四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二下学期期末联考数学(文)试卷

2019-2020学年四川省名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质22||=a a 类比得到复数z 的性质22||z z =；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①② B ．③④C ．②③D ．①④【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断． 【详解】①设a r 与b r 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，cos b a b a θ⋅=⋅r r r r ，则a b b a ⋅=⋅r r r r成立；②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=r r ，b c n ⋅=r r，所以，()a b c mc ⋅⋅=r r r r 表示与c r 共线的向量，()a b c na ⋅⋅=r r r r 表示与a r 共线的向量，但a r 与b r不一定共线，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 不一定成立；③设复数(),z x yi x y R =+∈，则222z x y =+，()()22222z x yi x yxyi =+=-+是一个复数，所以22z z =不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D ． 【点睛】本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题．2．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．2-D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：由11x y x +=-的导数为()()221(1)211x x y x x --+-'==--，则在点()2,3处的切线斜率为()22221-=--，由切线与直线10ax y ++=平行，所以22a a -=-⇒=，故选D ．考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程． 3．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A 【解析】分析：利用定积分，将已知,,a b c 化简，即可比较大小．详解：由题意，可得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故选A ．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解,,a b c 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】A 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；B 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D 正确.5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为60A =︒，则a =( ) A ．7 B ．8C ．5D ．6【答案】A 【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc ，然后由a+b+c =20以及余弦定理，即可求a ．详解：由题意可得，S △ABC =12bcsinA=12bcsin60° ∴12bcsin60°bc=40 ∵a+b+c=20 ∴20﹣a=b+c ．由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2﹣2bccos60°=（b+c ）2﹣3bc=（20﹣a ）2﹣120 解得a=1． 故选A ．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．6．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3PFQ π∠,则双曲线的离心率e 等于（ ） A1 BC1D2+【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性知12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，可得122PF PF =，利用双曲线的定义得出22PF a =，再利用锐角三角函数的定义可求出双曲线的离心率e 的值. 【详解】由双曲线的对称性可知，12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，则122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F ∆中，212122tan 23PF a PF F F F c ∠===，ce a∴==，故选B. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题． 7．已知集合{}2|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或2【答案】D 【解析】 【分析】就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】因为当0a =时，{}2|0{0}A x x===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.综上，a 的值为0或1或2.故选D. 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.8．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是 ( ) A ．120 B ．120- C ．100 D ．100-【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：3x 的系数,由()512x -的3次项乘以2,和()512x -的2次项乘以x 的到,故含3x 的是()()3232355222120C x C x x x -⋅+-⋅=-,选B .考点：二项式展开式的系数. 【方法点睛】二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样3x 就可以分解成3x 乘以常数和2x 乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来的系数求和.如()321x x ++要求5x 次方的系数,计算方法就是233C =,也就是说,有两个是取2x 的,剩下一个就是1x 的.9．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC V 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值2a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A B C a D 【答案】B 【解析】 【分析】将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案.【详解】棱长都等于a 的正四面体ABCD ：每个面面积为：221sin 23S a π==体积为：2313V == 正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和32123412341()12343V a a h h h h h h h h ==⨯+++⇒+++= 故答案选B 【点睛】本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键. 10．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()60.9P X ≤=，则()03P X <<=（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7【答案】A 【解析】 ∵P （x≤6）=0.9， ∴P （x ＞6）=1﹣0.9=0.1． ∴P （x ＜0）=P （x ＞6）=0.1， ∴P （0＜x ＜3）=0.5﹣P （x ＜0）=0.2． 故答案为A ．11．已知集合2{|1213},{|0},x A x x B x x-=-≤+≤=≤，则A B I 等于( ) A ．{|10}x x -≤< B ．{|01}x x ≤≤ C ．{|02}x x ≤≤D ．{|01}x x <≤【答案】D 【解析】分析：求出集合A ，B ，即可得到A B ⋂.详解：2{|1213}{|11},{|0}{|02},x A x x x x B x x x xQ -=-≤+≤=-≤≤=≤=<≤ {|01}.A B x x ∴⋂=<≤故选D.点睛：本题考查两个集合的交集运算，属基础题.12．阅读下图所示程序框图，若输入，则输出的值是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图可知该算法是计算数列()()()*12121k N k k ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前2016项和，根据()()1111212122121k k k k ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111123355740314033S ⎛⎫=-+-+-++-= ⎪⎝⎭L 1120061240134013⎛⎫-=⎪⎝⎭。

2019-2020学年蓉城名校联盟高二下学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z(2−i)=11+7i，则z=()A. 3+5iB. 3−5iC. −3+5iD. −3−5i2.下列命题中，真命题是()A. 存在B. 是的充分条件C. 任意D. 的充要条件是3.函数f(x)=e x sinx的图象在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为()A. π2B. 0C. 钝角D. 锐角4.一个三棱锥的三视图如图所示．则该三棱椎的表面积是()A. 2+√3B. 1+√3C. 1+2√2D. 2√25.将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数的图象的一条对称轴为()A. x=π9B. x=π8C. x=π2D. x=π6.已知函数f(x)的定义域为，其导函数f＇(x)的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是()①恒成立；②； ③；④>；⑤<．A. ①③B. ①③④C. ②④D. ②⑤7. 设直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，下列命题正确的是( )A. 若l 1//l 2，则A 1B 1=A2B 2 B. 若A 1B 2=A 2B 1，则l 1//l 2 C. 若l 1⊥l 2，则A 1B 1⋅A2B 2=−1 D. 若A 1A 2+B 1B 2=0，则l 1⊥l 28. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+2=a n+1−a n ，n ∈N ∗，利用如图所示的程序框图计算该数列的第n 项(n ≥3)，若输出S 的结果为1，则判断框内的条件可能是( )A. n ≤5？B. n ≤6？C. n ≤7？D. n ≤8？9. 已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2lnx ，g(x)=xe 1−x (a ∈R,e 为自然对数的底数)，若对任意给定的x 0∈(0,e]，在(0,e]上总存在两个不同的x i (i =1,2)，使得f(x i )=g(x 0)成立，则a 的取值范围是( )A. (−∞,2e−5e−1] B. (−∞,2e−2e] C. (2e−2e,2)D. [2e−5e−1,2e−2e)10. 已知函数f(x)的导函数=a(x +1)(x −a)，若f(x)在x =a 处取得极小值，则 a 的取值范围是( )A.B.C. −1<a <0D. a >0或a <−111.设y=lnx−8x2，则此函数在区间(14,12)和(1,+∞)内分别()A. 单调递增，单调递减B. 单调递增，单调递增C. 单调递减，单调递增D. 单调递减，单调递减12.已知椭圆x24+y2n=1与双曲线x28−y2m=1有相同的焦点，则动点P(n,m)的轨迹为()A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 直线的一部分二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x+1x，则f′(x)______ ．14.某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为______．15.在区间[−2√3,2√3]上随机取一个数k，使直线y=kx+2与圆x2+y2=1相交的概率为______．16.已知函数f(x)=e ax+1的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为a，则a=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=4ax−sinx+2axcosx，(a∈R)．(1)若a=14，当x∈(0,π)时，证明：f(x)<π2；(2)若当x∈[0,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．18.一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下：时间t 与答对人数y 的散点图如图：附：∑t i 2=38500，∑y i =342，∑lgy i =13.5，∑t i y i =10960，∑t i lgy i =620.9，对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，……，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=∑u i n i=1v i −nu −v−∑u i 2n i=1−nu−2，α̂=v −−β̂u −.请根据表格数据回答下列问题：(1)根据散点图判断，y =at +b 与lgy =ct +d ，哪个更适宣作为线性回归类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果，建立y 与t 的回归方程；(数据保留3位有效数字)(3)根据(2)请估算要想记住75%的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍．(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48)19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且b 2+c 2−a 2=bc ．(I)已知_______，计算△ABC 的面积；请从①a =√7，②b =2，③sinC =2sinB 这三个条件中任选两个，将问题(I)补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．(Ⅱ)求cosB +cosC 的最大值．20.(本小题满分12分)如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且．(1)求证：；(2)求直线BD与面AＣＤ所成角的大小．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B到两焦点的距离和为4，离心率e=√32(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点A为椭圆C的右顶点，过点A作相互垂直的两条射线，与椭圆C分别交于不同的两点M，N(M,N不与左、右顶点重合)，试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22.已知函数f(x)=lnx−x+1．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)设a≥1，函数g(x)=x2−3ax+2a2−5，若对于任意x0∈(0,1)，总存在x1∈(0,1)，使得f(x1)=g(x0)成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵z(2−i)=11+7i，∴z=11+7i2−i=(11+7i)(2+i)(2−i)(2+i)=22+14i+11i+7i25=3+5i．故选A．，再利用复数的代数形式的乘除运算，能求出z．由z(2−i)=11+7i，知z=11+7i2−i本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.答案：B解析：试题分析：A项：;B项：是的充分条件，正确；C项：；D项：，但，错误.故选B．考点：1.命题的真假；2.充要条件；3.指、对函数单调性．3.答案：C解析：解：由题意得，f′(x)=e x sinx+e x cosx=e x(sinx+cosx)，∴在点(3,f(3))处的切线的斜率是k=e3(sin3+cos3)，)<0，∵sin3+cos3=√2sin(3+π4∴k=e3(sin3+cos3)<0，则对应切线的倾斜角是钝角，故选C．由求导公式和法则求出导数，把x=3代入再求出切线的斜率，再由两角和的正弦公式化简，判断出斜率的符号，即得答案．本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率的关系，以及两角和的正弦公式应用，主要利用某点处的切线的斜率是该点出的导数值．4.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如下：该几何体为三棱锥，其中△ABC，△BCD为全等的等腰直角三角形，AB=AC=BD=CD=√2，侧面ABC⊥底面BCD，则S△BCD=S△ABC=12×√2×√2=1，由三视图可得，△ABD与△ADC是边长为√2的等边三角形，则S△ABD=S△ADC=12×√2×√2×sin60°=√32．∴该三棱椎的表面积是2+√3．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中△ABC，△BCD为全等的等腰直角三角形，△ABD与△ADC是边长为√2的等边三角形，由三角形面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.答案：C解析：本题考查三角函数的平移变换，以及余弦函数的性质，属于基础题．通过函数y=cos(x−π3)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可．函数y=cos(x−π3)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为y=cos(12x−π3 )，再向左平移π6个单位得到函数为y=cos(12x−π3+π12)=cos(12x−π4)，所得函数的图象的一条对称轴为x=π2．故选C．6.答案：D解析：试题分析：由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且是递减的速度是先快后慢，所以函数的图像称下凸形状。

2019-2020学年成都市蓉城名校联盟高二下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,1)，则1z =( )A. 38−18iB. 110−310iC. 34−14iD. 310−110i2.设集合M ={x|(x −1)(x +2)<0}，N ={x ∈Z||x|≤2}，则M ∩N =( )A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0，1}D. {0,1，2}3.若点A(x,y)是−1380°角的终边与单位圆的交点，则yx 的值为( )A. √3B. −√3C. √33D. −√334.若变量x 、y 满足约束条件{x +y <6x −3y ≤−2x ≥1，则z =2x +3y 的最小值为( )A. 17B. 14C. 5D. 35.设对n ∈N ∗，f(n)=1+12+13+14+⋯+1n +⋯+12n ，若M =f(2017)−f(2016)，则( )A. M =122017B. M <122017C. 122017<M <1D. M >16.已知f(x)={x +4,x <0x −4,x >0，则f[f(−3)]的值为( )A. 3B. 2C. −2D. −37.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知A =105°，C =45°，c =√2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 28.以下给出对流程图的几种说法，其中正确说法的个数是( )①任何一个流程图都必须有起止框②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框之后 ③判断框是唯一一个具有超过一个退出点的符号．A. 0B. 1C. 2D. 39.设棱长为a 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是( )A. ℎ=R +rB. R =3rC. r =√612a D. R =√63a10. 已知函数，当时，函数上均为增函数，则的取值范围是( )A.B.C.D.11. 设A 、P 是椭圆x 22+y 2=1两点，点A 关于x 轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP 、BP 分别交x 轴于点M 、N ，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 0 B. 1C. √2D. 212. 已知关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0的解集为(a,b)，其中a >0，若该不等式在(a,b)中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围( )A. (12,2−ln23]B. [12,2−ln23)C. (14,2−ln23]D. [14,2−ln23)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直线l ：{x =1+t,y =3+at,(t 为参数)经过坐标原点，则直线l 的斜率是______． 14. 一组数据6，7，7，8，7的方差S 2= ______ ．15. 已知一个圆内接正方形，向圆内部随机撒一粒豆子，豆子落在正方形内部的概率是______． 16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e =2， (1)双曲线的渐近线方程为______ ；(2)过双曲线上一点M 作直线AM ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为是k 1，k 2，若直线AB过原点O ，则k 1⋅k 2的值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=lnx1−x ，ϕ(x)=(x −1)2⋅f′(x)(1)若函数ϕ(x)在区间(3m,m +12)上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若对任意的x ∈(0,1)，恒有(1+x)⋅f(x)+2a <0(a >0)，求实数a 的取值范围．18. 西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图所示频率分布直方图． (Ⅰ)试估计这批树苗高度的中位数；(Ⅱ)用频率代替概率，从这批树苗中任取3株树苗，用X 表示取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数，求X 的分布列和期望．19. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱AA 1的中点．问：在棱A 1D 1上是否存在点N ，使得C 1N//面B 1MC ？若存在，请说明点N 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆x 236+y 29=1，求以P(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程．21. 已知函数f(x)=−4lnx −12ax 2+x ，其中a ∈R ． (Ⅰ)若a =−12，求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)设函数g(x)=−13x 3+12(a +2)x 2+2(a +4)x ，存在两个整数m 、n ，使得函数f(x)，g(x)在区间(m,n)上都是增函数，求n 的最大值，及n 取最大值时a 的取值范围．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+ty =−1+mt(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ4sinθ=1 (1)写出曲线C 1，C 2的直角坐标方程(2)若曲线C 1，C 2有且只有一个交点，求实数m 的值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,1)， ∴1z =13+i=3−i (3+i)(3−i)=3−i 10=310−110i ．故选：D ．由复数的几何意义得1z =13+i ，再由复数的运算法则能求出结果．本题考查复数的求法，考查复数的几何意义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|(x −1)(x +2)<0}={x|−2<x <1}， N ={x ∈Z||x|≤2}， 则M ∩N ={−1,0}， 故选：A ．解出关于M 的不等式，求出M 、N 的交集即可．本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．3.答案：A解析：解：由tan(−1380°)=−tan(4×360°−60°)=tan60°=√3． 故yx =√3， 故选：A ．求y x 的值，即tan(−1380°)的值，利用诱导公式即可求解．本题考查了正切值的意义，考查诱导公式的应用，考查直线和圆的关系，是一道基础题．4.答案：C解析：解：约束条件{x +y <6x −3y ≤−2x ≥1的平面区域如图所示：由图可知，当x =1，y =1时，目标函数z =2x +3y 有最小值为5 故选C我们先画出满足约束条件{x +y <6x −3y ≤−2x ≥1的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值． 本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5.答案：C解析：解：对n ∈N ∗，f(n)=1+12+13+14+⋯+1n +⋯+12n ， M =f(2017)−f(2016)=122016+1+122016+2+⋯+122017，由M <122016⋅22016=1，M >122017， 可得122017<M <1． 故选：C ．利用已知条件，结合函数的性质，推出结果即可． 本题考查数列的函数的性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：D解析：本题主要考查分段函数的解析式特征与所求不等式的结构，属于较易题..由题意可得函数的解析式，结合函数的解析式的特征要计算f[f(−3)]，必须先计算f(−3)进而即可得到答案． 解析：解：由题意可得：f(x)={x +4 x <0x −4 x >0，所以f(−3)=−3+4=1， 所以f(1)=1−4=−3， 所以f[f(−3)]=f(1)=−3． 故选：D ．7.答案：A解析：解：因为A =105°，C =45°，c =√2， 可得B =180°−A −C =30°， 由正弦定理bsinB =csinC ，可得b =c⋅sinB sinC=√2×12√22=1．故选：A ．由已知利用三角形内角和定理可求B 的值，进而根据正弦定理即可求解b 的值．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：解：对于①，任何一个完整的流程图，必须有唯一的开始框和唯一的结束框，故①正确；对于②，输入框只能放在开始框后，而输出框只能放在结束框之前，故②不正确；对于③，判断框要对条件是否成立进行判断，而判断的结果可能不止一种，故判断框是具有超过一个退出点的符号，而其它的框没有这种功能，故③正确．综上所述，正确的是①③故选：C9.答案：D解析：解：如图，设正四面体A−BCD的下底面中心为G，连接AG，则AG⊥平面BCD，连接BG并延长，交CD于E，则BE=√32a，BG=23BE=√33a，AG=(√33=√63a，即ℎ=√63a．设四面体外接球的球心为O，连接BO，则R2=(√33a)2+(√63a−R)2，解得R=√64a；由等体积可得，13×12a2×√32×√63a=4×13×12a2×√32r，即r=√612a．∴ℎ=R+r，故A正确；R=3r，故B正确；即r=√612a，故C正确；R=√64a，故D错误．故选：D．由题意画出图形，把正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别用含有a的代数式表示，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查多面体的外接球与内切球半径的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．10.答案：A解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和线性规划知识的综合应用，首先利用导数和函数的单调性可得a、b满足的条件，然后根据几何意义将所求转化为线性规划内容，利用直线的斜率，从而求出的取值范围．解：根据已知：f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]e x，令f′(x)≥0，即x2+(a+2)x+a+b≥0在(−∞,−2)和(1,+∞)恒成立，不妨设g(x)=x2+(a+2)x+a+b，根据题意可得：，它表示的平面区域如图：，而，其中表示满足上述条件的点P(a、b)与点M(2,−2)所在直线的斜率，由图可知：当直线PM过点A(1,1)时，斜率最小过点B(−1,−1)时，斜率最大，所以的最小值为1−3=−2，最大值为，所以的取值范围为．故选A．11.答案：D解析：本题考查椭圆中向量的数量积的求法，在选取题中恰当地选择特殊值能够大大地简化运算． 令椭圆的上顶点为A ，下顶点为B ，左端点为P ，取特殊值能够简化运算． 解：如图，取特殊值，令椭圆的上顶点为A ，下顶点为B ，左端点为P ，则A(0,1)，B(0,−1)，P(−√2,0)， M(−√2,0)，N(−√2,0)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2． 故选：D ．12.答案：C解析：关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0化为：m >x 2−2lnx 2(x+1)，令x 2−2lnx2(x+1)=f(x)，x >0，利用导数研究函数f(x)的单调性极值与最值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．解：关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0化为：m >x 2−2lnx 2(x+1)，令x 2−2lnx2(x+1)=f(x)，x >0， 则f′(x)=x 3+2x 2−2x−2+2xlnx2x(x+1)2．令u(x)=x 3+2x 2−2x −2+2xlnx ，u′(x)=3x 2+4x +2lnx 在(0,+∞)上单调递增， 由u′(1)>0，因此存在x 0∈(0,1)，使得u′(x 0)=3x 02+4x 0+2lnx 0=0， 即2lnx 0=−3x 02−4x 0，且u (x )在(0,x 0)内单调递减，在(x 0,+∞)内单调递增，所以u(x 0)=x 03+2x 02−2x 0−2+2x 0lnx 0=x 03+2x 02−2x 0−2+x 0(−3x 02−4x 0)=−2x 03−2x 02−2x 0−2=−2(x 0+1)(x 02+1)<0，u(1)=−1<0，u(2)=10+4ln2>0． 因此存在x 1∈(1,2)，使得u(x 1)=0，因此函数f(x)在(1,x 1)内单调递减，在(x 1,+∞)单调递增． f(1)=14，f(2)=2−ln23．∵关于x 的不等式12x 2−mx −lnx −m <0的解集为(a,b)，其中a >0， 该不等式在(a,b)中有且只有一个整数解， ∴实数m 的取值范围是(14,2−ln23]．故选：C ．13.答案：3解析：解：根据题意，直线l ：{x =1+t,y =3+at,(t 为参数)，变形可得y −3=a(x −1)， 若直线l 经过原点，则有−3=a(−1)，则a =3， 则直线l 的斜率是3； 故答案为：3根据题意，将直线的方程变形为普通方程，将原点坐标代入，变形计算可得a 的值，即答案． 本题考查直线的参数方程，涉及直线的斜率计算，属于基础题．14.答案：25解析：解：数据6，7，7，8，7的平均数x =6+7+7+8+75=7，∴s 2=15[(6−7)2+3×(7−7)2+(8−7)2]=25．故答案为25．先求出数据6，7，7，8，7的平均数x，再利用方差的计算公式s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]即可得出．熟练掌握平均数公式x=x1+x2+⋯+x nn 和方差的计算公式s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]是解题的关键．15.答案：2π解析：解：如图示：设⊙O的直径为2a，则半径为a，⊙O的面积为πa2，正方形的边长为：AD=CD=√22×2a=√2a，故面积是2a2，∵豆子落在圆内每一个地方是均等的，∴P(豆子落在正方形ABCD内)=2a2πa2=2π，故答案为：2π．分别表示出正方形和圆的面积，作商即可．已知一个圆内接正方形，向圆内部随机撒一粒豆子，豆子落在正方形内部的概．16.答案：y=±√3x；3解析：解：(1)∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e=2，∴ca=2，∴ba=√3，∴双曲线的渐近线方程为y=±√3x；(2)设M(x,y)，A(x1,y1)，B(−x1,−y1)，则k1⋅k2=y2−y12x2−x12。

蓉城名校联盟2019~2020学年度下期高中2018级期末联考文科数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知(1)z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】分析：把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，得对应点为(,)a b ，从而可在第几象限.详解：2(1)1z i i i i i =-=-=+，对应点为(1,1)在第一象限. 故选A.点睛：本题考查复数的几何意义，解题时需把复数化为标准形式，即(,)a bi a b R +∈的形式，它对应的点的坐标为(,)a b .2. 已知集合{}0,1,2,3,4A =，2{|30}B x x x =->，则集合AB 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先求集合的交集，再根据集合子集与元素的个数公式计算即可. 【详解】因为{}0,1,2,3,4A =，{}|03B x x =<<，所以{1,2}AB =，故其子集的个数是224=.故选：C.【点睛】本题考查集合交集运算，集合子集个数的计算，是基础题.3. 已知角α顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与直线1x =有公共点，且3sin 5α=-，则tan α=（ ） A.45B. 45-C. 34-D.34【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知α在第四象限，根据同角三角函数的基本关系，计算即可得解. 【详解】终边与直线1x =有公共点，且3sin 05α=-<， 可知α在第四象限，故4cos 5α==，sin 3tan cos 4ααα∴==-. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 4. 春季，某小组参加学校的植树活动，计划种植杨树x 棵，柳树y 棵，由于地理条件限制，x ，y 需满足条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该小组最多能种植两种树苗共（ ）A. 12棵B. 13棵C. 14棵D. 15棵【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数z x y =+，转化为y x z =-+，由几何意义可知当过A 点时，目标函数取得最大值，计算可得结果.【详解】由,x N y N∈∈,且满足约束条件2526x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，画出可行域如下图所示：将目标函数z x y=+，转化为y x z=-+，平移直线y x=-，当直线在y轴上截距最大时，经过()6,7A，此时，目标函数取得最大值，最大值为13.故选：B.【点睛】本题考直线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.5. 数列{}n a的前n项和为n S，若1(1)nan n=+，则99S=（）A. 1B.1100C.9899D.99100【答案】D【解析】【分析】利用裂项相消法求解即可.【详解】111(1)1nan n n n==-++，991111111991122399100100100S⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【点睛】本题主要考查了裂项相消法求和的问题.属于较易题.6. 已知函数()2log (0) 1(0)3xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A.19B. 19-C. 9D. 9-【答案】C 【解析】 【分析】先计算14f ⎛⎫⎪⎝⎭，再计算14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，注意自变量的范围． 【详解】104>，则211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又20-<，则211(2)943f ff -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查分段函数，求分段函数函数值时要注意自变量的取值范围，不同的范围选用不同的表达式计算．7. 在ABC 中，三个角满足2A B C =+，且最长边与最短边分别是方程2327320x x -+=的两根，则BC 边长为（ ） A. 6 B. 7C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题的条件，确定出最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒，利用韦达定理得到9b c +=，323bc =，利用余弦定理求得BC 边长. 【详解】因为2A B C =+，可知最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒， 于是，9b c +=，323bc =，根据余弦定理：()22222cos603813249a b c bc b c bc ︒=+-=+-=-=， 解得7a =， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有韦达定理，余弦定理，属于基础题目.8. 运行下图所示的程序框图，如果输入的2020n =，则输出的n =（ ）A. 6B. 7C. 63D. 64【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果.【详解】输入2020100n =>，且不是奇数，赋值1010100n =>，且不是奇数， 赋值505100n =>，且奇数，赋值252100n =>，且不是奇数， 赋值126100n =>，且不是奇数，赋值63100n =<， 赋值()2log 6316n =+=，输出6. 故选：A【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算程序框图的输出结果，属于简单题目.9. 四面体O ABC -的顶点都在同一球面上，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，且2OA OB ==，1OC =，则该球面的表面积为（ ）A. 9πB. 4πC. 12πD. 36π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合三棱锥的特征，将四面体补成长方体，且该四面体的外接球就是所补成长方体的外接球，其对角线就是外接球的直角，从而求得结果. 【详解】根据题意，将四面体补成长方体，3=. 四面体的四个顶点在同一球面上， 则长方体的八个顶点也在同一球面上， 长方体的对角线3就是球的直径. 则球的半径32R =， ∴球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有从同一顶点出发的三棱锥的三条棱两两垂直时，求其外接球可以应用补体来完成，属于简单题目. 10. 函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A. []0,3a ∈B. ()0,5a ∈C. ()0,3a ∈D.()1,2a ∈【答案】D 【解析】 分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，焦点()12,0F -，()22,0F .过()12,0F -作倾斜角为60︒的直线L 交上半椭圆于点A ，以11 , F A F O (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形1 OF AB ，点B 恰好也在椭圆上，则2b =（ ）3 B. 3 C. 43 D. 12【答案】B 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，根据四边形1OF AB 为平行四边形可得12y y =，利用椭圆方程可得21x x =-，利用1//F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60°可得121,1x x =-=，123y y ==即可得(3)A -，代入椭圆方程并结合2224a b c -==可得31a =，从而可得结果.【详解】依题意可知，2c =，设()()1122,,,A x y B x y ， 因为四边形1 OF AB 为平行四边形，所以12 y y =，又2211221x y a b +=，2222221x y a b +=， 所以21 x x =-，又1/ /F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60︒，所以12122y y x x ==+ 因为12y y =，21x x =-，所以11x =-，21x =，12y y ==所以(A -，将其代入22221x y a b+=，得22131a b+=➀ 又2c =，所以2224a b c -==②所以联立①②解得24a =+2b =故选：B.【点睛】本题以椭圆为背景，考查了椭圆的性质，考查了斜率公式，考查了运算求解能力，属于中档题.12. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '-<，()02020f =，则不等式()20191x f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A. ()(),00,-∞⋃+∞B. ()0,∞+C. ()2019,+∞D. ()(),02019,-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数()()1x f x F x e -=，利用导数得到()()1xf x F x e -=在R 上单调递增，再根据()02020f =得到()()02019F x F >=，再化简即可得到答案.【详解】由题知：构造函数()()1xf x F x e-=， 则()()()()()()2110x xxx f x e f x e f x f x F x e e '--⎡⎤'-+⎣⎦'==>，故函数()()1x f x F x e -=在R 上单调递增， 又因为()()001020*******f F e-==-=， 所以当且仅当0x >时，()()02019F x F >=成立，即()12019xf x e->，即()20191xf x e >+， 因此不等式()20191xf x e >+的解集为()0,∞+. 故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中构造函数为解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤<），则曲线C 的普通方程为____________．【答案】22149x y +=【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系，消去参数求解即可.【详解】由cos 2cos 23sin 3x x y y sin θθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，由22sin cos 1θθ+=，则22149x y +=．故答案为：22149x y +=.【点睛】该题考查曲线的参数方程与普通方程的互化.属于较易题.14. 已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x 的方差为2，则121x +，221x +，321x +，421x +，521x +，621x +，721x +，821x +这组数据的方差为____________.【答案】8 【解析】 【分析】根据方差性质公式计算即可.【详解】由性质()()2D ax b a D x +=可知，新的数据的方差为2×22=8.故答案为：8.【点睛】本题考查方差的性质，是基础题.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，()2,0A ，()2,1B ，()0,1C ，现在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，则事件：点(),P x y 的坐标满足y ≥____________． 【答案】π14- 【解析】 【分析】在坐标平面中画出可行域，再画出不等式y ≥算出它们的面积后可得所求的概率.【详解】矩形OABC 围成的可行域如图所示.由y ≥221(1)0y x y ⎧≥--⎨≥⎩，也就是22(1)10x y y ⎧-+≥⎨≥⎩，此不等式对应的平面区域如图阴影部分所示,则矩形OABC 的面积为2，而阴影部分的面积为121222ππ-⨯⨯=-. 则22124P ππ-==-．故答案为：π14-. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.16. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12, F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，且点M在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________． 【答案】2133【解析】 【分析】首先得点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=，这样12MF F △和2MPF 的面积可表示出来，从而可得M 点坐标，代入直线方程2y x =得到,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=， 由1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，则222132PMF b c b Sd a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =， 由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=， 则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =1e >，则e =．. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的齐次式，本题中利用12MF F △和2MPF 的面积得出M 点坐标，从而得到要找的等式．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数()32113f x x ax bx =+++，其导函数为()f x '，不等式()0f x '<的解集为()2,4.（1）求a ，b 的值；（2）求函数在[]0,3上的最大值和最小值. 【答案】（1）3,8a b =-=；（2）最大值：233，最小值：1. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得()220f x x ax b '=++<的解集为()2,4，利用韦达定理即可求解.（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.【详解】解：（1）由()220f x x ax b '=++<的解集为()2,4，则2423,824aa b b+=-⎧⇒=-=⎨⨯=⎩.（2）由（1）问可知，()3238311f x x x x =-++， ()[]268,0,3f x x x x '=-+∈，则x()0,22()2,3()f x '大于零等于零小于零()f x单调递增 极大值 单调递减则()()max 8232533f x f ===， 由()01f =，()37f =，则()()min 01f x f ==.【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.18. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[)25,30，[)30,35，得到下边收入频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t 的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)；（2）已知从收入在[)10,20的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自[)15,20的概率.【答案】（1）0.04t =，中位数为21.875(千元)，平均数为：20.75(千元)；（2）310. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t 的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；（2）利用分层抽样的比例求出[)10,15和[)15,20的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）由()0.020.020.030.080.0151t +++++⨯=，则0.04t =， 由()0.020.020.0350.35++⨯=，由0.50.355 1.8750.4-⨯=，则中位数为20 1.87521.875+=(千元)，平均数为()7.50.0212.50.0217.50.0322.50.0827.50.0432.50.015⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯20.75=(千元)（2）由分层抽样可知[)10,15应抽取2人记为1，2，[)15,20应抽取3人记为a ，b ，c ，则从这5人中抽取2人的所有情况有：()()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,2,,2,,2,,,,,,,a b c a b c a b a c b c ，共10种情况，记其中2人收入都来自[)15,20事件A ，情况有()()(),,,,,a b a c b c 3种，则()310P A =. 【点睛】此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题.19. 如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上的一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，现将ABE △沿着BE 折起构成四棱锥A BCDE -，M 是四棱锥A BCDE -棱AD 的中点．（1）证明：//HM 平面ABC ；（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，求二面角M AB C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）79. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点为K ，连接,HK KM ，可证明平面//KMH 平面ABC ，从而可得//HM 平面ABC .（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，平面ABE ⊥平面BCDE ，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABC 和平面MAB 的法向量后可求二面角M AB C --的余弦值. 【详解】（1）取AE 的中点为K ，连接,HK KM ， 因为,AK KE AM MD ==，故//KM DE ， 而//DE BC ，故//KM BC ，因为KM ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故//KM 平面ABC .同理//KH BA ，因为KH ⊄平面ABC ，BA ⊂平面ABC ，故//KH 平面ABC ， 因为KH ⊂平面KMH ，KM ⊂平面KMH ，KM KH K ⋂=， 故平面//KMH 平面ABC ，因MH ⊂平面KMH ，故//MH 平面ABC .（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，平面ABE ⊥平面BCDE . 在BC 上取点L ，使得1CL =，则//DE CL ，DE CL =， 故四边形EDCL 为平行四边形，所以2EL CD ==， 因2BL =，BH HE =，故HL BE ⊥.因为2AE ED =，故2AE =，故ABE △为等腰直角三角形， 因BH HE =，故AH BE ⊥，而AH ⊂平面ABE ，平面ABE 平面BCDEBE ，所以AH ⊥平面BCDE .因为HL ⊂平面BCDE ，故AH HL ⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 所以()2323222,2,0,0,,,2222A BC D ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3222M ⎛ ⎝⎭. 又(2,0,2AB =-，323222BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3222442MA ⎛=- ⎝⎭，设平面ABC 的法向量为()111,,m x y z =，则由00m AB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得11112203232022x z x y =⎨-+=⎪⎩，取11y =，则111,1x z ==， 故()1,1,1m =. 设平面MAB法向量为()222,,n x y z =，则由0 n ABn MA⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222222203222+0442x zx y z⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取21x=，则225,1y z==，故()1,5,1n=.所以7cos,9327m nm nm n⋅===⨯.因为二面角M AB C--的平面角为锐角，故其余弦值为79.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20. 已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左右焦点分别为1F、2F，若点(3B在椭圆上，且12BF F△为等边三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点1F的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点2F在以MN为直径的圆外，求直线l 斜率k的取值范围.【答案】（1）22143x y+=；（2）377k>或377k<-.【解析】【分析】（1）本题可以根据点(B在椭圆上得出b =12BF F △为等边三角形得出2a =，即可写求椭圆C 的标准方程；（2）本题首先可以设出直线l 的方程为()1y k x =+，然后联立直线方程与椭圆方程，得出12x x +以及12x x 的值，再然后根据点2F 在以MN 为直径的圆外得出220F M F N ⋅>，最后通过化简并计算即可得出结果.【详解】（1）因为点(B在椭圆上，所以b =因为12BF F △为等边三角形，所以sin 60ba，解得2a =， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）因为椭圆C 的标准方程为22143x y +=，所以()11,0F -，()21,0F ，直线l 的方程为()1y k x =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()2111,F M x y =-，()2221,F N x y =-，联立方程()221 143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22223484120k x k x k +++-=， 则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，且>0∆恒成立， 因为点2F 在以MN 为直径的圆外， 所以290MF N ∠<︒，220F M F N ⋅>， 即()()1212110x x y y --+>，()()()()2121211110x x kx x --+++>，整理可得()()()22212121110k x x k x x k ++-+++>，则()()2222222412811103434k k k k k k k-+--++>++，整理可得279k >，297k >，k >k <. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法以及椭圆与直线相交的相关问题的求法，考查向量的数量积的灵活应用，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.21. 已知函数()x f x a e b =⋅+在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． （1）求a ，b 的值；（2）已知函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于直线 y x =对称．若不等式()1k f x x ⋅-⋅≥⎡⎤⎣⎦()1g x +对0x >恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0==a b ；（2）1k .【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用导数的几何意义即可得出结果；（2）利用已知条件得出()ln g x x =，把不等式转化为ln 1x x xk xe ++≥对0x >恒成立，令ln 1(),(0,)xx x r x x xe++=∈+∞，求导分析函数()r x 的单调性求出()max r x ，即可得出结果. 【详解】（1）由()xf x a e '=⋅， 又切点(0,1)，则(0)111,0(0)11f a b a b k f a ⎧=+='⎧⇒⇒==⎨⎨===⎩⎩（2）由()xf x e =， 则()lng x x =，由不等式()1ln 1xke x x -⋅≥+对0x >恒成立， 整理可得ln 1xx xk xe ++≥对0x >恒成立，令ln 1(),(0,)x x xr x x xe ++=∈+∞，则2(1)(ln )()xx x x r x x e+--'=， 由ln 0x x +=有且仅有唯一的根为0x ， 则00ln 0x x +=， 所以00ln x x =-， 则001x x e=，由则()()0000max 0ln 11x x x r x r x x e ++===，则1k．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数解决不等式恒成立问题.属于中档题.22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,1P ，若直线l 与曲线C 相交于M ､N 两点，求()2||||PM PN +的值.【答案】（1）()()22228x y -+-=；（2）28+【解析】【分析】（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得到答案. （2）首先将11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22228x y -+-=得到)2160t t --=，再利用直线参数方程的几何意义即可得到答案.【详解】（1）由24sin 4cos 4sin 4cos 4πρθρθθρρθρθ⎛⎫=+⇒=+⇒=+ ⎪⎝⎭， 则2244x y y x +=+， 则曲线C 的直角坐标方程为()()22228x y -+-=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理可得)2160t t --=， 其两根分别设为12,t t，则12121,6t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩ 由()()2212122(||||||||)PM PN t t t t +=+=- ()21212428t t t t =+-⋅=+【点睛】本题第一问考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于简单题.。

四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二数学上学期期末联考共性化练习试题 文注意：本卷试题各小题题号与联考试题题号对应一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

9．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16 B ．14 C ．12 D ．1010．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l 与双曲线的12F F ，22221(00)x y a b a b -=>>，1F 左、右两支分别交于点A ，B ，若△为等边三角形，则双曲线的离心率为2ABF A B ．4C D 723311．设，是双曲线的左，右焦点，是双曲线上的一点，，1F 2F 22124y x -=P 1234PF PF =则△的面积等于12PF F A ． B ． C ．24 D ．484283二、填空题。

13．把二进制数化为十进制数是 ．(2)111115．若曲线始终有交点，则的取值范围是 ．21y x =-y x b =+b 16．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为 .三、解答题。

20．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．C 40x y +=1y x =-+(3,2)P -（1）求圆方程；C（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积为(1,0)A l C M N 、OMN ∆为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.O l 21．已知抛物线：过点．C 22y px =1,1A （）（1）求抛物线的方程；C （2）过点的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点均与点A 不重合，设直(3,1)P -()线AM ，AN 的斜率分别为，，求证：为定值．1k 2k 12k k ⋅22．已知椭圆：（）的右焦点为C 22221x y a b +=0a b >>(1,0)F 2（1）求椭圆的方程；C （2）设过点的直线交椭园于，两点，若△（为坐标原点）的面积F l C M N OMN O 为，求直线的方程.23l蓉城名校联盟2019～2020学年度上期高中2018级期中联考数学学科共性化巩固练习卷答案9．A 【解析】设，直线的方程为，联立方11223344(,),(,),(,),(,)A x yB x y D x y E x y 1l1(1)y k x =-程，得，∴，同理214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知2l 22342224k x x k ++=12342AB DE x x x x p +=++++=，当且仅当（或）时，221222222212121224244416482816k k k k k k k k ++++=+++= (121)k k =-=1-取等号.【思路点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以α22||sin p AB α=2222||πcos sin (+)2p pDE αα==22222211||||4(cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+2222222211sin cos 4(sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++⨯+=…10．A【解析】试题分析：由双曲线定义得，1122BF AF AF a=-=，由余弦定理得21224BF BF a BF a-=⇒=22222(2)(4)(2)2(4)(2)cos1207c a a a a c a e =+-⇒=⇒= 【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.11．C【解析】试题分析：由双曲线的定义知，，，联立1a =5c =1222PF PF a -==，得，，而，则△是直角三角形，所以面积1234PF PF =18PF =26PF =1210F F =12PF F 为24，答案为C ．考点：1、双曲线的性质；2、焦点三角形的面积．13．15【解析】由二进制数的定义可得，故答案为：.()3210211111212121215=⨯+⨯+⨯+⨯=15【点睛】本题考查二进制数化十进制数，考查二进制数的定义，考查计算能力，属于基础题.15．[2]-【解析】由题设可知有解，即有解，令借21x b x +=-21b x x =--，所以，由于cos ,[0,]x θθπ=∈21sin x θ-=sin cos 24b πθθθ=-=-，故，结合正弦函数的图像可知，则0θπ (344)4πππθ--……2sin(14πθ-…，应填答案。

蓉城名校联盟2019~2020学年度下期高中2018级期末联考文科数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知(1)z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】分析：把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，得对应点为(,)a b ，从而可在第几象限.详解：2(1)1z i i i i i =-=-=+，对应点为(1,1)在第一象限. 故选A.点睛：本题考查复数的几何意义，解题时需把复数化为标准形式，即(,)a bi a b R +∈的形式，它对应的点的坐标为(,)a b .2. 已知集合{}0,1,2,3,4A =，2{|30}B x x x =->，则集合AB 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先求集合的交集，再根据集合子集与元素的个数公式计算即可. 【详解】因为{}0,1,2,3,4A =，{}|03B x x =<<，所以{1,2}AB =，故其子集的个数是224=.故选：C.【点睛】本题考查集合交集运算，集合子集个数的计算，是基础题.3. 已知角α顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与直线1x =有公共点，且3sin 5α=-，则tan α=（ ） A.45B. 45-C. 34-D.34【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知α在第四象限，根据同角三角函数的基本关系，计算即可得解. 【详解】终边与直线1x =有公共点，且3sin 05α=-<， 可知α在第四象限，故4cos 5α==，sin 3tan cos 4ααα∴==-. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 4. 春季，某小组参加学校的植树活动，计划种植杨树x 棵，柳树y 棵，由于地理条件限制，x ，y 需满足条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该小组最多能种植两种树苗共（ ）A. 12棵B. 13棵C. 14棵D. 15棵【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数z x y =+，转化为y x z =-+，由几何意义可知当过A 点时，目标函数取得最大值，计算可得结果.【详解】由,x N y N∈∈,且满足约束条件2526x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，画出可行域如下图所示：将目标函数z x y=+，转化为y x z=-+，平移直线y x=-，当直线在y轴上截距最大时，经过()6,7A，此时，目标函数取得最大值，最大值为13.故选：B.【点睛】本题考直线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.5. 数列{}n a的前n项和为n S，若1(1)nan n=+，则99S=（）A. 1B.1100C.9899D.99100【答案】D【解析】【分析】利用裂项相消法求解即可.【详解】111(1)1nan n n n==-++，991111111991122399100100100S⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【点睛】本题主要考查了裂项相消法求和的问题.属于较易题.6. 已知函数()2log (0) 1(0)3xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A.19B. 19-C. 9D. 9-【答案】C 【解析】 【分析】先计算14f ⎛⎫⎪⎝⎭，再计算14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，注意自变量的范围． 【详解】104>，则211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又20-<，则211(2)943f ff -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查分段函数，求分段函数函数值时要注意自变量的取值范围，不同的范围选用不同的表达式计算．7. 在ABC 中，三个角满足2A B C =+，且最长边与最短边分别是方程2327320x x -+=的两根，则BC 边长为（ ） A. 6 B. 7C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题的条件，确定出最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒，利用韦达定理得到9b c +=，323bc =，利用余弦定理求得BC 边长. 【详解】因为2A B C =+，可知最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒， 于是，9b c +=，323bc =，根据余弦定理：()22222cos603813249a b c bc b c bc ︒=+-=+-=-=， 解得7a =， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有韦达定理，余弦定理，属于基础题目.8. 运行下图所示的程序框图，如果输入的2020n =，则输出的n =（ ）A. 6B. 7C. 63D. 64【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果.【详解】输入2020100n =>，且不是奇数，赋值1010100n =>，且不是奇数， 赋值505100n =>，且奇数，赋值252100n =>，且不是奇数， 赋值126100n =>，且不是奇数，赋值63100n =<， 赋值()2log 6316n =+=，输出6. 故选：A【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算程序框图的输出结果，属于简单题目.9. 四面体O ABC -的顶点都在同一球面上，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，且2OA OB ==，1OC =，则该球面的表面积为（ ）A. 9πB. 4πC. 12πD. 36π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合三棱锥的特征，将四面体补成长方体，且该四面体的外接球就是所补成长方体的外接球，其对角线就是外接球的直角，从而求得结果. 【详解】根据题意，将四面体补成长方体，3=. 四面体的四个顶点在同一球面上， 则长方体的八个顶点也在同一球面上， 长方体的对角线3就是球的直径. 则球的半径32R =， ∴球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有从同一顶点出发的三棱锥的三条棱两两垂直时，求其外接球可以应用补体来完成，属于简单题目. 10. 函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A. []0,3a ∈B. ()0,5a ∈C. ()0,3a ∈D.()1,2a ∈【答案】D 【解析】 分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，焦点()12,0F -，()22,0F .过()12,0F -作倾斜角为60︒的直线L 交上半椭圆于点A ，以11 , F A F O (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形1 OF AB ，点B 恰好也在椭圆上，则2b =（ ）3 B. 3 C. 43 D. 12【答案】B 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，根据四边形1OF AB 为平行四边形可得12y y =，利用椭圆方程可得21x x =-，利用1//F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60°可得121,1x x =-=，123y y ==即可得(3)A -，代入椭圆方程并结合2224a b c -==可得31a =，从而可得结果.【详解】依题意可知，2c =，设()()1122,,,A x y B x y ， 因为四边形1 OF AB 为平行四边形，所以12 y y =，又2211221x y a b +=，2222221x y a b +=， 所以21 x x =-，又1/ /F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60︒，所以12122y y x x ==+ 因为12y y =，21x x =-，所以11x =-，21x =，12y y ==所以(A -，将其代入22221x y a b+=，得22131a b+=➀ 又2c =，所以2224a b c -==②所以联立①②解得24a =+2b =故选：B.【点睛】本题以椭圆为背景，考查了椭圆的性质，考查了斜率公式，考查了运算求解能力，属于中档题.12. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '-<，()02020f =，则不等式()20191x f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A. ()(),00,-∞⋃+∞B. ()0,∞+C. ()2019,+∞D. ()(),02019,-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数()()1x f x F x e -=，利用导数得到()()1xf x F x e -=在R 上单调递增，再根据()02020f =得到()()02019F x F >=，再化简即可得到答案.【详解】由题知：构造函数()()1xf x F x e-=， 则()()()()()()2110x xxx f x e f x e f x f x F x e e '--⎡⎤'-+⎣⎦'==>，故函数()()1x f x F x e -=在R 上单调递增， 又因为()()001020*******f F e-==-=， 所以当且仅当0x >时，()()02019F x F >=成立，即()12019xf x e->，即()20191xf x e >+， 因此不等式()20191xf x e >+的解集为()0,∞+. 故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中构造函数为解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤<），则曲线C 的普通方程为____________．【答案】22149x y +=【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系，消去参数求解即可.【详解】由cos 2cos 23sin 3x x y y sin θθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，由22sin cos 1θθ+=，则22149x y +=．故答案为：22149x y +=.【点睛】该题考查曲线的参数方程与普通方程的互化.属于较易题.14. 已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x 的方差为2，则121x +，221x +，321x +，421x +，521x +，621x +，721x +，821x +这组数据的方差为____________.【答案】8 【解析】 【分析】根据方差性质公式计算即可.【详解】由性质()()2D ax b a D x +=可知，新的数据的方差为2×22=8.故答案为：8.【点睛】本题考查方差的性质，是基础题.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，()2,0A ，()2,1B ，()0,1C ，现在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，则事件：点(),P x y 的坐标满足y ≥____________． 【答案】π14- 【解析】 【分析】在坐标平面中画出可行域，再画出不等式y ≥算出它们的面积后可得所求的概率.【详解】矩形OABC 围成的可行域如图所示.由y ≥221(1)0y x y ⎧≥--⎨≥⎩，也就是22(1)10x y y ⎧-+≥⎨≥⎩，此不等式对应的平面区域如图阴影部分所示,则矩形OABC 的面积为2，而阴影部分的面积为121222ππ-⨯⨯=-. 则22124P ππ-==-．故答案为：π14-. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.16. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12, F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，且点M在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________． 【答案】2133【解析】 【分析】首先得点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=，这样12MF F △和2MPF 的面积可表示出来，从而可得M 点坐标，代入直线方程2y x =得到,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cSa=， 由1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，则222132PMF b c b Sd a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =， 由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=， 则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =1e >，则e =．. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的齐次式，本题中利用12MF F △和2MPF 的面积得出M 点坐标，从而得到要找的等式．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数()32113f x x ax bx =+++，其导函数为()f x '，不等式()0f x '<的解集为()2,4.（1）求a ，b 的值；（2）求函数在[]0,3上的最大值和最小值. 【答案】（1）3,8a b =-=；（2）最大值：233，最小值：1. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得()220f x x ax b '=++<的解集为()2,4，利用韦达定理即可求解.（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.【详解】解：（1）由()220f x x ax b '=++<的解集为()2,4，则2423,824aa b b+=-⎧⇒=-=⎨⨯=⎩.（2）由（1）问可知，()3238311f x x x x =-++， ()[]268,0,3f x x x x '=-+∈，则x()0,22()2,3()f x '大于零等于零小于零()f x单调递增 极大值 单调递减则()()max 8232533f x f ===， 由()01f =，()37f =，则()()min 01f x f ==.【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.18. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[)25,30，[)30,35，得到下边收入频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t 的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)；（2）已知从收入在[)10,20的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自[)15,20的概率.【答案】（1）0.04t =，中位数为21.875(千元)，平均数为：20.75(千元)；（2）310. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t 的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；（2）利用分层抽样的比例求出[)10,15和[)15,20的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）由()0.020.020.030.080.0151t +++++⨯=，则0.04t =， 由()0.020.020.0350.35++⨯=，由0.50.355 1.8750.4-⨯=，则中位数为20 1.87521.875+=(千元)，平均数为()7.50.0212.50.0217.50.0322.50.0827.50.0432.50.015⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯20.75=(千元)（2）由分层抽样可知[)10,15应抽取2人记为1，2，[)15,20应抽取3人记为a ，b ，c ，则从这5人中抽取2人的所有情况有：()()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,2,,2,,2,,,,,,,a b c a b c a b a c b c ，共10种情况，记其中2人收入都来自[)15,20事件A ，情况有()()(),,,,,a b a c b c 3种，则()310P A =. 【点睛】此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题.19. 如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上的一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，现将ABE △沿着BE 折起构成四棱锥A BCDE -，M 是四棱锥A BCDE -棱AD 的中点．（1）证明：//HM 平面ABC ；（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，求二面角M AB C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）79. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点为K ，连接,HK KM ，可证明平面//KMH 平面ABC ，从而可得//HM 平面ABC .（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，平面ABE ⊥平面BCDE ，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABC 和平面MAB 的法向量后可求二面角M AB C --的余弦值. 【详解】（1）取AE 的中点为K ，连接,HK KM ， 因为,AK KE AM MD ==，故//KM DE ， 而//DE BC ，故//KM BC ，因为KM ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故//KM 平面ABC .同理//KH BA ，因为KH ⊄平面ABC ，BA ⊂平面ABC ，故//KH 平面ABC ， 因为KH ⊂平面KMH ，KM ⊂平面KMH ，KM KH K ⋂=， 故平面//KMH 平面ABC ，因MH ⊂平面KMH ，故//MH 平面ABC .（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，平面ABE ⊥平面BCDE . 在BC 上取点L ，使得1CL =，则//DE CL ，DE CL =， 故四边形EDCL 为平行四边形，所以2EL CD ==， 因2BL =，BH HE =，故HL BE ⊥.因为2AE ED =，故2AE =，故ABE △为等腰直角三角形， 因BH HE =，故AH BE ⊥，而AH ⊂平面ABE ，平面ABE 平面BCDEBE ，所以AH ⊥平面BCDE .因为HL ⊂平面BCDE ，故AH HL ⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 所以()2323222,2,0,0,,,2222A BC D ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3222M ⎛ ⎝⎭. 又(2,0,2AB =-，323222BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3222442MA ⎛=- ⎝⎭，设平面ABC 的法向量为()111,,m x y z =，则由00m AB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得11112203232022x z x y =⎨-+=⎪⎩，取11y =，则111,1x z ==， 故()1,1,1m =. 设平面MAB法向量为()222,,n x y z =，则由0 n ABn MA⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222222203222+0442x zx y z⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取21x=，则225,1y z==，故()1,5,1n=.所以7cos,9327m nm nm n⋅===⨯.因为二面角M AB C--的平面角为锐角，故其余弦值为79.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20. 已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左右焦点分别为1F、2F，若点(3B在椭圆上，且12BF F△为等边三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点1F的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点2F在以MN为直径的圆外，求直线l 斜率k的取值范围.【答案】（1）22143x y+=；（2）377k>或377k<-.【解析】【分析】（1）本题可以根据点(B在椭圆上得出b =12BF F △为等边三角形得出2a =，即可写求椭圆C 的标准方程；（2）本题首先可以设出直线l 的方程为()1y k x =+，然后联立直线方程与椭圆方程，得出12x x +以及12x x 的值，再然后根据点2F 在以MN 为直径的圆外得出220F M F N ⋅>，最后通过化简并计算即可得出结果.【详解】（1）因为点(B在椭圆上，所以b =因为12BF F △为等边三角形，所以sin 60ba，解得2a =， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）因为椭圆C 的标准方程为22143x y +=，所以()11,0F -，()21,0F ，直线l 的方程为()1y k x =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()2111,F M x y =-，()2221,F N x y =-，联立方程()221 143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22223484120k x k x k +++-=， 则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，且>0∆恒成立， 因为点2F 在以MN 为直径的圆外， 所以290MF N ∠<︒，220F M F N ⋅>， 即()()1212110x x y y --+>，()()()()2121211110x x kx x --+++>，整理可得()()()22212121110k x x k x x k ++-+++>，则()()2222222412811103434k k k k k k k-+--++>++，整理可得279k >，297k >，k >k <. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法以及椭圆与直线相交的相关问题的求法，考查向量的数量积的灵活应用，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.21. 已知函数()x f x a e b =⋅+在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． （1）求a ，b 的值；（2）已知函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于直线 y x =对称．若不等式()1k f x x ⋅-⋅≥⎡⎤⎣⎦()1g x +对0x >恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0==a b ；（2）1k .【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用导数的几何意义即可得出结果；（2）利用已知条件得出()ln g x x =，把不等式转化为ln 1x x xk xe ++≥对0x >恒成立，令ln 1(),(0,)xx x r x x xe++=∈+∞，求导分析函数()r x 的单调性求出()max r x ，即可得出结果. 【详解】（1）由()xf x a e '=⋅， 又切点(0,1)，则(0)111,0(0)11f a b a b k f a ⎧=+='⎧⇒⇒==⎨⎨===⎩⎩（2）由()xf x e =， 则()lng x x =，由不等式()1ln 1xke x x -⋅≥+对0x >恒成立， 整理可得ln 1xx xk xe ++≥对0x >恒成立，令ln 1(),(0,)x x xr x x xe ++=∈+∞，则2(1)(ln )()xx x x r x x e+--'=， 由ln 0x x +=有且仅有唯一的根为0x ， 则00ln 0x x +=， 所以00ln x x =-， 则001x x e=，由则()()0000max 0ln 11x x x r x r x x e ++===，则1k．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数解决不等式恒成立问题.属于中档题.22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,1P ，若直线l 与曲线C 相交于M ､N 两点，求()2||||PM PN +的值.【答案】（1）()()22228x y -+-=；（2）28+【解析】【分析】（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得到答案. （2）首先将11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22228x y -+-=得到)2160t t --=，再利用直线参数方程的几何意义即可得到答案.【详解】（1）由24sin 4cos 4sin 4cos 4πρθρθθρρθρθ⎛⎫=+⇒=+⇒=+ ⎪⎝⎭， 则2244x y y x +=+， 则曲线C 的直角坐标方程为()()22228x y -+-=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理可得)2160t t --=， 其两根分别设为12,t t，则12121,6t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩ 由()()2212122(||||||||)PM PN t t t t +=+=- ()21212428t t t t =+-⋅=+【点睛】本题第一问考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于简单题.。

2019-2020学年四川省成都市数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若x ，y 满足约束条件102103x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．42．若不等式()()121311133x xa g x g ++-≥-对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞3．下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“若,则”的逆否命题为“若，则;②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题,则，. A ．B ．C ．D ．4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =5．已知(2,)M m 是抛物线24y x =上一点，则M 到抛物线焦点的距离是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．66．已知全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|22}B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ） A ．{|32}x x -≤<- B ．{|32}x x -≤<C ．{|21}x x -≤≤D ．{|12}x x x 或≤≥7．某单位为了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了统计表：由表中数据得到线性回归方程ˆ260yx =-+，那么表中m 的值为（） 气温x （℃） 18 13 10-1 用电量y （度） 24 34 m64A ．40B ．39C ．38D ．378．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ） A ．{x|x≥3或x≤－1，x ∈Z} B ．{x|－1≤x≤3， x ∈Z}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}9．若随机变量ξ服从正态分布(0,4)N ，则(2)P ξ>=（ ）附：()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=． A ．1．3413B ．1．2718C ．1．1587D ．1．122810．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．11．已知复数32i4iz x +=-，若z ∈R ，则实数x 的值为( ) A ．6-B ．6C ．83D ．83-12．如图，在正方体1AC 中，,,,E F G H 分别是11,AA BB ,11,CD C D 的中点，则四面体EFGH 在平面11CC D D 上的正投影是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．对于a ，b N ∈，规定,*,a b a b a b +⎧=⎨⨯⎩ a b a b 与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(){,|*36,,}M a b a b a b N +==∈，则M 中的元素的个数为__________．14．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种.(用数字作答)15．如图在ABC V 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC V 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．16．已知函数()12ln ,e e f x a x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ,函数()22g x x =--的图象上存在点Q ,且点P 和点Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知1cos 2B =-． （1）若2a =，23b =，求ABC V 的面积； （2）求sin sin A C ⋅的取值范围．19．（6分）已知5nx x ⎛- ⎪⎝⎭.（1）当6n =时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数. 20．（6分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数的两个零点分别为，且，求证：函数的图像在处的切线的斜率恒小于.21．（6分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x ，当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 22．（8分）已知22()nx x -的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是28:1． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含1x的项． 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】已知x ，y 满足约束条件102103x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，画出可行域，目标函数z ＝y ﹣2x ，求出z 与y 轴截距的最大值，从而进行求解； 【详解】∵x ，y 满足约束条件102103x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，画出可行域，如图：由目标函数z ＝y ﹣2x 的几何意义可知，z 在点A 出取得最大值，A （﹣3，﹣2）， ∴z max ＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4， 故选：D ．【点睛】在解决线性规划的小题时，常用步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②理解目标函数的几何意义，找出最优解的坐标⇒③将坐标代入目标函数，求出最值；也可将可行域各个角点的坐标代入目标函数，验证，求出最值．2．B【解析】【分析】不等式可整理为1212()()333xx xxa+≤=+，然后转化为求函数y12()()33x x=+在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【详解】不等式()()121311133x xag x g++-≥-，即不等式lg()12133x xa++-≥lg3x﹣1，∴()1121333x xxa-++-⋅≥，整理可得1212()()333xx xxa+≤=+，∵y12()()33x x=+在（﹣∞，1）上单调递减，∴x∈（﹣∞，1），y1212()()3333x x=++=＞1，∴要使原不等式恒成立，只需a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．3．B【解析】【分析】根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“”时，可能成立，当“”时，“”，故“”是“”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若为假命题，则，至少有一个假命题，故②错误.对于④，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知④正确.综上所述，正确命题个数为个，故选B. 【点睛】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题. 4．A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A 5．B 【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离2p =+ ．详解：由抛物线方程可得抛物线24y x =中1p = ，则利用抛物线的定义可得点M 到抛物线焦点的距离221 3.p =+=+=．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．C 【解析】 【分析】先求得集合B 的补集，然后求其与集合A 的交集. 【详解】依题意{}|22U C B x x =-≤≤，故(){}|21U A C B x x ⋂=-≤≤，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】由表中数据计算可得样本中心点(),x y ，根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得m 的值. 【详解】 由表格可知()1813101104x +++-==，24346412244m my ++++==，根据回归直线经过样本中心点(),x y ， 代入回归方程可得122210604m+=-⨯+， 解得38m =， 故选：C. 【点睛】本题考查了线性回归方程的简单应用，由回归方程求数据中的参数，属于基础题. 8．C 【解析】试题分析：由题意知q 真，p 假，∴|x －1|<1． ∴－1<x<3且x ∈Z ．∴x ＝0,1,1．选C ． 考点：命题否定 9．C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，以及(22)0.6826P ξ-<<=，可得结果.【详解】10.6826(2)0.15872P ξ->==， 故选：C 【点睛】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题. 10．D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 11．D 【解析】 【分析】 根据题目复数32i4iz x +=-，且z ∈R ，利用复数的除法运算法则，将复数z 化简成a bi +的形式，再令虚部为零，解出x 的值，即可求解出答案． 【详解】2232i 12238i 4i 1616x x z x x x+-+==+-++， ∵z ∈R ，∴380x +=，则83x =-．故答案选D ．【点睛】本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数． 12．C 【解析】分析：根据正投影的概念判断即可. 详解：根据正投影的概念判断选C. 选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2 【解析】分析：由⊕的定义，a *b=1分两类进行考虑：a 和b 一奇一偶，则ab=1；a 和b 同奇偶，则a+b =1．由a 、b ∈N *列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a ，b ）的个数即可详解：a *b=1，a 、b ∈N *，若a 和b 一奇一偶，则ab=1，满足此条件的有1×1=3×12=4×9，故点（a ，b ）有6个； 若a 和b 同奇偶，则a+b =1，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组， 故点（a ，b ）有35个， 所以满足条件的个数为2个． 故答案为2．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键． 14．84 【解析】 【分析】根据题意，用隔板法分析：先将将10个名额排成一列，在空位中插入3个隔板，由组合数公式计算即可得答案. 【详解】根据题意，将10个名额排成一列，排好后，除去2端，有9个空位， 在9个空位中插入3个隔板，可将10个名额分成4组，依次对应4个学校，则有3984C =种分配方法，故答案为：84. 【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意10个名额之间是相同的，运用隔板法求解，属于基础题.15．5+【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABCm S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值． 详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+)554πα=-+≤.当34απ=时取到最大值5+故答案为5+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.16．23,e ⎡⎤⎣⎦【解析】 【分析】由题可以转化为函数y ＝a+2lnx （x ∈[1e，e]）的图象与函数y ＝x 2+2的图象有交点，即方程a+2lnx ＝x 2+2（x ∈[1e ，e]）有解，即a ＝x 2+2﹣2lnx （x ∈[1e，e]）有解，令f （x ）＝x 2+2﹣2lnx ，利用导数法求出函数的值域，可得答案． 【详解】函数y ＝﹣x 2﹣2的图象与函数y ＝x 2+2的图象关于原点对称， 若函数y ＝a+2lnx （x ∈[1e，e]）的图象上存在点P ，函数y ＝﹣x 2﹣2的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则函数y ＝a+2lnx （x ∈[1e ，e]）的图象与函数y ＝x 2+2的图象有交点， 即方程a+2lnx ＝x 2+2（x ∈[1e ，e]）有解，即a ＝x 2+2﹣2lnx （x ∈[1e，e]）有解，令f （x ）＝x 2+2﹣2lnx ，则f ′（x ）()221x x-=，当x ∈[1e，1）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（1，e]时，f ′（x ）＞0， 故当x ＝1时，f （x ）取最小值3， 由f （1e ）21e=+4，f （e ）＝e 2， 故当x ＝e 时，f （x ）取最大值e 2， 故a ∈[3，e 2]，故答案为23,e ⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查的知识点是函数图象的对称性，函数的值域，难度中档． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）352x-；（2）1-. 【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为164得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的一次项和常数项，再求()1212n x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 详解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =， 所以112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项， 即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为. ()166110,1,2,...,622k k kk k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的“1x -”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项相乘得到，再把两个相加即得.18．（12）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据正弦定理和利用A B C π++=，得到()sin sin C A B =+，最后in 12s S ab C =求面积；（2）由已知可得23B π=，所以sin sin sin sin 3A C C C π⎛⎫⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，转化为三角函数恒等变形，得到11sin 2264y C π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 根据角的范围求函数的取值范围.【详解】解：（1）在ABC V 中，∵1cos 2B =-，∴sin 2B =，∵2a =，b =2sin A =∴1sin 2A =， ∴6A π=，6C π=，∴1sin 2ABC S ab C ∆==． （2）11sin sin sin sin sin 23264A C C C C ππ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵0,3c π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴1sin 2,162C π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等变换求函数的最值，第一问也可利用余弦定理求边c ，利用1sin 2S ac B =⋅求面积. 19．（1）①322500x -；②375；（2）150.【解析】【分析】（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数．【详解】（1）①当6n =时，65x⎛- ⎝的展开式共有7项， 展开式中的中间一项为()33333322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝； ②展开式的通项公式为()()36662166515r r rr r r r r T C x C x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ，则42240n n -=，即()()2152160n n +-=，解得4n =.所以，展开式通项为()()34442144515r r r r r r r r T C x C x x ---+⎛=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3412r -=，解得2r =，因此，展开式中含x 项的系数为()222415150C ⋅-⨯=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 20．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先求导数得函数的图像在处的切线的斜率，再根据零点将斜率转化为积的形式，利用导数研究因子单调性，进而根据最值确定符号即得结果.【详解】（1）所以当时，，所以增区间，减区间 当时，，所以增区间，减区间； 当时，，所以增区间，无减区间 当时，，所以增区间，减区间（2）因为，所以，因此函数的图像在处的切线的斜率为 因为函数的两个零点分别为， 所以即，所以 令，则 所以，从而.【点睛】 本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属难题.21．（1）()[)[)2140250,0,803100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100. 【解析】【分析】（1）利用利润=总售价-总成本，根据x 的范围分段考虑()L x 关于x 的解析式，注意每一段函数对应的定义域；（2）求解()L x 中的每段函数的最大值，然后两段函数的最大值作比较得到较大值，即为最大利润.【详解】（1）当[)0,80x ∈时，()()22110.051000102504025033L x x x x x x ⎛⎫=⨯-++=-+- ⎪⎝⎭， 当[)80,x ∈+∞时，()()10000100000.0510005114502501200L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()[)[)2140250,0,803100001200.80,x x x L x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）当[)0,80x ∈时，()()2211402506095033L x x x x =-+-=--+， 所以当60x =时，()max 950L x =（万元）；当[)80,x ∈+∞时，()10000100001200120021000L x x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭， 取等号时10000x x=即100x =，所以()max 1000L x =（万元）950>（万元）， 所以年产量为100千件时，所获利润最大.【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式在实际问题中应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，一定要注意函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时要注意取等号的条件. 22．（1）1；（2）448x-． 【解析】【分析】（1）由条件求出n ，然后令1x =即得展开式中各项系数的和（2）写出通项公式，然后令x 的次数为-1，即可得出答案【详解】解：第四项系数为33(2)n C -，第二项的系数为1(2)n C -， 则331(2)28(2)n n C C -=-， 化简得()()1276n n --=⨯，即23400n n --=解得8n =，或5n =-（舍去）．（1）在二项式822()x x-中令1x =， 即得展开式各项系数的和为()8121-=．（2）由通式公式得88318822()(2)k k k k k x k T C xC x x --+=-=-， 令831k -=-，得3k =． 故展开式中含1x 的项为33148448(2)T C x x-=-=-． 【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基本题型.。

2019-2020学年四川省成都市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．24．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．375．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝18．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】利用交集定义直接求解．解：全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，看出复数的对应的点的坐标，得到点的位置．解：，对应的点是（﹣2，1），故选：B．3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．2【分析】由分段函数f（x）＝，由内向外依次求函数值即可．解：∵f（x）＝，∴f（）＝ln＝﹣1，故选：D．4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．37【分析】根据随机数表直接求解即可．解：第6行第9列的数开始向右读，依次为39，17，37，23，35，则第5个编号是35．故选：C．5．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．【分析】可以求出导函数，然后将x换上即可得出的值．解：∵，∴．故选：B．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【分析】直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．解：由q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，∴1+k2＝4，∴k＝±，显然p⇒q；q得不出p故选：A．7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．解：椭圆+＝1的焦点（±5，0），所以双曲线﹣＝4（a＞0，b＞0）的焦点坐标（±2，0），双曲线﹣＝1离心率为2，所以，可得a＝1，则b＝＝＝．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S．当n＝10时，满足退出循环的条件，＝0++0+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+0++1+＝．故选：B．9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π【分析】由三视图知，该几何体是一个球切除两个八分之一几何体的剩余部分，再根据球的半径即可求得表面积．解：由三视图，该几何体是球体切除两个八分之一几何体的剩余部分，球的半径为2．切除部分：O﹣PAB；O﹣PCD，如图：即原几何体的表面积为S＝×4π×27+×π×24＝18π．故选：C．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）【分析】将曲线C的参数方程，求得其普通方程，并求得其取值范围，利用直线与抛物线的位置关系，即可求得实数k的取值范围．解：对于曲线C：x＝1+sin2θ＝（sinθ+cosθ）2＝y2，因为0≤4+sin2θ≤2，，联立方程组，消去x，整理得ky2﹣y+k＝6，由题意，该方程在上有两个不同的解，有y1+y2＝∈，y＝k（x+1）恒过点（﹣1，6），它与点之间连线的斜率是，因此，，故选：D．11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，结合单调性及偶函数的定义即可比较大小．解：由f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2|﹣x|+3＝﹣x2+2|x|+7＝f（x）可得f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3在（0，1）递增，（1，+∞）上单调减，又ln5﹣1＝ln，1﹣ln2＝ln，且，所以f（ln3）＞f（ln2）＞f（e），故选：A．12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e【分析】运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求最值．解：kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即为lnx﹣kx﹣1≤b在（0，+∞）上恒成立，若k≤0，则f′（x）＞4，可得f（x）在（0，+∞）递增，故k＞0，当＝k时，f（x）取得最大值f（x）max＝f（）＝ln﹣2＝﹣lnk﹣3，则≥﹣﹣，k＞0，g′（k）＝﹣＝，则的最小值是﹣e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为12.3．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求出，然后代入x＝8，求解即可．解：由题意可得＝＝3.5，＝＝3.5，可得＝﹣0.5．当x＝8时，＝1.7×8﹣0.5＝12.3．故答案为：12.3．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1＝0．【分析】求出切点坐标和切点处的导数，然后利用点斜式写出切线的方程．解：易知f（0）＝1，切点为（0，1）．f′（x）＝﹣4e x，所以k＝f′（0）＝﹣2．即2x+y﹣1＝5．故答案为：2x+y﹣1＝0．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是乙．【分析】根据题意，假设结论，根据他们说的话推出与题意不符的即为错误结论，从而得出答案．解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；综上可得：会中国象棋的是乙，故答案为：乙．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．【分析】根据题意，|OQ|＝c．设∠PF1F2＝θ，则，在△PF1F2中，利用余弦定理，即可求得椭圆的离心率的取值范围．解：记PF1的中点为Q，连接OQ，因为Q在x2+y2＝a2﹣b2＝c2，所以|OQ|＝c．所以|PF2|＝2c，|PF3|＝2a﹣2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得＝＝，所以0＜（a﹣c）2≤（a﹣c）c，由e＜1，所以e≥1﹣e，所以＝，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．【分析】（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图列出方程组，能求出m，n，由此能补全各年龄段人数频率分布直方图；（Ⅱ）根据条件从年龄在[30，35）段选取3人，从年龄在[35，40）段选取2人，然后求出从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，基本事件总数n和选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m，再求出选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．解：（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图得：，补全各年龄段人数频率分布直方图如下：（Ⅱ）从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m＝＝6，∴选取的7名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率p＝＝＝．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出函数的最值即可．解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+4ax+b，由f′（﹣1）＝0，f（﹣1）＝0，解得：；则f′（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），故f（x）在[﹣1，﹣）递减，在（﹣，1]递增，而f（﹣5）＝0，f（1）＝4，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值是4．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知证明AE⊥底面BCDE，可得BC⊥AE，再由BC⊥BE，得到BC ⊥平面ABE，进一步可得平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）利用V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD求解．【解答】证明：（Ⅰ）在图①中，由AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，得BE2＝AB2+AE5﹣2AB•AE•cos60°＝．在图②中，有AE⊥BE，∵BE∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE，得AE⊥BC，∴平面ABE⊥平面ABC；∵P为AC的中点，∴P到平面BCD的距离为．∴V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD＝＝．故三棱锥P﹣ABD的体积为．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．【分析】（Ⅰ）反解x，y，根据（x，y）满足圆方程，即可求得曲线C的方程；（Ⅱ）设出点P的坐标（m，n），用m，n表示出M，N两点的坐标，再求三角形面积，即可得到结果．解：（Ⅰ）圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：，即，即曲线C的方程为．故可得m2+4n6＝4，故直线PB方程为：，令y＝4，同理直线PA方程为：，令x＝0，故M点坐标为，＝＝故△ABM与△BMN的面积之和为2．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．【分析】（Ⅰ）对函数f（x）两次求导，由导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）（lnx+ax+1），x∈[，e2]，将问题转化为函数h（x）的零点个数问题，显然x＝1是函数h（x）的一个零点，当x≠1时，求方程lnx+ax+1＝0根的个数，常数分离，构造t（x）＝﹣，x∈[，e2]，利用导数判断函数t（x）的单调性与最值，即可a的取值范围，进而判断零点个数．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣1）lnx的定义域为（0，+∞）．f’（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，f’（1）＝0，所以f（x）（6，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．则函数f（x）与g（x）图象的公共点个数即为函数h（x）的零点个数．当x≠1时，lnx+ax+1＝0，即a＝﹣，则t′（x）＝，故t（x）在[，1）上单调递减，在（3，e2]上单调递增，又t（）＝e8，t（e2）＝﹣，综上可得﹣1＜a≤﹣时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为3；a≤﹣1或a＞e2时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y ﹣5＝0．曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，根据，整理得ρ2＝6ρcosθ，（Ⅱ）把直线的参数方程，代入x2+y6＝6x，所以，t1t2＝﹣5，所以+＝＝．。

四川省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，23174a a a =，则5a =（ ）A ．34B ．38C ．12D ．24【答案】D 【解析】 【分析】由23174a a a =，利用等比中项的性质，求出q ，利用等比数列的通项公式即可求出5a ．【详解】解：数列{}n a 是等比数列，各项均为正数，2231744a a a a ==，所以224234a q a ==，所以2q ．所以33523224a a q =⋅=⨯=，故选D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．2．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次不放回地抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】B 【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A ，记“第二次抽到偶数”为事件B ，则()131535C P A C ==，()11321154310C C P AB C C =⨯=，所以()()()12P AB P A B P A ==.故选B. 3．设i 为虚数单位，则()6x i -的展开式中含4x 的项为（ ） A ．415x - B ．415xC ．420ix -D ．420ix【答案】A 【解析】【分析】利用二项展开式616()(0,1,,6)r r rr T C x i r -+=-=，当2r 时，对应项即为含4x 的项.【详解】因为616()(0,1,,6)r r rr T C x i r -+=-=，当2r时，242244366()15T C x i C x x =-=-=-.【点睛】本题考查二项式定理中的通项公式，求解时注意21i =-，防止出现符号错误.4．若函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f′（x ）的图象如图所示，则y ＝f （x ）的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可. 【详解】由当()0f x '<时，函数()f x 单调递减， 当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，则由导函数()y f x '=的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除,A D ，且两个拐点（即函数的极值点）在x 轴上的右侧，排除B. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.5．椭圆2241y x +=的长轴长为（ ）A ．1B ．2 C．2D【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求a ，进而可得长轴2a . 【详解】解：因为2241y x +=，所以22114x y +=，即21a =，214b =， 所以1a =，故长轴长为22a = 故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的求解及基本概念的考查，属于基础题． 6．已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1a b +，4b c +，9c a+（ ） A ．都大于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都小于4 D ．至少有一个不小于4【答案】D 【解析】分析：利用基本不等式可证明111a b c b c a +++++6≥，假设三个数都小于2，则1116a b c b c a+++++<不可能，从而可得结果. 详解：1111116a b c a b c b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 假设三个数都小于2， 则1116a b c b c a+++++<，所以假设不成立， 所以至少有一个不小于2，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为（） A ．n ＋1 B ．2nC ．222n n ++D ．n2＋n ＋1【答案】C 【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋()21n n +＝222n n ++个区域，选C. 8．已知点A ，B 是抛物线C ：24y x =上的两点，且线段AB 过抛物线C 的焦点F ，若AB 的中点到y 轴的距离为2，则AB =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用AB 中点横坐标来求得弦长. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212112AB x x x x =+++=++，而AB 的中点的横坐标为1222x x +=，所以426AB =+=.故选C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思想.9．已知数列{}a n 的前n 项和为n S ，且()*2120n n n a a a n N +++-=∈，若16182024aa a ++=，则35S =（ ） A ．140 B ．280C ．70D ．420【答案】B 【解析】分析：根据等差数列的判断方法，确定数列{}n a 为等差数列，再由等差数列的性质和前n 项和公式，即可求得35S 的值.详解：()*2120n n n a a a n N +++-=∈，得122n n n a a a ++=+∴数列{}n a 为等差数列.由等差数列性质：1620135182a a a a a +=+=，16182024a a a ++= 188a ∴=135351835353582802a a S a +∴=⋅==⨯= 故选B.点睛：本题考查等差数列的判断方法，等差数列的求和公式及性质，考查了推理能力和计算能力. 等差数列的常用判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若1n n a a d +-=()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若122n n n a a a ++=+()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 10．已知直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直，则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．92-C ．2D ．92【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，得到6340a ⨯+⨯=，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直， 则满足6340a ⨯+⨯=，解得2a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．280B ．455C ．355D ．350【解析】 【分析】每个实验室人数分配有三种情况，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可 【详解】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有124764105C C C =种； 当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有133763140C C C =种； 当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有223753210C C C =种. 故不同的分配方案有455种.选B. 【点睛】本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题 12．定积分121(3)x x dx --=⎰（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】直接利用定积分公式计算得到答案. 【详解】123211111(3)1121222x x dx x x -⎛⎫-=-=-++= ⎪-⎝⎭⎰. 故选：B . 【点睛】本题考查了定积分，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题 13．已知函数，则函数的最小值是________.【答案】-16. 【解析】 【分析】 根据解析式的对称性进行换元，令，得到的最小值，由与的最小值相同，得到答案令，则当时，有最小值故的最小值是.【点睛】本题考查利用换元法求函数的最小值，二次函数求最值，属于中档题. 14．若不等式26ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为________． 【答案】4- 【解析】 【分析】 【详解】因为不等式26ax +<的解集62684ax ax ⇔-<+<⇔-<<()840x a a a -∴<<>（舍），48(<0)x a a a-<<, =4a ∴-，故答案为4-.15．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 【答案】2； 【解析】 【分析】先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差. 【详解】 因为1325415355x ++++===，方差222222(13)(33)(23)(53)(43)25s -+-+-+-+-==.【点睛】本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力.16．在如图所示的十一面体ABCDEFGHI 中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．【答案】6 【解析】分析：首先分析几何体的空间结构，然后结合排列组合计算公式整理计算即可求得最终结果. 详解：空间几何体由11个顶点确定，首先考虑一种涂色方法： 假设A 点涂色为颜色CA ，B 点涂色为颜色CB ，C 点涂色为颜色CC ， 由AC 的颜色可知D 需要涂颜色CB ， 由AB 的颜色可知E 需要涂颜色CC ， 由BC 的颜色可知F 需要涂颜色CA ， 由DE 的颜色可知G 需要涂颜色CA ， 由DF 的颜色可知I 需要涂颜色CC ， 由GI 的颜色可知H 需要涂颜色CB ，据此可知，当△ABC 三个顶点的颜色确定之后，其余点的颜色均为确定的，用三种颜色给△ABC 的三个顶点涂色的方法有336A =种，故给题中的几何体染色的不同的染色方案种数为6.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。