积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲,DOC

三角函数的积化和差与和差化积预习课本P149～151，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？(2)两组公式有何特点？[新知初探]1．三角函数的积化和差cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．[点睛] 积化和差公式的结构特点(1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差． (2)角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后． 2．三角函数的和差化积 sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y2，sin x －sin y ＝2cosx ＋y 2sin x －y 2， cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2，cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.[点睛] 和差化积公式的特点 (1)同名函数的和或差才可化积． (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积． (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积．(4)等式左边为单角α和β，等式右边为α－β2与α＋β2的形式．(5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正．[小试身手]1．下列等式错误的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin BC ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos BD ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cos B 答案：D2．sin 37.5°cos 7.5°等于( ) A.2＋12 B.3＋22 C.2＋14D.3＋24答案：C3．cos 75°cos 15°＝________. 答案：14[典例] 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． [解] 原式＝2sin θ[2sin(60°－θ)·sin(60°＋θ)] ＝－2sin θ[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ·⎝⎛⎭⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θ·cos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ.用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．[活学活用]求sin 270°＋cos 240°－sin 70°cos 40°的值．解：原式＝1－cos 140°2＋1＋cos 80°2－sin 70°cos 40°＝1＋12(cos 40°＋cos 80°)－sin70°cos 40°＝1＋cos 60°cos 20°－12(sin 110°＋sin 30°)＝1＋12cos 20°－12cos 20°－14＝34.[典例] 在△ABC 中，求证：sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝4sin A sin B sin C . [证明] 左边＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2sin 2A ＋2B 2 cos 2A －2B2＋sin 2C＝2sin(A ＋B )cos(A －B )－2sin(A ＋B )cos(A ＋B ) ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin C ·(－2)sin (A －B )＋(A ＋B )2sin (A －B )－(A ＋B )2＝4sin A sin B sin C ＝右边． 所以原等式成立．三角恒等式的证明(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值． (2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．(3)证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、变更论证等． [活学活用]求证：cos 2x ＋cos 2(x ＋α)－2cos αcos x cos(x ＋α)＝sin 2α. 证明：左边＝1＋cos 2x 2＋1＋cos (2x ＋2α)2－2cos αcos x ·cos(x ＋α)＝1＋12[cos 2x ＋cos(2x ＋2α)]－2cos αcos x cos(x ＋α)＝1＋cos 2x ＋2x ＋2α2cos 2x －2x －2α2－cos α[cos(2x ＋α)＋cos α]＝1＋cos(2x ＋α)cos α－cos αcos(2x ＋α)－cos 2α ＝1－cos 2α＝sin 2α＝右边， ∴原等式成立．层级一 学业水平达标1．cos 15° sin 105°＝( ) A.34＋12 B.34－12 C.32＋1 D.32－1 解析：选A cos 15°sin 105°＝12[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝12[sin 120°－sin(－90°)]＝12×32＋12×1＝34＋12.2．化简cos α－cos 3αsin 3α－sin α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2α C.1tan αD.1tan 2α解析：选B 原式＝－2sin 2α·sin (－α)2cos 2α·sin α＝tan 2α.3．函数f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2的最大值等于( ) A ．2sin 2α2B ．－2sin 2α2C ．2cos 2α2D ．－2cos 2α2解析：选A f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2＝－[cos α－cos(x －α)] ＝cos(x －α)－cos α. 当cos(x －α)＝1时，f (x )取得最大值1－cos α＝2sin 2α2.4．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是( ) A ．－sin(x ＋y )sin(x －y ) B ．cos(x ＋y )cos(x －y ) C ．sin(x ＋y )cos(x －y ) D ．－cos(x ＋y )sin(x －y )解析：选B cos 2x －sin 2y ＝1＋cos 2x 2－1－cos 2y2＝12(cos 2x ＋cos 2y ) ＝cos(x ＋y )cos(x －y )．5．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( ) A ．－m B ．m C ．－m 2D.m2解析：选A ∵cos 2α－cos 2β＝m ， ∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m .6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．解析：cos 2α－cos 3α＝－2sin 2α＋3α2sin 2α－3α2＝－2sin 5α2sin ⎝⎛⎭⎫－α2＝2sin 5α2sin α2. 答案：2sin 5α2sin α27．sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β化为和差的结果是________． 解析：原式＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋β＋sin ()α－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 答案：12cos(α＋β)＋12sin(α－β)8.sin 35°＋sin 25°cos 35°＋cos 25°＝________.解析：原式＝2sin 35°＋25°2cos35°－25°22cos 35°＋25°2cos35°－25°2＝cos 5°3cos 5°＝33.答案：339．求下列各式的值： (1)sin 54°－sin 18°；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°. 解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18° ＝2·2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝2sin 36°cos 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝cos 18°2cos 18°＝12.(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73° ＝2cos 120°cos 26°＋2×12(cos 120°＋cos 26°)＝2×⎝⎛⎭⎫－12×cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26° ＝－cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26°＝－12. 10．求证：1＋cos α＋cos 2α＋cos 3α2cos 2α＋cos α－1＝2cos α.证明：因为左边＝(1＋cos 2α)＋(cos α＋cos 3α)(2cos 2α－1)＋cos α ＝2cos 2α＋2cos 2αcos αcos 2α＋cos α＝2cos α(cos α＋cos 2α)cos α＋cos 2α＝2cos α＝右边，所以原等式成立．层级二 应试能力达标1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( )A.14 B.32 C.12D.34解析：选A 原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40°＝14.2．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：选C ∵y ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝－sin 2x sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝12sin 2x ， ∴此函数是最小正周期为π的奇函数．3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A ．－23B ．－13C.23D.13解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β＝13.4．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤12，32D ．[0,1]解析：选C ∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ，∴cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2B2＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1， ∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3≤1， ∴12≤－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1≤32. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的最小正周期T ＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos x ＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin π3 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴T ＝2π2＝π.答案：π6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.解析：cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝12＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝12＋cos 80°－cos 80°＝12.答案：127．已知f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2cos θcos x cos(x ＋θ)＋cos 2θ，求f (x )的最大值、最小值和最小正周期．解：∵f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2×12[cos(x ＋θ)＋cos(x －θ)]cos(x ＋θ)＋cos 2θ＝cos 2(x ＋θ)－cos 2(x ＋θ)－cos(x －θ)·cos(x ＋θ)＋cos 2θ ＝cos 2θ－12(cos 2θ＋cos 2x )＝1＋cos 2θ2－12cos 2θ－12cos 2x＝－12cos 2x ＋12，∴f (x )的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cos A ＋1cos C ＝－2cos B .求cos A －C2的值．解：∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵－2cos 60°＝－22，∴1cos A ＋1cos C＝－22， ∴cos A ＋cos C ＝－22cos A cos C . 由和差化积与积化和差公式，得2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]，∴cos A －C 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2cos 2A －C 2－1. 化简，得42cos 2A －C 2＋2cos A －C 2－32＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A －C 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos A －C 2＋3＝0.∵22cos A －C2＋3≠0，∴2cos A －C 2－2＝0，∴cos A －C 2＝22.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝2cos 2x2＋1的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析：选B ∵y ＝2cos 2x2＋1＝⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＋2 ＝cos x ＋2，∴函数的最小正周期T ＝2π. 2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6.3．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A 由题意，sin α＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选B f (x )＝sin x －⎝⎛⎭⎫cos x cos π6－sin x sin π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈R ，∴x －π6∈R ，∴f (x )∈[]－3，3.5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 6．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos 2α＝( )A.179B ．－1710C ．－179D ．1710解析：选A 因为cos α＋sin α＝－13，α∈(0，π)，所以sin 2α＝－89，cos α<0，且α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， 所以2α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos 2α＝1－sin 22α＝179. 7．化简：cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选B 依题意得cos 20°1－cos 40°cos 50°＝cos 20°2sin 220°cos 50°＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22sin 40°sin 40°＝22.8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255解析：选A 由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，故sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55. 9．化简：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 10．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，若a 与b 的夹角为π3，则cos(α－β)的值为( )A.22 B ．12C.32D ．－12解析：选B 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，所以|a |＝|b |＝1.又a 与b 的夹角为π3，所以a ·b ＝1×1×cos π3＝12.又a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsinβ＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝12.12．已知0<β<α<π2，点P (1,43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝3314，则角β＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D ∵P (1,43)，∴|OP |＝7， ∴sin α＝437，cos α＝17.又sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1314，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. ∵0<β<π2，∴β＝π3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin θ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，13，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则θ＝________. 解析：若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin 2θ＝1，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π4. 答案：π414．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 答案：2215.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.解析：原式＝3· sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.答案：－4 316．若sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－14，则cos 4x ＝________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x －3π4＝ －cos ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝14，∴1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＝14， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－12，即sin 2x ＝－12， ∴cos 4x ＝1－2sin 22x ＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知π6＜α＜π2，且cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值． 解：因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1517， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝817. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝83＋1534，cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝153－834. 18．(本小题满分12分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4的值． 解：(1)由0<α<π2，sin α＝45，得cos α＝35，∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1 ＝⎝⎛⎭⎫452＋2×45×353×⎝⎛⎭⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.19．(本小题满分12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取f (x )的最大值为1， 所以f (x )的最大值为32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋4π3＋1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值．(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋4π3＋1 ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3cos 2π3＋1＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋1 ＝－2cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝2sin π3＋1＝3＋1. (2)由(1)，知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6 (k ∈Z)．令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3 (k ∈Z)．21．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cos α＋β2； (2)tan(α＋β)．解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4， ∴sin α＋β2＝ 1－cos 2α＋β2＝5714. ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知向量OA uuu r ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n＝(0，－5)，且m ⊥(OA uuu r －n )．(1)求向量OA uuu r ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA uuu r ＝(cos α，sin α)，∴OA uuu r －n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA uuu r －n )，∴m ·(OA uuu r －n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA uuu r ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210， ∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210＝25250＝22.。

双基达标 (限时20分钟)1．化简(cos 47°30′－sin 47°30′)(sin 23°cos 8°－sin 67°sin 8°)＝ ( )．A.14 B ．－14 C ．1D ．－1解析 原式＝(cos 27°30′＋sin 27°30′)(cos 27°30′－sin 27°30′)(sin 23°cos 8°－cos 23°sin 8°)＝cos 15°sin 15°＝12sin 30°＝14，故选A.答案 A2．若cos 2α＝23，则sin 4α＋cos 4α＝ ( )．A ．1 B.79 C.1118D.1318解析 sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－12sin 22α＝1－12(1－cos 22α)＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29＝1118，故选C. 答案 C3．如果|cos θ|＝15，52π<θ<3π，则sin θ2＝ ( )．A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析 ∵52π<θ<3π，∴θ是第二象限角． ∵|cos θ|＝15，∴cos θ＝－15. ∵54π<θ2<3π2，∴θ2是第三象限角．由cos θ＝1－2sin 2θ2，得－15＝1－2sin 2θ2，∴sin θ2＝－155，故选C.答案 C4．sin π4＋αcosπ4＋β化成和差为()．A.12sin(α＋β)＋12cos(α－β)B.12cos(α＋β)＋12sin(α－β)C.12sin(α＋β)＋12sin(α－β)D.12cos(α＋β)＋12cos(α－β)解析原式＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β＝12sinπ2＋α＋β＋sin(α－β)＝12[cos(α＋β)＋sin(α－β)]．答案 B5．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期为________．解析f(x)＝sin2x－sin x cos x＝1－cos 2x2－12sin 2x＝－22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4＋12.故函数的最小正周期T＝2π2＝π.答案π6．已知cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求2sin 2θ－cos θsin θ的值．解∵cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ＝1－cos2θ＝7 3.法一∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝22×73×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－－2373＝－914＋214＝－714＝－142. 法二 ∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－2cos 2θ2sin θcos θ＝2(1－cos 2θ)2sin θcos θ ＝2×sin 2θ2sin θcos θ＝tan θ＝－142.综合提高 (限时25分钟)7．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是 ( )．A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以已知方程可化为sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A ＝B ，故选A.答案 A8．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于 ( )．A ．－12 B.12 C ．2D ．－2解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A 9．化简sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝________.解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x＝tan x 2.答案 tan x 210．如果a ＝(cos α＋sin α，2 008)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos 2α＋tan 2α＋1的值是________．解析 由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008. ∴1cos 2α＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009. 答案 2 00911．已知函数f (x )＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 12．(创新拓展)已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－45.。

积化和差与和差化积【课前预习】 一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ= ，cos sin αβ= ，cos cos αβ= ，sin sin αβ= .2.和差化积sin sin αβ+= ，sin sin αβ-= ， cos cos αβ+= ，cos cos αβ-= .二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= . 2.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .4.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期. (2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值；(2)求22sin sin αβ+的取值范围.例3.已知11sin sin ,cos cos 32αβαβ-=--=，求cos()αβ-和sin()αβ+的值.例4.在ABC ∆中，求证：sin sin sin 4cos cos cos 222A B C A B C ++=积化和差与和差化积姓名 班级【巩固练习】1.已知cos()6x π-=，则cos cos()3x x π+-= . 2.已知3sin()cos()144x x ππ++=，则cos 4x = .3.已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+= .4.已知1cos cos 3αβ+=-，1sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+的值为_____.5.若tan (0)m m α=≠，则sin α=（ ）B. C. D.06.若04παβ<<<，sin cos ,sin cos a b ααββ+=+=，则( )(多选题)A.a b <B.a b >C.1ab <D.2ab <7.若,αβ满足0,0,(0,)2παβαβ>>+∈，且cos cos a αβ=+，sin sin b αβ=+，sin()c αβ=+，则c b a ,,的大小关系是( )A.a b c <<B.b a c <<C.c a b <<D.c b a << 8.求证：22cos cos sin()sin()αβαβαβ-=-+-9.设0,02παβ><<，且56παβ+=，求222sin cos y αβ=--的最小值.10.已知ABC ∆的内角,,()A B C A B C ≤≤满足2B A C =+sin sin 2AA C =+，求角,,ABC 的值.【提高练习】11.已知角,αβ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，,(0,)αβπ∈.且β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= . 12.化简22222sin sin ()sin ()33A A A ππ+++-=_______.【课前预习】 一、知识梳理 1.积化和差公式：sin cos αβ=1[sin()sin()]2αβαβ++-，cos sin αβ=1[sin()sin()]2αβαβ+--， cos cos αβ=1[cos()cos()]2αβαβ++-，sin sin αβ=1[cos()cos()]2αβαβ-+--. 2.和差化积sin sin αβ+=2sincos22αβαβ+-，sin sin αβ-=2sincos22αβαβ-+，cos cos αβ+=2coscos22αβαβ+-，cos cos αβ-=2sinsin22αβαβ+--.二、基础练习1.若1tan 4tan αα+=，则sin 2α= .122.已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α= .247-3.不用计算器，化简7sin sin 2424ππ= .144.不用计算器，化简5sin sin 1212ππ+= .5.设θ为锐角，且4cos cos cos 217ππθ+=，则θ= .1021π 解：410cos cos cos 2sin sin()sin cos7216424221ππππππθ=-=--== 6.函数sin(2)cos23y x x π=-+的最小正周期是 .π7.函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 .34- 解：1sin()cos [sin(2)sin()]6266x x x πππ-=-+-8.已知30,0,cos()225ππαβαβ<<-<<-=，且3tan 4α=，求sin β的值.解：33447sin sin[()]555525βααβ=--=⨯-⨯=-【例题解析】例1.(1)求函数sin()cos()33y x x ππ=-+的最小正周期. (2)求函数sin sin()3y x x π=-+的最大值.解：(1)min T π= (2)max 2cos()sin(),166y x y ππ=+-=例2.若23παβ+=，(1)求cos cos αβ+的最大值.(2)求22sin sin αβ+的取值范围. 解：(1) cos cos 2coscos()cos()3παβαβαβ+=-=-cos cos αβ⇒+最大值为1(2)221cos21cos21sin sin 1(cos2cos2)222αβαβαβ--+=+=-+11cos()cos()1cos()2αβαβαβ=-+-=+-又1cos()1αβ-≤-≤，所以22sin sin αβ+的取值范围是13[,]22。

积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题积化和差记忆口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

和差化积记忆口诀：正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦。

1．下列等式错误的是( )A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B2．sin15°sin75°＝( )A.18B.14C.12D．13．sin105°＋sin15°等于( )A.32B.22C.62D.644．sin37.5°cos7.5°＝________.5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )A.34B.32C.12D.346.cos72°－cos36°的值为( )A ．3－2 3 B.12 C ．－12 D ．3＋2 37.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )A.12B.14 C ．1 D.229．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A ．－23B ．－13 C.13 D.2310．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2])的值域是( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32答案1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确．2解析：选B.sin15°sin75°＝－12[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14.3解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin60°cos45°＝62.答案：2＋14＝12⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14.＝12(sin45°＋sin30°)4解析：sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]5解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°)＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34.6解析：选C.原式＝－2sin 72°＋36°2sin 72°－36°2＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－12，故选C.7解析：选B.由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )，又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C .所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．故选B.8解析：选B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos x ＝12⎣⎡⎦⎤sin x －π6＋x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－x＝12⎣⎡⎦⎤sin 2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－14. ∴y max ＝12－14＝14.9解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos2α＋cos2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.10解析：选B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin π6＝cos(x ＋π6)．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∴y ∈⎣⎡⎦⎤－12，32.。

积化和差、和差化积专题三角函数的积化和差公式：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两个公式可合并为一个：三角函数的和差化积公式：和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin+ sin=2 sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.④合一变形也是一种和差化积.⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.典型例题：例1．把下列各式化为和或差的形式：例2．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.例3．例4．求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例5．求tan20°＋4sin20°的值.例6．求值：例7．已知sin(A+B)=，sin(A-B)=﹣，求值：例8．求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.例9．试证：cos2(A-)+cos2(B﹣)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)的值与无关. 专题训练一一、基础过关1． 函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是( )A ．2B. 3C.32 D.33 2． 化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( ) A ．cot 2α B ．tan 2α C ．cot αD ．tan α3． 若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A ．－23B ．－13C.13D.23 4． sin 20°cos 70°＋cos 40°cos 80°的值为( )A.14B.32C.12D.345.sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________．6． 给出下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的序号是________．7． 化简：sin 40°(1＋2cos 40°)2cos 240°＋cos 40°－1.8． 在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C＝4cos A 2cos B 2cos C 2.二、能力提升9． cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2(30°－α)的值为( )A.12B.32C.34D.1410．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________. 11．化简：tan 20°＋4sin 20°.12．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．三、探究与拓展13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A －C2的值．专题训练二1．下列等式错误的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin BC ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos BD ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B 2．sin15°sin75°＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 3．sin105°＋sin15°等于( )A.32B.22C.62D.64 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 2．cos72°－cos36°的值为( )A ．3－2 3 B.12 C ．－12D ．3＋2 33．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形4．函数y ＝sin ()x －π6cos x 的最大值为( )A.12B.14 C ．1 D.225．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A ．－23B ．－13 C.13 D.236．函数y ＝sin ()x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2])的值域是( )A ．[－2,2] B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.[]12，1 D.⎣⎡⎦⎤12，327．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值等于________．8．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于________．9．函数y ＝cos ()x ＋π3cos ()x ＋2π3的最大值是______． 10．化简下列各式： (1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )； (2)sin A ＋2sin3A ＋sin5A sin3A ＋2sin5A ＋sin7A .11. 在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围．12．已知f (x )＝－12＋sin 52x 2sinx2，x ∈(0，π)．(1)将f (x )表示成cos x 的多项式； (2)求f (x )的最小值． 答案1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确．2解析：选B.sin15°sin75°＝－12[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14.3解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin60°cos45°＝62. 答案：2＋14＝12⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14.＝12(sin45°＋sin30°) 4解析：sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]5解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°)＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34. 6解析：选C.原式＝－2sin 72°＋36°2sin 72°－36°2＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－12，故选C.7解析：选B.由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )，又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C .所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．故选B. 8解析：选B.y ＝sin ()x －π6cos x ＝12⎣⎡⎦⎤sin (x －π6＋x )＋sin ()x －π6－x＝12[]sin (2x －π6)－12＝12sin ()2x －π6－14. ∴y max ＝12－14＝14. 9解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos2α＋cos2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β，∴cos 2α－sin 2β＝13.10解析：选B.y ＝sin ()x ＋π3－sin x ＝2cos ()x ＋π6sin π6＝cos(x ＋π6)．∵x ∈[]0，π2， ∴π6≤x ＋π6≤2π3，∴y ∈⎣⎡⎦⎤－12，32.11解析：y ＝sin 215°＋cos 215°＋cos75°·cos15°＝1＋12(cos90°＋cos60°)＝54. 答案：5412解析：cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2＝2cos π3cos α＋β2＝cos α＋β2＝13，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×19－1＝－79. 答案：－7913解析：y ＝12⎣⎡⎦⎤cos (2x ＋π)＋cos ()－π3＝12()－cos2x ＋cos π3＝14－12cos2x ， 因为－1≤cos2x ≤1，所以y max ＝34. 答案：3414解：(1)原式＝cos A ＋2cos120°cos B sin B ＋2cos120°sin A ＝cos A －cos B sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sinB －A 22cos A ＋B 2sinB －A2＝tan A ＋B2.(2)原式＝(sin A ＋sin5A )＋2sin3A(sin3A ＋sin7A )＋2sin5A＝2sin3A cos2A ＋2sin3A2sin5A cos2A ＋2sin5A＝2sin3A (cos2A ＋1)2sin5A (cos2A ＋1)＝sin3Asin5A.15解：由题意得cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝12[sin(π－B )－sin(A －C )] ＝14－12sin(A －C )． ∵－1≤sin(A －C )≤1，∴－14≤14－12sin(A －C )≤34，∴cos A sin C 的取值范围是[]－14，34.16解：(1)f (x )＝sin 5x 2－sin x 22sinx 2＝2cos 3x 2sin x2sinx 2＝2cos 3x 2cos x2＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1.(2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－98，且－1＜cos x ＜1. ∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－98.。

积化和差与和差化积
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若关于的方程有实根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
2. 在中，已知，则的值为
A. B. C. D. 无法确定
3. 设，，，则有
A. B. C. D.
4. 若函数，，则的最大值为
A. B. C. D.
5. 函数的最小值是
A. B. C. D.
6. 若，则等于
A. B. C. D.
7. 函数的图象的一个对称中心是
A. B. C. D.
8. 若关于的方程有一个根为，则中一定有
A. B. C. D.
9. 已知，，则等于
A. B. C. D.
10.
A. B. C. D.
11. 已知函数，又若的最小值
为，则正数的值为
A. B. C. D.
12. 若，则等于
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 已知，，则
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14. 若，，则．
15. 若，且，则的值为．
16. 如图，在水平地面上有两座直立的相距的铁塔和．已知从塔的底部看塔
顶部的仰角是从塔的底部看塔顶部的仰角的倍，从两塔底部连线中点分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔的底部看塔顶部的仰角的正切值为；塔的高为．
17. 已知，，则的最小值为．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 若函数的最大值为，试确定此时的值．
20. 求的值．
21. 求函数的值域．
22. 求的值．
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2．4 积化和差与和差化积公式必备知识基础练知识点一 三角函数的积化和差1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β 化为和差的结果是( ) A ．12 sin (α＋β)＋12 cos (α－β) B ．12 cos (α＋β)＋12 sin (α－β) C ．12 sin (α＋β)＋12 sin (α－β) D ．12 cos (α＋β)＋12cos (α－β) 2．求证：(1)cos αsin β＝12 [sin (α＋β)－sin (α－β)]；(2)cos αcos β＝12 [cos (α＋β)＋cos (α－β)]；(3)sin αsin β＝－12 [cos (α＋β)－cos (α－β)].3．求下列各式的值： (1)sin 105°cos 75°；(2)2cos 37.5°cos 22.5°－cos 15°； (3)2cos 9π13 cos π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13 .知识点二 三角函数的和差化积 4．化简下列各式：(1)sin (30°＋α)－sin (30°－α)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ .5．求下列各式的值： (1)sin 20°－sin 40°cos 20°－cos 40° ； (2)sin 20°＋sin 40°－sin 80°.6．已知A ＋B ＋C ＝180°，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2 cos B 2 cos C2 .关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 cos x 的最大值为( )A ．12B ．14 C ．1 D ．222．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝( ) A ．14 B ．32 C ．12 D ．343．计算：sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25° ＝( )A ．33 B ．－33C ．3D ．－34．在△ABC 中，sin C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，则此三角形的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．(易错题)若A ＋B ＝2π3 ，则1＋12 cos 2A ＋12cos 2B 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．[0，1] 二、填空题6．已知α－β＝2π3 ，且cos α＋cos β＝13 ，则cos α＋β2 ＝________．7．函数f (x )＝sin x sin (60°＋x )sin (60°－x )的最小正周期为________． 8．(探究题)已知sin x ＋sin y ＝2 ，cos x ＋cos y ＝233 ，则tan x tan y ＝________．三、解答题9．求下列各式的值：(1)cos π8 ＋cos 3π8 －2sin π4 cos π8 ；(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°.学科素养升级练1.(多选题)下列四个关系式中错误的是( ) A ．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ B ．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C ．sin 3θ－sin 5θ＝－12 cos 4θcos θD ．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ2．(学科素养——数学运算)已知cos α－cos β＝12 ①，sin α－sin β＝－13 ②，求sin (α＋β)的值．2．4 积化和差与和差化积公式必备知识基础练1．答案：B解析：原式＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＋sin （α－β） ＝12 cos (α＋β)＋12 sin (α－β).故选B.2．证明：(1)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，两式相减，得sin (α＋β)－sin (α－β)＝2cos αsin β，∴cos αsin β＝12[sin (α＋β)－sin (α－β)].(2)∵cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，两式相加，得cos (α＋β)＋cos (α－β)＝2cos αcos β，∴cos αcos β＝12[cos (α＋β)＋cos (α－β)].(3)由(2)得cos (α＋β)－cos (α－β)＝－2sin αsin β， ∴sin αsin β＝－12[cos (α＋β)－cos (α－β)].3．解析：(1)sin 105°cos 75°＝12 [sin (105°＋75°)＋sin (105°－75°)]＝12 (sin180°＋sin 30°)＝14.(2)2cos 37.5°cos 22.5°－cos 15°＝cos (37.5°＋22.5°)＋cos (37.5°－22.5°)－cos 15° ＝cos 60°＋cos 15°－cos 15°＝12 .(3)2cos 9π13 cos π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫9π13＋π13 ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π13－π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13＝cos 1013 π＋cos 8π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13＝cos 1013 π＋cos 8π13 ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－8π13 ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1013π＝cos 1013 π＋cos 8π13 －cos 8π13 －cos 10π13＝0.4．解析：(1)sin (30°＋α)－sin (30°－α)＝2cos 30°·sin α＝3 sin α.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin π3 cos α＝3 cos α. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ ＝－2sin π4 sin φ＝－2 sin φ. 5．解析：(1)sin 20°－sin 40°cos 20°－cos 40° ＝2cos 30°sin （－10°）－2sin 30°sin （－10°） ＝－3212 ＝－3 .(2)sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝2sin 30°·cos (－10°)－cos 10°＝cos 10°－cos 10°＝0.6．证明：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝180°－(A ＋B )，C 2 ＝90°－A ＋B2∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B 2cos A －B2＋sin (A ＋B )＝2sin A ＋B 2 cos A －B 2＋2sin A ＋B 2cos A ＋B2＝2sinA ＋B 2⎝⎛⎭⎪⎫cos A －B 2＋cos A ＋B 2＝2sinA ＋B 2×2cos A 2cos B2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2 ×2cos A 2 cos B 2 ＝4cos A 2 cos B 2 cos C2.关键能力综合练1．答案：B解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 cos x＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－x＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12 ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 －14 ， ∴y max ＝12 －14 ＝14 .故选B.2．答案：A解析：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12 [sin 90°＋sin (－50°)]－12 (cos60°－cos 40°)＝12 －12 sin 50°－14 ＋12 cos 40°＝14 －12 cos 40°＋12 cos 40°＝14 .故选A.3．答案：D解析：原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5° ＝－cos 30°sin 30° ＝－1tan 30° ＝－3 .故选D.4．答案：C解析：∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，∴2sin A ＋B 2cos A ＋B2＝2sinA ＋B2cosA －B22cos A ＋B 2cosA －B 2，∴2cos2A ＋B2＝1，即cos(A ＋B )＝0，∴A ＋B ＝π2 ，∴C ＝π2.故此三角形为直角三角形．故选C.5．答案：C解析：∵A ＋B ＝2π3 ，∴1＋12 cos 2A ＋12 cos 2B＝1＋12 (cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos 2A ＋2B 2 ·cos 2A －2B2＝1＋cos (A ＋B )·cos (A －B )＝1＋cos 2π3 ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－12 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －2π3 .∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ∈[－1，1]， ∴1＋12 cos 2A ＋12 cos 2B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 .故选C.6．答案：13解析：cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2＝2cos π3 ·cos α＋β2 ＝cos α＋β2 ＝13 .7．答案：2π3解析：f (x )＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 (cos 120°－cos 2x ) ＝14 sin x ＋12 sin x cos 2x ＝14 sin x ＋14 [sin 3x ＋sin (－x )] ＝14 sin x ＋14 sin 3x －14 sin x ＝14sin 3x . 故f (x )的最小正周期为2π3 .8．答案：137解析：(sin x ＋sin y )2＋(cos x ＋cos y )2＝103 ，解得cos (x －y )＝23 ，(cos x ＋cos y )2－(sin x ＋sin y )2＝－23，∴cos 2x ＋cos 2y ＋2cos (x ＋y )＝－23 ，和差化积，2cos (x ＋y )cos (x －y )＋2cos (x ＋y )＝－23 ，∴cos (x ＋y )＝－15，tan x tan y ＝sin x sin y cos x cos y ＝cos （x －y ）－cos （x ＋y ）cos （x －y ）＋cos （x ＋y ） ＝137.9．解析：(1)cos π8 ＋cos 3π8 －2sin π4 cos π8 ＝2cos π8＋3π82 ·cos π8－3π82 －2 cos π8 ＝2cos π4 cos π8 －2 cos π8 ＝2 cos π8 －2 cos π8＝0.(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－sin78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18° ＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18° ＝sin 72°2cos 18° ＝12.学科素养升级练1．答案：BCD解析：由sin 5θ＝sin (4θ＋θ)＝sin 4θcos θ＋cos 4θsin θ， sin 3θ＝sin (4θ－θ)＝sin 4θcos θ－cos 4θsin θ， cos 5θ＝cos (4θ＋θ)＝cos 4θcos θ－sin 4θsin θ，cos 3θ＝cos (4θ－θ)＝cos 4θcos θ＋sin 4θsin θ，代入各选项得，sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，故A 正确，B 错误；右边应是2sin 4θsin θ，故C 错误；右边应是－2cos 4θsin θ，故D 错误；由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3θ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 cos⎝⎛⎭⎪⎫4θ－π4 .故选BCD.2．解析：将①②两式左边分别和差化积得 －2sin α＋β2sin α－β2＝12 ③，2cosα＋β2sin α－β2＝－13④.由③④得sinα－β2≠0，cos α＋β2≠0，于是③÷④得tanα＋β2＝32，∴sin (α＋β)＝sin (α＋β2＋α＋β2 )＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2 ＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝1213 .。

一、选择题1．sin 37.5°cos 7.5°＝()A.22 B.24C.2＋14 D.2＋24【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】 C2．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝()A．sin 10°B．tan 10°C．sin 20°D．tan 20°【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 D3．函数f(x)＝sin(2x－π3)cos(2x＋π3)的周期是()A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】 ∵f (x )＝12[sin 4x ＋sin(－2π3)] ＝12sin 4x －34， ∴T ＝2π4＝π2. 【答案】 A4．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22 C.32D ．1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32. 【答案】 C5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29 B ．－29 C.79D ．－79【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13， ∵α－β＝23π， ∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 D 二、填空题6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )的最大值是________．【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12{cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.∴y max ＝14. 【答案】 147．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________． 【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )] ＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1， ∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________. 【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3.【答案】 3三、解答题9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A2＋2cos A 2sin A2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论．【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π， A 2＝π2－B ＋C 2.∴y ＝tan A2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2(sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 2)2cos B 2cos C2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2.因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变．10．求函数f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)] ＝sin x ·2cos(x ＋π6)sin(－π6) ＝－sin x cos(x ＋π6) ＝－12[sin(2x ＋π6)＋sin(－π6)] ＝－12sin(2x ＋π6)＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin(2x ＋π6)∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14.11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)， ∴3sin (α－π12)cos (α－π12)＝sin (α＋π12)cos (α＋π12).∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)． ∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)． ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。

三角函数的积化和差与和差化积1. 公式的推导： sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ+=++S sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--S cos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+C cos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-C()()sin()sin()sin cos S S αβαβαβαβαβ+-+++-=得：2 ()()sin()sin()cos sin S S αβαβαβαβαβ+--+--=得：2 ()()cos()cos()cos cos C C αβαβαβαβαβ+-+++-=得：2 ()()cos()cos()sin sin C C αβαβαβαβαβ+--+--=-得：2等式两边同时除以2，即得到积化和差公式 （1）积化和差公式sin cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12 cos sin [sin()sin()]αβαβαβ=+--12cos cos [cos()cos()]αβαβαβ⋅=++-12 sin sin [cos()cos()]αβαβαβ=-+--12公式特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角αβ，，等式右边为它们的和差角。

在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。

为使用方便，在积化和差公式中，令αβθαβϕαθϕβθϕ+=-==+=-，，则，22，将其代入积化和差的公式（1）中，就有sincos(sin sin )sin sin sincosθϕθϕθϕθϕθϕθϕ+⋅-=+∴+=+⋅-2212222同样可得到：sin sin cossinθϕθϕθϕ-=+⋅-222 cos cos coscos θϕθϕθϕ+=+⋅-222 cos cos sinsinθϕθϕθϕ-=-+⋅-222这样我们就得到了“和差化积”公式 （2）和差化积公式：sin sin sin cos θϕθϕθϕ+=+⋅-222sin sin cossinθϕθϕθϕ-=+-222cos cos coscos θϕθϕθϕ+=+-222 cos cos sin sin θϕθϕθϕ-=-+-222公式特点：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角θϕ，，等式右边为θϕθϕ+-22与的形式。