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目标规划的数学模型

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mip数学模型

mip数学模型

mip数学模型
MIP（Mixed Integer Programming）是一种数学规划模型，也是最常用的整数规划方法之一。

MIP模型包含了线性约束条件和整数变量，目标是找到最优解来最小化或最大化某个优化函数。

MIP模型可以表示为如下形式：
min/max c^T * x
subject to A * x <= b
x_j为整数变量
x_j >= 0, x_j为非负变量
其中，c是一个n维列向量表示目标函数的系数，x是一个n 维列向量表示决策变量，A是一个m×n维矩阵表示线性约束条件，b是一个m维列向量表示约束条件的右侧常数。

MIP模型可以通过数学规划求解器，如CPLEX、Gurobi等进行求解。

这些求解器使用了一系列特定的算法和技术，在合理的时间内找到最优解或接近最优解。

MIP模型在实际应用中广泛存在，例如生产调度、库存管理、路径优化等问题。

通过使用整数变量，MIP模型可以更好地处理离散决策问题，提供更优的决策方案。

第9章目标规划

第9章目标规划

d
2

400 560
(1) (2)

2x1

2x2

d
3

d
3
120
(3)

x1

2.5x2

d
4

d
4
100
(4)

x1、x2
,
d
j 、d
j

0,
j
1,,4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的
解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择．
原材料供应严格限制 2x1+x2≤11
考虑级别： 第一级： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量
∵ x1≤x2
∴ x1－ x2 ≤0
∴ x1－x2+ d1－ － d1+=0
第二级：(2)充分利用设备有效台时，不加班 x1+2x2+ d2－ － d2+=10
第三级： (3充)分利利润用不设小于56元
(6)

x1, x2 di , di 0 (i 1, , 4)
C
(3) d1
d1 2
A
min d3 d3
满意解 C(3,3)
min d1
x1
o
2
4
6
图2－1
满意解X＝(3,3)
问题1：最后的利润是多少？
20x1+40x2+d1—d1+=80 x1=3, x2=3 得到d1+=100 利润=180
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目
标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标

第一节 目标规划的数学模型

第一节 目标规划的数学模型

kl , kl 为分别赋予第l个目 式中：Pk为第k级优先因子，k=1,…,K； 标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值， l=1,…L。

建立目标规划数学模型的步骤
（1）按照实际问题所提出的各个目标与条件，列出目标的 优先级。 （2）写出绝对约束和目标约束 （3）给各个目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级中 各偏差变量，按不同的重要程度赋予不同的权系数。 （4）对要求恰好达到目标值的目标，则取正负偏差变量之 和，即 min(d d ) ；对要求超过目标值的，只取负偏差变量， min d 即 ；对要求不超过目标值的，只取正偏差变量， 即 min d ，构造一个极小化的关于偏差变量的目标函数。
又包含偏差变量；
6. 目标规划模型中的优先级 pi 较之 pi 1的重
要性一般为数倍至数十倍之间； 7. 目标规划模型中的目标函数按照问题的性 质要求可表示为求min或max； 8. 下列表达式能否表达目标规划模型中的 目标函数：
(1)max z p1d1 p2 d 2 (2)min z p1d1 p2 d 2 (3)min z p1d1 p2 ( d 2 d 2 )
6.1.2关于目标规划的几个概念
1.偏差变量
用d＋表示超过目标值的差值，称为正偏差变量；
d－表示未达到目标值的差值，称为负偏差变量．
第一目标:尽量完成本周期的利润指标24000元 如果实际利润是23500元,则 d 0, d 500 如果实际利润是24080元,则 d 80, d 0
min d1 300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 , x d d 100 min( d d 2 2 3 3 1 2 3 ) 2 20 x 10 x d d 1400 4 min d 1 2 4 4

数学建模 四大模型总结

数学建模 四大模型总结

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

目标规划和线性规划的区别]

目标规划和线性规划的区别]
目标规划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
（二）、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为：
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严 格满足的等式或不等式，是绝对化的“硬约 束”，此种问题若要求太多时，很容易相互矛 盾，得不到可行解。如根据市场情况再加以下 要求：
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到 目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的 重要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）

数学建模-数学规划模型

数学建模-数学规划模型
建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类

《运筹学》教案-目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。

目标规划的数学模型概述


3
通过权重调整，可以突出或降低某个目标在整体 优化中的地位，从而在满足其他目标的同时，更 好地实现关键目标。
约束处理策略
约束处理策略是目标规划中处理各种限制条件的关键 技术，包括等式约束、不等式约束和边界约束等。
约束处理策略的目标是在满足所有约束条件的前提下 ，实现目标的优化。
常见的约束处理方法包括消元法、增广拉格朗日乘子 法和罚函数法等，这些方法可以根据问题的特性和约
金融投资中的目标规划
总结词
金融投资中的目标规划旨在实现投资组合的优化配置，以最大化收益或最小化风险为目标。
详细描述
在金融投资中，目标规划用于确定最佳的投资组合配置，以最大化投资收益或最小化投资风险。通过 设定具体的目标函数和约束条件，金融投资中的目标规划可以找到平衡收益和风险的最佳解决方案， 帮助投资者实现投资目标。
最优解是指在满足约束条件的前 提下，使目标函数达到最优值的 解。
目标规划的解法
解析法
解析法是通过分析目标函数的性 质和约束条件的特点，采用数学 分析的方法来求解最优解的方法 。
梯度法
梯度法是通过计算目标函数的梯 度，采用迭代的方法来求解最优 解的方法。
遗传算法
遗传算法是一种基于生物进化原 理的优化算法，通过模拟自然选 择和遗传机制来求解最优解的方 法。
遗传算法在处理多目标优化、约束优化和大规模优化问题时具有较好的性 能表现，广泛应用于机器学习、数据挖掘、机器人等领域。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的随机 搜索算法，通过模拟固体退火过程来寻找最优 解。
模拟退火算法采用一定的概率接受劣质解，以 避免陷入局部最优解，并逐步寻找全局最优解 。
生产计划中的目标规划

数学建模常用模型及代码

数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。

点击进入传送门
2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。

传送门
3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。

n个人指派n项工作的问题。

传送门
４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。

传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。

传送门
6.动态规划
运筹学的一个分支。

求解决策过程最优化的过程。

传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。

传送门
三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。

传送门。

《运筹学》教案目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型教案章节：一、引言教学目标：1. 理解目标规划数学模型的基本概念。

2. 掌握目标规划数学模型的建立方法。

教学内容：1. 目标规划数学模型的定义。

2. 目标规划数学模型的建立步骤。

教学方法：1. 讲授法：讲解目标规划数学模型的基本概念和建立方法。

2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。

教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。

2. 投影仪、白板、教学用具。

教学过程：1. 引入新课：通过讲解目标规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。

2. 讲解基本概念：讲解目标规划数学模型的基本概念，包括目标、约束条件、优化方法等。

3. 讲解建立方法：讲解目标规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定约束条件、选择优化方法等。

4. 案例分析：分析实际案例，让学生更好地理解目标规划数学模型。

5. 课堂练习：让学生运用所学的知识，解决实际问题，巩固所学内容。

6. 总结与展望：总结本节课的重点内容，布置课后作业，预告下一节课的内容。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。

2. 学生参与案例分析和课堂练习的积极性和主动性。

3. 学生对目标规划数学模型的理解和应用能力。

教案章节：二、线性规划数学模型教学目标：1. 理解线性规划数学模型的基本概念。

2. 掌握线性规划数学模型的建立方法。

教学内容：1. 线性规划数学模型的定义。

2. 线性规划数学模型的建立步骤。

教学方法：1. 讲授法：讲解线性规划数学模型的基本概念和建立方法。

2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解线性规划数学模型。

教学准备：1. 教案、PPT、教学案例。

2. 投影仪、白板、教学用具。

教学过程：1. 引入新课：通过讲解线性规划数学模型的定义和应用领域，引发学生对该课题的兴趣。

2. 讲解基本概念：讲解线性规划数学模型的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。

3. 讲解建立方法：讲解线性规划数学模型的建立步骤，包括明确目标、确定决策变量、列出约束条件等。

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❖ LP只能处理单目标优化问题。因此，线性规划模型中人为地 将一些次要目标转化为约束。
❖ LP要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际中并非所有 约束都必须严格满足。
❖ LP中各个约束都处于同等重要地位，但实际问题中各个目标 既有层次上的差别，又有权重上的区分。
❖ LP寻求最优解，但很多问题只要找到满意解即可。
4. 目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变量及 其相应的优先因子、权系数构成的函数，目标函数应该是 求极小
minz=f(d-, d＋)
1. 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量尽可能地小, 即 minz=f(d-+d＋); 2.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏差 变量尽可能地小，即minz=f(d＋); 3.要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量尽可
5x1 2.5x2 d3 d3 2500
（4）原材料的消耗量不超过库存量，即
2x1 2x2 d4 d4 1600
根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，得到目标规划 模型：
min
Z
=
P1
d1
P2
d
2
P3
(d3
d3
)
P4
d4
4x1000dx21
3000x2 d1
d
2
300
d1
目标规划（Goal Programming）
在线性规划的基础上发展起来的解决多目标规划问题的 最有效的方法之一。
1961年，美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏 (W.W.Cooper)在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中 首先提出目标规划。
1976年伊格尼齐奥发表了《目标规划及其扩展》一书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方法。
解 设x1, x2 分别表示该制造厂每年生产的A、B两种 型号汽车的数量，则可建立该问题的数学模型如下
max Z 4000x1 3000x2
2x1 2x2 1600 s.t.5x1x1420.05x2 2500
x1 0, x2 0
它的最优解为: x1 =200, x2 =600, z =260万元。
j 1
s.t.
n
aij x j
(, )bi ,i 1, 2,, m
j 1
x
j
0,
j
1, 2,, n
d
k
,
d
k
0, k
1, 2,,
K
建立目标规划数学模型的步骤可以归纳为：
(1) 根据实际问题所要满足的条件与达到的目标，设出决策变 量，列出目标约束和绝对约束；
假设制造厂的经营目标不仅仅是利润，而是要考虑多个方面 的目标:
(1) 希望达到或超过原计划利润指标260万元； (2) 根据市场的需求，A型号汽车的产量不超过300辆； (3) 充分利用工厂的有效工时，尽量不加班； (4) 原材料的消耗量不超过库存量．
是否可以用线性规划解决上述多目标的问题？
线性规划模型存在以下几方面的局限性:
能地小，即minz=f（d-） .
对例4.1.1的问题，依次考虑上面的四个目标：
（1）应尽可能达到或超过原计划利润指标260万元，即
4000x1 3000x2 d1 d1 2600000
(2) A型号汽车的产量不应超过300辆，即
x1 d2 d2 300 (3) 充分利用工厂有效工时，尽量不加班，即
为了解决上述多目标的规划问题，就需要使用目标规划 的方法。
目标规划解决上述LP建模中的局限性的方法：
❖ 对每个目标函数确定一个希望达到的期望值(目标值或理想 值)；由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都 达到；
❖ 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量，分别表示超过 或未达到目标值的情况；
2.绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式和不等式约束，如 线性规划问题中的所有约束条件都是绝对约束．目标约束 是目标规划特有的约束，它把右端常数项作为要追求的目 标值．
3.优先因子和权系数
（1）在目标规划中，如果两个不同目标的重要程度相差 悬殊，为达到某一目标可牺牲其他目标，称这些目标是属 于不同层次的优先级。优先级层次的高低可通过优先因子 P1，P2……表示。并规定P k » P k+1 ，即不同优先级之间 的差别无法用数字大小衡量。 （2）对属于同一层次优先级的不同目标，其重要程度的 差别可以通过设置权系数来表达。权系数越大，表示目标 越重要。
2600000
s.t.
5x1 2 x1
2.5x2 2x2
d3 d4
d3
d
4
2500 1600
x1
0, x2
0
d1
,
d1
,
d2
,
d2
,
d3
,
d3
,
d
4
,
d
4
0
目标规划的一般数学模型为：
L
K
min z
Pl [
(lk
d
k
lk
dk
)]
l 1 k 1nckj x j Nhomakorabeadk
d
k
gk , k 1, 2,, K
4.1 目标规划的数学模型
线性规划：在一组线性约束条件下求一个线性函数的极值问题。
线性规划的局限性
只能解决在一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题。
但是，在实际决策中，衡量方案优劣常常需要考虑多个目标,例如 ：质量、利润、需求量、运输费用等，这些目标中，有主要的， 也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的； 有互相补充的，也有互相对立的，此时线性规划则无能为力。
❖ 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条件中， 组成新的约束条件；
❖ 引入目标的优先等级和加权系数；建立使组合偏差最小的目 标函数。
1.正负偏差变量 ｄ＋——超出目标的差值，称正偏差变量； ｄ-——未达到目标的差值，称负偏差变量。 ｄ＋与ｄ－两者必有一个为零
（1）ｄ-＝0，ｄ＋>0 表示实际值超出规定目标值； （2）ｄ->0，ｄ＋＝0 表示实际值未达到目标值； （3）ｄ-=0，ｄ＋＝0 表示实际值同目标值恰好一致。
例4.1.1 某汽车制造厂生产A、B两种型号的汽车，该 制造厂每年原材料的供应量为1600吨，生产一辆汽 车所需要的原材料都是2吨，工厂的生产能力是每5 小时可生产一辆A型号汽车，每2.5小时可生产一辆 B型号汽车，制造厂全年的有效工时为2500小时； 已知供应给该厂A型号汽车用的轮胎每年可装配400 辆． 根据调查，生产每辆A型号汽车可获利4000元 ，B型号汽车为3000元．负责人如何安排生产计划 可使该制造厂每年所获利润最大？