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商不变的性质和积不变的性质－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－积和商的“变与不变”规律㈠、积的变化规律：⑴、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。
字母表示：如果a×b=c ，则(a×3)×b=c×3举例：a×b=12 如果(a×3)则积就是12×3=36.⑴、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；⑴、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
㈡、积不变规律：一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。
字母表示：如果a×b=c 则（a×5）×（b÷5）=c㈢、商的变化规律：⑴被除数不变，除数乘几商就除以几，除数除以几商就乘几。
字母表示：如果a÷b=c ，则a÷（b×3）=c÷3举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是12÷3=4⑴除数不变，被除数乘商就相应的乘几，被除数除以几商就除以几。
字母表示：如果a÷b=c ，则(a×3)÷b=c×3举例：a÷b=12 如果(a×3)则商就是12×3=36.被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
㈣、商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
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四年级数学上册《商不变的规律》教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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商变化的规律和商不变的规律经典题商变化的规律和商不变的规律，这话说起来可有意思了。
先说说商变化的规律。
简单来说，就是当你把一个数去除以另一个数的时候，商是会随着被除数和除数的变化而变化的。
比如说，你吃西瓜，一刀切下去，西瓜就变成了好几块。
这就好比商的变化，西瓜的大小不同，块数就不同。
这种变化就像小朋友的调皮捣蛋，一会儿乖乖地坐着，一会儿又跑来跑去，让人应接不暇。
再说说商不变的规律。
这就有点意思了，假设你有一大块蛋糕，无论你怎么切，只要你用的刀还是那把，切的方式没变，蛋糕的整体就还是那个蛋糕。
这就是商不变的意思。
简单点说，商不变就像是你一边吃蛋糕一边喝可乐，虽然蛋糕在减少，可乐却一直陪伴着你，这种感觉简直是太爽了。
生活中也常常能见到这种情况，就像朋友聚会，虽然时间在变，但那份开心的心情永远都在。
这些数学概念就像小孩子的玩具，变来变去，真是让人哭笑不得。
大家都知道，数与数之间的关系不是一成不变的，就像我们每个人的心情一样，有时高兴得像小鸟，有时又像被雨淋湿的小猫。
举个简单的例子，你买了一大包糖，里面有各种各样的糖果。
当你分享给朋友的时候，糖的数量在变化，但大家的笑声是不会变的。
这就让我想到了分享的乐趣。
数学虽然严肃，但有时候也可以是很欢乐的。
如果我们来具体分析一下商变化的情况，拿一场足球赛来比喻。
在比赛中，球队的得分就像被除数，时间就像除数。
随着时间的推移，比分在变化，观众的心情也是起伏不定。
有时候一球进了，观众们欢呼雀跃，仿佛要飞起来一样；有时候被对手进球，心情瞬间跌入谷底。
正因为这变化，比赛才充满了悬念，就像数学题的答案也常常让人意想不到。
而商不变的情况就像我们的梦想。
大家都希望能实现自己的理想，虽然实现的过程会有很多变化，但最终的目标却始终未变。
就像你每天努力学习，不管遇到多少挫折，只要心中有那个梦想，商就不会变。
这种坚持和努力，真的是人生的一部分，让我们的人生更加丰富多彩。
有趣的是，商的变化和不变之间的关系就像生活中的许多事情，充满了矛盾却又和谐。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
四年级上册数学商不变的规律笔记一、概述在四年级的数学学习中，商不变的规律是一个非常重要的概念。
通过商不变的规律，我们可以更好地理解和运用乘法的相关知识，进而在解决实际问题时更加得心应手。
本文将从商不变的概念、规律的应用以及相关练习等方面展开讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分知识。
二、商不变的概念商不变的概念指的是，在一个乘法运算中，无论先算乘法式中的哪两个数，最后得到的积是相同的。
对于乘法式3×4=12，不论先算3×4还是4×3，最终得到的积都是12，这就是商不变的规律。
在实际生活中，商不变的规律也有着广泛的应用。
我们去商场购物时，商品的价格和数量构成了乘法式，而不管我们是先看价格再看数量，还是先看数量再看价格，最终要支付的金额都是相同的，这就符合了商不变的规律。
三、商不变的规律及运用1. 乘法交换律商不变的规律与乘法交换律有着密切的关系。
乘法交换律是指，两个数相乘，交换两数的位置所得的积是相等的。
这也是商不变的规律的一个体现。
对于乘法式2×6=12，根据乘法交换律，也可以写成6×2=12。
而根据商不变的规律，不论是先算2×6还是6×2，最终得到的积都是12。
2. 商的分配律商不变的规律还与商的分配律有着密切的通联。
商的分配律是指，在一个乘法运算中，可以按照加法的性质把一个数分成几部分，然后分别与其他数相乘，最后将这些积相加得到的结果是相同的。
对于乘法式3×（4+2），按照商的分配律，可以得到3×4+3×2=12+6=18。
而根据商不变的规律，无论是先算3×4+3×2还是先算3×（4+2），最终得到的结果都是相同的。
3. 解决实际问题商不变的规律在解决实际问题时也非常有用。
小明去超市买了3斤苹果，每斤苹果6元，那么他一共需要支付多少钱呢？按照商不变的规律，我们可以先算3×6=18，也可以先算6×3=18，最终得到的结果都是18元，这就是商不变的规律在实际问题中的应用。
积不变商不变的规律哎呀，同学们，你们知道吗？数学里有两个超级神奇的规律，一个叫积不变规律，一个叫商不变规律。
这俩规律就像是数学世界里的魔法，可有意思啦！先来说说积不变规律吧。
比如说，我有两个数字6 和3，它们相乘是18 对吧？那要是6 变成12，3 就得变成1.5，你看，12×1.5 还是18 呀！这就好像是我有一堆糖果，原来我是6 个盒子，每个盒子装3 颗糖。
后来我想要12 个盒子，那每个盒子里的糖果不就得变少，变成1.5 颗，可糖果的总数还是不变的，这不就是积不变吗？再讲讲商不变规律。
就拿20 和5 来说，20÷5 = 4 。
要是20 变成40 ，5 变成10 ，40÷10 不还是4 嘛！这多神奇呀！这就好比我们去分蛋糕，原来20 个人分5 个蛋糕，每人能分到4 份。
后来变成40 个人分10 个蛋糕，每人分到的还是4 份。
这是不是很有趣？有一次上数学课，老师出了一道题：“根据积不变规律，3×40 = 6×（），大家快想想。
”同学们都皱着眉头苦思冥想。
我心里也着急呀，这可咋办？突然我灵光一闪，40 变成了一半，那3 就得变成6 呀，所以括号里应该填20 ！我赶紧举手回答，老师笑着夸我真聪明，我心里那叫一个美哟！还有一次，小组讨论商不变规律。
我和同桌说：“你看，这商不变规律不就像是玩跷跷板嘛，这边重了那边就得轻，但是两边的平衡不能打破，就像商不能变一样！”同桌听了直点头，说：“对对对，你这个比喻太形象啦！”积不变规律和商不变规律在我们的生活中也有很多用处呢！比如买东西的时候，如果单价变高了，那数量就得变少，才能保证总价不变；如果总价不变，单价降低了，那能买到的数量不就变多了嘛！同学们，你们说这两个规律是不是很神奇？它们就像是数学王国里的宝藏，等着我们去发现和运用。
我们一定要好好掌握它们，让数学变得更简单、更有趣！。
《商不变的规律》教学设计
一、教学目标:
1.使学生结合具体情境，通过合作探究学习，经历观察、比较和探讨的数学研究过程，在已有知识基础上放手探讨商不变的规律。
2.通过本节课的教学，使学生理解掌握商的变化性质，会用商的变化性质对口算除法进行简便运算。
3.使学生体会数学来自生活实际的需要，进一步产生对数学的好奇心与兴趣，培养学生善于观察、勤于思考、勇于探索的习惯。
渗透符号化、转化、模型、“变与不变”的函数等思想和科学的研究态度。
二、教学重难点：
引导学生通过观察、比较、探讨发现并总结商的变化规律，获得探索规律的经验和方法。
三、教学流程
课前谈话：同学们好，老师姓吴，同学们可以叫我吴老师。
现在已经是下午第二节课了，同学们还要和我来上一堂数学课，很辛苦，谢谢同学们！同学们今天服装穿的可真整齐，倍儿精神。
现在也没上课呢，谁能描述一下老师的穿着吗？（老师很喜欢你的表述，因为你表述的非常有顺序，这说明你观察我的时候就非常有顺序。
有序观察，是一个非常好的学习习惯。
）好，那现在咱们来开始上课吧，好吗？
第一环节：“万变不离其宗”——学习商不变的规律
（一）创设情境，渗透规律。
师：这个动画片大家都看过吗？动画片中讲述了大圣在江流儿爱与执着的感召下，从迷茫中找回初心，完成自我救赎的故事。
这堂数学课，老师希望同学们也能像大圣一样，遇到难题，敢于挑战，突破自我。
师：在大圣和八戒护送流儿和小丫头回家的路上，还发生了一个故事。
我给大家讲讲？话说他们此去长安，路途遥远，流儿就给大家摘了许多的桃子充饥。
大圣深知八戒贪吃，就规定八戒：给你6个桃子，平均分3天吃完。
八戒掐指一算，每天才能吃2个。
“啊，不行不行，这我每天吃的也太少了！”大圣又说：“那好吧，我给你12个桃子，平均分6天吃完。
怎么样？”八戒挠挠头，试探着说：“大
圣，再多给点行不行？”大圣说：“好吧好吧，那我给你60个桃子，平均分30天吃完，这回总可以了吧？”八戒觉得占了大便宜，开心地笑了，大圣也笑了。
看看，同学们也笑了。
那笑中要有思考：谁是聪明的一笑呢？为什么？
生：大圣是聪明的一笑，因为不论哪种分发，八戒每天都是只能吃到2个桃子。
师：看来八戒并没有占到便宜，说明八戒让大圣——（骗了）
师：那大圣是根据什么知识把八戒给骗了呢？接下来，我们就去好好的研究研究。
（二）自主探究，发现规律。
师：观察这些算式，说说你发现了什么？（边说边在2下做标记）生：我发现三个算式的商都是2。
师：商都是2，也就是说商没有——（变）。
师：商没有变，那么哪些量在变呢？（被除数和除数）
师：被除数和除数可以随便变吗？（不行，要有规律的变）
师：那被除数、除数怎样有规律的变化，才能保证商不变呢？这个重要的探究任务就交给同学们了。
请同学用你们的“火眼金睛”认真观察，独立思考，被除数通过怎样变化到的这，除数通过怎样变化到的这，商就没变。
可以把你的发现，在题上标一标，画一画，记录下来。
听清了吗？好，请同学们快速的把题抄下来，开始探究。
请两名同学到黑板上来做，其他同学在下面独立完成。
写好后，小组或同桌可以交流交流。
（三）汇报交流，感悟规律。
师：同学们，我们的汇报马上就要开始了。
有人没写出什么发现吗？或者你在探究中出现了什么问题，咱们现在就一起来讨论交流一下。
师：同学们，他们这样写的，你们看懂了吗？好，现在请你们两个当课堂小先生，说一说你们这样写所表达的想法。
看看他们说的和你们想的一样嘛？按照老师给你的汇报步骤来表述，可以吗？
1.请大家听我说（讲）——
2.我要特别强调的是——
3.大家还有什么要强调或补充的吗？（此处，组织学生将没有发现的变化探究完整。
）
4.感谢大家听我的分享。
（衔接第三部分的探究）
师：用你们的火眼金睛认真观察，看看还有没有新的发现？组织小先生在黑板标画。
师：你说的真好！能把思路理清楚不容易，能把话说清楚更不容易，这就是数学逻辑，你的逻辑观念非常清楚，希望同学们都能向他这样理清楚、说明白。
师：谢谢你们啊，老师都没有看出这些变化。
你们观察的暨全面，又有顺序，非常好的学习习惯。
师：再问问同学们，还有补充的吗？好，那说第四句吧。
师：同学们，我们观察这一组算式，如果我是被除数，你们就——（除数），我乘2，你们——（乘2），商就不变。
如果我乘5，你们——（乘5），商就不变。
我除以10，你们——（除以10），商就不变。
我除以5，你们——（除以5），商就不变。
……
（四）举例实践，验证规律。
师：同学们，你们对于被除数、除数怎样有规律的变化，商才能不变，有点感觉了吗？有感觉的同学，请举手。
我们好像已经发现了，商为什么不变的奥秘。
但只有这一组算式啊，还不能足以证明我们的感觉就是对的。
现在请同学们，依照你们的感觉，试着写出第二组、第三组算式，每一组里写两道算式就可以，看看这两道算式之间，是不是我们感觉的那种规律。
写黑板上没有的数，有感觉的自己在练习纸上写出来，没有感觉的咱们聚到一起，老师帮帮你们。
谁愿意到黑板上来写。
（三名同学写，一名同学在旁边观察，看看其他人有没有什么困难，帮助帮助他们。
）
随机采访，你写的算式，商变没变？
组织学生汇报自己所写的算式，重点强调，你的被除数和除数怎么变的，商变没变。
师：我们来看黑板上的两组，写的对不对，可不可以？
（五）归纳提升，总结规律。
师：同学们，你们的感觉对了吗？（对了）如果老师让你继续写，你还能写出来吗？那我们就这样写下去，写下去，这样的算式能写完吗……今天写，明天写，……永远也写不完。
师：同学们，我们好不容易找到了感觉，发现了这一类算式的规律，我们得怎么办，才能让大家明白我们到底要表达什么呢？总不能一道算式一道算式的去写去讲啊？
生：把规律总结总结。
师：好，我们要总结的是什么？我们来看大屏幕，探究之初，老师就给大家留下了这个问题：被除数、除数怎样有规律的变化，才能保证商不变呢？我们研究的是，商如何不变的。
请大家先独立思考，把你的发现，用你的方式给他总结出来。
我们能不能把这一生都写不完的东西，总结、提炼一下，到底我发现了什么，商就不变了。
听懂了吗？写下来吧。
学生自我总结，教师组织汇报交流。
抓住典型，由小及大，由浅入深。
师：有没有不是用文字表达的？没关系，课下同学们可以试一试，可不可以不用文字表达。
规律当中，还有不完善，需要补充的地方吗？（0除外）追问为什么0除外或留课下思考？
学生概括总结课题
（六）回顾反思，建构模型。
师：同学们，我们一起来回顾一下今天的探究过程。
我们是怎么发现这个规律的？首先我们从故事开始，引发我们的思考。
然后我们观察算式，发现规律。
然后我们举些例子，验证规律。
最后我们归纳概括，总结规律。
师：请同学们看大屏幕上的这两组算式，他们之间也存在着变化规律，课下请同学们用学到的这个方法探究他们的规律，好吗？
师：同学们，我们在前面学习了积的变化规律，今天又学习了商不变的规律，你还有什么新的猜想吗？（学生大胆猜想）既然是猜想，就免不了会有错误。
但是猜想的过程，就是追求真理的过程。
同学们在学习过程中，要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造！下课！
若还有时间，进行以下环节。
第二环节：“以不变应万变”——巩固商不变的规律
（一）基础练习，深化理解
1．口算应用，加深理解
根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商。
72÷9＝36÷3＝80÷4＝
720÷90＝360÷30＝800÷40＝7200÷900＝3600÷300＝8000÷400＝师：如果没有学习今天的内容，你会做720÷90＝吗？
通过今天的学习，你知道这样做的道理了吗？
商不变的规律在除法口算中已经用过，在今后的学习中还会继续应用。
2. 在（）里填上适当的数，使计算简便。
（题略）
3. 下面的说法对吗？对的在（）里画“√”。
（题略）。
