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信号与系统实验四-信号的采样及恢复实验四信号的采样及恢复⼀、实验⽬的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进⾏抽样和恢复的基本⽅法；3、通过实验验证抽样定理。
⼆、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进⾏抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产⽣不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ?=π（2）)502cos()(2t t x ?=π（3）)1002cos()(3t t x ?=π2、产⽣幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进⾏抽样以得到离散序列，并进⾏重建。
（1）⽣成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进⾏抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利⽤抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =??=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？（3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利⽤MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进⾏抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ?=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f π⼤于等于2倍的原信号频率m f 时，即m s f f 2≥（抽样时间间隔满⾜ms f T 21≤），抽样信号的频谱才不会发⽣混叠，可⽤理想低通滤波器将原信号从采样信号中⽆失真地恢复。
1-1判断下列信号是否是能量信号，功率信号，或者都不是。
注意这里圆括号和方括号表示其分别对应连续和离散信号，下同。
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。
解(1) 对于，因此,是能量信号。
(2) 如果是基本周期为的周期信号,则的归一化平均功率与任意时间间隔的的平均功率是相同的，正弦信号是周期为的周期信号，所以的平均功率为因此，是功率信号。
注意，一般情况下，周期信号都是功率信号。
(3) 对，因此，既不是能量信号，也不是功率信号。
(4) 对，根据能量信号定义得因此，是能量信号。
(5) 对，由功率信号定义得因此，是功率信号。
(6) 因为，所以因此，是功率信号。
1-2验证下式：(1) ；(2)。
解可以根据以下等效性质来证明：设是广义函数，则对于所定义的测试函数，当且仅当时，，这就是等效性质。
(1) 对可变的变量,设,则，可以得到以下等式：所以，考虑到是的偶函数，因而有。
(2) 令，由得1-3计算下列积分(1)；(2)；(3)；(4)；(5)。
解(1)(2)(3)(4)(5)1-4如下图所示的系统是(1)无记忆的；(2)因果的；(3)线性的；(4)时不变的；(5)稳定的。
解(1) 由图得，因为输出的值仅取决于输入当前的值，所以系统是无记忆的。
(2) 因为输出不取决于输出将来的值，所以系统是因果的。
(3) 设，则有其中所以系统满足叠加性质，是线性的。
(4) 设，而，因为，所以系统是时变的。
(5) 因为，，若输入是有界的，则输出也是有界的，系统是BIBO稳定的。
1-5如果可以通过观察系统的输出信号来惟一的确定输入信号，则该系统称为可逆的，如下图所示。
试确定以下的系统是否是可逆的，如果是，给出其逆系统。
(1)； (2)；(3)；(4)；(5)。
解(1) 可逆，。
(2) 不可逆。
(3) 可逆，。
(4) 可逆，(5) 不可逆。
1-6 如下图所示的网络中，已知励磁信号为，单位为，电阻（单位），电感（单位）均为常数，电容器是一个伺服机械带动的空气可变电容器，其容量的变化规律为。
例5．2-10)()(=)(⇒1+11=1+11=)()(=)()(*)(=)(1+1=)(↔)(1=)(↔)(-t e t t y s ss s s H s F s Y t h t f t y s s H t h ss F t f t zs zs zs εε求函数f(t)= t 2e -αt ε(t)的象函数 令f 1(t)= e -αt ε(t)， 则αα>]Re[,+1=)(1s s s F f(t)= t 2e -αt ε(t)= t 2 f 1(t)，则2212)+(2=)(=)(αs ds s F d s F 已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。
求H(s)和h(t)的表达式。
解：由分布图可得根据初值定理，有524)1()(22++=++=s s Ks s Ks s H K s s Ks s sH h s s =++==+∞→∞→52lim )(lim )0(22522)(2++=s s ss H 2222)1(2)1(2522)(++-+=++=s s s s s s H 22222)1(22)1(1*2)(++-+++=s s s t h=t e t e tt 2sin 2cos 2---已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。
求H(s)和h(t)的表达式。
解：由分布图可得 根据初值定理，有 设由 得：k 1=1 k 2=-4 k 3=5即二、写出下列系统框图的系统方程，并求其冲激响应。
（ 15分）解：x ”(t) + 4x ’(t)+3x(t) = f(t))2)(1()1()(2+++=s s s s K s H Ks sH h s ===+∞→)(lim )0(21)(321++++=s k s ks k s H )()541()(2t e e t h t t ε--+-=)2)(1()1(2)(2+++=s s s s s H )()(lim s H s s k i s s i i -=→25141)(+++-=s s s s Hy(t) = 4x’(t) + x(t)则：y”(t) + 4y’(t)+ 3y(t) = 4f’(t) + f(t)根据h(t)的定义有h”(t) + 4h’(t) + 3h(t) = δ(t)h’(0-) = h(0-) = 0先求h’(0+)和h(0+)。
