信号与系统Lecture 4

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二、 卷积积分的计算
y (t ) = x(t ) * h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
−∞ ∞
1、图解法 、 由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。 由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先 的自变量t 将x(t)和h(t)的自变量 改成 即： x(t) → x(τ ), h(t) →h(τ ) 和 的自变量 改成τ,即 再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）：反褶、时移、 再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）：反褶、时移、相 ）：反褶 积分。 乘、积分。
u(t ) = ∫ δ (τ )dτ = ∫ δ (t − τ )dτ
−∞ 0
t
∞
对一般信号x(t)，可以将其分成很多宽度为 的区段 的区段， 对一般信号 ，可以将其分成很多宽度为∆的区段，用 一个阶梯信号x 近似表示 近似表示x(t) 。当∆→0时，有x∆(t) → x(t) 一个阶梯信号 ∆(t)近似表示 时
作业讲解
1.21（e）作图要细致 （ ） （f）注意 ）注意δ[n]与δ(t)定义的区别 与 定义的区别
1 n = 0 δ [ n] = 0 n ≠ 0
N=0时有幅值 ；用 时有幅值1； 时有幅值 高度为1的线段表示 高度为 的线段表示
∞ δ (t )dt = 1 ∫−∞ δ (t ) = 0
−∞
t h(t ) = [u (t ) − u (t − 2)] 2 1 h(−τ )
τ
2
t
1 h(t − τ ) = (t − τ )[u (t − τ ) − u (t − τ − 2)] 2
1 , 2
y (t ) = 0
-2
0
h(t − τ )
1
x(τ )
1）when t ≤ − ）
t-2
t -1/2
t < 0, 左移 t 时移： 时移： h(−τ ) →h(t −τ ) = h [−(τ − t)] t > 0, 右移 t 相乘： 相乘： x(τ )h(t −τ ) ∞ 积分： 积分： x(t) ∗ h(t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
−∞
反褶： 反褶：
h(τ ) →h(−τ )
(t ≠ 0)
t=0时的强度为 ；用高度为 的有 时的强度为1；用高度为1的有 时的强度为 向线段表示， 向线段表示，箭头指向代表正负号
x(t)[δ(t+3/2)- δ(t-3/2)]= x(t)δ(t+3/2)-x(t)δ(t-3/2)] = x(-3/2)δ(t+3/2)-x(3/2)δ(t-3/2) =-0.5δ(t+3/2)-0.5δ(t-3/2)
−∞
−∞ +∞
∫
+∞
f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
−τ
= ∫ 2e u(τ )u(t − τ )dτ − ∫ 2e u(τ )u(t − τ − 2)dτ
−∞
t
+∞
−τ
+∞
−τ
−∞
= ∫ 2e dτ u(t ) −∫0 2e dτ u(t − 2)
−τ −τ 0
t −2
− 2e−τ |t ⋅ u(t) − − 2e−τ |t −2 ⋅ u(t − 2) = 0 0
−∞ ∞
=∫
t −t2
t1
f1(τ ) f2 (t −τ )dτ ⋅ u(t −t1 −t2 )
t-t2>t1
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Example: Computer the convolution of x(t) = sin t[u(t) − u(t − )] and
π
h(t) = e u(t) .
−t
2
Solution:
= 2(1 − e )u(t ) − 2(1 − e
−t
− ( t −2 )
)u(t − 2)142.3 线性时不变系统的性质 (Properties of Linear Time-Invariant Systems)
1
1 n ≤ 1.22 （e） u[3 − n] = ） 0 n > 0
1.25 连续时间周期信号的最小周期是正数；离散时间周期信号 连续时间周期信号的最小周期是正数； 的最小周期是正整数。 的最小周期是正整数。 (d) x(t ) = ε v {cos(4π t )u (t )}
cos(4π t )u (t ) + cos(−4π t )u (−t ) = 2
f2(t) = u(t) − u(t − 2)
Solution: (图解法) 图解法)
2 0 1 0 2 f2(t-τ) τ 1 0 t τ τ 2 f2(-τ) τ τ f1(τ) τ 1 0 2 τ f2(τ) τ 1 0 2 τ f2(-τ) τ
(1) When t<0，f1(τ)f2(t-τ)=0， ， ， so, g(t)=f1(t)*f2(t)=0; (2) When 0≤t≤2 ， ≤≤
∞ 在实际计算要视具 卷积积分公式中， 卷积积分公式中，积分限是从 − ∞到 ， 体情况而定。当被卷积函数中有分段连续函数x(t)=f1(t)u(t-t1)， 体情况而定。当被卷积函数中有分段连续函数 ， h(t)=f2(t)u(t-t2)时，可以直接用公式 时
x(t) ∗h(t) = ∫ f1(τ )u(τ −t1) f2 (t −τ )u(t −τ −t2 )dτ
y (t ) = ∫ x(τ )hτ (t )dτ
−∞
∞
若系统又是时不变的 若系统又是时不变的，即：若δ(t)→h(t)， 时不变 ， 则有: 则有 δ(t-τ)→h(t- τ)， ， 于是LTI系统对任意输入 的响应可表示为： 系统对任意输入x(t)的响应可表示为 于是 系统对任意输入 的响应可表示为：
1
8
1 x(τ )
5）when t − 2 ≥1 ，or t ≥ 3 ，
h(t − τ )
-1/2 1 t-2
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )
15 16 9 16
y (t ) = 0
τ
0 2 t + t + 1 4 4 16 3 3 y (t ) = t − 4 16 t2 t 3 − + + 4 2 4 0 t t≤− − 1 2
g (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
−t = ∫ 2e−τ ⋅ 1 ⋅ dτ = 2 (1 − e )
0
12
t
0 t
f1(τ) τ 2 0 2 f2(t-τ) τ 1 0 g(t) t τ τ
(3) When 2≤t<∞ ≤ ∞
g (t ) = ∫
So
t
= 2e (e − 1)
k ∆ → τ , ∆ → dτ ,
∞
k =−∞
∑ x(k ∆)δ
∑→ ∫
筛选性质 sifting property
∆
(t − k ∆) ⋅ ∆
δ∆ (t − k∆) → δ (t −τ )
于是： 于是：
−∞
x∆ (t) → x(t)
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
任何连续时间信号x(t) 都可以被分解成移位加权的单 任何连续时间信号 位冲激信号的线性组合。 位冲激信号的线性组合。
t
1 ≤ t ≤1 2 3 1≤ t ≤ 2 3 ≤t ≤3 2 t ≥3
-1/2 0
1 3/2 2
3
9
2、解析法(以闭合解析表达式来求解) 分段： 及其时移形式， （1）分段：利用u(t)及其时移形式，写出x(t)和h(t)的闭式表达式; 定范围：根据被积函数及其时移形式， 及其时移形式 （2）定范围：根据被积函数及其时移形式，以及它的反转时移 因子， 因子，确定积分的上下限; 及其时移形式 时移形式， （3）形式化简后的每一项单个积分均应乘以u(t)及其时移形式， 以确保在积分的上限小于下限时,积分等于0. * 积分上下限的问题:
1
t-2 -1/2
1 t 1 x(τ )
3 3 1 y (t ) = ∫ 1 1× (t − τ )dτ = t − − 2 4 16 2
-1/2 t-2 1
h(t − τ )
t
3 1 4）when − ≤ t − 2 ≤ 1 , or ≤ t ≤ 3 2 2
1 t2 t 3 τ y (t ) = ∫t − 2 1× 2 (t − τ )dτ = − 4 + 2 + 4
4
2.1.2 连续时间 系统的单位冲激响应及卷积积分 连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分 卷积积分（ 一、卷积积分（The convolution integral） ） 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对δ(t-τ) 线性系统对 的响应为h 则该系统对x(t)的响应可表示为 的响应可表示为： 的响应为 τ(t) ，则该系统对 的响应可表示为
1
7
τ
h (t − τ )
1
x (τ )
1 2）when − ≤ t ≤ 1， 2
τ
t-2 -1/2
h(t − τ )
t
1
1 y (t ) = ∫ 1 1× (t − τ )dτ − 2 2
t
t2 t 1 = + + 4 4 16
1 x(τ )
τ
1 3）when t ≥ 1, and t − 2 ≤ − ， 2 3 or when 1 ≤ t ≤ 2
π
= ∫ sin τe
0
t
−(t −τ )