【数学建模】多目标规划方法
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基于混合整数线性规划的多目标物流路径规划数学建模
基于混合整数线性规划的多目标物流路径规划数学建模多目标物流路径规划是指在满足多个目标的前提下，确定物流运输网络中各个节点之间的最佳路径和运输量。
在实际生产和配送过程中，物流路径规划的优化对于提高物流效率和降低物流成本具有重要意义。
本文将介绍基于混合整数线性规划的多目标物流路径规划数学建模方法。
首先，我们需要明确多目标物流路径规划的目标。
一般来说，物流路径规划需要同时满足以下多个目标：最短路径、最小成本、最小运输时间、最小能源消耗、最小污染排放等。
在实际问题中，可能还会根据具体需求提出其他目标。
我们将这些目标定义为优化目标函数。
其次，我们需要建立多目标物流路径规划的数学模型。
多目标规划中，常用的方法是加权法。
即将每个目标根据其重要性分配一个权重，然后将多个目标函数线性组合成一个总目标函数。
以最短路径和最小成本为例，假设分别对应的权重为w1和w2，则总目标函数可以表示为Z = w1 * f1 + w2 * f2，其中f1和f2分别表示最短路径和最小成本的目标函数。
在建立目标函数之后，我们需要确定决策变量，即模型中需要优化的变量。
在物流路径规划中，常用的决策变量包括运输路径、运输量、起点和终点等。
我们可以使用二维矩阵表示网络节点之间的路径，使用变量x[i,j]表示节点i到节点j的路径是否存在。
同时，使用变量y[i,j]表示节点i到节点j的运输量。
接下来，我们需要定义约束条件，以限制变量的取值范围。
常见的约束条件包括物流路径一致性条件、运输量限制条件、起点和终点限制条件等。
例如，路径一致性条件可以表示为sum(x[i,j]) = 1，即每个节点只能有一条进出路径。
运输量限制条件可以表示为y[i,j] <= C[i,j]，即运输量不能超过节点i到节点j的最大运输能力。
最后，我们可以使用混合整数线性规划求解器对建立的多目标物流路径规划模型进行求解。
求解过程中，需要根据具体情况设置目标函数权重和约束条件，并根据求解结果进行调整和改进。
数学模型与数学建模5.4 多目标规划
2 p
(
x1
,
x2
,
nn
xn ) ij xi x j
i1 j 1
n
max Rp (x1, x2 , xn ) Ei Ci xi i 1
s.t.
n i1
xi
n
Ci xi
i 1
m
xi 0 , i 1, 2, , n,
（5.4.4）
( x2
3)2
x1
,
x2
0
7. 已知某指派问题的有关数据（每人完成各项工作的时间 ）如下表所示，试对此问题用动态规划方法求解。要求： （1）列出动态规划的基本方程； （2）对该动态规划模型求解。
表3 指派问题中人员完成任务的工作时间
8. 某公司去一所大学招聘一名管理专业应届毕业生。从众 多应聘学生中，初选3名决定依次单独面试。面试规则为： 当对第1人或第2人面试时，如满意（记3分），并决定聘用 ，面试不再继续；如不满意（记1分），决定不聘用，找下 一人继续面试。但对决定不聘用者，不能同在后面面试的人 比较后再回过头来聘用。故在前两名面试者都决定不聘用时 ，第三名面试者不论属何种情况均需聘用。根据以往经验， 面试中满意的占20%，较满意的占50%，不满意者占30%。要 求用动态规划方法帮助该公司确定一个最优策略，使聘用到 的毕业生期望的分值为最高。
标规划问题进行标量化处理，即将其转化为单目标
规划问题来求解。通常对m个目标 f1(x), f2(x), , fm (x)
分别乘以权系数 1, 2 , , m ，然后求和得新的目标
m
函数：U (x) i fi (x)。从而有如下单目标规划问题
数学建模目标规划方法
30
x1
2x1
12x2 x2
d1 d2
d1 d2
2500 140
x1
d
3
d3
60
a x (,)b
ij j
i
j 1
(i 1,2, , m)
绝对约束
x 0 ( j 1,2, , n) j
d , d 0 (l 1,2, , L) ll
非负约束
K
L
min Z
pk
(kl
d
l
kl
dl
)
k 1
l 1
n
c(l) x d d g ( l 1,2, , L)
三 目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法 是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
34
4
所以目标规划模型为：
min Z p d p (7d 12d ) p (d d )
11
2
2
3
34
4
70x 120x d d 50000
1
2
1
1
x 1
d d 200
2
2
x d d 250
生产甲、乙两种产品，
多目标规划方法——数学建模课件PPT
min Z (F F )T A(F F ) (X ) G
式中，ai 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 ai (i 1,2,, k)组成的m×m对 角矩阵。
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给 出一个可供选择的范围，则该目标就可以 作为约束条件而被排除出目标组，进入约 束条件组中。
)
l 1 k 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
fi
d
i
d
i
f
i
(i
1,2,, K )
（6.2.18） （6.2.19） （6.2.20）
式中：d i
和
d
分别表示与
i
f
i
相应的、与
fi*
相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
pl 表示第l个优先级；
lk
（6.2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 i来反映原问题中各目标函数 在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
i (x1, x2 ,xn ) gi (i 1,2,, m)
Hale Waihona Puke k式中，诸 i应满足： i 1 i 1
若采用向量与矩阵 max T
max(min)Z AX
（6.1.5）
BX b
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着 需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以 得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以 得到最满意的解决 ？
式中，ai 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 ai (i 1,2,, k)组成的m×m对 角矩阵。
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给 出一个可供选择的范围，则该目标就可以 作为约束条件而被排除出目标组，进入约 束条件组中。
)
l 1 k 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
fi
d
i
d
i
f
i
(i
1,2,, K )
（6.2.18） （6.2.19） （6.2.20）
式中：d i
和
d
分别表示与
i
f
i
相应的、与
fi*
相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
pl 表示第l个优先级；
lk
（6.2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 i来反映原问题中各目标函数 在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
i (x1, x2 ,xn ) gi (i 1,2,, m)
Hale Waihona Puke k式中，诸 i应满足： i 1 i 1
若采用向量与矩阵 max T
max(min)Z AX
（6.1.5）
BX b
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着 需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以 得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以 得到最满意的解决 ？
数学建模-多目标规划
例 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
min h(F (x)) st x R
方法：(1)理想点法
第一步：计算出 个单目标规划问题
f* i
min fi ( x) st x R
第二步：构造评价函数
p
h(F(x))
(
fi (x)
f *)2 i
i 1
3、评价函数法
(2)、线性加权法
p
p
h(F(x)) j f j 其中j 0, j 1
上班时间 加班情况
X1+d3- -d3+=24 X2 +d4- -d4+=30
市场需求
X1 , X2 , di- , di+ 0 di- .di+= 0 (i=1,2,3,4)
多目标线性规划问题的Matlab7.0求解
多目标线性规划标准形式 min f (x) ( f1(x), f2(x), fn(x))T gi (x) 0 i 1, 2 , m hj (x) 0 j 1, 2, , k x0
数学建模-多目标规划
2 x1 x2 11 x1 2 x2 10 x ,x 0 1 2
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为: x1 4, x 2 3, Z 62 （万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如： ① 根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。 ②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产 成本增加。 ③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。 ④应尽可能达到并超过计划产值指标56万元。 这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决 策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。
min Z pl ( lk d k lk d k )
l 1 k 1
L
K
i ( x1 , x2 , , xn ) g i ( i 1,2, , m )
f i d i d i f i ( i 1,2, , K )
式中：
min Z i ( fi fi ) 2
k
i ( x1 , x2 , , xn ) gi ( i 1, 2, , m ) 或写成矩阵形式： min Z ( F F )T A( F F )
( X ) G
i 1
式中， i 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 i (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。
目标规划模型 目标规划软件求解
目标规划模型
给定若干目标以及实现这些目标的优先顺 1.基本思想 ： 序，在有限的资源条件下，使总的偏离目 标值的偏差最小。
2.目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、 乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8万元 和10万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料 分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1单位 台时和2单位台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的 设备总台时为10单位台时。试问：如何确定其生产方案 使得企业获利最大？
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为: x1 4, x 2 3, Z 62 （万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如： ① 根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。 ②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产 成本增加。 ③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。 ④应尽可能达到并超过计划产值指标56万元。 这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决 策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。
min Z pl ( lk d k lk d k )
l 1 k 1
L
K
i ( x1 , x2 , , xn ) g i ( i 1,2, , m )
f i d i d i f i ( i 1,2, , K )
式中：
min Z i ( fi fi ) 2
k
i ( x1 , x2 , , xn ) gi ( i 1, 2, , m ) 或写成矩阵形式： min Z ( F F )T A( F F )
( X ) G
i 1
式中， i 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 i (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。
目标规划模型 目标规划软件求解
目标规划模型
给定若干目标以及实现这些目标的优先顺 1.基本思想 ： 序，在有限的资源条件下，使总的偏离目 标值的偏差最小。
2.目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、 乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8万元 和10万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料 分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1单位 台时和2单位台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的 设备总台时为10单位台时。试问：如何确定其生产方案 使得企业获利最大？
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
多目标优化问题的数学建模与求解方法研究
多目标优化问题的数学建模与求解方法研究1. 引言多目标优化问题是现实生活中常见的一个重要问题，其目标是在给定的约束条件下，同时优化多个矛盾的目标函数。
本文旨在研究多目标优化问题的数学建模方法和求解方法，以帮助解决该类问题。
2. 数学建模方法多目标优化问题的数学建模主要包括目标函数的定义和约束条件的建立。
在定义目标函数时，需要明确多个目标的优先级和权重。
常用的目标函数形式包括线性函数、非线性函数和混合整数线性规划等。
约束条件的建立与具体的问题相关，可以是线性约束、非线性约束或整数约束等。
3. 求解方法多目标优化问题的求解方法主要分为传统方法和进化算法两大类。
3.1 传统方法传统的多目标优化问题求解方法包括加权法、ε-约束法和多目标规划法等。
加权法将多个目标函数线性组合成一个综合指标，然后通过调整各个目标函数的权重来找到最优解。
这种方法简单直观，但是对权重的选择要求较高。
ε-约束法将多目标优化问题转化为单目标优化问题的一系列子问题，每个子问题将其中一个目标函数作为主要目标进行优化，同时将其他目标函数作为约束条件。
通过遍历不同的ε值来得到Pareto前沿。
多目标规划法将多个目标函数转化为多个单目标优化问题，然后通过使用序列二次可行规划、权重法或相关约束法等方法来求解。
这种方法充分考虑了不同目标之间的关联性，但求解过程较为复杂。
3.2 进化算法进化算法是一类启发式优化算法，主要包括遗传算法、粒子群优化算法和模拟退火算法等。
遗传算法模拟自然进化过程，通过交叉、变异和选择等操作来生成新的解，并利用适应度函数来评估解的质量。
通过多代进化，逐步逼近Pareto前沿。
粒子群优化算法模拟鸟群觅食行为，通过每个粒子的经验和社会信息来更新自身的位置和速度。
通过多次迭代，逐步逼近Pareto前沿。
模拟退火算法模拟固体退火过程，通过随机选择邻域解并接受差解的概率来搜索更优解。
通过温度的降低逐步逼近Pareto前沿。
进化算法具有较强的全局搜索能力和鲁棒性，但是在求解大规模多目标优化问题时，计算复杂度较高。
数学建模必备LINGO在多目标规划和最大最小化模型中的应用
数学建模必备LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用一、多目标规划的常用解法多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有：1．主要目标法确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。
2．线性加权求和法对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑ii ω，然后把)(x f i ii ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。
3．指数加权乘积法设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令∏==pi a i ix f Z 1)]([其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。
4．理想点法先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令∑-=2*))(()(iifx f x h然后把它作为新的目标函数。
5．分层序列法将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不足之处。
例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。
线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。
二、最大最小化模型在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。
例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。
最大最小化模型的目标函数可写成)}(,),(),(max{min 21X f X f X f p X或)}(,),(),(min{max 21X f X f X f p X式中T n x x x X ),,,(21 是决策变量。
大学生数学建模--多目标规划建模
hj(X) 0
多目标规划问题的求解
一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为 求解单目标问题. 然后利用单目标模型的方法,求出 单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.
下面,我们介绍几种主要的转化方法: • 线性加权和法 • 理想点法 • 极大极小法 • 主要目标法
多目标规划问题的求解
hj(X) 0
X (x1, x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极小(min)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≤ F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*）≥F(X)且有一至少一个
fi0 (x) fi0 (x*)
2、多目标优选问题的模型结构
多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.
一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往 有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高 利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题. 。
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多 目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解 使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类 是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中 根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选 方案的优先等级与排序.
三、多目标规划问题的求解
多目标决策由于考虑的目标多,各目标之间的矛盾性 和不可公度性,这就使多目标问题成为一个复杂而困 难的问题.所谓矛盾性是指采用某种方案去改进一个 目标的同时，可能会使另一个目标值变劣。而目标 间的不可公度性是指各目标间一般没有统一的度量 标准，因而不能直接进行比较和运算。但由于客观 实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而 出现了许多解决此决策问题的方法.
多目标规划问题的求解
一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为 求解单目标问题. 然后利用单目标模型的方法,求出 单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.
下面,我们介绍几种主要的转化方法: • 线性加权和法 • 理想点法 • 极大极小法 • 主要目标法
多目标规划问题的求解
hj(X) 0
X (x1, x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极小(min)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≤ F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*）≥F(X)且有一至少一个
fi0 (x) fi0 (x*)
2、多目标优选问题的模型结构
多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.
一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往 有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高 利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题. 。
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多 目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解 使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类 是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中 根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选 方案的优先等级与排序.
三、多目标规划问题的求解
多目标决策由于考虑的目标多,各目标之间的矛盾性 和不可公度性,这就使多目标问题成为一个复杂而困 难的问题.所谓矛盾性是指采用某种方案去改进一个 目标的同时，可能会使另一个目标值变劣。而目标 间的不可公度性是指各目标间一般没有统一的度量 标准，因而不能直接进行比较和运算。但由于客观 实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而 出现了许多解决此决策问题的方法.
多目标规划建模-数学建模
f4 50.5 100 1 25.75
f5 34 1 67 100
6 j 1 6
f6 50.5 1 100 1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),
U ( X 1 ) j a1 j 34 U ( X 2 ) j a 2 j 40.6
j 1 6
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。 fij A1 A2 A3 A4 f1 2.0 2.5 2.0 2.2 f2 1500 2700 2000 1800 f3 4 3.6 4.2 4 f4 55 65 45 50 f5 一般 低 高 很高 f6 高 一般 很高 一般
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多目 标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个 目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优 选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或 多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排 序.
三、多目标规划问题的求解
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此 有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问 题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越 受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为 求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问 题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的 最优解,以此作为多目标问题的解.
多目标规划求解方法介绍
多目标规划求解方法介绍多目标规划（multi-objective programming，也称为多目标优化）是数学规划的一个分支，用于处理具有多个冲突目标的问题。
在多目标规划中，需要找到一组解决方案，它们同时最小化（或最大化）多个冲突的目标函数。
多目标规划已经在许多领域得到了应用，如工程、管理、金融等。
下面将介绍几种常见的多目标规划求解方法。
1. 加权和法（Weighted Sum Method）：加权和法是最简单和最直接的多目标规划求解方法。
将多个目标函数通过赋予不同的权重进行加权求和，得到一个单目标函数。
然后使用传统的单目标规划方法求解该单目标函数，得到一个最优解。
然而，由于加权和法只能得到权衡过的解，不能找到所有的非劣解（即没有其他解比它更好），因此它在解决多目标规划问题中存在局限性。
2. 约束方法（Constraint Method）：约束方法是将多目标规划问题转化为一系列带有约束条件的单目标规划问题。
通过引入额外的约束条件，限制目标函数之间的关系，使得求解过程产生多个解。
然后使用传统的单目标规划方法求解这些带有约束条件的问题，得到一组最优解。
约束方法可以找到非劣解集合，但问题在于如何选择合适的约束条件。
3. 目标规划算法（Goal Programming Algorithms）：目标规划算法是特别针对多目标规划问题设计的一类算法。
它通过将多个目标函数转化为约束关系，建立目标规划模型。
目标规划算法可以根据问题的不同特点选择相应的求解方法，如分解法、交互法、加权法等。
这些方法与约束方法相似，但比约束方法更加灵活，能够处理更加复杂的问题。
4. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种启发式的优化方法，也可以用于解决多目标规划问题。
它模仿自然界中的进化过程，通过不断地进化和迭代，从初始种群中找到优秀的个体，产生一个适应度高的种群。
在多目标规划中，遗传算法通过构建适应度函数来度量解的好坏，并使用交叉、变异等操作来产生新的解。
数学建模优化之多目标规划
顺序将一个多目标规划问题转化为一系列单目 标优化问题来求解。
步骤：
主要目标 f1 x的最优集合为 R1，再在集优
解集合为 R2 ，如此继续进行，直到求出最后一
个目标函数的最优解。
第一步 第二步 第p步
min
xR0
f1
x
f1
x1
min
在处理单目标最优化问题时，其任务是 选择一个或一组变量，使目标函数取极小 （或极大）值。对任意可行解，只要比较它 们对应的目标值，就可以判断哪个优哪个劣。 也就是说，我们总能排出它们的次序来。但 是在多目标情况下，问题就不是那么单纯了。 例如，我们希望两个目标和越大越好.
6 7
第
8
二
3
目
标
f2
1
例子：
橡胶配方问题
一个橡胶由 n 种成分组成，用 x x1, x2,xn T
来表示一个橡胶配方。对于每一个配方往往同
时需要考察多个指标。例如橡胶的强力 f1x ，
硬度 f2 x，伸长 f3 x，变形 f4 x等，假设共有 m
个指标，则对两个不同方案，就要同时比较个 指标，才能获得尽可能好的橡胶配方。
按照这种比法，方案1、2、3、4、5都是 劣解。而余下的6、7、8、9则不然。这几个 方案的特点是，它们中的任何一个和其余的 任何一个相比，总有一个指标优越，但又不 会两个指标都优越。像这样的解，既不会被 舍去，又不是全面优越于其他解，为非劣解 或有效解。
一般思路
•先找出非劣解 •按一定法从它们之中选取一个比较好的作 为“最优”方案
1 xi 0
若对第 i 个项目投资 若对第 i 个项目不投资
约束条件为：
n
ai xi a
i 1
步骤：
主要目标 f1 x的最优集合为 R1，再在集优
解集合为 R2 ，如此继续进行，直到求出最后一
个目标函数的最优解。
第一步 第二步 第p步
min
xR0
f1
x
f1
x1
min
在处理单目标最优化问题时，其任务是 选择一个或一组变量，使目标函数取极小 （或极大）值。对任意可行解，只要比较它 们对应的目标值，就可以判断哪个优哪个劣。 也就是说，我们总能排出它们的次序来。但 是在多目标情况下，问题就不是那么单纯了。 例如，我们希望两个目标和越大越好.
6 7
第
8
二
3
目
标
f2
1
例子：
橡胶配方问题
一个橡胶由 n 种成分组成，用 x x1, x2,xn T
来表示一个橡胶配方。对于每一个配方往往同
时需要考察多个指标。例如橡胶的强力 f1x ，
硬度 f2 x，伸长 f3 x，变形 f4 x等，假设共有 m
个指标，则对两个不同方案，就要同时比较个 指标，才能获得尽可能好的橡胶配方。
按照这种比法，方案1、2、3、4、5都是 劣解。而余下的6、7、8、9则不然。这几个 方案的特点是，它们中的任何一个和其余的 任何一个相比，总有一个指标优越，但又不 会两个指标都优越。像这样的解，既不会被 舍去，又不是全面优越于其他解，为非劣解 或有效解。
一般思路
•先找出非劣解 •按一定法从它们之中选取一个比较好的作 为“最优”方案
1 xi 0
若对第 i 个项目投资 若对第 i 个项目不投资
约束条件为：
n
ai xi a
i 1
【数学建模】多目标规划
≥
绝对最优解＝有效解
有效解= 弱有效解
定义3 像集F(R)={F(x)|x∈R}ÅÆ约束集R在映像F之下的值域 F*是有效点 ÅÆ不存在F∈F(R), 使得F≤F*； F *是弱有效点ÅÆ 不存在F∈F(R), 使得F<F；
f2
f2
f2 *
f1
f1 *
f2
f2 * f1 *
f2 *
f1 *
有效点
f1
fj(X )
j = 1,2,L, p
定义评价函数：
∑ ( ) h(F ( X )) = h( f1,L, f p ) =
p j =1
fj(X)− fj * 2
求解非线性规划问题： min h(F ( X )) X∈D 原理：距理想点最近的点作为最优解!
多目标规划的基本解法
4. 评价函数法——这是一种最常见的方法，就是用一个评价 函数来集中反映各不同目标的重要性等因素，并极小化此评价 函数，得到问题的最优解。常见的以下几种方法：
4.1 理想点法：
{ } V- min X ∈D
f1(X ), f2 (X ),L, f p (X )
⇒
f j*
=
min
X∈D
宽容值ε>0, 即此 目标值再差ε也是 可接受的!
缺点：当前面的问题最优解唯
一时，后面的求解失去意义！
多目标规划的基本解法
3. 功效系数法——对不同类型的目标函数统一量纲，分别得
到一个功效系数函数，然后求所有功效系数乘积的最优解。例
如：
{ } V- min X∈D
f1 (X ), f2 (X ),L, f p (X )
主要目标的最优值。
{ } V- min X ∈D
数学建模中的多目标决策与多准则决策
数学建模中的多目标决策与多准则决策在数学建模中，决策问题一直是一个重要而复杂的研究领域。
在实际应用中，我们常常会面临多个目标和多个准则的抉择，这就需要采用多目标决策和多准则决策的方法来解决。
本文将讨论数学建模中的多目标决策与多准则决策的应用和方法。
一、多目标决策多目标决策是指在决策问题中，存在多个相互联系但又有所独立的目标，我们需要在这些目标之间进行权衡和取舍。
多目标决策的核心是建立一个评价指标体系，将多个目标统一地考虑在内，并找到一个最优化的结果。
在多目标决策中，我们可以采用多种方法来求解最优解。
其中比较常用的方法有以下几种：1.加权法：加权法是将每个指标的重要性进行加权后进行综合评价，得到一个加权和最大的方案作为最优解。
这种方法简单直观，但也存在一定的主观性。
2.约束法：约束法是在满足一定约束条件的前提下，使目标函数最小化或最大化。
通过对各个目标进行约束，可以有效避免因为某个目标过分追求而导致其他目标的损失。
3.非支配排序遗传算法：非支配排序遗传算法是一种基于进化计算的多目标优化算法。
通过对候选解进行非支配排序，并根据解的适应度进行遗传操作，最终得到一组非劣解。
二、多准则决策多准则决策是指在决策问题中，存在多个相互独立但又有一定重叠性的准则，我们需要在这些准则之间进行权衡和衡量，找到最优的方案。
多准则决策通常需要考虑到几个关键因素：准则权重、准则的计算方法和准则的分值范围等。
在多准则决策的过程中，我们可以采用以下几种方法：1.正交实验设计法：正交实验设计法是一种常用的多准则决策方法。
通过合理选择实验设计方案，对多个准则进行全面而又系统地评估，得到最终的决策结果。
2.层次分析法：层次分析法是一种定量分析问题的层次结构的方法。
通过构建层次结构模型，并通过对每个层次的准则进行权重赋值，最终得到一个最优方案。
3.模糊综合评判法：模糊综合评判法是一种基于模糊数学的多准则决策方法。
通过将准则的评价结果转化为模糊数，并进行模糊集的运算，最终得到一个最优的决策方案。
2022年数学建模算法与应用第16章 多目标规划和目标规划
0 w j 1, j 1, 2, , m;
m
第二步：写出评价函数 w j f j 。 j 1
m
w j 1.
j 1
第三步：求评价函数最优值
m
min wi fi ( x)， i 1
s.t. x .
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数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
该方法应用的关键是要确定每个目标的权重，它反 映不同目标在决策者心中的重要程度，重要程度高的权 重就大，重要程度低的权重就小。权重的确定一般由决 策者给出，因而具有较大的主观性，不同的决策者给的 权重可能不同，从而会使计算的结果不同。
航空基础学院数学第教16研页室
数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
2.ε约束法
根据决策者的偏好，选择一个主要关注的参考目标，
例如 fk ( x)，而将其他m 1个目标函数放到约束条件中。 具体地，
min fk ( x)，
s.t
.
fi ( x) x
.
i
,
i 1, 2,
, k 1, k 1,
航空基础学院数学第教25研页室
数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
第四步：以第一、第二级单目标等于其最优值为约 束，求第三级目标最优。依次递推求解。
优先级解法也称为序贯解法。该方法适用于目标有 明显轻重之分的问题，也就是说，各目标的重要性差距 比较大，首先确保最重要的目标，然后再考虑其他目标。 在同一等级的目标可能会有多个，这些目标的重要性没 有明显的差距，可以用加权方法求解。
航空基础学院数学第教21研页室
数学建模算法与应用
第16章 多目标规划和目标规划
多目标规划求解方法介绍
f j (x)
f
0 j
)
j 1
其中1, 2 , , p 为预先确定的一组权数，且满足
p
j 0, j 1,2, , p; j 1 j 1
j 的值为各目标函数的权数，较重要的取值较大。
3. lg 范数和加权法：
同上面类似，先求出各单目标问题的最优值下界
f
0 j
，
取 q 1 ，构造评价函数：
(VP)的有效解。
四、评价函数法：
1.理想点法：
设
f
* j
min xS
f
j (x),
j
1,2,
,
p
，即各单目标问题的最优值。
令评价函数 h(F)
p
(
f j (x)
f
* j
)
2
，做为目标函数。
j 1
更一般地，取
p
h(F) (
(
f j (x)
f
* j
)q
)1
q
j 1
从不同角度出发，构造评价函数h(F)，求
dj
1
( f j (x)
f
min j
)
(
f
max j
f
) min
j
d
j
1 , 0 ,
fj
f min j
fj
f max j
又 j k 1, , p 时求 max f j (x) ，令
dj
1 , 0 ,
fj
f max j
fj
f min j
故取
dj
( f j (x)
f
min j
)
(
f max j
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第六章 多目标规划方法
在地理学研究中，对于许多规划问题 ，常常需要考虑多个目标，如经济效益目 标，生态效益目标，社会效益目标，等等 。为了满足这类问题研究之需要，本章拟 结合有关实例，对多目标规划方法及其在 地理学研究中的应用问题作一些简单地介 绍。
本章主要内容：
•多目标规划及其求解技术简介 •目标规划方法 •多目标规划应用实例
max(min) Z f1(X )
(X ) G
F min 1
F1
F max 1
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
f
i
，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权
系数，假定有K个目标，L个优先级(L K)
，目标规划模型的数学形式为：
L
K
min Z
pl
(
lk
d
k
lk
d
k
)
目标值理想化的期望目标
f
* i
(i
1,2,,
k)
,每
一个目标对应的权重系数为 wi (i 1,2,, k)
假如，除第一个目标外，其余目标都可以 提出一个可供选择的范围，则该多目标规 划问题就可以转化为单目标规划问题：
max(min) Z f1 (x1, x2 ,, xn )
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f min j
fj
f
( max
j
j
2,3,, k)
采用矩阵可记为：
l 1 k 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
fi
d
i
d
i
f
i
(i
1,2,, K )
（6.2.18） （6.2.19） （6.2.20）
式中：d i
和
d
分别表示与
i
f
i
相应的、与
fi*
相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量
； pl
lk
表示lk 第l个优先级；
即：
max(min)Z F(X )
（6.1.3）
(X ) G
（6.1.4）
式中： Z F(X ) 是k维函数向量，
k是目标函数的个数；
(X ) 是m维函数向量；
G 是m维常数向量；m是约束方程的
个数。
对于线性多目标规划问题，（6.1.3）和（ 6.1.4）式可以进一步用矩阵表示：
max(min)Z AX
多目标规划问题的求解不能只追求一个目 标的最优化（最大或最小），而不顾其它 目标。
在图6.1.1中，就方案①和②来说，①的 目标值比②大，但其目标值 比②小，因
非劣解可以用图6.1.1说明。 此无法确定这两个f 2方案的优与劣。在各个
方案之间，显然：f1③比②好，④比①好，
⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥ 、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比 它们更好的其他方案，所以它们就被称之 为多目标规划问题的非劣解或有效解，其 余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。
（6.1.5）
BX b
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着 需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以 得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以 得到最满意的解决 ？
Z
F(X
)
max(min)
f
2
(
X
)
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
(
X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.1） （6.1.2）
式中： X [x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量 。
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写，
或写成矩阵形式：
min Z (F F )T A(F F )
(X ) G
式中， 是与第i个目标函数相关的权重；
A是a由i
组成的m×m对 角矩阵
。
ai (i 1,2,, k)
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给 出一个可供选择的范围，则该目标就可以 作为约束条件而被排除出目标组，进入约 束条件组中。
图6.1.1 多目标规划的劣解与非劣解
当目标函数处于冲突状态时，就不 会存在使所有目标函数同时达到最大或 最小值的最优解，于是我们只能寻求非 劣解（又称非支配解或帕累托解）。
第二节 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解， 常常需要将多目标规划问题转化为单目标
规划问题去处理。实现这种转化，有如下
几种建模方法。
▪一、效用最优化模型 四、目标规划模型
•二、罚款模型
五、目标达到法
•三、约束模型
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可 以通过一定的方式进行求和运算。这种 方法将一系列的目标函数与效用函数建 立相关关系，各目标之间通过效用函数 协调，使多目标规划问题转化为传统的 单目标规划问题：
第一节 多目标规划及其非劣解
▪多目标规划及其非劣解
•多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个 基本部分组成：
（1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其 数学模型一般地描写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
若采用向量i与矩阵
i 1
i 1
max T
( X ) G
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期 望的值（或称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi之间的偏差 来选择问题的解，其数学表达式如下：
k
min Z ai (ຫໍສະໝຸດ fifi)
2
i 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
maxZ (X )
（6.2.1）
(X ) G
（6.2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 i来反映原问题中各目标函数 在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
i (x1, x2 ,xn ) gi (i 1,2,, m)
式中，诸 应满足： k
pl
、 表示在同一优先级 中，不同目标
的正、负偏差变量的权系数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式
：
f1(X )
min
F
(
x)
min
f
2
(X
)
f
k
(
X
)
（6.2.21）
(
X
)
m12 (((XXX
) )
)
0 0 0
（6.2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组
在地理学研究中，对于许多规划问题 ，常常需要考虑多个目标，如经济效益目 标，生态效益目标，社会效益目标，等等 。为了满足这类问题研究之需要，本章拟 结合有关实例，对多目标规划方法及其在 地理学研究中的应用问题作一些简单地介 绍。
本章主要内容：
•多目标规划及其求解技术简介 •目标规划方法 •多目标规划应用实例
max(min) Z f1(X )
(X ) G
F min 1
F1
F max 1
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
f
i
，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权
系数，假定有K个目标，L个优先级(L K)
，目标规划模型的数学形式为：
L
K
min Z
pl
(
lk
d
k
lk
d
k
)
目标值理想化的期望目标
f
* i
(i
1,2,,
k)
,每
一个目标对应的权重系数为 wi (i 1,2,, k)
假如，除第一个目标外，其余目标都可以 提出一个可供选择的范围，则该多目标规 划问题就可以转化为单目标规划问题：
max(min) Z f1 (x1, x2 ,, xn )
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f min j
fj
f
( max
j
j
2,3,, k)
采用矩阵可记为：
l 1 k 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
fi
d
i
d
i
f
i
(i
1,2,, K )
（6.2.18） （6.2.19） （6.2.20）
式中：d i
和
d
分别表示与
i
f
i
相应的、与
fi*
相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量
； pl
lk
表示lk 第l个优先级；
即：
max(min)Z F(X )
（6.1.3）
(X ) G
（6.1.4）
式中： Z F(X ) 是k维函数向量，
k是目标函数的个数；
(X ) 是m维函数向量；
G 是m维常数向量；m是约束方程的
个数。
对于线性多目标规划问题，（6.1.3）和（ 6.1.4）式可以进一步用矩阵表示：
max(min)Z AX
多目标规划问题的求解不能只追求一个目 标的最优化（最大或最小），而不顾其它 目标。
在图6.1.1中，就方案①和②来说，①的 目标值比②大，但其目标值 比②小，因
非劣解可以用图6.1.1说明。 此无法确定这两个f 2方案的优与劣。在各个
方案之间，显然：f1③比②好，④比①好，
⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥ 、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比 它们更好的其他方案，所以它们就被称之 为多目标规划问题的非劣解或有效解，其 余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。
（6.1.5）
BX b
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着 需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以 得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以 得到最满意的解决 ？
Z
F(X
)
max(min)
f
2
(
X
)
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
(
X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.1） （6.1.2）
式中： X [x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量 。
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写，
或写成矩阵形式：
min Z (F F )T A(F F )
(X ) G
式中， 是与第i个目标函数相关的权重；
A是a由i
组成的m×m对 角矩阵
。
ai (i 1,2,, k)
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给 出一个可供选择的范围，则该目标就可以 作为约束条件而被排除出目标组，进入约 束条件组中。
图6.1.1 多目标规划的劣解与非劣解
当目标函数处于冲突状态时，就不 会存在使所有目标函数同时达到最大或 最小值的最优解，于是我们只能寻求非 劣解（又称非支配解或帕累托解）。
第二节 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解， 常常需要将多目标规划问题转化为单目标
规划问题去处理。实现这种转化，有如下
几种建模方法。
▪一、效用最优化模型 四、目标规划模型
•二、罚款模型
五、目标达到法
•三、约束模型
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可 以通过一定的方式进行求和运算。这种 方法将一系列的目标函数与效用函数建 立相关关系，各目标之间通过效用函数 协调，使多目标规划问题转化为传统的 单目标规划问题：
第一节 多目标规划及其非劣解
▪多目标规划及其非劣解
•多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个 基本部分组成：
（1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其 数学模型一般地描写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
若采用向量i与矩阵
i 1
i 1
max T
( X ) G
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期 望的值（或称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi之间的偏差 来选择问题的解，其数学表达式如下：
k
min Z ai (ຫໍສະໝຸດ fifi)
2
i 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
maxZ (X )
（6.2.1）
(X ) G
（6.2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 i来反映原问题中各目标函数 在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
i (x1, x2 ,xn ) gi (i 1,2,, m)
式中，诸 应满足： k
pl
、 表示在同一优先级 中，不同目标
的正、负偏差变量的权系数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式
：
f1(X )
min
F
(
x)
min
f
2
(X
)
f
k
(
X
)
（6.2.21）
(
X
)
m12 (((XXX
) )
)
0 0 0
（6.2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组