理论力学第6章A

Bi
r Bi
yA yB
=
mA + mB m A rC A + m B rC B
mA + mB
若刚体系由n个刚体组成 其质心的计算公式为： rC =
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∑mr
i =1
n
i Ci
m
yC =
∑m
i =1
n
i
y Ci
11
m
理论力学
§6-1 动量定理
若刚体系由n个刚体组成 r = 其质心位置的计算公式为： C
21
理论力学
§6-1 动量定理
变质量质点系动力学应用实例
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22
理论力学
§6-1 动量定理
主要研究：有质量连续并入或分出时，质点的动力学问题。
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23
理论力学
§6-1 动量定理
t 时刻
z
t + Δ t 时刻
三、变质量质点运动微分方程
应用质点系动量定理的积分形式
Δm
pt − pt =
2 1
∑I
i =1
n
(e) i
=∫ F
t1
t2
(e) R
dt
x
2
u
m
v
y
v + Δv
m + Δm
o
pt = pt = m v + Δ m u ,
1
pt = pt + Δt = ( m + Δ m )( v + Δ v )
( pt +Δt − pt = (m + Δm)(v + Δv ) − mv − Δmu = FRe) (t * )Δt , t * ∈ (t , t + Δt ) (e) * 整理上式可得： Δ m (v − u ) + mΔ v + Δ mΔ v = FR (t ) Δ t
v
y
mg
vr
O
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dv dm = mg + vr 解： m v r : 2 ~ 3 km/s dt dt m0 dv dm = 10 y: m = − mg + ( − vr ) mτ dt dt dm ln 10 ≈ 2.3 dv = − gdt − vr m m0 vτ = v0 − g τ + v r ln mτ
θ
v1
取板、甲虫为研究对象
Fx( e) = 0 受力分析： ∑
系统动量： p = m1v1 + m2 v 2
y
滑
m2 g
x
m1 g F N
a1
x:
p = m1v1 + m2 (v1 + v r )
p x = m1v1 + m2 (v1 − vr sin θ ) = p x 0
m 2 v r sin θ 当：t = 0 时，θ 0 = 0, v1 = 0 p x 0 = 0 v1 = m1 + m 2
& p = ∑ Fi ( e )
2、求装甲车行驶的最大加速度 m a = F s ≤ F N f = m gf
& p = ( m1 + m2 + m3 )a = ma = FN + Fs + m g x: a ≤ gf a m ax = gf
a
mg
x
2012-11-21
Fs
FN
15
理论力学
二、质心运动定理
p=
∑mv
i =1 i
n
Ci
p = m1v + m2v + m3v = (m1 + m2 + m3 )v m = m1 + m2 + m3 & & 动量对时间的导数： p = (m1 + m2 + m3 )v = ( m1 + m2 + m3 )a = ma
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理论力学
§6-1 动量定理
§6-1 动量定理
引入质心的概念 质点系 总质量
n
m=
∑m
i =1
n
i
质心矢径
rC =
∑mr
i =1
i i
z
mi
vi
rC
y
m
ri
mj
质心速度
v C = rC = &
n
∑
n
i =1
m iv i m
o
x
rj v j
系统动量
p = ∑ m iv i = m v C
i =1
如何确定：均质板、均质圆盘、均质杆的质心？
n
问题：如何用简便方法计算质 点系或刚体或刚体系的动量？
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p=
∑mv
i =1 i
n
i
8
理论力学
§6-1 动量定理
问题：如何用简便方法计算下列质点系的动量？ 已知：车身、车轮、履带的 质量和车身行驶的速度，求 车整体的动量。
p=
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∑mv
i =1 i
n
i
9
理论力学
• 质点系的动量定理 • 质点系的动量矩定理 • 质点系动能定理
质点系动力学的基础 质点动力学 n d( mv ) = ma = ∑ Fi = FR dt i =1
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笛卡儿(René·Descartes 1596-1650) 法国科学家提出了最初的动量概念： 质量与速率的乘积
5
理论力学
p=
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∑mv
i =1 i
n
i
6
理论力学
一、动量定理
矢量式
§6-1 动量定理
作用在质点系上的外力使其动量改变
dp = dt
Fi (e) = FR(e) ∑
i =1
n
⎧ dpx ⎪ dt = ⎪ ⎪ dp y 投影式 ⎨ = ⎪ dt ⎪ dpz = ⎪ ⎩ dt
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m
m1a1 + m2 a 2 m1a1 + m2 (a1 + a r ) = = m1 + m2 m1 + m2
F R( e)，可求质心加速度 a C 已知
20
( e) 方法二：Q m a C = F R
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理论力学
作业：6-4、6-5、6-6 变质量系统动力学
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x’
∑mv
i =1 i
Ci
动点：C1 ，C2 动系：平动坐标系Ax’y’
ω
y ': v C 1a
vr
D
ω
va = ve + vr
同理： v C 2 a = v e − v r = u − ω
L = ve − vr = u − ω 2
L 2
L ⎞ ⎛ p = 2m ⎜ u − ω ⎟ j ' 系统动量 2 ⎠ ⎝
§6-1 动量定理 vi mi 研究对象：质点系 Fi (i) z (e) d(mi vi ) (e) (i) = Fi + Fi (i = 1,L, n) Fi mj dt
d(mi vi ) = ∑ Fi(e) + ∑ Fi(i) ∑ dt
=0
o
y
Fj(i)
Fj(e)
d(∑ mi v i ) dt
x
用一级火箭不可能达到第一宇宙速度
问题：飞机的动能转化成什么能量? 问题：舰载飞机为什么要改用电磁弹射？
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理论力学
工程中的质点系动力学
问题：从机车的变化与进展中，能提出哪些力学问题？
蒸汽机车
柴油机车
电力机车
电力车组
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4
理论力学
质点系动力学的研究内容
质点系动力学：研究质点系整体运动特征量（动量、动量 矩和动能）的变化与作用力间的关系。
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系统质心速度
L ⎞ ⎛ vC = ⎜ u − ω ⎟ j' 2 ⎠ ⎝
13
理论力学
§6-1 动量定理
例：车身质量为m1 车轮总质量为m2 履带总质量为m3。（1）若车 身（平移）的速度为v, 求此时装甲车的动量p.（2）若履带与地面 的静滑动摩擦因数为f，求装甲车直线行驶的最大加速度a。 解：1、求系统的动量
& dv1 m2vrθ cosθ a1 = = dt m1 + m2
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vr = Rθ&
m2vr2 cosθ a1 = (m1 + m2 ) R
19
理论力学
vr
§6-1 动量定理
2、求地面约束力和质心加速度
a R r
v1
θ
m2 g
m1 g F N
&C 方法一： aC = r& =
a1
t2
是作用在第 i 个质点 上外力的冲量
动量守恒情况
(e) t 当： ∈[t1 , t2 ], t2 > t1, FR (t ) ≡ 0 则：p(t ) = p0
当： t ∈ [t1 , t 2 ], t 2 > t1 , ∑ Fix(e) (t ) = 0 则：px (t ) = p0 x
i =1
∑m
i =1
n
i
y &&Ci
m
12
理论力学
§6-1 动量定理
例题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长为 L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向如 图），求该瞬时系统的动量和系统质心的速度。
y’
n
u ve
B C2 A C1
va
p = m vC =
Δm Δv Δv ( (v − u) + m + Δm = FR e ) (t * ) Δt Δt Δt
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理论力学
↓
§6-1 动量定理
t 时刻
z
Δm Δv Δv (v − u) + m + Δm = FR( e ) (t * ) Δt Δt Δt
Δm
u
m
v
y
Δm Δv , 当 Δt → 0 : 存在 Δt Δt
p = m1v1 + m2 (v1 + v r ) dp y p y = m2vr cosθ = dt
Fiy( e) ∑
i =1
n
& m2 vr ( − sin θ )θ = FN − m1 g − m2 g
m2 vr2 sin θ FN = (m1 + m2 ) g − R
∑m a
i =1
n
i i
∑mr
i =1
n
i Ci
m
yC =
∑m
i =1 n
n
i
y Ci
m
若刚体系由n个刚体组成 v = 其质心速度的计算公式为： C
∑mv
i =1 i
n
Ci
m
yC = &
∑m
i =1
i
y Ci &
m
若刚体系由n个刚体组成 其质心加速度的计算公式为：a C =
2012-11-21
∑ma
i =1 i
n
Ci
m
y &&C =
理论力学
作业：6-1、6-2、6-3
第六章
质点系动力学
2012-11-21
1
理论力学
工程中的质点系动力学
舰载飞机起飞和降落过程中的动力学问题
问题：弹射装置为什 么装在飞机的前部？
问题：拦阻装置为什 么装在飞机的后部？
2012-11-21
2
理论力学
工程中的质点系动力学
舰载飞机起飞装置示意图
早期舰载飞机着陆装置示意图
⇒ vC (t ) = vC0 ⇒ vCx (t ) = vCx0
16
守恒情况
(e) t ∈[t1, t2 ], FR (t ) ≡ 0
t ∈[t1, t2 ],
∑F (t) ≡ 0
x
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理论力学
§6-1 动量定理
例题：质量为m的均质塔轮放在光滑的水平面上，其上绕有绳 索（相对塔轮无滑动），绳索上作用有力（如图所示）。试确 定哪个塔轮的质心加速度最大，哪个质心加速度最小。 F F
系统动量
§6-1 动量定理
p = ∑ m iv i = m v C
i =1 n
矢量式
m a C = F R( e)
∑ Fi
(e)
& & & = p = ∑ m iv i = m v C
i =1
n
Baidu Nhomakorabea
质心加速度
& aC = vC
投影式
⎧ m &&C = ∑ F x( e) x ⎪ ⎪ m &&C = ∑ F y( e) ⎨ y ⎪ ( e) z ⎪ m &&C = ∑ F z ⎩
2012-11-21 10
理论力学
∑mr
i =1 n
§6-1 动量定理
问题：刚体系（特殊质点系）的质心矢径如何计算（如黑板）
rC =
i i
m rC =
n
∑mr
i =1
n
i i
m
i i 确定两 rC = i =1 = 个刚体 mA + mB 的质心
∑mr
∑m
i =1
nA
Ai
r Ai +
∑m
i =1
nB
vj
= ∑ Fi
(e)
x
n n ⎧ & ⎪ px = ∑mi vix = ∑mi xi i =1 i =1 ⎪ n n ⎪ & ⎨ py = ∑mi viy = ∑mi yi i =1 i=1 ⎪ n n ⎪ & ⎪ pz = ∑mi viz = ∑mi zi ⎩ i=1 i=1
•质点系的动量 (momentum of particle system)
2F
F A
2012-11-21
B
C
17
理论力学
§6-1 动量定理
例题：已知：m 1 , m 2 , R , v r 为常量，求：板的速度、加速度、 地面约束力和系统质心加速度。初始时 θ = 0 ，板静止。
vr
R
光 滑
θ
m2 g
m1 g
2012-11-21
18
理论力学
vr
R
光
§6-1 动量定理
解：1、求板的速度和加速度
有 Δt → 0 : Δ m → 0
0
x
o
dv dm (e) m = FR (t ) + (u − v) dt dt
取：m 为动系 Δm 为动点
vr = u − v
2012-11-21
dv (e) dm m = FR + vr dt dt
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理论力学
§6-1 动量定理
例：设火箭初始质量和速度分别为 m0 ,v0 ，喷出燃气的相对 速度为 vr（常量），燃烧时间为 τ ，燃烧后火箭的质量为 mτ 求火箭燃烧完瞬时的速度 vτ （不计空气阻力，重力为常力）。
∑
n
n
i=1
F ix( e) F iy( e) F iz( e)
7
∑ ∑
n
i=1
i=1
理论力学
动量定理的积分形式
§6-1 动量定理
t2
pt − pt =
2 1
∑
n
i =1
I i(e) = ∫ F R(e) d t
t1
其中： I i
(e)
= ∫ Fi ( e)dt , (i = 1,2,L, n)
t1