=的值域为{y∈R|y≠3}（4）换元法（代数换元法）：设t=≥0,则x=1﹣t2,∴原函数可化为y=1﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+5（t≥0）,∴y≤5,∴原函数值域为（﹣∞,5]注：总结y=ax+b+型值域,变形：y=ax2+b+或y=ax2+b+（5）三角换元法：∵1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1,∴设x=cosα,α∈[0,π],则y=cosα+sinα=sin（α+）∵α∈[0,π],∴α+∈[,],∴sin（α+）∈[﹣,1],∴sin（α+）∈[﹣1,],∴原函数的值域为[﹣1,]（6）判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立,∴函数的界说域为R由y=得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①①当y﹣2=0即y=2时,①即3x+0=0,∴x=0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时,∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根,∴△=（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0,∴1≤y≤5且y≠2,∴原函数的值域为[1,5]点评：本题重要考核求函数值域的一些常用的办法．配办法,分别变量法,三角换元法,代数换元法,判别式法…5．求下列函数的值域（1）;（2）;（3）x∈[0,3]且x≠1;（4）．考点：函数的值域.剖析：（1）把函数转化成关于tanx的函数,进而求值域．（2）令因为1﹣x2≥0,即﹣1≤x≤1,故可x=sinx,把函数转化成三角函数,运用三角函数的性质求函数的最值．（3）把原式变成2+,设t=,经由过程幂函数t的图象即可求出t的值域,进而求出函数y=的值域．（4）令t=x﹣4,即x=t+4代入原函数．得出y关于t的函数,进而求出答案．解答：解：（1）∵==1++4tanx+4=5++4tan2x≥2+5≥9∴函数的值域为[9,+∞）（2）令x=sinα,α∈[﹣,]∴=sinα﹣cosα=sin（α﹣）∵α∈[﹣,]∴α﹣∈[﹣,]∴sin（α﹣）∈[﹣1,]∴的值域为[﹣,1]（3）y==2+令t=,则其函数图象如下如图可知函数在区间[0,1）单调减,在区间（1,3]单调增∴t∈（﹣∝,﹣6]∪[3,+∝）∴y∈（﹣∝,﹣4]∪[5,+∝）即函数y=的值域为（﹣∝,﹣4]∪[5,+∝）（4）设t=x﹣4,x=4+t则==﹣=|+2|﹣|﹣2|∵t=x﹣4≥0∴≥0∴y=∴y∈[0,4]即函数的值域为[0,4]点评：本题重要考核求函数的值域问题．此类题常用换元.配方.数形联合等办法．6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|．考点：函数的值域.专题：盘算题;分类评论辩论.剖析：由函数表达式知,y＞0,无最大值,去失落绝对值,把函数写成分段函数的情势,在每一段上根据单调性求出函数的值域,取并集得函数的值域．解答：解：数形结正当：y=|x﹣1|+|x+4|=∴y≥5,∴函数值域为[5,+∞）．点评：本题表现数形联合和分类评论辩论的数学思惟办法．7．求下列函数的值域．（1）y=﹣x2+x+2;（2）y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];（3）y=x2﹣2x﹣3,x∈（﹣1,2];（4）y=．考点：函数的值域.专题：盘算题.剖析：（1）求二次函数y=﹣x2+x+2的值域可先求最值,由最值联合图象,写出值域．（2）求一次函数y=3﹣2x在闭区间上的值域,要先求最值,由最值写出值域．（3）求二次函数y=x2﹣2x﹣3在某一区间上的值域,要联合图象,求出最值,再写出值域．（4）求分段函数y的值域,要在每一段上求出值域,再取其并集,得出分段函数的值域．解答：解：（1）二次函数y=﹣x2+x+2;其图象启齿向下,对称轴x=,当x=时y有最大值;故函数y的值域为：（﹣∞,）;（2）一次函数y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];单调递减,在x=﹣2时,y有最大值7;在x=9时,y有最小值﹣15;故函数y的值域为：[﹣15,7];（3）二次函数y=x2﹣2x﹣3,x∈（﹣1,2];图象启齿向上,对称轴x=1,当x=1时,函数y有最小值﹣4;当x=﹣1时,y有最大值0;所以函数y的值域为：[﹣4,0）;（4）分段函数y=;当x≥6时,y=x﹣10≥﹣4;当﹣2≤x＜6时,y=8﹣2x,∴﹣4＜y≤12;所以函数y的值域为：[﹣4,+∞）∪（﹣4,12]=[﹣4,+∞）．点评：本组4个标题求函数的值域,都是在其界说域上先求其最值,根据最值,直接写出其值域;它们都是基本题．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3,求f（x）的值域．考点：函数的值域.剖析：留意运用22x=（2x）2这个式子,很轻易把这个看似不识的函数转化为我们再熟习不过的二次函数．解答：解：令t=2x,则t＞0,f（x）=（2x）2+2•2x+3=t2+2t+3,令g（t）=t2+2t+3（t＞0）,则g（t）在[﹣1,+∞）上单调递增,故f（x）=g（t）＞g（0）=3,故f（x）的值域为（3,+∞）．点评：二次函数求最值是我们再熟习不过的函数了,问题的症结是可否把我们不熟习的函数转化为我们熟习的二次函数．并且采用换元法转化函数的时刻,必定要留意换元后变量的规模．9．已知f（x）的值域为,求y=的值域．考点：函数的值域.专题：盘算题.剖析：根据f（x）的值域,运用不等式的性质先求出被开方数的取值规模,进而求得y的值域．解答：解;∵≤f（x）≤,∴﹣≤﹣2f（x）≤﹣,∴≤1﹣﹣2f（x）≤∴≤y≤∴y的值域为：[,]点评：本题考核不等式的性质．10．设的值域为[﹣1,4],求a.b的值．考点：函数的值域.剖析：由题意f（x）的界说域为R,可运用判别式法求值域的技能求参数的值．解答：解：令y=即yx2﹣ax+2y﹣b=0①,当y=0时,有①x=﹣∈R,此时,a,b是随意率性的当y≠0时,有①,方程有根,可得△=a2﹣4y（2y﹣b）≥0即8y2﹣4by﹣a2≤0,又函数的值域是y∈[﹣1,4],所以﹣1和4是方程8y2﹣4by﹣a2=0的两根,由韦达定理得a=±4,b=6．综上得a=±4,b=6即所求点评：本题考核函数的值域问题,属根本题．。