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一类无理函数值域的解法探究赵韵 指导老师 嵇伟民 （淮阴师范学院数学系 江苏淮安 160501092）摘要：本文主要探索型如，其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域的新解法，主要有构造三角函数法、构造圆的方法、构造对偶函数法、构造向量法，并由此探索出求此类无理函数值域的一般性结论。
关键词：无理函数 值域 三角函数 圆 对偶函数 向量 一般性结论有这样一道例题：求的值域。
在一般情况下，求函数的值域，常用的方法有观察法、图像法、判别式法等等，但对于求型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域，就有很多的限制和不妥。
对此，我们来探索其他的一些新的方法和手段。
一、几种解法（1）构造三角函数法型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0的无理函数，其式子可化为 ⎛⎝，这时，可利用三角函数代换，设=sin θ，=cos θ，有y=m sin θ+n cos θ），θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用“合二为一”的思想，y= )θϕ⎤+⎦，其中tan ϕ=nm，可简记为y=A sin ()θϕ+,其中A=0<θ+ϕ<π，所以，当θ=0时，y m in =A sin θ，当θ=2π时，y m ax =A sin()2πϕ+，即y m ax =A cos ϕ。
从而，型如其中r (x) + s (x)= c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域为y ∈[]sin ,cos A A ϕϕ，其中，A=tan ϕ=n m。
（2）构造对偶函数法对于型如y=m r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数，在满足其定义域[],x a b ∈的前提下，构造对偶函数 y '=,则有2'239y y+=，判断其在定义域上的单调性，可知其在定义域上为单调递增函数，故可分别得到其最大值和最小值为y m ax ，y m in 。
无理函数不定积分求解技巧的探究无理函数不定积分求解是微积分中的重要内容，也是学习者较为困难的部分之一。
无理函数的不定积分求解需要掌握一定的技巧和方法，才能较为轻松地解决问题。
本文将从无理函数不定积分概念入手，探究求解技巧，并给出一些解题方法和实际例题，帮助读者更好地理解和掌握无理函数不定积分的求解方法。
一、无理函数不定积分的概念所谓无理函数不定积分，就是指含有无理函数的函数的不定积分。
无理函数是指分子或分母含有开方、平方根、立方根等形式的函数。
y = √(x + 1)、y = 1/(x^2 + 1)等就是无理函数。
在求解这类函数的不定积分时，需要注意一些技巧和方法。
1. 恰当的代换在求解无理函数不定积分时，恰当的代换是非常重要的一步。
通常可以根据被积式的形式选择合适的代换方法。
常用的代换包括：倒代换、三角代换、根号下代换等。
对于形如∫(x√(x^2 + 2))dx的不定积分，可以进行代换u = x^2 + 2，从而化简被积式，然后进行求解。
2. 分部积分法在求解无理函数不定积分时，有时候可以采用分部积分法。
分部积分法是求不定积分的一种方法，其基本原理是将被积式进行分解，然后利用分部积分的公式求解。
通过多次分部积分，可以将复杂的被积式化为简单的形式进行求解。
3. 有理化有理化是指将无理函数通过一定的运算，化为有理函数的形式。
在求解无理函数不定积分时，可以通过有理化的方法，将无理函数的被积式化为有理函数的形式，进而采用常规的积分方法求解。
4. 注意积分限在进行无理函数不定积分的求解时，需要注意积分限的改变。
有时候可以通过对积分限的调整，使得被积式的形式更加简单，进而容易求解。
三、实际例题解析1. 求解∫(2x/(x^2 + 4))dx对于这个无理函数不定积分，我们可以采用简单的有理化方法。
首先对分母进行化简：x^2 + 4 = (x + 2i)(x - 2i)，然后引入i^2 = -1，得到x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i) = (x - 2i)(x + 2i)。
一类无理函数最大值求法提出问题 求()f x =方法1.求导法.通性通法,求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性,极值来研究。
'()f x =+'()0f x =时1x =[0,1],()[1,4],()x f x x f x ∈∈递增；递减,所以()f x 的最大值在1x =时取得,最大值为(1)f =4。
这是解决函数最值问题最常见的方法,但求导过程以及求极值点时计算量大。
方法2.三角换元把代数问题转化为三角函数最值问题,利用辅助角公式。
令24cos ,[0,]2x πθθ=∈,则函数可化为y =2cos θθ=+,因为[0,]2πθ∈所以2cos 4sin()6y πθθθ=+=+,当3πθ=时取最大值,值为4,即1x =时取得。
方法3.数形结合+换元(1) 令μ=，ν=,μν的关系22312μν+=，即()2210,0124μνμν+=≥≥所以点（,μν）的轨迹为第一象限的椭圆。
问题转化为z u ν=+，z νμ=-+与椭圆相关的线性规划问题，斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切时截距最大，即z 最大，联立直线与椭圆可得2242120z z νν-+-=，222416(12)1612120z z z ∆=--=⨯-=，所以4z =即最大值为4。
(2) 在（1）的基础上三角换元，即利用参数方程,([0,]22sin πμθθθνθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩为参数，），2sin z μνθθ=+=+=4sin()6πθ+所以最大值为4。
(3)令μ=，ν=()2240,0μνμν+=≥≥此时（,μν）的轨迹为第一象限的圆，令z ν=+，z ν=+，与圆相关的线性规划问题，斜率为象限相切时截距最大，即z最大，即2=,所以最大值为4。
方法4.向量法（1） 函数可看作是向量a =（）与向量b =（1,1）的数量积，即a b ⋅最大，因为2b =所以只需a 在b 的正摄影数量最大时a b ⋅最大，将向量a 的始点平移到原点，终点的轨迹方程为()2210,0124μνμν+=≥≥，做一个斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切，切点即为a 的终点， 设直线方程为z νμ=-+，联立椭圆可得2242120z z νν-+-=，222416(12)1612120z z z ∆=--=⨯-=，所以4z =，此时a b ⋅=442⋅=。
数形结合在一类无理函数问题的应用上海市青浦区教师进修学院 倪明数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学．数形结合的思想方法是指概括数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析它的代数意义（即数量关系），理解它的几何意义，使数量关系和空间图形巧妙和谐结合起来．充分利用这种结合可以恰当地改变问题或改变提问的角度，灵活地进行数与形关系的转化来解决问题．数形结合和转化可起到化抽象为直观的“以形辅数”作用和化直观为精细的“以数解形”作用．在一维空间实现数形结合的桥梁是数轴，即实数与数轴上的点存在一一对应关系；在二维空间实现数形结合的桥梁是坐标系，即有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在一一对应关系．本文试从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题． 一、理解形如)()(x g x f =（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数图像形如)()(x g x f =（其中)(x g 是一次、二次函数）的函数是教学中经常碰到的函数类型，在高一时我们习惯从对解析式的研究得到它们的系列性质，局限于用描点法得到它们的图像．在学习了解析几何后我们就可以了解它们具体的图像，同时也多了一条解决问题的途径．（一）当)(x g 是一次函数时，可设)0()(≠+=a b ax x g 则将)()(x g x f =两边平方可得)0,0(2≥≠+=y a bax y 整理)0,0()(2≥≠+=y a abx a y 即函数图像是以)0,(ab-顶点的抛物线在y 轴上方（含顶点）的部分．以x y =例，具体图像如下．（二）当)(x g 是二次函数时，可设)(2++=cbx ax x g 边平方可得)0,0(22≥≠++=y a cbx ax y 整理得ab ac a b x a y 44)2(222-++=)0,0(≥≠y a ，即函数图像是以)0,2(ab-为顶点的圆、椭圆或双曲线在y 轴上方（含顶点）的部分．以函数322++=x x y 、7422+-=x x y 、122++-=x x y 、1422++-=x x y 为例，具体图像如下：隐藏 g(x)的图象（一）函数问题 例１（上海09高考理14）将函数2642--+=x x y [])60(，∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为？解：由2642--+=x x y 得[])6,0(13)2()3(22∈=++-x y x ，它的图像是以)2,3(-心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C kx y =，当0=θ时，231=-=OCk k ，此时直线的倾斜角为y 轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图像，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图像，旋转角为β-90，则23)90tan(=-β，即23arctan =θ． （二）方程问题方程和不等式可以看成函数的特定状态，是情理中的事．例2 若方程01)1(2=+++x a x 有实数解，实数a 范围．解一：用解无理方程的一般方法得（1）0=a 数解0=x ；（2）0≠a 时，两边平022)1(2222=++-a x a x a ，①012=-a 即=a 1-=x ，经检验其中1-=a 时无实数解；②012≠-a T'根就比较困难．解二：整理方程得axx -=++1)1(2将方程有实数解看成函数1)1(2++=x y 和函数axy -=法一可得21≤<-a ．（三）不等式问题例3若不等式a x x +>-228恒成立，求实数a 解：将不等式两边分别构造为函数(282≥-=y x y ,a x y +=（如图）当直线系位于半椭圆下方时，符合题意，例4若关于x 的不等式0)lg()1lg(212>+--b ax x )21,32(-，求实数a ，b 的值． 解析：将不等式0)l g ()1l g (212>+--b ax x 等价化012>+>-b ax x ，不等式两边分别构造)11(12<<--=x x y 和0,>+=y b ax y 33和)23,21(，进而可求得直线方程中a ，b 的值． 三、构造几何意义的量，利用“以形助数”解一类无理函数值域问题 （一）形如)0()(<+++=ac d cx b ax x f 其中例5（1） 求函数x x y -++=54的值域．解：令4+=x s ，x t -=5则9)5()4(2222=-++=+x x t s ，0,0≥≥t st s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标当直线t s y +=与圆弧922=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-T')3,0()0,3(、，当23=y 时直线与圆弧相切，所以函数的值域是[]23,3．（2） 求函数x x y -++=642的值域．解：令42+=x s ，x t -=6则16)6(2)42(22222=-++=+x x t s ，,0≥t s t s y +=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 直线t s y +=与椭圆弧181622=+t s 0,0≥≥t s 取值范围．在平面直角坐标sOt 中，0=-+y t s 表示斜率为1-的直线系．当22=y 时直线过上顶点)22,0(，当62=y 时直线与椭圆弧相切，所以函数的值域是[]62,22． （二）形如)0()(>+-+=ac d cx b ax x f 其中 例6 （1）求函数54--+=x x y 的值域．解：令4+=x s ，5-=x t则9)5()4(2222=--+=-x x t s ，0,0≥≥t st s y -=．即所求函数的值域转化为平面直角坐标sOt 中，当直线t s y -=与双曲线的19922=-t s 0,0≥≥t s 在第一象限图像有公共点时的取值范围． 在平面直角坐标sOt 中，0=--y t s 表示斜率为1系．当3-=y 时直线过右顶点)0,3(，当0=y 线的渐近线重合，所以函数的值域是[)0,3-． （2） 求函数112+--=x x y 的值域（略）说明：形如)0()(>+++=ac d cx b ax x f 其中和形)0()(<+-+=ac d cx b ax x f 其中 以上利用有序实数对（a ，b ）与坐标系中的点存在的一一对应关系介绍了“以形辅数”在一类无理函数问题中的应用，考虑到实数对的表示还有多种形式：用三角表示)sin ,cos (θθr r 、向量的坐标表示),(y x 和复数的坐标表示（即用复数的实部与虚部作坐标表示点），所以这些题的解法还有很多，在这里就不一一赘述了．值得一提的是，在教与学中要加强数和形的转化意识，常见的有函数式⇔函数图像、二元方程⇔曲线方程、向量模复数模⇔坐标平面上两点之间距离等．数形结合是重要的数学思想和常用的数学方法，本文从“以形辅数”的角度解析一类无理函数问题，当然，在由“数”到“形”的转化中还要关注转化的精确性，这样才能更好地体现数学抽象化和形式化的魅力。
一道无理函数问题的解法探究341400江西省南康中学 黄邦活问题:已知函数y =M ,最小值m ,则m M的值为( ) A ．14 B ．12C．2 D．2 解法探究：（1）从整体结构上来看易知0y >，且是无理式，所以可以考虑先将两边平方，转化为求二次函数在给定区间上的最值。
即：2(1)(3)y x x =-+++4431)x =+=+-≤≤ 所以当1x =-时，2max 8y=，所以max y =； 当3x =-或1时，2min 4y =，所以min 2y =。
（2）考虑将分式有理化，利用函数的单调性来求解，即：y ==(31)x -≤≤，因为函数1y =[3,1]-上是减函数且10y ≥，函数1y =在[3,1]-上也是减函数且20y ≥，但1y 与2y 不同时为0。
所以3y =[3,1]-上是减函数，且30y >。
所以y =即y =[3,1]-上是增函数。
故当1x =-时，2max8y =，所以max y =； 当3x =-或1时，2min 4y =，所以min 2y =。
（3）再整体联系上来看，注意到224+=，因此，可以考虑运用三角2cos 2sin θθ==，且[0,]2πθ∈所以2cos 2sin )4y πθθθ=+=+，因为[0,]2πθ∈，所以3[,]444πππθ+∈sin()14πθ≤+≤所以)14πθ≤+≤所以2y ≤≤。
变式引伸1：求函数y =?变式引伸2：如何求函数y = 等等.。
一类无理型函数的最值(值域)的求法再探究广东省兴宁市第一中学 (514500) 蓝云波文[1]对形如d cx n b ax m y +++=（其中0≠mn ，0<ac ）的无理型函数的最值(值域)的问题作了有益的探究.其中，对此类函数的第二种类型d cx n b ax m y +++=（0>mn ，0<ac ）的最值（值域）问题，从不同角度出发，得出了七种最大值的求法和五种最小值的求法.这些方法都是高中数学中求函数最值（值域）的重要方法.不过笔者认为，文[1]的有些地方是值得商榷的.另外，笔者通过探究，给出其他几种解法，供大家参考. 原题：（2011年全国高中数学联赛四川赛区初赛第4题）函数x x y 3245-+-=的最大值为（ ） A.3 B.3 C.32 D.33 答案：C在文[1]中，给出了一种判别式法，其解答如下：x x y 3245-+-=Θ，0≥∴y ，)324)(5(232452x x x x y --+-+-=， )324)(5(21922x x x y --=-+∴，01922≥-+∴x y ，)84138()2324(162422=+-+-+∴y y x y x .0)84138(64)2324(2422≥+---=∆∴y y y . 01224≤-∴y y ，1202≤≤∴y .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+≥∴1200192022y x y y ，323≤≤∴y ，y ∴的最小值为3，最大值为32.其实这种解法是有硬伤的.最终答案无误纯属巧合.例如2013年全国高中数学联赛江西赛区初赛第6题：函数x x x f -+-=363)(的值域是 .运用这种方法则是行不通的.其错误的根源有两点：其一：忽视了函数的定义域，原题函数的定义域是[]8,5，其解法仅仅考虑方程0)84138()2324(162422=+-+-+y y x y x 有解，而非在[]8,5上有解；其二：其解法求最小值时是运用01922≥-+x y 得到的，并且按其思路是用max min 2)219()(x y -≥求出的.这也是有问题的，因为y 的值是依赖于x 的值的变化而变化的.事实上，此题运用判别式法是比较困难的.笔者通过探究，得出下列另外几种解法.另解一:利用不等式同时取等号求最小值()()()x x x x x y 3245221932452--+-=-+-=Θ，[]8,5∈x .()()03245≥--∴x x ，162-≥-x ，当且仅当8=x 时，等号同时成立.301619=+-≥∴y .即函数x x y 3245-+-=的最小值为3.另解二:利用方差求最小值在文[1]中，给出了如下利用方差求最大值的方法：x x y 3245-+-=Θ，[]8,5∈x .令3324,5x b x a -=-=，则b a y 3+=，易知1个a 与3个b 的平均数为4y n =.方差为222443441⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b y a y S ()438316222b a y b a y +++-=，b a y 3+=Θ，016432222≥-+=∴y b a S .43)9324(3)5(414316222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+≤∴x x b a y .122≤∴y ，当4y b a ==，即423=x 时，y 有最大值为32.其实，此题利用方差是可以求出最小值的.()()16316343164322222222b a b a b a y b a S -=+-+=-+=Θ.33245x x b a ---=-Θ在[]8,5上单调递增，31≤-≤-∴b a ，()32≤-∴b a .1692≤∴S ，163169431694316222=-=-+≥∴b a y ，32≥∴y ，当且仅当8=x 时，y 有最小值3.另解三:利用对偶关系求最值x x x x y -⨯+-=-+-=8353245Θ，[]8,5∈x .设x x y -⨯+-=835的对偶式538-⨯--=x x z ，因为z 在[]8,5上单调递减，33≤≤-∴z ，902≤≤∴z .又()()125388352222=-⨯--+-⨯+-=+x x x x z y Θ.2212y z -=∴，91202≤-≤∴y ，1232≤≤∴y ，显然0>y ，323≤≤∴y .y ∴的最小值为3，最大值为32.另解四:利用函数的单调性的定义求最值设1x ，[]8,52∈x ，且21x x <，再设)(x f y =x x 3245-+-=.则)()(21x f x f - 221132453245x x x x -----+-=()()212132432455x x x x ---+---= 21122121324324)(355x x x x x x x x -+--+-+--=()()()()()2121221121324324555332453324x x x x x x x x x x -+--+----+---⋅-=. 021<-x x Θ，()()0324324552121>-+--+-x x x x ，故只需考虑 ()()53324533242211---+---x x x x 的正负.记53324)(---=x x x g ，则)(x g 在[]8,5上单调递减，令0)(=x g 得423=x ，故当4235≤≤x 时，0)(≥x g ，当8423≤≤x 时，0)(≤x g .∴当4235≤≤x 时，0)()(21<-x f x f ，此时)(x f 单调递增；当8423≤≤x 时，0)()(21>-x f x f ，此时)(x f 单调递减.∴当423=x 时，)(x f 有最大值=)423(f 32.又3)5(=f Θ，3)8(=f .∴)(x f 的最小值为3.故函数x x y 3245-+-=的最小值为3，最大值为32. 另解五:利用复数的性质求最值 此法要用到复数的两个重要性质.容易证明复数()R b a bi a z ∈+=,具有下列两个性质：（1）()()z z z ≥+Im Re ，当且仅当()()0Im Re =⋅z z 时等号成立；（2）()z z ≤Re ，当且仅当()0Im =z 时等号成立；其中()z Re 、()z Im 分别为复数z 的实部和虚部.x x y 3245-+-=Θ的定义域为[]8,5.设i x x z ⋅-+-=3245，则x z 219-=，由性质（1）()()z z z ≥+Im Re 知：382192193245=⨯-≥-≥-+-x x x ，当且仅当8=x 时等号成立，且此时满足()0Re =z . 3≥∴y . 又xx y -⨯+-⨯=8351Θ，设i x x z i z ⋅-+-=⋅-=85,3121.则()()i x x x x z z ⋅---+-+-=⋅1538324521， ()()3215382452221=---+-+-=⋅∴x x x x z z . 由性质（2）得()2121Re z z z z ⋅≤⋅，323245≤-+-∴x x ，当且仅当()0Im 21=⋅z z ，即01538=---x x 时等号成立，此时解得423=x .32≤∴y . y ∴的最小值为3，最大值为32.这样，笔者通过上述探究，得到形如d cx n b ax m y +++=（0>mn ，0<ac ）的无理型函数的其他五种最小值的求法和三种最大值的求法.参考文献[1]彭小明.一类无理型函数的最值(值域)的求法探究[J].中学数学研究.2013（4）.。
巧用单调性处理一类无理函数的值域在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题。
对型如y =()()2f x g x c λ+=〔c 为常数〕0λ>的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理。
本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理，期望得到一个统一的方法。
结论1假设,m R n R ++∈∈，()f x =在区间2222,m n c c m n ⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦上单调递增。
在区间2222,m n c c m n ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦上单调递减。
证明：由'()f x =-假设'()0f x ≥≥即22m n x c c x ≥⇔+-22()()m c x n x c -≥+解出2222m n x c m n -≤+ 结合函数定义域[],c c -得单调递增区间2222,m n c c m n ⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦单调递减区间2222,m n c c m n ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦。
同理可以证明结论2 假设 ,m R n R --∈∈，()f x =+单调递增区间为2222,m n c c m n ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦单调递减区间为2222,m n c c m n ⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦结论3 假设,m R n R +-∈∈时，y =在[),c -+∞上是增函数而y =(],c -∞上也是增函数()f x ∴=+在定义域[],c c -上是增函数。
假设,m R n R -+∈∈时，y =在[),c -+∞上是减函数 而y =(],c -∞上也是减函数()f x ∴=+在定义域[],c c -上是减函数。
〔证明略〕下面以具体的例子说明这类无理函数值域的处理。
例1 求函数y =解：先作变换，由(1)(2)3x x ++-=可令312x t +=+那么函数化为y =〔3322t -≤≤〕 由结论1知当222233232232t --≤≤⨯+，即315226t -≤≤时y =+是增函数此时3()2f -=15()26f =y ≤≤由结论2知当222232332232t -⨯≤≤+即153262t ≤≤时y =+是减函数此时3()2f =y ≤≤所以y =+⎡⎣例2 求函数y =分析：将函数转化为()f x =y =+由2241(1)()33x x -+-=换元令2116x t -=+那么函数化为y =1166t -≤≤〕解：由结论1知，当211663t -≤≤+即11612t -≤≤时函数y = 1()16f -=，1()212f =12y ∴≤≤由结论2211663t ≤≤+即11126t ≤≤时函数y = 1()6f =1()212f =2y ≤≤综上：y =+[]1,2说明：在转化时也可以化为y =+例3求函数y =+的值域。
