《圆周角定理》 (第1课时) 教案 拓展版

人教版数学九年级上册24.1.3《圆周角》教学设计1一. 教材分析《圆周角》是人民教育出版社九年级上册数学的一节重要课程。

本节课主要内容是圆周角的定义、性质及其在几何中的应用。

通过学习圆周角，能够让学生更好地理解圆的性质，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。

本节课的内容为后续学习圆的方程和其他几何性质打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、圆的定义和性质等知识。

但部分学生对空间想象能力和逻辑思维能力的掌握程度不同，因此在学习本节课时可能存在一定的困难。

另外，学生对于圆周角的实际应用可能较为陌生，需要通过实例来加深理解。

三. 教学目标1.了解圆周角的定义及其性质。

2.学会运用圆周角定理解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4.提高学生的数学应用意识。

四. 教学重难点1.圆周角的定义及其性质。

2.圆周角定理的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆周角的性质。

2.利用几何画板软件，动态展示圆周角的变化，增强学生的空间想象能力。

3.通过实例分析，让学生学会运用圆周角定理解决实际问题。

4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作包含圆周角定义、性质及应用的教学课件。

2.几何画板软件：用于动态展示圆周角的变化。

3.实例材料：收集一些与圆周角相关的实际问题。

4.练习题：准备一些有关圆周角的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个圆和圆上的任意一点。

引导学生观察当这一点绕圆心旋转时，所形成的角的变化。

让学生思考这个角与圆有什么关系？2.呈现（10分钟）介绍圆周角的定义：圆上任意一点与圆心所形成的角称为圆周角。

引导学生总结圆周角的性质，如圆周角等于其所对圆弧的一半。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出几个符合条件的圆周角，并说明其理由。

最后，各组汇报讨论结果，互相评价。

学科数学教师姓名王顺课型新授课题圆周角定理教学目标知识技能1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论．2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.体会分类思想.过程方法设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探究新知（一）、圆周角定义问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角.分析定义：○1圆周角需要满足两个条件；○2圆周角与圆心角的区别（二）、圆周角定理及其推论1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：○1一条弧所对的圆周角有多少个？②同弧所对的圆周角的度数有何关系？③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？2.分情况进行几何证明①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图⑴所示，教师联系上节课所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫学生以射门游戏为情境，通过寻找共同特点，总结一类角的特点，引出圆周角的定义学生比较圆周角与圆心角，进一步理解圆周角定义教师提出问题，引导学生思考，大胆猜想.得到：1一条弧上所对的圆周角有无数个．2通过度量，同弧所对的圆周角是没有变化的，同弧从具体生活情境出发，通过学生观察，发现圆周角的特点深化理解定义激发学生求知欲，为探究圆周角定理做铺垫.那么∠ABC=12∠AOC吗？②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图⑵，那么∠ABC=12∠AOC吗？③当圆心O在圆周角∠ABC的外部时，如图⑶，∠ABC=12∠AOC吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等. 得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（三）圆内接多边形与多边形的内接圆1.圆内接多边形与多边形的内接圆的定义如何区别两个定义？（前者是特殊的多边形后者是特殊的圆）2.圆内接四边形性质这条性质的题设和结论分别是什么？怎样证明？（四）定理应用1.课本例22. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？请证明.三、课堂训练完成课本86页练习四、小结归纳1．圆周角的概念及定理和推论2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质3. 应用本节定理解决相关问题．五、作业设计作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做. 所对的圆周角是圆心角的一半．教师组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出按照圆周角在圆中的位置特点分情况进行探究的方案.学生尝试叙述，达到共识学生尝试证明学生根据同弧与等弧的概念思考教师提出的问题，师生归纳出定理让学生明白该定理的前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理.教师试让学生将上节课定理与归纳的定理进行综合，思考，便于综合运用圆的性质定理..教师提出问题，学生领会半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，进行思考，得到推论学生按照教师布置阅读课本85—86页，理解圆内接多边形与多边形的内接圆学生运用圆周角定理尝试证明学生审题，理清题中的数量关系，由本节课知识思考解决方法.教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.培养学生全面分析问题的能力，尝试运用分类讨论思想方法，培养学生发散思维能力.为继续探究其推论奠定基础.感受类比思想，类比中全面透彻地理解和掌握定理，让学生感受相关知识的内在联系，形成知识系统.使学生运用定理解决特殊性问题，从而得到推论培养学生的阅读能力，自学能力.学生初步运用圆周角定理进行证明，同时发现圆内接四边形性质培养学生解决问题的意识和能力运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力归纳提升，加强。

圆周角定理教案教案标题：圆周角定理教案教案目标：1. 理解圆周角的概念和性质。

2. 掌握圆周角与弧长、半径之间的关系。

3. 能够运用圆周角定理解决与圆相关的几何问题。

教学重点：1. 圆周角的定义和性质。

2. 圆周角与弧长、半径之间的关系。

3. 运用圆周角定理解决与圆相关的几何问题。

教学难点：1. 运用圆周角定理解决与圆相关的几何问题。

2. 理解圆周角与弧长、半径之间的关系。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、白板、彩色粉笔、圆规、直尺等。

2. 学生准备：铅笔、橡皮擦、教科书。

教学过程：Step 1：导入新知1. 教师通过引入圆的概念，复习学生已学的圆的相关知识。

2. 引导学生思考：在圆上，两条相交弧所对应的角是否相等？Step 2：讲解圆周角的定义和性质1. 教师给出圆周角的定义：在圆上，以圆心为顶点的角称为圆周角。

2. 引导学生观察和发现：圆周角的两条边是圆上的弧，圆周角的度数等于所对应的弧所对应的圆心角的度数。

3. 教师通过示意图和实例，详细讲解圆周角的性质。

Step 3：探究圆周角与弧长、半径之间的关系1. 教师引导学生思考：圆周角与所对应的弧长、半径之间是否存在某种关系？2. 学生进行小组合作，通过实际测量和计算，探究圆周角与所对应的弧长、半径之间的关系。

3. 学生汇报研究结果，教师进行总结和归纳，引导学生得出圆周角定理。

Step 4：运用圆周角定理解决问题1. 教师通过示例问题，引导学生运用圆周角定理解决与圆相关的几何问题。

2. 学生进行个人或小组练习，解决教师提供的练习题。

3. 学生互相交流和讨论解题思路，教师进行答疑和指导。

Step 5：总结与拓展1. 教师对本节课的内容进行总结，强调圆周角定理的重要性和应用价值。

2. 鼓励学生在实际生活中寻找更多与圆周角定理相关的例子，并进行拓展学习。

Step 6：作业布置1. 教师布置相关的课后作业，要求学生运用圆周角定理解决与圆相关的几何问题。

九年级数学圆周角第一课时教案一、教学目标1. 知识与技能：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决一些简单的问题。

2. 过程与方法：通过观察、操作、推理、交流等活动，培养学生的合情推理能力以及初步的演绎推理能力。

同时，通过解决圆周角问题，培养学生用动态的观点来分析问题。

3. 情感态度与价值观：在探索圆周角的过程中，感受数学的严谨性和图形的对称美；在与同学的合作中体验数学的乐趣，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心。

二、教学重点和难点重点：圆周角定理的证明及初步应用。

难点：圆周角定理的理解与证明。

三、教学过程1. 导入：通过实物展示和生活中的实例，引出圆周角的概念。

比如，展示一个时钟的表盘，指出其上的圆周角。

2. 新知探究：首先，引导学生观察圆周角与对应的圆心角，探究它们之间的关系。

然后，通过推理和证明，得出圆周角定理及其推论。

3. 课堂活动：设计一些与圆周角相关的问题，让学生自行解答或小组讨论。

例如，让学生自己画图、分析并证明一些特殊的圆周角定理推论。

4. 知识运用：选取一些具有代表性的例题，引导学生分析并解答。

通过实例，让学生进一步理解并掌握圆周角定理的应用。

5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调圆周角定理的重要性，以及在解题过程中需要注意的问题。

6. 布置作业：根据学生的学习情况，布置适当的作业，巩固所学知识。

同时，要求学生预习下一节内容，为下节课的学习做好准备。

四、教学方法和手段本节课主要采用直观演示法、讨论法、讲解法等教学方法，通过多媒体课件展示图形和动画，帮助学生更好地理解圆周角的概念和定理。

同时，采用小组讨论的方式，引导学生自主探究和合作学习，提高他们的数学思维能力。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：设计一些与圆周角相关的问题，让学生在课堂上思考并回答。

教师可以根据学生的答题情况，及时调整教学策略。

2. 作业：布置一些具有代表性的习题，要求学生独立完成。

24.1.4圆周角（第一课时）一、教学内容和内容解析1、内容圆周角概念，圆周角定理及其推论。

2、内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角，它是在学生学习了圆心角、弧、弦之间关系的基础上的延续。

通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧、弦之间的关系，另一方面也是今后学习圆的其它性质的重要基础，在教材中处于承上启下的重要位置。

通过对圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想。

因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着桥梁和纽带的重要作用。

基于以上的认识及新《课标》的要求，我拟定本节课的教学重点是：圆周角定理。

二、教学目标（一）、知识与技能1、掌握圆周角的概念。

掌握圆周角定理，能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算；2、体会圆周角与圆心角关系的探索过程，发现、验证圆周角与圆心角的关系。

3、能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情的推理意识，逐步掌握说理的基本方法，从而提高数学素养。

（二）、过程与方法1、通过学生的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力。

2、让学生口述，培养学生的表达能力，使学生的个性得到充分的展示。

（三）、情感态度与价值观目标1、通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神。

2、培养学生学习数学的兴趣。

三、学生学情分析本节课是在学生理解了圆心角的概念，了解了弧、弦、圆心角的关系这些知识的基础上学习的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的的综合运用，又是下一节课学习圆周角定理的推论的应用打下基础,此外本节课的圆周角定理的推理充分渗透分类讨论的数学思想和方法。

本节课储备的知识，在以后的研究圆和其他图形中起着桥梁和纽带作用，是本章重点内容之一。

四、教学策略分析五、教学过程（一）、复习回顾1、什么叫圆心角？顶点在圆上的角叫圆心角。

玻璃甲(O)A B 丙(D)乙圆周角定理的教学设计 教学目标(一)知识与技能1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。

(二)过程与方法1、通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。

2、通过观察图形，提高学生的识图的能力3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生探究问题的兴趣。

(三)情感与价值观1、经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。

2、通过积极引导，帮助学生有意识主动探究，并能在探究中获得成功的体验。

教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点1． 认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。

2． 推论的灵活应用以及辅助线的添加教学突破让学生学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，制作圆形纸片教学过程活动1： 创设情景，引入概念师：课件（出示圆柱形海洋馆图片）右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物．如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图， AB ⌒表示圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E ，师：同学甲的视角∠AOB 的顶点在圆心处，我们玻璃乙(C)称这样的角为圆心角．同学乙的视角∠ACB 、同学丙的视角∠ADB 和同学丁的视角∠AEB 不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角．师：提出问题问题1：观察∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？问题2：∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 与∠AOB 有什么区别？问题3：∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 有哪些共同点？（教师引导学生进行探究，并关注以下问题）1、问题的出示是否引起学生的兴趣2、学生是否理解示意图3、学生是否理解圆周角的定义4、学生是否清楚了要探究的数学问题生：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交． 师：评价并鼓励学生的总结给出肯定，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．）设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．跟踪练习：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答．）设计意图：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较． 活动2：问题探究探究同弧所对圆周角及圆周角与圆心角的关系师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？预设生：（会很肯定的说）当然是同学甲的位置可以看到更广的海洋范围了．师提出：你是如何知道的？预设生1：因为我发现∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大．预设生2：因为发现在圆内当角的顶点距离弧越近角就越大师提出：如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？预设生：（看了图形想了想）三个位置看到海洋范围的大小应该是一样的．师提出问题：1、弧AB所对的圆周角的个数有多少个？2、弧AB所对的圆周角的度数是否发生变化？预设生：有无数个，度数相等师：你是怎么知道的？预设生：观察猜到的。

（新编）圆周角定理的教学设计[1] 数学的基本概念是抽象的，是与具体的数学活动联系在一起的。

数学活动都是在一定的数学活动框架下进行的。

数学活动必须建立在对数学规律认识的基础上。

而对于数学活动来说最重要的是数学知识，是与其他学科联系在一起的，与其他学科密切配合形成数学的整体知识体系。

所以对数学活动的理解和掌握往往是数学知识学习的一个重要组成部分。

在数学知识的学习过程中，如果能使数学知识与其他学科相联系，就能对数学知识有更深入的理解。

在数学活动中，数学的活动不仅包括证明一个问题或图形的结论，还包括解决一个问题或图形的方法或策略。

例如在证明一个几何模型或一个物体的面积与它的周长之间的关系时，就必须先解决这个问题。

因此在数学活动中，要充分地发挥学生的主体性作用而不是教师主导作用。

一、教学目标1.知识与技能目标：本节课的教学目标主要包括以下几个方面：①明确学习圆的意义、形状、性质和方法；②掌握圆周角定理的证明方法；③发展数学思维能力；④掌握解决问题的方法和策略；⑤发展创新精神；⑥培养合作交流精神；⑦形成独立解决问题的能力、动手操作能力和合作探究能力；⑧培养创新精神和实践能力。

2.过程与方法目标：通过讲授新课，使学生初步掌握圆周角定理相关内容的理论基础，了解该概念的特征及其主要内容。

学生能够充分利用已有知识进行探索和思考，逐步理解圆周角定理与其他基本概念之间密不可分的关系。

3.情感态度与价值观目标：激发学生热爱科学、热爱生活、关心社会、参与创造的热情。

4.过程与方法目标：初步建立以圆周角定理为基础的数学思想模型和数学模型构建。

初步认识与探究圆周角定理及其相关内容是怎样展开数学学习活动的。

5.过程与方法目标：通过讲授新课、观察生活、操作过程、独立思考、合作交流等活动来学习圆周度量单位圆、矩形面积单位圆、正方形面积单位圆等概念。

6.情感态度与价值观目标：初步积极自信自强、自信互助的数学学习新境界，激发学生对新知识、新方法等问题的兴趣及探索数学思维能力与探索精神。

第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。

《圆周角定理》（第1课时）教案拓展版一、教学目标知识与技能1．理解圆周角的概念．2．掌握圆周角与圆心角的关系．3．掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．数学思考与问题解决1．通过观察、猜想、验证、推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．2．学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，体会分类的数学思想．情感、态度1．通过定理证明的过程，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的严谨性．2．通过小组活动讨论，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，培养团队意识．3．体验数学与实际生活的紧密联系．二、教学重点、难点重点：圆周角的概念及圆周角定理．难点：圆周角定理的证明．三、教学过程设计（一）复习引入1．圆心角的概念是什么？2．前面我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、回顾前面所学的内容．答：1．顶点在圆心的角叫做圆心角；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等．设计意图：通过复习前面学过的知识，为新内容的学习做铺垫．（二）探究新知想一想在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ．观察图中的∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，你能发现它们有什么共同特征吗？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，最后教师引导学生得出圆周角的概念． 答：发现：（1）它们的顶点都在圆上；（2）两边分别与圆有一个交点． 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．设计意图：让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角的概念． 做一做 如图，∠AOB =80°．（1）请你画出几个︵AB 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结论． 答：（1）能画出无数个，如下图所示．ECD通过度量可以发现：∠ADB ，∠ACB ，∠AEB 这几个圆周角相等．（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠AOB 的一半．证明：如下图所示，在以点A ，B 为端点的优弧上任取一点C ，连接AC ，OC ，BC ，延长CO 交︵AB 于点M ．∵OB =OC ，∴∠1=∠2．又∵OA =OC ，∴∠4=∠5．又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB =2∠ACB ． ∴∠ACB =12∠AOB =12×80°=40°．结论：这样的圆周角有许多个，只要在︵ACB 上任取一点且与点A ，B 分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB 的一半．设计意图：这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．议一议 在下图中，改变∠AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果． 答：改变∠AOB 的度数，上面的结论仍然成立．证明过程如下： 已知：如图，∠C 是︵AB 所对的圆周角，∠AOB 是︵AB 所对的圆心角． 求证：∠C =12∠AOB ． 分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论： （1）圆心O 在∠C 的一条边上，如下图（1）； （2）圆心O 在∠C 的内部，如下图（2）； （3）圆心O 在∠C 的外部，如下图（3）．在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．证明：（1）圆心O 在∠C 的一条边上，如图（1）．∵∠AOB 是△AOC 的外角，∴∠AOB =∠A +∠C ．∵OA =OC ，∴∠A =∠C ． ∴∠AOB =2∠C ，即∠C =12∠AOB ． 情况（2）和情况（3）可以转化为情况（1）来证明．圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．设计意图：向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法． 想一想 在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B ，D ，E 处射门时，所形成的三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？师生活动：教师出示问题，学生独立完成．答：∠ABC =∠ADC =∠AEC ；能，因为∠ABC ，∠ADC 和∠AEC 都是同弧（︵AC ）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于︵AC 所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．结论：推论 同弧或等弧所对的圆周角相等．设计意图：利用圆周角定理解决本节课开始提出的问题并得出圆周角定理的推论，提高学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力．（三）典例精析例 如图，在⊙O 中，∠ACB =∠BDC =60°，AC =23cm ．（1）求∠BAC 的度数；（2）求⊙O 的周长．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程． 解：（1）∵︵BC ＝︵BC ，∴∠BAC =∠BDC =60°． （2）∵∠BAC =∠ACB =60°，∴∠ABC =60°． ∴△ABC 是等边三角形．连接OC ，OA ，作OE ⊥AC 于点E ． ∵OA =OC ，OE ⊥AC ，∴CE =EA ． ∴AE =12AC 3． ∵∠AOC =2∠ABC =120°，OE ⊥AC ， ∴∠AOE =60°，∠OAE =30°． ∴OE =12OA ． 在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222OA OE AE -=，即2334OA =．∴OA =2 cm ．∴⊙O 的周长为4π cm ．设计意图：让学生加深对本节课所学知识的理解，培养学生的应用意识． （四）课堂练习1．下列图形中的角为圆周角的是（ ）．2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点D 在︵AC 上，且OD ⊥AC ．已知∠A =36°，∠C =60°，则∠BOD 的度数为（ ）．A ．132°B ．144°C ．156°D ．168° 师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题． 参考答案 1．C ．2．C ．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． （五）拓展例题例 如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，并且点C 是优弧AmB 上一点（点C 不与A ，B 重合）．设∠OAB=α，∠C =β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．师生活动：教师出示例题，分析、引导，学生完成解题过程． 解：（1）如图，连接OB ，则OA =OB ．∴∠OBA =∠OAB =35°． ∴∠AOB =180°-∠OAB -∠OBA =110°． ∴β=∠C=12∠AOB =55°．（2）α与β之间的关系是α+β=90°．证法一：如图，连接OB，则OA=OB．∴∠OBA=∠OAB=α．∴∠AOB=180°-2α．∴β=∠C=12∠AOB=12(180°-2α)=90°-α．∴α+β=90°．证法二：如图，连接OB，则OA=OB．∴∠AOB=2∠C=2β．过点O作OD⊥AB于点D，则OD平分∠AOB．∴∠AOD=12∠AOB=β．在Rt△AOD中，∵∠OAD+∠AOD=90°，∴α+β=90°．设计意图：培养学生综合运用所学知识解决问题的能力．（六）拓展练习如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠AOC=140°，则∠CBD 的度数是_______．师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．参考答案70°．设计意图：让学生进一步巩固所学知识．（七）课堂小结1．圆周角的定义是什么？答：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理的内容是什么？答：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．3．圆周角定理的推论的内容是什么？答：同弧或等弧所对的圆周角相等．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．（八）布置作业1．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．参考答案1．∠ACB=2∠BAC．2．∠BOD=160°，∠A=80°．四、课堂检测设计1．下列说法正确的是（）．A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半2．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA．若∠D=50°，则∠C=（）．A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点．若∠DAB=20°，则∠OCD=__________．4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP=________．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°．求∠CEB的度数．参考答案1．D．2．D．3．65°．4．45°．5．解：连接BD，∵∠AOB是平角，∴∠ADB=90°．∵∠ADC=50°，∴∠EDB=90°-50°=40°．又∵∠ABD=∠ACD=60°，∴∠CEB=∠ABD +∠EDB=60°+40°=100°．班学生体温晨检登记表__________________________________________________填表人:班主任签字：填表时间：年月日至年月日收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、教学目标1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明．二、教学重点及难点重点：了解圆周角与圆心角的关系.难点：能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明.三、教学用具多媒体课件四、相关资料无五、教学过程【情景引入】你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？【探究新知】【知识点解析】圆周角，本微课资源针对圆周角进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力。

【探究1】圆心角、圆周角问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那么当角的顶点发生变化时，我们能得到几种情况？图3－4－13处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．【数学探究】探究圆周角与圆心角的数量关系，通过探究的方式 ,定量地揭示出圆周角与圆心角的数量关系,同时根据圆周角和圆心角不同的分布,分类讨论,证明定理的正确性. 试一试：指出图3－4－14中的圆心角和圆周角．图3－4－14解：圆心角有∠AOB ，∠AOC ，∠BOC ； 圆周角有∠BAC ，∠ABC ，∠ACB .处理方式：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法．寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定．寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的角即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点．这里要注意，因为半径AO 没有延长，所以∠OAB 严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO 延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．【探究2】 探究同一条弧所对圆周角与圆心角的关系画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画并思考下列问题： 问题1：你所画的这几个圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？问题2：通过上述问题，你有何猜想？问题3：对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．(几何画板展示)教师适时引导：能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角――→特殊一边经过圆心．由图3－4－15可知，显然∠ABC ＝12∠AOC ，结论成立．(预设学生口述，并展示)证明：∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO .∴∠AOC ＝2∠ABO . 图3－4－15即∠ABC ＝12∠AOC .如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如图3－4－16)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)图3－4－16如图①，当点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .如图②，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果，有∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ，∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD )，即∠ABC ＝12∠AOC .问题4：还会有其他情况吗？经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？教师适时总结：这一结论称为圆周角定理．板书：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．问题5：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？图3－4－17处理方式：学生通过从对特殊角的圆周角与圆心角的数量关系入手进行猜想，进而提出猜想、作图，然后写出已知、求证，并进行讨论、交流，在教师的引导下寻找解决问题的途径．教师在讲台利用几何画板演示圆心与圆周角的三种不同位置情况，配合学生的思考过程进行逐步演示分析．并给学生充足的时间思考．通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用．多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加工．【探究3】 探究同弧或等弧所对圆周角之间的关系问题回顾：如图3－4－18，当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，这三个角的大小有什么关系？处理方式：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理．分析：如图3－4－18，连接AO ，CO ，∵∠ABC ＝12∠AOC ，∠ADC ＝12∠AOC ，∠AEC ＝12∠AOC ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC .图3－4－18由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等. 【新知运用】 探究点一：圆周角定理【类型一】 利用圆周角定理求角例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A .方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想例2 已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题例3 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A .55 B .255 C ．2 D .12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D .方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题例4 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 【随堂检测】1．如图，在⊙O 中，△ABC 是等边三角形，AD 是直径，则∠ADB ＝________°，∠DAB ＝________°.2.如图，A ，B ，E ，C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD ＝∠EAB ，AE 是⊙O 的直径吗？为什么？3.如图，在⊙O 中，直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D .求BC ，AD 和BD 的长．六、课堂小结1．圆周角的概念 2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。

24.3 圆周角第1课时 圆周角定理及推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O 处，乙队员在圆上C 处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理【类型一】 利用圆周角定理求角D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A. 方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A.55B.255 C ．2 D.12 解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝AC AB ＝12.故选D.方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.。

圆周角定理的教学设计“一个完美的圆，弯曲的线条包裹着它，这是伟大的圆周角定理产生的神奇奥秘。

”圆周角定理被广泛应用于数学、物理和几何等领域，其具有重要的实际意义，是高中学生必须掌握的知识。

因此，有效教学设计对深入学习圆周角定理至关重要。

本文主要探讨圆周角定理教学设计，以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的概念。

一、课前准备1. 知识点：正弦定理、余弦定理以及圆周角定理的定义与公式，三角函数的基本知识；2. 教学材料：实物或多媒体材料，例如白板，多媒体演示片等；3. 教学方法：实验教学，演说教学法，探究法，问答法等。

二、课堂环节1.认知建构教师介绍与三角函数相关的定义，如正弦、余弦两个定理及其公式，并请学生说出圆周角定理。

将正弦定理、余弦定理以及圆周角定理的定义与三角函数的知识线耦合，明确概念。

2. 演示及讲解使用Audio-visual课件，或进行实物演示，对圆周角的概念再次进行讲解，并详细说明圆周角定理的公式及意义，同时引入部分实例帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

3. 练习教师分组让学生进行交流小结，讨论相关知识点，练习圆周角定理的应用问题，尤其是将正弦定理、余弦定理与圆周角定理耦合之后的实例问题和实际应用问题。

4. 总结由教师主导，简要总结圆周角定理的内容和实例，加深学生对课堂内容的理解，同时利用实例提示学生可以如何去获取更多的知识。

三、课后作业将曾经讨论的圆周角定理的知识点拓展，分配不同的难易程度的习题，帮助学生更深入地理解和掌握圆周角定理，培养科学求解问题的能力，以及应用有关数学知识解决实际问题的才能。

四、结语有效的教学设计对促进学生深入理解和掌握圆周角定理具有重要意义。

通过课堂教学，加之良好的教学设计，帮助学生更好地掌握圆周角定理，做好课后练习进一步巩固所学知识，以期达到规范的学习效果。

《圆周角》（第一课时）教学设计鞍山市第五十一中学孟威威《圆周角》（第一课时）教学设计鞍山市第五十一中学孟威威一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。

圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。

圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。

圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。

教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。

基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。

二、目标和目标解析1．理解圆周角的定义。

通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。

2．掌握圆周角定理及其推论。

经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。

3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。

4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。