理论力学 第6章

处于啮合中的两个定轴齿轮的 角速度与两齿轮的齿数成反比（或 与两轮的啮合圆半径成反比）
内啮合
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
大轮带动小轮
z1 z2
1 2
i12 1
加速
小轮带动大轮
减速
外啮合 内啮合
2.带轮传动
① 啮合条件
r11 vA vA vB vB r22
② 传动比
ar r rr r vr d rr r vr
dt
15 2
π
75
3
r i
200
r j
r 75k
• 作业： • 习题 6-4 6-6
[例]车细螺纹时，如果车床主轴的转速 n0 300 r/min , 要求主轴在转两圈后立即停车以便很快反转。设停车 过程是匀变速转动，求停车过程中主轴的角加速度。 解：停车前，已知转速，可以求角速度。
主轴转两圈 主轴转动两圈后停止
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
例6-3
一矢量 绕a z轴以角速度 ω转动，若 的a大小始终保持不变 求：da
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点 rA a
从而
da dt
drA dt
vA
ω rA
ω
a
s R
速度
v s& R& R
方向：沿圆周的切线而 指向转动的一方
加速度
切向加速度：
at
dv dt
s
Rα
方向：沿切向方向，指向由角加速度的符号决定
法向加速度：an
v2 ρ
1 Rω2
R
Rω2
方向：与速度垂直并指向轴线
ห้องสมุดไป่ตู้
加速转动
减速转动
全加速度：α αt2 αn2 R2α2 R2ω4 R α2 ω4
a at an
at r —— M点切向加速度 an v ( r) —— M点法向加速度
例6-1
已知：刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,
角速度矢为
r
5 sin
πt
r i
5cos
πt
r j
5
3kr。
2
2
求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及
加速度矢。
解：
rrr 10 3i 15 j 10k
齿轮做定轴转动 送料机的杆
运动方程
转角： 单位:弧度(rad)
代数量：逆时针“ + ”， 顺时针“ - ”
f t
刚体绕定轴转动的运动方程
具有一个自由度
角速度和角加速度
角速度： ω d
dt
单位：rad/s
角速度表征刚体转动的快慢和方向
代数量：刚体逆时针转动时为正
角加速度： d d2 & && 单位：rad/s2
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
因为 上式两边求一阶及二阶导数，则得
因此
§ 6-4 轮系的传动比
1.齿轮传动
外啮合
内啮合
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
正号：主动轮与从动轮转向相同 （内啮合）； 负号：转向相反（外啮合）
外啮合
⑶ 初步了解用矢积表示点的速度和加速度。
§ 6-1 刚体的平行移动
定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
运动方程 rA rB BA
平动刚体上任意点具有相同的轨迹
速度和加速度
因为 所以
uuur
d AB
0
dt
r vB
r drB dt
r drA dt
大小： rsin R v
方向： 右手定则
绕定轴转动的刚体上任一 点的速度矢量等于刚体的角 速度矢量与该点矢径的矢量 积
加速度
ar dvr d r rr
ddtr
dt
rr r
drr
dt
dt
r rr r vr
α r α r sin θ ω v ω v
α R
ω 2 R
r vA
r aB
r dvB dt
r dvA dt
r aA
平动刚体上各点具有相同的速度和加速度
刚体平移→点的运动
刚体平移→点的运动
只要知道其上一点的运动规律、轨迹、速度、加 速度，其他点都相同
例如：
B
A AB杆作平动，A点和B点 运动规律完全相同。
§ 6-2 刚体绕定轴的转动
定义 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 特点：转轴是一根固定不动的直线，凡是不在转轴 上的点都在垂直于轴的平面内做圆周运动。圆心位 于转轴上。
第六章 刚体的简单运动
第六章 刚体的简单运动
§ 6-1 刚体的平行移动 § 6-2 刚体绕定轴的转动 § 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 § 6-4 轮系的传动比 § 6-5 以矢量表示角运动和角加速度
以矢积表示点的速度和角加速度
目标要求
⑴ 掌握平行移动刚体和定轴转动刚体的运动特 征。
⑵ 正确分析定轴转动刚体的转动方程、角速度 和角加速度及转动刚体内各点的速度和加速度。
dt dt2
角加速度表征角速度变化的快慢
代数量：当 ω与 α同号时，转动为加速； 当 与 ω同号α时，转动为减速
匀速转动 ω =常量
匀变速转动
d 0
dt
0 t
α =常量
ω ω0 αt
0
ω0t
1 2
αt
§ 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
转动刚体上任一点作圆周运动（轨迹已知）， 用自然法 点的运动方程
方向：tanθ
at an
Rα Rω2
α ω2
v Rω
αR
α2 ω4
tanθ
α ω2
结论： 1.在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成 正比。 2.在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径 间的夹角都有相同的值。
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转 动方程 t 2 4t，单位为弧度。求 t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速 度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s 时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小：
d
dt
作用线：沿轴线滑动矢量
指向：右手螺旋定则
r
r
k
角加速度矢量
r
dr
d
r k
r
k
dt dt
1.角速度矢量和角加速度 矢量均为滑动矢量。 2.当二者方向相同时，刚 体越转越快；当二者方向 相反时，刚体越转越慢。
绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度：v r
i12
1 2
r2 r1
两轮的角速度与其半径成反比
[例]下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿 数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减 速箱的总传动比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3。
解：求传动比： 则有：
§ 6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度