河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考数学(理科)试题(附参考答案)

2018? 2019 学年河南名校结盟高三放学期2 月联考数 学（理科 )2019. 2考生注意 :1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。

2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0. 5 毫米黑色墨水署名笔在答题卡上各题的答题地区内作答。

做选考题时，考生须依据题目要求作答，并用2, 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。

1. 复数(1i)i 2 (i 为虚数单位 ) 等于 1 2iA.13i B.13 iC.31 iD.31 i5 5 5 5 5 55 52. 已知会合 A= { xx 23x 2＜0 },B={x3x ＞9 } ，则 (C R A) B 等于A. {x x ＞ 2 }B.{x x ≥ 2}C. {x 1 ＜ x ＜ 2}D.{x 1≤ x ＜ 2}3. 在区间（ 1，3) 内，任取 1 个数则知足 log 2(2x-1)>1 的概率为A.1 B.1 C.2 D. 3423 44. 已知 cos2 2 )，则 cos(4A.3 2 B.3 C. 32 D. 384845. 椭圆 x2y 2 1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，上极点为 A ，△ AF 1F 2 的面积为 3 ，a 2b 2且∠ F 1AF 2=∠ AF 1F ，则椭圆方程为A. x 2y 21 B.x 2 y 2 1 C. x 2y 2 1 D.x 2 y 2 1a 23 2a 243A.13B.14C.15D.167. 榫卯 (sunmao) 是在两个木构件上所采纳的一种凹凸联合的连结方式. 凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连结作用. 代表建筑有jt京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等 . 如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积分别为A.816,28B.916,28C.816,48D.916,48x y 208.已知x, y知足拘束条件x y 2 5，若目标函数z 2x y 的最大值为3，则实数 m的y m0值为A.-1B.0C.1D.29. 在平面直角坐标系中，已知三点 A(a ，2) ，B(3 ，b) ，C(2,3) ，0为坐标原点。

2025届高三开学摸底联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}03,2,1,0,1,2A x x B =<<=--，则A B =∩（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}2,1,1,2--2．若复数z 满足3i1iz +=+,则z =（ ）A B C D 3．抛物线24y x =的焦点坐标为（）A ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,04．双曲线()22103x y t t t-=>的离心率为（ ）A B C D ．5．将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第n 组含12n -个数，分组如下：()()()1,2,3,(4,5,6,7),8,9,10,11,12,13,14,15, ,则2025在第（）组．A ．9B ．10C ．11D ．126．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，4c =，且ABC △的面积)222S a c b =+-，若ABC ∠的平分线交AC 于点D ，则BD =（ ）A B C ．D ．7．已知面积为的正三角形ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若三棱锥O ABC -的体积为，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．64πC ．8πD ．16π8．已知函数()()ππsin sin 0562f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到()g x 的图象，若()g x 在π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-,则函数()12y g x =+在[]2π,2π-上的零点个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=的最大值为（）A.8B. C. D.2+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.π9B.1750π9C.π3D.5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c c c>∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为10.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan32θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则的最大值为（）A.8B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)m n =+++≥，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，==≤的最大值为故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.π9B.1750π9C.π3D.【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r ，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,ab c >∈R ，则22ac bc > B.若22,a b c c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a，214a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a ，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为2()43n ⨯，则121(34)()43n nn n aSS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P图形的面积21413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒33x -<<，由()0f x '>⇒3x <-或3x >.所以函数()f x 在,3⎛-∞-⎝⎭和,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即32033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯ =，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xa x+≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可取(1,1,1)n =- .所以cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为5，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为5.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111k x k f x x x --'=+=--，当0k<时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y k t k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kty x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k kt ty k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340BT X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4BT X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。

专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识融会贯通1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 【知识拓展】1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.重点难点突破【题型一】和差公式的直接应用【典型例题】求值：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°＝sin（24°﹣54°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°，故选：C．【再练一题】若sinα，α∈（），则cos（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα，α∈（），∴cosα，∴cos（）（cosα﹣sinα）．故选：A．思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【题型二】和差公式的灵活应用命题点1 角的变换【典型例题】已知tan（α）＝﹣2，则tan（）＝（）A．B．C．﹣3 D．3【解答】解：∵tan（α）＝﹣2，则tan（）＝tan[（α）]，故选：A．【再练一题】若sin（）＝2cos，则（）A．B．C．2 D．4【解答】解：∵sin（）＝2cos，∴sinαcos cosαsin2cos，即 sinαcos3cosαsin，∴tanα＝3tan，则，故选：B．命题点2 三角函数式的变换【典型例题】若，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵α，∴π＜2α，又，∴cos2α．∴，解得cosα，则sinα．∴．故选：D．【再练一题】已知sinα+3cosα，则tan（α）＝（）A．﹣2 B．2 C．D．【解答】解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α）．故选：B．思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．基础知识训练1．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】已知α∈（22ππ-，），tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sin α＝（ ）A B ． C D ． 【答案】A 【解析】解：由tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π），联立，解得sin α=． 故选：A ．2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,4)P .若角β满足，则tan β=（ ）A ．-2B ．211 C ．613D ．12【答案】B 【解析】因为角α的终边过点()3,4P ，所以4tan 3α=，又，所以，即，解得2tan 11β=. 故选B3．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故选：B4．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】已知，则=（ ）A ．35B ．45C D 【答案】D 【解析】∵，∴12tan θ=．∴．故选D ．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟考试】已知，则sin α= ( )A B C ．45D ．35【答案】A 【解析】因为，所以，所以，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭解得，故选A.6．若，则tan α= ( )A ．17 B ．17-C ．1D ．1-【答案】D 【解析】tan （α-β）＝3，tan β＝2， 可得3，∴，解得tan α1=-． 故选：D ．7．【福建省三明市2019的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 解：选项A ：；选项B ：；选项C ：； 选项D ：，经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式，， 故只需要sin α接近于sin 45︒，根据三角函数图像可以得出sin 46︒最接近sin 45︒，故选D.8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题得.当在第一象限时，.当在第三象限时，.故选：C9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】已知为锐角，则()sin αβ+的值为（ ）A ．12B ．312- C ．12D ．312+ 【答案】D 【解析】 因为为锐角因为()cos 2β=所以2αβ+大于90°由同角三角函数关系，可得所以 =所以选D10．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试】若，且α是钝角，则（ ）A ．46B ．46- C ．46D ．46-【答案】D 【解析】 因为α是钝角，且，所以，故，故选:D11．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】________．【答案】2 【解析】 因为，又，所以，所以.故答案为212．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】函数的最大值为_______【答案】1【解析】,所以，因此()f x的最大值为1.13．【吉林省2019届高三第一次联合模拟考试】已知，则m=______．【答案】【解析】由得：整理得：m=本题正确结果：14．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知,则＝_____．【答案】1 7 -【解析】，则3cos5α=-，所以4tan3α=-，则：，故答案为：17-． 15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则的最小值是_______．【答案】12 【解析】 由正弦定理可得：得：，即又令，得：ABC ∆为锐角三角形得：，即1t > 10t ∴->当且仅当，即时取等号本题正确结果：1216．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知函数，若对任意实数x ，恒有，则______．【答案】14- 【解析】对任意实数x ，恒有，则()1fα为最小值，()2f α为最大值.因为，而，所以当sin =1x -时，()f x 取得最小值；当1sin 4x =时，()f x 取得最大值. 所以.所以1cos 0α=.所以.17．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】在ABC ∆中，已知3AC =，cos B =，3A π=.（1）求AB 的长； （2）求的值.【答案】（1）2AB =（2）【解析】（1）在ABC ∆中，因为cos B =，所以02B π<<，所以，又因为，所以，由正弦定理，，所以.（2）因为，所以，所以.18．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45B =，b =cos C =． （1）求边a ；（2）求()sin 2A B -．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得：cos C =，，0C π<<，∴，∵45B =︒，，∴，∴由正弦定理，得a =．（2）由（1）得，，∴，，∴.19．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，.（1）求ABC △的面积； （2）若2c =，求的值.【答案】（1）4；（2） 【解析】 解：，，，，易得sin 0A ≠，3cos 5A ∴=，，又，可得，10bc =，可得ABC △的面积；（2），5b ∴=，由余弦定理可得，，a ∴=，，20．【天津市河北区2019届高三一模】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足，.（1）求cos A 的值； （2）求的值。

河南名校联盟2019届高三下学期理数2月联考试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）复数(1−i)i 21+2i（ i 为虚数单位）等于（ ） A ．15−35iB ．15+35iC ．35−15iD ．35+15i2．（2分）已知集合 A ={x|x 2−3x +2<0},B ={x|3x >9} ，则 (C R A)∩B 等于（ ）A ．{x|x >2}B ．{x|x ≥2}C ．{x|1<x <2}D ．{x|1≤x ≤2}3．（2分）在区间 (1,3) 内，任取 1 个数 x ，则满足 log 2(2x −1)>1 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．23D ．344．（2分）已知 tan(θ+π4)=3 ，则 cos(2θ−π4)= （ ）A ．35B ．45C ．√210D ．7√2105．（2分）椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，上顶点为 A ，若ΔAF 1F 2 的面积为 √3 ，且 ∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2 ，则椭圆方程为（ ） A ．x 23+y 2=1B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 2=1D ．x 24+y 23=16．（2分）运行如图所示的程序框图，则输出 a 的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．167．（2分）榫卯（sǔnmǎo ）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（ ）A ．8+16π，2+8πB ．9+16π，2+8πC ．8+16π，4+8πD ．9+16π，4+8π8．（2分）已知 x,y 满足约束条件 {x +y +2≥0x −y −2≤0y +m ≤0 ，若目标函数 z =2x −y 的最大值为 3 ，则实数 m 的值为（ ） A ．−1B ．0C ．1D ．29．（2分）在平面直角坐标系中，已知三点 A(a,2),B(3,b),C(2,3),O 为坐标原点.若向量 OB ⇀⊥AC⇀ ，则 a 2+b 2 的最小值为（ ） A ．125B ．185C ．12D ．1810．（2分）设点 P 是正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的对角线 BD 1 的中点，平面 α 过点 P ，且与直线 BD 1 垂直，平面 α∩平面 ABCD =m ，则 m 与 A 1C 所成角的余弦值为（ ）A ．√33B ．√63C ．13D ．2√2311．（2分）已知函数 f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|<π) 的一个零点是 x =π3,x =−π6是 y =f(x) 的图象的一条对称轴，则 ω 取最小值时， f(x) 的单调增区间是（ ） A ．[−53π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈ZB ．[−73π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈ZC ．[−23π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈ZD ．[−13π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z12．（2分）设实数m>0，且不等式mxlnx−(x+m)e x+mm≤0对x>0恒成立，则m的最大值是（）A．e B．e22C．2e D．e2二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）（x+1）2（x-2）5的展开式中含x3项的系数为．14．（1分）已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+2x−a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是．15．（1分）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，若点(e,1)与点(−√3,√2)都在双曲线C上，则该双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为．16．（1分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2B，C是锐角，且a=2√7，cosA=13，则ΔABC的面积为．三、解答题 (共7题；共35分)17．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，其公比为q，前n项和为S n，并且满足a2+a3+ a4=28, a3+2是a2和a4的等差中项.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n⋅log21a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求使T n+n⋅2n+1=30成立的正整数n的值.18．（5分）某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终监督评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]），并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有340人.（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值及不满意的人数；（Ⅱ）在等级为不满意的师生中，老师占13，现从等级的师生中按分层抽样的方法抽取12人了解不满意的原因，并从这12人中抽取3人担任整改督导员，记X为整改督导员中老师的人数，求X的分布列及数学期望.19．（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中∠PAB=90∘,AB//CD，且PB=BC=BD=√6,CD= 2AB=2√2,∠PAD=120∘.E和F分别是棱CD和PC的中点.（Ⅰ）求证：CD⊥BF；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.20．（5分）已知p>0，抛物线C1：x2=2py与抛物线C2：y2=2px异于原点O的交点为M，且抛物线C1在M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交于点C .（Ⅰ）若直线y=x+1与抛物线C1交于点P，Q，且|PQ|=2√6，求OP⇀⋅OQ⇀的值；（Ⅱ）证明：ΔBOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值.21．（5分）已知函数f(x)=(x−k−1)e x.（Ⅰ）若曲线f(x)在(0,f(0))处的切线l与直线y=x垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）当x1≠x2时，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2k.22．（5分）平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为{x=3cosαy=2sinα（a为参数），曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C3的极坐标方程为ρ=8sinθ .（Ⅰ）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（Ⅱ）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值. 23．（5分）[选修4-5：不等式选讲]已知a>0，b>0，√a+√b=2，求证：（Ⅰ）a√b+b√a≤2；（Ⅱ）2≤a2+b2<16.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由题意，根据复数的运算可得复数 (1−i)i 21+2i =(−1+i)(1−2i)5=1+3i 5=15+35i ， 故答案为：B 。

2019-2020学年高三第二学期第二次联考数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，1，3，4}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，4}B．{﹣1，1，4}C．{﹣1，3，4}D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．2D．33．已知实数0＜a＜b，则下列说法正确的是（）A．＞B．ac2＜bc2C．lna＜lnb D．（）a＜（）b4．已知命题p：x＜2m+1，q：x2﹣5x+6＜0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞B．m≥C．m＞1D．m≥15．若数列{a n}为等差数列，且满足3+a5＝a3+a8，S n为数列{a n}的前n项和，则S11＝（）A．27B．33C．39D．446．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n7．已知抛物线y2＝20x的焦点与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若m＝﹣，则实数m 的值为（）A．B．C．1D．29．已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3…，B n，n∈N*．记b i为集合B i中的最大元素，则b1+b2+b3+…+b n＝（）A．45B．105C．150D．21011．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三形三边的数对（x，y）的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A．B．C．D．12．已知＝（2sin，cos），＝（cos，2cos），函数f（x）＝•在区间[0，]上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（）A．[，）B．（，]C．[，）D．（，2]二、填空题13．实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．14．成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布X～N（100，σ2），且P（86＜X≤100）＝0.15，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为．15．已知函数f（x）＝﹣x3+x+a，x∈[，e]与g（x）＝3lnx﹣x﹣1的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围为．16．在四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝BC＝5，E，F分别是AD，BC的中点．则下述结论：①四面体ABCD的体积为20；②异面直线AC，BD所成角的正弦值为；③四面体ABCD外接球的表面积为50π；④若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为6．其中正确的有．（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。

…………外…………○…学校:…………内…………○…绝密★启用前河南省豫北名校联盟2021-2022学年高二下学期联考二理科数学试题第I 卷（选择题）一、单选题 1．已知复数32z i =+，则23||-=izA ．1B C D ．132．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在,,A B C 三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（ ） A ．150B ．210C ．240D ．2804．淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ） A ．960 B ．1080C ．1560D ．30245．二项式)10x-（i 为虚数单位）的展开式中第8项是（ ）. A ．7135x - B ．7135xC ．7D ．7-6．函数()2xx xx e y e ππ--+≤=的图象大致是A ．B ．…………装…………○……………线…………○……___________姓名：___________班级…………装…………○……………线…………○……C ．D ．7．已知函数()3x x f x e=，那么（ ）A ．()f x 有极小值，也有大极值B ．()f x 有极小值，没有极大值C ．()f x 有极大值，没有极小值D ．()f x 没有极值8．设直线1y =与y 轴交于点A ，与曲线3y x =交于点B ，O 为原点，记线段OA ，AB 及曲线3y x =围成的区域为Ω．在Ω内随机取一个点P ，已知点P 取在OAB 内的概率等于23，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．169．已知直线y m =分别与函数1x y e +=和y =A 、B 两点，则A 、B 之间的最短距离是（ ） A ．3ln 22- B ．1ln 22+ C ．3ln 22+ D ．5ln 22+ 10．假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,如有至少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功飞行.若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全,则p 的取值范围是( ) 12C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知01k <<，01x <<，随机变量X 的分布列如下：当()E X 取最大值时，()D X =（ ）A ．1 BC ．3D ．912．已知e 为自然对数的底数，()'f x 为函数()f x 的导数.函数()f x 满足2(1)e (2)()()x f x f x x ++=-∈R ，且对任意的1≥x 都有，()()0f x f x '+>，则下列一定判断正确的是（ ） A ．2e (2)(0)f f > B ．(3)(2)ef f > C ．4e (3)(1)f f >-D ．5e (3)(2)f f >-第II 卷（非选择题）二、填空题 13．已知函数3()2f x x =+，则(2)f '=______．14．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.15．某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用．关于应聘结果四人说法如下：甲说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知道他们只有一人说的是真话．根据以上条件，可以判断被录用的人是______16．若对任意(1,)x ∈+∞，不等式1(ln 1)ln x xa x e x a-+->恒成立，则a 的范围__________． 三、解答题 17．求由曲线3,y sinx x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪和3,y cosx x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪所围成的平面图形的面积.…线…………○……线…………○…18．观察如图所示的“三角数阵”记第()1n n >行的第2个数为()*2,n a n n N ≥∈，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：（1）第6行的6个数依次为_____、_____、_____、_____、_____、_____； （2）依次写出2a 、3a 、4a 、5a ； （3）归纳出1n a -与n a 的关系式．19．2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ，求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．…○…………订…___班级：___________考号…○…………订…20．已知函数21()(1)ln 12f x x a x a x =-+++． （I ）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （II ）求a 的范围，使得()1f x ≥恒成立．21．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.某社区组织了80名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；⋯⋯第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求社区居民成绩的众数及a 的值；（2）我们将成绩大于等于80分称为优秀，成绩小于60分称为不合格.用分层抽样的方法从这80个成绩中抽取20个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选3个成绩，记优秀成绩的个数为X 个，求X 的分布列和数学期望.22．已知函数21()ln ,()2f x xg x x bx ==-(b 为常数) （1）若b =1,求函数H (x )=f (x )﹣g (x )图象在x =1处的切线方程;（2）若b ≥2,对任意x 1,x 2∈[1,2],且x 1≠x 2,都有|f (x 1)﹣f (x 2)|>|g (x 1)﹣g (x 2)|成立,求实数b 的值.参考答案：1．A 【解析】 【分析】 将32z i =+代入23i z -，利用复数的乘除运算法则化简23iz-，再求复数的模即可. 【详解】因为复数32z i =+， 所以23232323323232i i i i i ii z i i i i ----====-++-（）（）（）（）， 所以1i -=，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．B 【解析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义 3．A 【解析】先根据巳知条件将5个节目分成3组，再计算出每组分到三家电视台的排列数，最后利用分步乘法计数原理计算出正确答案． 【详解】解：第一步：分组，将5个节目在三家电视台独家播放，每家电视台至少播放一个节目的分组方案有1,1,3和2,2,1这两种，当分组1,1,3时，共有1135432210C C C A =种分组方法， 当分组为2,2,1时，共有2215312215C C C A =种分组方法， 所以总的分组情况共有101525+=（种）．第二步；排列，将分好的组分配到三家电视台每一个组有33A 种分法．故不同的播放方案共有3325150A ⨯=（种），故选：A ． 【点睛】本题主要考查排列数、组合数及两个计数原理的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力． 4．B 【解析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可. 【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为45120A =，只有一盆菊花的摆法种数为134454960C C A =，则至多有一盆菊花的摆法种数为1209601080+=， 故选：B. 【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题. 5．C 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可. 【详解】 二项式)10x-的展开式中第8项是737710()C x ⋅⋅-=. 故选：C 【点睛】本题考查了求二项式展开式中某项问题，考查了数学运算能力. 6．A 【解析】 【分析】利用定义法判断函数的奇偶性，得出()f x 为奇函数，排除C 和D ，由于()()()()222x x x x xx e e x e e f x ee---+--'=+，当3x =，求得()30f '<，得出原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确. 【详解】解：由于函数()()2xx xf x e x e y ππ-=-≤=≤+，则()()2xxx f xe ef x -+--==-，所以()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，排除C 和D ， 由于()()()()222x x x x xx e e x e e f x ee ---+--'=+，当3x =时，()()333333268222640x x x x e e x e e e e e e e e--+--=+-+=-+<， 即()30f '<，即原函数图象逼近π时，切线的斜率小于0， 所以原函数图象逼近π时，图象单调递减，故A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，利用定义法判断奇偶性和利用导数法判断单调性进行排除. 7．C 【解析】 【分析】 求导得到()()23xx x f x e -'=，故函数在(),3-∞上单调递增，在[)3,+∞上单调递减，得到答案. 【详解】()3x x f x e =，则()()23xx x f x e-'=，故函数在(),3-∞上单调递增，在[)3,+∞上单调递减， 故函数有极大值，没有极小值. 故选：C . 【点睛】本题考查了函数的极值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8．B 【解析】 【分析】利用定积分求出曲边梯形OAB 的面积，利用点P 取在OAB 内的概率等于23，求得点P 取在阴影部分的概率等于13，从而求出阴影部分面积.【详解】联立31y y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩． 则曲边梯形OAB 的面积为()11340011311444x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，∈在Ω内随机取一个点P ，点P 取在OAB 内的概率等于23， ∈点P 取在阴影部分的概率等于21133-=，∈图中阴影部分的面积为311434⨯=． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求曲边梯形面积的步骤： （1）画出曲线的草图；（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． （3）将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． （4）计算定积分，写出答案． 9．B 【解析】直线与两曲线分别联解求出A 、B 两点坐标，计算AB 得到函数表达式，对函数求导研究单调性，求出最小值【详解】1x y m y e +=⎧⎨=⎩联立求解得(ln 1,)A m m -，y my =⎧⎪⎨=⎪⎩2(1,)B m m 2=ln AB m m ，设2()=ln (0)f m m m m ，则1()=2f m mm令1()=20f m mm ，m > 所以2()=ln (0)f m m m m 在)+∞在上单增，在(0上单减，min 121ln 2()=ln 222f m f 故选：B. 【点睛】本题考查函数的最值. 求函数最值的五种常用方法：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 10．C 【解析】 【分析】分别计算4引擎和2引擎飞机正常运行的概率，根据4引擎正常运行的概率大于2引擎飞机正常运行的概率来列出不等式，解不等式求得p 的取值范围. 【详解】首先计算4引擎飞机正常运行的概率，包括2个引擎、3个引擎、4个引擎正常工作3种情况，故概率为()()222334444411-+-+C p p C p p C p .然后计算2引擎飞机正常运行的概率，包括1个引擎和2个引擎正常工作2种情况，故概率为()122221-+C p p C p .由于“4引擎正常运行的概率大于2引擎飞机正常运行的概率”，故()()()222334412244422111-+-+>-+C p p C p p C p C p p C p ，由于01p <<，故上式解得213<<p ，故选C. 【点睛】本小题主要考查在实际问题中识别二项分布，考查利用二项分布概率计算公式计算概率，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】解法一：由分布列的性质得14k =，进而得()E X x =，再根据基本不等式即可得()E X x =时取等号，再根据方程公式计算即可得答案. 解法二：由分布列的性质得14k =，进而得()E X x =，令sin x θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据三角换元得：()π4E X θ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭π4θ=，即x =时取等号，再求随机变量2X 的分布列，进而根据公式()()()22D X E X E X =-⎡⎤⎣⎦计算即可. 【详解】解法一:根据随机变量分布列的性质，得11124k ++=，所以14k =，所以()104E X =⨯+11224x x ⨯+=≤=当且仅当x =X 的分布列为所以())22211101424D X =⨯+⨯+⨯=.故选:A ．解法二：根据随机变量分布列的性质，得11124k ++=，所以14k =，所以()110242E X x =⨯+⨯+14x =令sin x θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ，所以()E X x =πsin cos 4θθθ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭当且仅当π4θ=，即x = 此时随机变量2X 的分布列为故()23E X =，所以()()()22321D X E X E X =-=-=⎡⎤⎣⎦．故选：A ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列，期望，方程的求解，考查运算求解能力，是中档题.值得指出的是：在求解与离散型随机变量的数学期望和方差有关的问题时，考生若能熟练掌握公式()D X =()()22E X E X -⎡⎤⎣⎦，能大大降低运算量，起到事半功倍的效果．12．B 【解析】 【分析】构造函数()()xF x e f x =，根据导数判断函数()F x 在[)1,+∞上单调递增，根据()()2F x F x +=-得到函数()F x 关于1x =对称，得出()()32F F <-，()()31F F =-，()()20F F =以及()()32F F >，进而可得结果.【详解】设()()xF x e f x =，则()()()()()x x x F x e f x e f x e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，∈对任意的1≥x 都有()()0f x f x '+>， ∈()0F x '>，则()F x 在[)1,+∞上单调递增，()()222x F x e f x +⋅+=+，()()x F x e f x -⋅-=-，∈()()()122x e f x f x ++=-，∈()()22x x e e f x f x +⋅⋅+=-，∈()()22x x ef x e f x +-+=-，∈()()2F x F x +=-，∈()F x 关于1x =对称，则()()24F F -=， ∈()F x 在[)1,+∞上单调递增，∈()()34F F <，即()()32F F <-，∈()()3232e f e f -<-； 即()()532e f f <-成立，故D 错误；∈()()31F F =-，()()20F F =，∈()()3131e f e f -=-，()()2020e f e f =，即()()431e f f =-，()()220e f f =，故A ，C 均错误；∈()()32F F >，∈()()32ef f >，故B 正确； 故选：B. 【点睛】破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下： 1.对于不等式()()0f x g x ''±>，构造函数()()()F x f x g x =+； 2.对于不等式()()0xf x f x '+>，构造函数()()F x xf x =； 3.对于不等式()()0xf x f x '->，构造函数()()f x F x x=； 4. 对于不等式()()0f x f x '+>，构造函数()()xF x e f x =；5. 对于不等式()()0f x f x '->，构造函数()()xf x F x e =； 13．12 【解析】 【分析】由导数的定义计算即可. 【详解】330(2)222(2)limx x f x'∆→+∆+--=∆ 220(22)(2)2(2)2limx x x x x∆→⎡⎤+∆-+∆++∆+⎣⎦=∆20lim 44()424x x x x ∆→⎡⎤=+∆+∆++∆+⎣⎦ 20lim 126()12x x x ∆→⎡⎤=+∆+∆=⎣⎦ 故答案为：12 14．19【解析】 【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∈出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．甲 【解析】 【分析】运用假设法，结合题意进行判断即可. 【详解】解：假设被录用的人是甲，则丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话相符，故假设成立，假设被录用的人是乙，则甲、丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设成立，……外…………○……学校:___……内…………○……假设被录用的人是丙，则甲、乙、丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设不成立，假设被录用的人是丁，则甲、丙说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设不成立，即被录用的人是甲， 故答案为：甲 16．[)1,+∞ 【解析】 【分析】由已知条件可得0a >，首先将原不等式转化为11ln ln x x ae ae x x -->，构造函数()ln g x x x =，可得()()1x g ae g x -=，判断()ln g x x x =在()1,+∞上的单调性，可得1x ae x ->，分离a 转化为最值问题即可求解.【详解】由题意可得：0a >，11ln 1ln ln ln x x a x a e ae --+-=+=，由1(ln 1)ln x x a x ex a-+->可得11ln ln x x xe ae x a -->，即11ln ln x x ae ae x x -->，令()ln g x x x =，可得()()1x g aeg x -> 由()0g x '>可得1x e >，由()0g x '<可得10x e<<， 如图可得()ln g x x x =在()1,+∞单调递增，若()()1x g aeg x -> 则11x ae x ->>，可得1x x a e ->，令()1x x h xe -=，只需要()max a h x >，()()1121110x x x x e xe xh x e e ------'==<对于1x >恒成立， 所以()1x x h x e-=在(1,)+∞单调递减， 所以()()11111h x he -<==，所以1a ≥，实数a 的范围为[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将原不等式变形11ln ln x x ae ae x x -->，构造函数()ln g x x x =，可得()()1x g ae g x -=利用单调性脱掉f ，再分离参数求最值. 17. 【解析】 【分析】利用定积分求平面图形的面积. 【详解】曲线3,44y sinx x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭和3,44y cosx x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所围成的平面图形的面积为：()333444444)||S sinx cosx dx cosx sinx ππππππ=-=--==⎰ 18．（1）6、16、25、25、16、6；（2）22a =，34a =，47a =，511a =；（3）()113,n n a a n n n N *-=+-≥∈.【解析】 【分析】（1）根据数阵的规律可写出第6行的6个数；（2）根据数阵可写出2a 、3a 、4a 、5a 的值；（3）由（2）结合数阵中的规律可得出1n a -与n a 的关系式. 【详解】由数阵可看出，除首末的两数外，每行中的数都等于它上一行的“肩膀”上的两数之和，且每一行的首末两数之和都等于行数.（1）由数阵的规律可知，第6行的6个数依次为6、16、25、25、16、6； （2）22a =，34a =，47a =，511a =；（3）由（2）可知，322a a =+，433a a =+，544a a =+， 且n a 等于它上一行的“肩膀”上的两数1n a -和1n -之和，由此可归纳得出()113,n n a a n n n N *-=+-≥∈.19．（1）有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）分布列见解析，期望为98； 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样方法求出男生、女生人数，填写列联表，计算2K ，对照附表得出结论；（2）由题意知ξ的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值． 【详解】解：（1）120名学生中男生有11120551113⨯=+（人)，女生有65人， 结合题意填写列联表如下：计算22120(30155025)9606.71380405565143K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，且6.713 6.635>， 所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； （2）利用分层抽样抽取8名学生，男生有3人，女生5人，从这8名学生中抽取3名，抽取男生的个数ξ的可能取值为0，1，2，3；计算35385(0)28C P C ξ===，12353815(1)28C C P C ξ⋅===，21353815(2)56C C P C ξ⋅===，33381(3)56C P C ξ===； 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望值为515151639()012328285656568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==． 20．（I ）()f x 的单调增区间为(0,1),(3,)∞+，减区间为(1,3)；（II ）12a ≤-【解析】 【分析】（I ）根据题意得出(3)0f '=，求出a ，进而由()0f x '>求得增区间，由()0f x '<求得减区间；（II ）根据题意将问题转化为0x >时21(1)ln 02x a x a x -++≥恒成立，设21()(1)ln 2g x x a x a x =-++，求出()g x '，分类讨论参数a ，得到min ()0g x ≥，即可得到a 的范围. 【详解】（I ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，()()1af x x a x'=-++， 因为3x =是()f x 的极值点，所以()()33103af a =-++='，解得a =3， 当a =3时，()()()()13331x x f x x x x--=-++'=， 令()0f x '>，得01x <<或3x >；令()0f x '<，得13x <<， 所以函数()f x 的单调增区间为(0,1),(3,)∞+；单调减区间为(1,3).（II ）要使得()1f x ≥恒成立，即0x >时21(1)ln 02x a x a x -++≥恒成立，设21()(1)ln 2g x x a x a x =-++，则()()1a g x x a x'=-++(1)()x x a x --=，当0a ≤时，由()0g x '<得单调减区间为(0)1，，由()0g x '>得单调增区间为(1)+∞，， 故min 1()(1)02g x g a ==--≥，得12a ≤-； 当01a <<时，由()0g x '<得单调减区间为(1)a ，， 由()0g x '>得单调增区间为(0)a ，，(1)+∞，；此时1(1)02g a =--<，不合题意； 当1a =时，()f x 在(0)+∞，上单调递增，此时1(1)02g a =--<，不合题意； 当1a >时，由()0g x '<得单调减区间为(1)a ，，由()0g x '>得单调增区间为(0)1，，()a +，∞，此时1(1)02g a =--<，不合题意；综上所述：12a ≤-时，()1f x ≥恒成立.21．（1）众数为65，0.035a =；（2）成绩不合格的个数为3，成绩优秀的个数为4，分布列答案见解析，数学期望为127. 【解析】 【分析】（1）利用最高矩形底边的中点值为样本的众数可得出社区居民成绩的众数，利用直方图的面积之和为1可求得a 的值；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得X 的数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图得众数为6070652+=， 由于所有矩形的面积和为1，则()0.0050.0100.0300.0150.005101a +++++⨯=，得0.035a =；（2）成绩不合格有200.153⨯=个，优秀有200.24⨯=个，X 可能取值为0、1、2、3，()33371035C P X C ===，()21343712135C C P X C ===，()12343718235C C P X C ===，()0334374335C C P X C ===， X ∴的分布列为()1236126012353535357E X ∴=++==. 22．（1）2210x y --=.（2）2 【解析】（1）将b =1代入，求导后得到斜率，求出切点，利用点斜式得到切线方程;（2）分析可知，函数f (x )=lnx 在区间[1，2]上是增函数，函数g (x )在区间[1，2]上是减函数，进而问题等价于f (x 1)+g (x 1)>f (x 2)+g (x 2)，进一步等价于1b x x+在区间[1，2]上恒成立，由此即可得解. 【详解】（1）若b =1，函数21()ln (0)2H x x x x x =-+>，∈1()1H x x x '=-+，故(1)1H '=又切点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故所求切线方程为2x ﹣2y ﹣1=0; （2）不妨设x 1>x 2，∈函数f (x )=lnx 在区间[1，2]上是增函数， ∈f (x 1)>f (x 2)，∈函数g (x )图象的对称轴为x =b ，且b >2， ∈当b ≥2时，函数g (x )在区间[1，2]上是减函数， ∈g (x 1)<g (x 2)，∈|f (x 1)﹣f (x 2)|>|g (x 1)﹣g (x 2)|等价于f (x 1)+g (x 1)>f (x 2)+g (x 2)， 等价于函数21()()()12h x f x g x nx x bx =+=+-在区间[1，2]上是增函数， 等价于1()0h x x b x'=+-在区间[1，2]上恒成立，答案第16页，共16页 等价于1b x x 在区间[1，2]上恒成立， ∈b ≤2， 又b ≥2，故b =2. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，不等式的恒成立问题 ，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。