多传感器无源定位最佳布站方法研究
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无源无线传感器网络中的节点定位技术研究无源无线传感器网络(Passive Wireless Sensor Network, PWSN)是一种通过环境中已有的信号来传输和接收数据的无线传感器网络。
与传统的无线传感器网络相比,PWSN节点不需要内置电源,而是利用环境中的信号作为能量来源。
由于无源无线传感器网络节点不需要电池维护或更换,因此可以在使用寿命较长的情况下,持续对环境进行监测。
节点定位技术是在无源无线传感器网络中实现各个节点准确定位的关键技术。
在无源无线传感器网络中,节点定位的主要挑战是确定节点的空间位置和相对位置,以实现对环境的精确监测和数据采集。
为了解决这一问题,研究者们提出了一系列的节点定位技术。
首先,无源无线传感器网络中常用的一种技术是基于信号强度定位(Received Signal Strength-based Localization, RSS Localization)。
该方法利用节点接收到的信号强度信息来确定节点的位置。
通过对已知位置的参考节点发送信号,并测量接收到信号的节点的信号强度,可以利用信号强度衰减模型计算出节点的位置。
这种方法相对简单,并且具有较低的成本,但是在复杂环境中可能存在一定的误差。
其次,时间差定位(Time Difference of Arrival, TDOA)是另一种常用的无源无线传感器网络节点定位技术。
该方法利用节点接收到信号的时刻差异来计算节点的位置。
通过测量信号到达不同节点的时间差,并利用传播速度计算出节点的相对位置。
时间差定位方法的优势在于对网络拓扑结构的要求较低,并且具有较高的定位精确度,但是需要较多的计算和时间同步。
另外,基于协作定位(Cooperative Localization)的方法也在无源无线传感器网络中得到了广泛应用。
该方法通过节点之间的相互协作和信息交互来实现准确的节点定位。
参与协作的节点通过共享信息、测量相对距离或角度等方式,互相辅助定位。
传感器网络的布署与节点位置定位问题的研究与改进概述传感器网络是一种由大量分散式的节点组成的网络,这些节点通过无线通信相互连接以实现信息的采集和传输。
传感器网络的布署和节点位置定位是该领域关注的重要问题之一。
本文将研究和改进传感器网络的布署方法以及节点位置定位问题,并对相关研究成果进行综述。
一、传感器网络的布署传感器网络的布署是指在目标区域内合理安置传感器节点的过程。
有效的布署能够提高网络的覆盖率、能量利用率和数据收集效率。
传感器网络的布署方法可以分为静态布署和动态布署两种。
1.1 静态布署方法静态布署是指在传感器网络投入使用前,将节点事先放置在目标区域的固定位置。
常见的静态布署方法包括随机布署、均匀布署、密集布署等。
随机布署是最简单的方法,但往往导致节点之间的重叠和空洞,影响网络的覆盖率和能量利用率。
均匀布署则可以在保证覆盖率的前提下,提高能量利用率。
但由于目标区域的不规则性,使得均匀布署难以实现。
密集布署可以提高目标区域内网络的覆盖率和数据收集效率,但会增加节点之间的通信成本和能量消耗。
1.2 动态布署方法动态布署是指在传感器网络运行过程中,根据网络状态和目标需求动态调整节点的位置。
动态布署方法可以根据节点之间的通信距离或者节点能量等指标进行调整。
通过动态布署可以更加灵活地满足目标区域内的网络需求,但也增加了网络管理的复杂性。
二、节点位置定位问题的研究节点位置定位是指在传感器网络中确定节点的准确位置的问题。
准确的位置信息可以用于实现目标跟踪、区域监测等应用。
常见的节点位置定位方法包括基于GPS的定位、基于信号强度的定位、基于角度的定位等。
2.1 基于GPS的定位基于GPS的定位是利用卫星信号实现节点位置定位的方法。
GPS定位精度高,但需要节点具备接收GPS信号的能力。
由于传感器网络的节点往往是小型和低功耗的设备,通常不具备GPS接收功能。
因此,该方法在传感器网络中的应用有一定的局限性。
2.2 基于信号强度的定位基于信号强度的定位是根据节点收到的信号强度来推断节点的相对位置。
多站纯方位无源定位算法研究进展一、本文概述随着现代战争环境的日趋复杂,对目标进行精确的无源定位已成为军事和民用领域的重要需求。
多站纯方位无源定位算法,作为一种不依赖于直接观测目标距离,仅通过多个观测站测得的目标方位角信息来确定目标位置的方法,近年来受到了广泛关注。
该方法具有隐蔽性好、抗干扰能力强、设备成本低等优点,在雷达、声呐、无线电侦测等领域具有广泛的应用前景。
本文旨在综述多站纯方位无源定位算法的研究进展,通过梳理国内外相关文献和研究成果,分析不同算法的原理、优缺点及适用范围,探讨算法性能评估方法和实际应用中的关键问题。
本文还将关注最新研究成果和技术趋势,为相关领域的研究人员和实践者提供有益的参考和启示。
本文首先简要介绍了无源定位技术的发展背景和纯方位定位的基本原理,然后重点分析了多站纯方位无源定位算法的主要研究内容和方法,包括基于几何关系的定位算法、基于优化理论的定位算法以及基于技术的定位算法等。
在此基础上,本文还将讨论算法性能评估的常用指标和方法,以及实际应用中需要解决的关键问题,如观测误差、多径效应、目标运动等。
通过本文的综述和分析,希望能够为相关领域的研究人员和实践者提供全面的信息和深入的理解,推动多站纯方位无源定位算法的研究和应用发展。
二、多站纯方位无源定位基本原理多站纯方位无源定位算法,是一种利用多个观测站对目标进行纯方位测量的定位方法。
所谓“纯方位”,指的是在定位过程中,仅利用目标相对于观测站的方向信息,而不依赖距离或其他类型的测量数据。
多站则指的是使用多个观测站对目标进行协同观测,以获取更全面、更精确的定位信息。
数据采集:各个观测站通过自身的传感器设备,如雷达、声呐等,捕获目标发出的信号或反射的信号,从而确定目标相对于观测站的方位角。
数据融合:各观测站将测得的方位角信息传输至数据处理中心,进行数据融合。
数据融合的目的是将多个观测站的信息结合起来,形成对目标位置的更全面、更准确的描述。
雷达科学与技术!"d"$ Science and Technology第1期2020年2月Vol'18No'1February 2020DOI : 10. 3969". issn. 1672-2337. 2020. 01. 006无源时差定位系统最优布站方法研究夏伟,罗明,赵美霞(西安电子科技大学电子信息攻防对抗与仿真技术教育部重点实验室,陕西西安710071)摘 要:为提高基于到达时间差(Time Difference of Arrival , TDO A )'三维无源定位系统的定位精度,提出了一种考虑基站时差测量性能差异'最优布站方法,该方法通过求解目标所在区域定位误差'克 拉美罗下界(Cramer-Rao Lower Bound , CRLB ),以定位误差CRLB '迹'平均值最小为优化准则,采用粒子群算法对指定区域进行最优布站仿真研究。
仿真结果表明,该方法求解'最优布站位置与假设TDOA 测量误差为恒定高斯分布时求解'位置相比,提高了目标区域'整体定位精度;与用遗传算法求解最优布站位置相比,其收敛速度更快,更适用于需要快速作出反应的侦察定位场景。
关键词:TDOA 测量误差;最优布站;克拉美罗下界;粒子群算法中图分类号:TN971 文献标志码:A 文章编号:1672-2337(2020)01-0034-05Study on Optimal Station Distribution and Performance ofPassive Time Difference Localization SystemXIA Wei , LUO Ming , ZHAO Meixia(Key Lab of Electronic Information Countermeasure and Simulation Technology ,Ministry of Education , Vidian University , Xi an 710071, China )Abstract : In order to improve the three-dimensional passive localization accuracy of TDO A (time difference of arrival) , an optimal station distribution method considering the different TDOA measure performance is pro posed. The adaptive particle swarm optimization is used to study the optimal distributed station simulation in the designated area by minimizing the average of CRLB (Cramer-Rao lower bound) trace of location error in target re- gion'The simulation results show that the method improves the overa l positioning accuracy of the target area compared with the assumption that the TDOA measurement error is constant Gaussian distribution. And the pro posed method has faster convergence speed compared with the optimal station location solved by the genetic algo rithm ,thus it is more suitable for detection and positioning scenes requiring quick response.Key words : TDOA m easurement error % optimal station distribution ; Cramer-Rao lower bound (CRLB);particleswarmoptimization0引言无位系统被广泛应用于环境监测、医疗和军事等领域,其基本原理是通量 辐射的发射信号,对位。
无源传感器网络中的定位技术研究随着无线通信技术的不断发展,传感器网络技术逐渐走入人们的视野。
无源传感器网络作为其中的一种,近年来在无线传感器网络学术界掀起了一股研究热潮。
无源传感器网络中的定位技术是其中非常重要的一部分,在环境监测、室内导航、智能交通等各个领域都有广泛的应用。
本文将对无源传感器网络定位技术进行深入探讨。
一、无源传感器网络的基本原理无源传感器网络是指由大量分布在监测区域内的无源传感器节点,通过信号的传输和接收,实现对环境参数的检测和监测。
相比有源传感器网络,无源传感器网络具有成本低、维护简单、能耗低等优点,使其在实际应用中更具优势。
在无源传感器网络中,节点不具备主动发送信号的能力,需要利用现有的信号源,比如全球定位系统(GPS)或者其他无线电设备,接受其发出的信号,并将接收到的信号信息上报给基站。
因此,定位技术在无源传感器网络中显得尤为关键。
二、常用的无源传感器网络定位方法1. 视频定位法视频定位法是一种常用的室内定位方法,利用可见光相机和标志物进行定位。
标志物是放置在室内不同位置的具有特殊纹路和颜色的标记物,通过相机获取标志物的位置信息,计算出定位节点与标志物之间的距离和角度信息,最终确定定位节点的位置。
但是,视频定位法需要先安装标志物,且对环境要求较高,一旦标志物损坏或者被移动,就会导致定位错误。
此外,由于相机的覆盖范围受限,相机无法捕捉到盲区范围内的节点位置信息。
2. 音频定位法音频定位法是指利用已知的扬声器或者其他声源发出声波信号,通过节点接收信号的时间差,计算出节点与声源之间的距离和角度信息,进而确定节点的位置。
音频定位法具有简单、成本低、易于安装等优点,但是节点接收声波信号存在受干扰影响大,信号传输距离有限,精度相对较低等缺点。
3. 磁场定位法磁场定位法是一种基于磁场定位原理进行定位的方法,通过已知的磁场产生源和节点接收到的磁场信号,计算出节点与磁场源之间的距离和角度信息,最终确定节点的位置。
给定区域内最优无源定位技术研究随着人们对于智能物联的不断依赖,无源定位技术逐渐被广泛应用于各个领域。
无源定位技术主要通过采用已知位置的参考标签,获取身份不明的目标标签位置的一种无线定位方式。
在实际应用中,对于给定区域内的无源定位,如何实现最优的定位效果一直是研究的热点和难点。
一、无源定位技术概述当前,常见的无源定位技术主要有基于信号强度、基于到达时间、基于多普勒效应和基于电波互相反射等几种。
其中,基于信号强度的技术是最为常用的一种方法,其原理基于标签向接收器发送信号,并通过信号衰减的程度得出标签的距离。
这种技术简单易用,但由于信号受环境的影响较大,定位的精度通常较低。
基于到达时间的定位技术通过计算标签向接收器的信号传递时间来得出距离,这种方法也比较实用,但需要高精度的时钟来支持,成本较高。
基于多普勒效应的技术主要是利用标签产生的多普勒频移来计算出其运动状态,可用于一些特殊场合的定位,但其不适用于定位的精度要求较高的场合。
基于电波互相反射的定位技术主要是通过电波互相反射的方式来得出标签的位置,其优势在于适用于多种场合,并且精度较高。
二、无源定位技术的应用场景无源定位技术在应用中,可以应用于智能交通、室内导航、仓储物流等方面。
在智能交通领域,无源定位技术可以应用于行车自动化、车辆监控、智能收费等场景,可以大大提高智能交通系统的安全性和有效性。
在室内导航领域,通过无源定位技术可以实现比较准确的室内定位和导航,为人们的生活带来了便利和安全。
在仓储物流领域,通过无源定位技术可以有效的管理和优化货物的流转和运输,提高仓储物流的效率和安全性。
三、无源定位技术的局限性和解决方案在实际应用中,无源定位技术也存在着一些局限性。
其中,最突出的问题是定位精度和功耗问题。
在定位精度方面,由于环境干扰等原因,无源定位技术的精度较低,不能很好的满足一些场合的需求。
在功耗方面,由于标签的电池寿命和标签的数量等原因,无源定位技术在长期使用中会存在功耗问题。
多节点无线传感器网络的布局与优化策略研究随着无线传感器网络技术的不断发展和应用,多节点无线传感器网络的布局与优化策略成为了研究的热点。
本文将从网络布局的原则、优化策略以及实际应用等方面进行探讨,并提出一种有效的多节点无线传感器网络布局与优化策略。
一、网络布局原则多节点无线传感器网络布局的目标是实现网络的高效性和稳定性。
为此,我们应该遵循以下原则:1. 节点密度均匀:节点的密度应该尽可能均匀分布在区域内,从而提高网络的覆盖率和感知质量。
2. 节点连接性良好:节点之间的连接应该保持良好的连通性,能够实现数据的传输与交换。
3. 能量平衡:无线传感器网络中的节点通常由电池供电,因此应该尽量保持节点能量的平衡,以提高网络的寿命。
二、优化策略为了进一步优化多节点无线传感器网络的布局,我们可以采取以下策略:1. 路由算法优化:选择合适的路由协议和算法,能够有效地提高网络的传输效率和稳定性。
2. 能量管理:通过合理管理节点能量,实现能量的节约和延长网络寿命。
3. 拓扑控制:利用拓扑控制算法,动态调整网络的拓扑结构,从而提高网络的可靠性和稳定性。
4. 多路径传输:引入多路径传输机制,能够提高数据的传输可靠性,并减少节点之间的传输延迟。
5. 节点定位优化:通过精确节点定位技术,能够提高节点定位的准确度,从而进一步优化网络的布局。
三、实际应用多节点无线传感器网络的布局与优化策略在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些实际应用案例:1. 环境监测:通过布置传感器节点,能够实时监测和收集环境参数(如温度、湿度、光照等),并提供给相关部门进行环境管理和决策。
2. 物流管理:通过在仓库和运输车辆中布置传感器节点,能够实时监测货物的位置和状态,提高物流管理的效率和准确性。
3. 智慧农业:通过布置传感器节点在农田中,能够实时监测土壤湿度、温度等参数,以及作物生长的情况,为农业生产提供科学依据和技术支持。
4. 建筑安全监测:通过在建筑物中布置传感器节点,能够实时监测结构的变化和安全隐患,及时发现并预防潜在危险。
一种扩展多站无源探测定位范围的新方法随着科学技术的不断发展,人们对于探测定位技术的需求也越来越高。
在无源探测定位方面,由于其无需主动发射信号的性质,因此在隐蔽性、低功耗、不容易被发现等方面有着广泛的应用。
然而,由于无源探测定位技术的限制,其定位范围一般较小,难以满足一些大范围定位的需求。
因此,我们需要一种扩展多站无源探测定位范围的新方法。
一、利用信号延迟差异实现无源探测定位在传统的无源探测定位方法中,一般使用信源对多站之间的到达时间差值进行计算,从而实现定位。
而在我们的新方法中,我们可以利用信号在不同站点之间的延迟差异来进行定位。
即我们在多个站点上设置同步时钟,通过记录信号在不同站点之间的到达时间差值,即可计算出信号在空间上的位置。
二、使用多个站点扩展定位范围在传统的无源探测定位方法中,一般使用两个站点进行定位。
但是相比较而言,我们的新方法可以利用多个站点进行定位,从而可以扩展定位范围。
因为信号在空间中的传播速度是有限的,因此当多个站点之间的距离较大时,我们可以通过设置更多的站点来扩展探测范围,从而满足更广泛的定位要求。
三、高精度的信号调整在利用多站点进行定位时,我们需要对信号进行精确的调整。
因为信号到达不同站点的时间差很小,因此在调整信号时需要精度非常高,否则容易导致定位误差。
为了保证调整的精度,我们可以使用精密计时设备,或者使用高速数字信号处理技术进行处理。
综上所述,我们提出了一种扩展多站无源探测定位范围的新方法,该方法是通过利用信号延迟差异、使用多个站点扩展定位范围和高精度的信号调整三个方面来实现的。
相比传统的无源探测定位方法,该方法具有更广泛的应用范围和更高的精度。
我们相信,在未来,该方法将得到更广泛的应用和推广。
多站虚拟量测变换均值无源定位算法何友王本才(海军航空工程学院信息融合技术研究所, 烟台, 264001)摘要:在多站无源均值定位算法中,为了解决部分传感器间夹角过大或过小所导致的定位精度下降问题,提出一种基于虚拟量测变换的多传感器管理无源定位算法。
首先在全局坐标系下分析了传感器间夹角对GDOP的影响,进而得到双站获得较好定位精度的夹角约束关系;其次针对不满足该约束关系的传感器组合提出一种虚拟量测变换定位算法,通过空间管理的方法达到对传感器的优化布站,并结合算法的实施步骤对其原理及特点进行了理论分析,尤其对变换前后的交点精度进行了比较。
仿真结果表明虚拟量测算法的定位精度要明显优于均值算法,进而说明该算法的有效性及传感器管理在多站无源定位中的重要作用。
关键词:无源定位; 参考点; 传感器管理; GDOP; 虚拟量测; 夹角中图分类号:TN953+.5;TN953+.7 文献标志码:AA multi-sensor ME passive localization algorithm based on virtualmeasurement transformHe You, Wang Bencai(Institute of Information Fusion, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai, 264001, China) Abstract: To solve the localization precision descending about ME algorithm when the cut angles between partial sensor pairs are too small or big in a multi-sensor system, a multi-sensor management passive localization algorithm based on virtual measurement transform (VMT) is presented. The effect of cut angle on the GDOP is analyzed in global coordinate system firstly, and the cut angle restriction relationship is obtained from which the better localization precision of dual-sensor system can be achieved. Secondly, the VMT localization algorithm is presented when certain sensor pairs do not satisfy above restriction relationship, which can deploy sensor in an optimal way by means of sensor space management. The principle and characteristics of the algorithm are analyzed, especially the precision of intersection which after and before transform are compared from the perspective of GDOP. Simulation results indicate that the performance of VMT algorithm excels that of ME algorithm remarkably, which verifies it and the important role that sensor management plays in multi-sensor passive localization.Key words: passive localization; reference point; sensor management; GDOP; virtual measurement; cut angle引言多站无源定位由于具有定位精度好、定位速度快等优点[1-3],在军事及民事等方面均有广泛的应用[4-6]。
均值估计(mean estimation, ME)是一种经典的多站无源定位算法。
由Markov定理可知,该算法是一种均方误差最小意义下的无偏估计;在满足切比雪夫条件的情况下,算法具有估计的一致性[7],即传感器数量越多算法的估计精度越高。
但是工程实际表明,不同的传感器配置形式对ME算法的定位精度影响很大;尤其在传感器数量较多或多目标情况下,该算法很难获得较好的定位精度。
有很多文献对多站无源定位的最佳配置形式基金项目: 国家自然科学基金(61032001)资助项目; 国家自然科学基金(60972159)资助项目; 国家自然科学基金(61002006)资助项目。
进行了研究[8-11],并能够在多机动传感器、固定目标的定位环境下得到较好应用;但就多固定传感器、机动目标而言,该最佳配置形式更多是作为约束条件以研究基于传感器选择的定位跟踪算法[12-14]。
因此对于多固定传感器而言,如何充分利用传感器与目标间的相对位置,进而研究基于传感器管理的定位算法是提高ME算法定位精度的关键。
传感器管理的基本问题是为了达到诸如获得目标状态的精确估计等目的,在一定准则基础上实现对有限传感器资源的最优控制[15];其中,多传感器的最佳配置及单传感器的航迹规划均属于传感器管理的研究内容。
在众多无源定位精度的衡量指标中,误差几何稀释度(geometric dilution of precision, GDOP)能够将传感器与目标间的相对几何位置同定位精度联系在一起,并能够准确衡量前者对后者的影响程度[16]。
因此本文在无源只测角(bearing-only, BO)定位背景下,首先分析传感器与目标间的相对位置对GDOP 的影响,为提高ME 算法的定位精度奠定理论基础;然后针对相对位置较差的传感器组合提出一种基于虚拟量测变换(virtual measurement transform, VMT)的定位算法,通过传感器的空间管理的方法提高ME 算法的定位精度。
1 夹角对双站GDOP 的影响在全局坐标系下共有n 个固定同工传感器()T,i i i S x y =,某一时刻测得目标()TT T T ,x y =X 的方位角分别为i θ;假设各方位角测量误差iθ 相互独立,且()20,i i N θθσ 。
任选两传感器i S 、j S ,则二者的交点()T,i j i j i jx y =X 为: cos sin ij i ij iiji ij i x x k y y k θθ=+⎧⎨=+⎩ (1) 其中()cos ()sin sin()j i j j i jij i j y y x x k θθθθ---=-令i jθθθσσσ==,则i S 、j S 在全局坐标系下的GDOP 为[17]:()2sin ij j i G θκσθθ=- (2) 其中κ=将i S 、j S 的方位线夹角记为j i ij θθθ-=∆;则传感器与目标间的相对几何位置主要体现在该项上。
当ij θ∆接近0或π时,有()0lim ij ij G θπ∆→=∞ (3)这表明当两传感器间的夹角过大或过小时,双站系统(或相应交点)无法获得较好的定位精度。
这可以用来解释双站基线区域及基线两侧区域GDOP 较差的原因。
相对于基线而言,当目标位于基线区附近时,一个传感器的方位角为锐角而另一个为钝角,导致两传感器间夹角接近π;同理在基线两侧区域,两个方位角同时为锐角或钝角,导致两传感器间夹角接近0。
因此由上式可知,上述两个区域的定位精度均较差(详见文献[18]中的图4与图5)。
相反,如果上述夹角的绝对值不小于某一锐角,同时不大于某一钝角,即low up ij θθθ∆≤∆≤∆ (4)则可以确保系统能够获得较高的定位精度,且将up θ∆、low θ∆分别称之为夹角的上、下门限。
夹角门限一般可以通过系统所允许的最差定位精度0G 来确定。
将0G 代入(2)式中,可得low θ∆= (5)同时定义up low θπθ∆=-∆ (6)由以上两式可知,在0G 一定的情况下,夹角上、下门限随着传感器位置、目标位置及测量精度的变化而相应改变。
因此在多站无源定位的某些场景中,该门限值可以根据经验粗略地选取。
2 基于ME 的VMT 定位算法假设所有传感器的方位线均相交,则n 个传感器最多有2n C N 个交点;多站ME 定位算法即是取所有交点的均值作为目标的估计位置,即1111n nij i j i N -==+=∑∑X X (7)由(3)式可知,若上式中所有交点的夹角均满足(4)式范围时,则ME 算法一定能够获得较高的定位精度。
但在实际定位中,由于目标出现位置的随机性(尤其在多目标或传感器数量较多情况下),该条件对于所有交点而言很难满足。
因此仅就单目标环境而言,基于部分传感器间夹角过大或过小的事实,如何有效利用(4)式是提高ME 算法定位精度的关键。
根据该思想,本文提出一种基于VMT 的传感器管理无源定位算法,具体如下。
2.1 算法介绍以传感器()1,,1i S i n =- 为基准传感器,按照(4)式依次检测i S 与()1,,j S j i n =+ 间的夹角ij θ∆。
如果该式成立,则利用(1)式求得目标交点;否则,ij θ∆或者小于low θ∆或者大于up θ∆。
分别讨论如下。
2.1.1 夹角小于下限时假设i j x x <,则VMT 方法如图1所示。
首先,由ME 算法或LS (least square)算法选取一关于目标位置的参考点()T000,x y=X ;假设()0T ,U δ∈X X ,即0X 位于目标位置T X 的δ邻域内。
设置两传感器间最优夹角opt θ∆,且opt θ∆满足low opt up θθθ∆≤∆≤∆ (8)图1 当low ij θθ∆<∆时的VMT 方法此时将j S 以0X 为圆心、以0j S -X 为半径逆时针旋转至()T,j j jS x y '''=,使得j S '对于0X 的量测j θ'满足opt j i θθθ'-=∆ (9)即i S 、j S '间的夹角为最优;并由下式求得j S '的坐标:()()()()2222000000tan j j j jjjj x x y y x x y y y y x x θ⎧''-+-=-+-⎪⎪⎨'-'=⎪'-⎪⎩(10)然后可由(1)式方法得到i S 与j S '的交点ij 'X 的坐标。