多目标规划建模-数学建模

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基于混合整数线性规划的多目标物流路径规划数学建模

基于混合整数线性规划的多目标物流路径规划数学建模多目标物流路径规划是指在满足多个目标的前提下，确定物流运输网络中各个节点之间的最佳路径和运输量。

在实际生产和配送过程中，物流路径规划的优化对于提高物流效率和降低物流成本具有重要意义。

本文将介绍基于混合整数线性规划的多目标物流路径规划数学建模方法。

首先，我们需要明确多目标物流路径规划的目标。

一般来说，物流路径规划需要同时满足以下多个目标：最短路径、最小成本、最小运输时间、最小能源消耗、最小污染排放等。

在实际问题中，可能还会根据具体需求提出其他目标。

我们将这些目标定义为优化目标函数。

其次，我们需要建立多目标物流路径规划的数学模型。

多目标规划中，常用的方法是加权法。

即将每个目标根据其重要性分配一个权重，然后将多个目标函数线性组合成一个总目标函数。

以最短路径和最小成本为例，假设分别对应的权重为w1和w2，则总目标函数可以表示为Z = w1 * f1 + w2 * f2，其中f1和f2分别表示最短路径和最小成本的目标函数。

在建立目标函数之后，我们需要确定决策变量，即模型中需要优化的变量。

在物流路径规划中，常用的决策变量包括运输路径、运输量、起点和终点等。

我们可以使用二维矩阵表示网络节点之间的路径，使用变量x[i,j]表示节点i到节点j的路径是否存在。

同时，使用变量y[i,j]表示节点i到节点j的运输量。

接下来，我们需要定义约束条件，以限制变量的取值范围。

常见的约束条件包括物流路径一致性条件、运输量限制条件、起点和终点限制条件等。

例如，路径一致性条件可以表示为sum(x[i,j]) = 1，即每个节点只能有一条进出路径。

运输量限制条件可以表示为y[i,j] <= C[i,j]，即运输量不能超过节点i到节点j的最大运输能力。

最后，我们可以使用混合整数线性规划求解器对建立的多目标物流路径规划模型进行求解。

求解过程中，需要根据具体情况设置目标函数权重和约束条件，并根据求解结果进行调整和改进。

数学建模目标规划方法

30
x1
2x1

12x2 x2

d1 d2

d1 d2

2500 140

x1

d
3

d3

60

a x (,)b
ij j
i
j 1
(i 1,2, , m)
绝对约束
x 0 ( j 1,2, , n) j
d , d 0 (l 1,2, , L) ll
非负约束
K
L
min Z
pk
(kl
d
l

kl
dl
)
k 1
l 1
n
c(l) x d d g ( l 1,2, , L)
三目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法——单纯形方法。
34
4
所以目标规划模型为：
min Z p d p (7d 12d ) p (d d )
11
2
2
3
34
4
70x 120x d d 50000
1
2
1
1
x 1
d d 200
2
2

x d d 250
生产甲、乙两种产品，

多目标规划matlab程序实现——【2019数学建模+思路】

优化与决策——多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现摘要：求解多目标线性规划的基本思想大都是将多目标问题转化为单目标规划，本文介绍了理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法，然后给出多目标线性规划的模糊数学解法，最后举例进行说明，并用Matlab 软件加以实现。

关键词：多目标线性规划 Matlab 模糊数学。

注：本文仅供参考，如有疑问，还望指正。

一．引言多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性,要求使所有目标均达到最优解是不可能的,因此多目标规划问题往往只是求其有效解(非劣解)。

目前求解多目标线性规划问题有效解的方法,有理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法。

本文也给出多目标线性规划的模糊数学解法。

二．多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为：11111221221122221122max n n n nr r r rn nz c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++⎧⎪=+++⎪⎨ ⎪⎪=+++⎩ （1）约束条件为：1111221121122222112212,,,0n n n n m m mn n mn a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx x x +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪ ⎨⎪+++≤⎪≥⎪⎩ （2）若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。

我们记:()ij m n A a ⨯=,()ij r n C c ⨯=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ，12(,,,)T r Z Z Z Z = .则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:max Z Cx =约束条件：0Ax bx ≤⎧⎨≥⎩（3）三．MATLAB 优化工具箱常用函数[3]在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为：①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。

数学建模-多目标规划

例选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机微积分；线性代数
min h(F (x)) st x R
方法：(1)理想点法
第一步：计算出个单目标规划问题
f* i
min fi ( x) st x R
第二步：构造评价函数
p
h(F(x))
(
fi (x)

f *)2 i
i 1
3、评价函数法
(2)、线性加权法
p
p
h(F(x)) j f j 其中j 0, j 1
上班时间加班情况
X1+d3- -d3+=24 X2 +d4- -d4+=30
市场需求
X1 , X2 , di- , di+ 0 di- .di+= 0 (i=1,2,3,4)
多目标线性规划问题的Matlab7.0求解
多目标线性规划标准形式 min f (x) ( f1(x), f2(x), fn(x))T gi (x) 0 i 1, 2 , m hj (x) 0 j 1, 2, , k x0

数学建模四大模型总结

数学建模四大模型总结1优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

1.5 组合优化经典问题l 多维背包问题(MKP)背包问题：个物品，对物品，体积为，背包容量为。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于难问题。

l 二维指派问题(QAP)工作指派问题：个工作可以由个工人分别完成。

工人完成工作的时间为。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：台机器要布置在个地方，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

l 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有个城市，城市与之间的距离为，找一条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

l 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

l 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在个工作和台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

数学建模多目标规划函数fgoalattain

MATLAB 中文论坛讲义多目标规划优化问题Matlab 中常用于求解多目标达到问题的函数为fgoalattain.假设多目标函数问题的数学模型为：ubx lb beqx Aeq bx A x ceq x c goalweight x F t s yx ≤≤=≤=≤≤-**0)(0)(*)(..min ,γγ weight 为权值系数向量，用于控制对应的目标函数与用户定义的目标函数值的接近程度； goal 为用户设计的与目标函数相应的目标函数值向量；γ为一个松弛因子标量；F(x)为多目标规划中的目标函数向量。

综上，fgoalattain 的优化过程就是使得F 逼近goal;工程应用中fgoalattain 函数调用格式如下：[x,fval]=fgoalattain (fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x0表示初值；fun 表示要优化的目标函数；goal 表示函数fun 要逼近的目标值，是一个向量，它的维数大小等于目标函数fun 返回向量F 的维数大小；weight 表示给定的权值向量，用于控制目标逼近过程的步长；例1. 程序（利用fgoalattain 函数求解）23222123222132min )3()2()1(min x x x x x x ++-+-+-0,,6..321321≥=++x x x x x x t s①建立M 文件.function f=myfun(x)f(1)= x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2+(x(3)-3)^2;f(2)= x(1)^2+2*x(2)^2+3*x(3)^2;②在命令窗口中输入.goal=[1,1];weight=[1,1];Aeq=[1,1,1];beq=[6];x0=[1;1;1];lb=[0,0,0]; %也可以写lb=zero(3,1);[x,fval]=fgoalattain(‘myfun’,x0,goal,weight,[ ],[ ],Aeq,beq,lb,[ ])③得到结果.x =3.27271.63641.0909fval =8.9422 19.6364例2.某钢铁公司因生产需要欲采购一批钢材，市面上的钢材有两种规格，第1种规格的单价为3500元/t ，第2种规格的单价为4000元/t.要求购买钢材的总费用不超过1000万元，够得钢材总量不少于2000t.问如何确定最好的采购方案，使购买钢材的总费用最小且购买的总量最多.解：设采购第1、2种规格的钢材数量分别为1x 和2x .根据题意建立如下多目标优化问题的数学模型.0,200010000040003500max 40003500)(min212121211≥≥+≤++=x x x x x x x x x f ①建立M 文件. 在Matlab 编辑窗口中输入：function f=myfun(x)f(1)= 3500*x(1)+4000*x(2);f(2)=-x(1)-x(2);②在命令窗口中输入.goal=[10000000,-2000];weight=[10000000,-2000];x0=[1000,1000];A=[3500,4000;-1,-1];b=[10000000;-2000];lb=[0,0]; %也可以写lb=zero(3,1);[x,fval]=fgoalattain(‘myfun ’,x0,goal,weight,A,b,[ ],[ ],lb,[ ])③得到结果.x =1000 1000fval =7500000 -2000。

数学建模-数学规划

度要快。
（4）图上作业与表上作业法
前一种是50年代由我国数学工作者提出的，后者是1950年 Dantzing提出的；这二种方法主要是为解决运输问题（特殊的线性规划）而设计的。据统计在用线性规划解决的实际问题中，70%以上属于运输问题类型。
3. 线性规划问题的软件解法
求解线性规划的常用方法是1947年G.B.Dantzig提出的单纯形法。
min f 5x1 5x2 8x3 2x4 6x5 3x6 s.t x1 x2 x3 x4 x5 x6 140
0.45x1 0.45x2 1.05x3 0.40x4 0.50x5 0.50x6 6 10x1 28x2 59x3 25x4 22x5 75x6 25 415x1 9065x2 2550x3 75x4 15x5 235x6 17500 8x1 3x2 53x3 27x4 5x5 8x6 245 0.30x1 0.35x2 0.60x3 0.15x4 0.25x5 0.80x6 5
n
max f (x1, x2,..., xn ) c j x j
n
j 1
s.t.gi (x1,..., xn ) aij x j bi ,i 1,..., m
j 1
x j 0, j 1,..., n
• 约束条件的意义是：每种原料生产n种产品所需要的资源总量不能超过该种资源的库存量；每种产品的生产计划数不能为负。
约束条件：（1）铁的需求量至少6个单位数：
0.45x1 0.45x2 1.05x3 0.40x4 0.50x5 0.50x6 6
（2）磷的需求量至少25个单位数：
10x1 28x2 59x3 25x4 22x5 75x6 25
（3）维生素A的需求量至少17500个单位：

数学建模-数学规划模型

建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标，需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通过建立数学模型描述和解决优化问题。
分类

数学建模多目标规划

虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名微积分线性代数最优化方法数据结构应用统计计算机模拟计算机编程预测理论数学实验学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号课名微积分线性代数最优化方法数据结构应用统计计算机模拟计算机编程预测理论数学实验先修课要求
约束条件先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数计算机编程微积分；线性代数计算机编程应用统计微积分；线性代数

多目标优化问题的数学建模与求解方法研究

多目标优化问题的数学建模与求解方法研究1. 引言多目标优化问题是现实生活中常见的一个重要问题，其目标是在给定的约束条件下，同时优化多个矛盾的目标函数。

本文旨在研究多目标优化问题的数学建模方法和求解方法，以帮助解决该类问题。

2. 数学建模方法多目标优化问题的数学建模主要包括目标函数的定义和约束条件的建立。

在定义目标函数时，需要明确多个目标的优先级和权重。

常用的目标函数形式包括线性函数、非线性函数和混合整数线性规划等。

约束条件的建立与具体的问题相关，可以是线性约束、非线性约束或整数约束等。

3. 求解方法多目标优化问题的求解方法主要分为传统方法和进化算法两大类。

3.1 传统方法传统的多目标优化问题求解方法包括加权法、ε-约束法和多目标规划法等。

加权法将多个目标函数线性组合成一个综合指标，然后通过调整各个目标函数的权重来找到最优解。

这种方法简单直观，但是对权重的选择要求较高。

ε-约束法将多目标优化问题转化为单目标优化问题的一系列子问题，每个子问题将其中一个目标函数作为主要目标进行优化，同时将其他目标函数作为约束条件。

通过遍历不同的ε值来得到Pareto前沿。

多目标规划法将多个目标函数转化为多个单目标优化问题，然后通过使用序列二次可行规划、权重法或相关约束法等方法来求解。

这种方法充分考虑了不同目标之间的关联性，但求解过程较为复杂。

3.2 进化算法进化算法是一类启发式优化算法，主要包括遗传算法、粒子群优化算法和模拟退火算法等。

遗传算法模拟自然进化过程，通过交叉、变异和选择等操作来生成新的解，并利用适应度函数来评估解的质量。

通过多代进化，逐步逼近Pareto前沿。

粒子群优化算法模拟鸟群觅食行为，通过每个粒子的经验和社会信息来更新自身的位置和速度。

通过多次迭代，逐步逼近Pareto前沿。

模拟退火算法模拟固体退火过程，通过随机选择邻域解并接受差解的概率来搜索更优解。

通过温度的降低逐步逼近Pareto前沿。

进化算法具有较强的全局搜索能力和鲁棒性，但是在求解大规模多目标优化问题时，计算复杂度较高。

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对于上述模型的三个目标，工厂确定利润最大为主要目标。另两个目标则通过预测预先给定的希望达到的目标值转化为约束条件。经研究，工厂认为总产值至少应达到20000个单位，而污染控制在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400 x1 600 x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
400 x1 600 x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70 x1 120 x 2 用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x 2 26.25, f1 ( x) 4025, f 2 ( x) 20750, f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X )) T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性的函数：
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标
法、线性加权和法、字典序法、步骤法。
多目标规划问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解，因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。 f2
(2)理想点法:对每一个目标给出一个目标理想值
即f j min f j ( x),
f j ( x)
f j ,
为多目标函数
则称 f

f , f ,, f
f ( x) f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x)

1
j
j 1,2,, p
T p
T
2
aij
其中：
99 ( f ij f j * *) f j * f j **
i
1
f j * max f ij
f j * * min f ij
i
变换后的指标值矩阵为：
aij A1 A2 A3 A4
则
f1 1 100 1 40.6
f2 1 100 42.25 25.75
f3 67 1 100 67
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目标属性的指标值fij如下表所示。 fij A1 A2 A3 A4 f1 2.0 2.5 2.0 2.2 f2 1500 2700 2000 1800 f3 4 3.6 4.2 4 f4 55 65 45 50 f5 一般低高很高 f6 高一般很高一般
多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.
一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污染等.这就是一个多目标决策的问题. 。又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问题. 应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。
多目标规划问题的求解
(1)线性加权法: 取
0 ai 1 (i 1,, p)
a1 a2 a p 1
对p个目标函数作线性加权化为单目标问题
min F ( x) a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) a p f p ( x)
多目标规划问题的求解
资源A单位消耗资源B单位消耗资源C单位消耗单位产品的价格
单位产品的利润单位产品的污染
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70 x1 120 x 2 max f 2 ( X ) 400 x1 600 x 2 max( f 3 ( X )) 3 x1 2 x 2 9 x1 4 x 2 240 4 x 5 x 200 1 2 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序.
三、多目标规划问题的求解
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.
1 2
5 3
4
6
7 8
f
二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要好，花费要少。
首先对不同度量Leabharlann 位和不同数量级的指标值进行标准化处理。先将定性指标定量化：
效益型指标
很低低 1 3
一般高很高 5 7 9
很高高
一般低很低
成本型指标
可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性一般 5 低 3 高 7 很高 9
灵敏性
高 7
一般 5
很高 9
一般 5
按以下公式作无量纲的标准化处理
故最优方案为选购A3型卡车
U ( X 3 ) j a3 j 57.925
j 1 6
U ( X 4 ) j a 4 j 40.27
j 1
U * max U U ( X 3 ) 57.925
（6）分层序列法：
1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 f1 ( x),, f p ( x) 按其重要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1 , f 2 ,, f p min f1 ( x) 先求解 ( P1 ) * * S x f ( x ) f s.t. x S 得最优值 f 1 1 S ，记 1 1 再解 ( P )min f 2 ( x) * * 2 S x f ( x ) f f s . t . x S S1 2 2 2 1 得最优值， 2 依次进行，直到 min f p ( x) * ( Pp ) f p s.t. x S p 1 得最优值
f4 50.5 100 1 25.75
f5 34 1 67 100
6 j 1 6
f6 50.5 1 100 1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),
U ( X 1 ) j a1 j 34 U ( X 2 ) j a 2 j 40.6
j 1 6
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和评价函数 p
U ( X ) i f i ( X )
i 1
则多目标问题化为如下的单目标问题
max U ( X ) i f i ( X )
i 1 p

值域中的一个理想点。将多目标问题转化为目标函数
f ( x)
与 f

之间的最小“距离”的单目标问题：

min U ( x) f ( x) f
多目标规划问题的求解
(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最有利的策略。即求多目标中最大目标函数值最小。于是可化为如下单目标问题：