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信号与系统4

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信号与系统第四章课后习题答案

信号与系统第四章课后习题答案

其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 f (t ) = F [ ] = (-e-2t + 2e -4t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
-1
(8)
s+5 s ( s 2 + 2 s + 5) s+5 A B1s + B2 = = + s[( s + 1)2 + 4] s ( s + 1)2 + 4 A= s+5 gs = 1 s[( s + 1) 2 + 4)] s =0
(3) (2 cos t + sin t )U (t ) 查表得： s s + w2 w sin wtU (t ) « 2 s + w2 \ 根据拉氏变换的线性性质： 2s 1 2s + 1 (2 cos t + sin t )U (t ) « 2 + 2 = 2 s +1 s +1 s +1 cos wtU (t ) «
(9) 2d (t - t0 ) + 3d (t ) 根据时移特性：
d (t - t0 ) « e - st0
\ 2d (t - t0 ) + 3d (t ) « 2e - st0 + 3
(10) (t - 1)U (t - 1) 根据复频域微分特性： (-t ) n f (t ) « F ( n ) ( s ) 1 1 -tU (t ) « ( ) ' = - 2 s s 1 \tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e- s (t - 1)U (t - 1) « 2 s
\ cos tU (t ) «

信号与系统第4章 连续信号的频域分析

信号与系统第4章 连续信号的频域分析

1
信号与系统
出版社 理工分社
4.1 周期信号的傅里叶级数
所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构成 一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以 用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线 性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这 些正交函数的加权和。
35
信号与系统
出版社 理工分社
4.6.1 帕塞瓦尔定理 对周期功率信号 f（t），假设其傅里叶系数为 Fn，则其平均功率为
对能量信号 f（t），假设其傅里叶变换为 F（ jω），则其能量为
36
信号与系统
出版社 理工分社
这说明，式（4.6.1）右边的每一项代表周期 信号中每个复简谐分量的平均功率，而式中右边的 积分是根据时域表达式计算信号平均功率的定义式 。因此，式（4.6.1）所示周期信号的帕塞瓦尔定 理说明，周期信号的平均功率等于各分量的平均功 率之和。考虑到 |Fn|为偶函数，并且由式（4.1.6 ）可知 |Fn|=An/2，代入式（4.6.1）还可以得到周 期功率信号帕塞瓦尔定理的另一种描述，即
33
信号与系统
出版社 理工分社
③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而 周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以 通过式（4.5.4）进行转换。
④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的 。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存 在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数 ，如单位阶跃信号。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图

《信号与系统》第四章

《信号与系统》第四章

图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt

《信号与系统(第四版)》习题详解图文

《信号与系统(第四版)》习题详解图文
即
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107

信号与系统第4章

信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，

重庆邮电大学信号与系统课件第4章

重庆邮电大学信号与系统课件第4章

f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相 反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理

信号与系统第4章拉氏变换


为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt

∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )

e- t
f
(t )u(t )

1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d

1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社

信号与系统基础-第4章

5
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。

信号与系统张晔版第四章ppt


L[u(t)] est dt est 1
0
s
s
0
u(t) 1 s
(2) 单边指数信号 f (t) eatu(t)
延时信号
→ 对比傅里叶变换？ 双边
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
eat u(t) 1 sa
( a)
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
(2) 先尺度、后平移
L
f
(at)u(at)
1 a
F
s a
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
4.2.6 时域微分特性
推而广之：
L
d n f (t)
dt n
sn F (s)
n 1 r 0
snr 1
f
(r) (0)
式中
f
(r)
(0)是r阶导数
d
r f (t) dt r
在0-时刻的取值。特别是，如果它们都为0，则
L
df (t dt
)
sF
(s)
L
d
2f dt
(t
2
)
s2F(s)
i 1
i 1
在应用中，可实现复杂信号的分解。
4.2.2 时域平移特性

信号与系统 第4章-作业参考答案


题图 4-3-1 解：
11
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4-3-7
1）x(t)是实周期信号，且周期为 6； 3）x(t) = −x(t − 3)
1 3
设某信号x(t)满足下述条件：
2）x(t)的傅里叶系数为ak ，且当k = 0 和 k > 2时，有ak = 0；
1
4） ∫−3 |x(t)|2dt = 6 2 5）a1是正实数。
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
第 4 章 习题参考答案
4-1 思考题 答案暂略 4-1 练习题 4-2-2 已知三个离散时间序列分别为 x1 ( n) = cos
2πn 2πn , x3 (n) = e , x 2 (n) = sin 25 10
π x (t ) = sin 4π t + cos 6π t + 时，试求系统输出 y (t ) 的傅立叶级数。 4
解：
3
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4因果系统： y(t) + 4y(t) = x(t)
式中x(t) 为系统输入，y(t)是系统输出。在下面两种输入条件下，求输出y(t)的傅里叶级数 展开： 1）x(t) = cos2πt ；
2
2
= 3 ） f ( t ) Sa (100t ) + Sa
解：
( 60t ) 4）
sin(4π t ) , −∞ < t < ∞ πt
9
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4）T=1/4 4-2-27 设 x(t ) 是一实值信号，在采样频率 ω s = 10000π 时， x(t ) 可用其样本值唯一确定
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杭州电子科技大学
实验报告
课程名称：信号与系统
实验名称：连续时间信号与系统的频域分析
指导老师：郑长亮
专业：通信工程
班级：13083413
成员：金晨13081319
卫宇航13081326
曹晓航13081309
实验日期：2014年12月4日
【实验目的】
1、掌握连续时间信号与系统的频域分析方法，从频域的角度对信
号与系统的特性进行分析。

2、掌握连续时间信号傅里叶变换与傅里叶逆变换的实现方法。

3、掌握连续时间傅里叶变换的特点及应用
4、掌握连续时间傅里叶变换的数值计算方法及绘制信号频谱的方
法
【实验原理】
1. 连续时间系统的频率特性
1.1 函数表达式表示的频率特性
在连续 LTI 系统时域分析中得到系统的单位冲激响应可以完全表征系统，进而通过h(t) 特性来分析系统的特性。

系统单位冲激响应h(t) 的傅里叶变换H(ω) 或者H( jω) 成为
LTI 系统的频率响应。

通过系统频率响应可以分析出系统频率特性，又称频率响应特性，是指系统在正弦信号激励下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况。

与系统单位冲激响应h(t) 一样，系统的频率响应H(ω) 反映了系统内在的固有特性，它取决于系统自身的结构及组成系统元件的参数，与外部激励无关，是描述系统特性的一个重要参数，H(ω) 是频率的复函数可以表示为：
H(ω) =| H(ω) | e jϕ(ω)
其中，| H(ω) | 随频率变化的规律称为幅频特性；ϕ(ω) 随频率变化的规律称为相频特性。

1.2 图形表示的频率特性
频率特性不仅可以用函数表达式（系统单位冲激响应的傅里叶变换）来表示，还可以用随频率（角频率或者频率ω= 2πf）变化的曲线来描述，如图 5-1 所示低通、高通、带通和带阻滤波器的滤波特性。

从图中可以清晰的看出低通、高通、带通和带阻滤波器的输入输出关系随频率变化滤波特性。

图 5-1 低通、高通、带通和带阻滤波器的幅频特性
2. 连续时间信号傅里叶变换的数
值计算方法算法原理，由傅里叶变
换原理可知：
F
当信号f(t) 为时限信号时上式中 n 值可以取有限值Ｎ，则可得：
N∑−1 −jωk nτdτ,ωk = 2πk
F(ωk) =τf(nτ)e
0 Nτ
数值计算过程中要正确生成信号的Ｎ个样值f(nτ) 的向量和向量e−jωknτ。

3.涉及到的 Matlab 函数
3.1 Fourier 函数：实现符号函数的傅里
叶变换调用格式
F = fourier(f)，符号函数 f 的傅里叶变换，默认返回函数 F 是
关于频率ω的函数。

F = fourier(f,v)，符号函数 f 的傅里叶变换，默认返回函数 F
是关于 v 的函数。

F = fourier(f,u,v)，关于 u 的函数 f 的傅里叶变换，默认返
回函数 F 是关于 v 的函数。

3.2 iFourier 函数：实现符号函数的傅里叶逆变换调用格
式：f = ifourier(F)，函数 F 的傅里叶逆变换，默认独
立变量是频率ω。

3.3 syms 命令：定义符号变
量调用格式:
syms x，定义 x 为符号变量，可以直接使用。

syms x y，定义 x 和 y 为符号变量，可以直接使用。

3.4 ezplot 函数：实现一元函数的绘图。

相比 plot 函数要制定自变量范围，ezplot 无需数据准备，可以直接画图，尤其适用于符号函数。

调用格式：ezplot(x)
【实验内容】
1.符号函数的傅里叶变换
(1)下面参考程序和运行结果是信号f(t) =e−2|t| 的傅里叶变换，
分析程序，判断运行结果正确与否。

(2)参考上述程序试画出信号f(t)=e−3|t| 的波形及其幅频特性
曲线。

clear all;
close all;
clc;
syms t; %时间符号
f=2/3*exp(-3*abs(t)); %符号函数
F=fourier(f);
subplot(1,2,1);
ezplot(f);
subplot(1,2,2);
ezplot(F);
2.傅里叶变换的性质验证
(3)利用(2)的程序，通过比较结果的幅频特性曲线，验证连续时
间傅里叶变换的频移特
性（ejω0tf(t)的傅里叶变换为F( j(ω−ω0))）。

clear all;
close all;
clc;
syms t; %时间符号
f1=2/3*exp(-3*abs(t));%符号函数
w0=2;
f2=exp(w0*j*t)*f1;
F1=fourier(f1);
F2=fourier(f2);
subplot(2,2,1);
ezplot(f1);
subplot(2,2,2);
ezplot(F1);
subplot(2,2,4);
ezplot(F2);
【实验分析】
若函数的傅里叶变换为，则对任意实数，函数
也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换等于也就是说，可由向右平移得到。

微分关系若函数的傅里叶变换为，且其导的傅里叶变换存在，则有即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。

更一般地，若的阶导数的傅里叶变换存在，则即阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。

卷积特性
若函数以及都在上绝对可积，则卷积函数
的傅里叶变换存在，且
Parseval定理以及Plancherel定理若函数
以及平方可积，二者的傅里叶变换分别为与，则有
上式被称为Parseval定理。

特别地，对于平方可积函数，有上式被称为Plancherel定理。

这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间上的一个运算符（若不考虑因子）。

【实验心得】
1.通过matlab更加掌握连续时间信号与系统的频域分析方法，
从频域的角度对信号与系统的特性进行分析。

2.掌握连续时间傅里叶变换的数值计算方法及绘制信号频谱的
方法
3.通过本实验验证连续了时间傅里叶变换的频移特性（ejω0tf(t)的傅里叶变换为F( j(ω−ω0))）。