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第六章投影变换.

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投影变换

投影变换

投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。

2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。

投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。

●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。

void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。

bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。

near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。

程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。

void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。

Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。

zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。

参数恒为正。

图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。

void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。

投影变换

投影变换

V X H
ax
a2
a ax1
H X1 P 1
.
ax2 .
a1
P2 P1 X 2
四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1
V
A
b
●
n
d b
d1
.
●
D
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
d1
n1
H P1 X1
圆半径=MN
c1
●
求交叉两直线AB、CD间的距离。
b
m
d k a k d m a d 1 c c b c 1 k 1 m2 a2 b2 c2 k2 d2
V XH
b1
m1
a1
Why？
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
H X1 P 1
.
求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂直 于投影面时，CD平行于投 影面，其投影反映实长。所 以，需要把直线AB变换成 投影面垂直线。
AD C B abd P c
X
V H
直线CD在P1 / P2两投 影体系中，平行于新 投影面P2。则CD直线 在P1平面中的投影有 什么特点?
c d a1 d1 .
距离
b b1 . a2 2d2
P1 P2
c2
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
X2
求C点到AB直线的距离。
a1
a k1 b1 c k' b c1

投影变换

投影变换
C N M D B a′1m′1b′1 V1
n′ ●
●
a′
m′
b′
XV H a c m ●
●
n
d b
d′1
.
a′1≡b●1≡m′1 ′
●
●
c′1
n′1
d′1
.
n′1
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
圆半径=MN
c′1
●
例题4] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a′2
d
平面换面法小结
一 次 换 面 1．把一般位置平面变换为投影面垂直面
条件：需先在平面内作一条投影面的平行线
作图时：新的投影轴与该投影面平行线反映 实长的投影相互垂直
2．把投影面垂直面变换为投影面平行面 两 次 换 面
构造新的投影面与平面平行 作图时：新的投影轴与保留的平面具有积聚性 的投影相互垂直
§1 概述 §1 概述 §2 变换投影面法 §2 变换投影面法
§1 概 述
当空间几何元素对投影面处于特殊位置 时，则其投影或反映其真实形状，或具有积聚 性。 当我们图示、图解一般位置的空间几何元 素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它 改变成特殊位置，则问题就可能比较容易地获 得解决 。 本章引入投影变换的方法来达到上述目的。
X1 H 1 V
.
aH
V1 X1
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于旧投影到旧轴的距离。
2.2.2 点的二次换面 ⑴ 新投影体系的建立
X2
V
H2
a2
按次序更换 V1
∇
ax2
a′ A ax

画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换

画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换

b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、 投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、 一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、 换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的 投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、 新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。

投影法第六章投影变换

投影法第六章投影变换
d'
d
例题4
返回
例题4 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b1'
a1' e1'
e' d'
e1 d1' c1'
ed
返回
a1'
a2
b2 b1' a1'
X1 例题 放大图
返回
b' a'
X
V H
b
a
a1'
a2'b2' b1'
返回
例题 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
c2
2
22
12
d2
c1'
21' d1'
b1'
a2b2
a1'
11'
返回
（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面

d'
b1

D
d1H1 a1
d
c1
返回
一、换面法的基本概念
c1’ V1
a1’
b1’
c1’ b1’
a1’
X1 X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的 投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找 出其在新投影面上的投影。
返回
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
d
c
例题2 例题3
返回
例题2 求点S到平面ABC的距离 k'
s'

6投影变换

6投影变换

a1”b1” b’
作aa1’ ⊥O1X1,并由zAB确
定a1’;由于V1⊥ab，AB∥H； 且V1⊥H；因此AB⊥V1, 即AB在V1集聚。
O O1 b H X1 V1 a1’b1’
直线二次换面
●直线二次换面：
一般位置直线 →平行线 →垂直线 作O1X1∥ab; 作aa1’ ⊥O1X1,并由zA确定 a1’;zB确定b1’；连接a1’b1’ ， 则：AB∥V1； 作O2X2⊥a1’b1’;
影面替代，并与原有的另一个投影面构成新的投影体系；同 时将几何元素在新的投影体系中投影，使之成为新投影体系 中的特殊位置几何元素。
旋转法
●旋转法：在原有投影体系中，将几何元素绕特殊位置直线旋
转，使几何元素处于对投影面的特殊位置，从而得到几何元 素的特殊投影特征，为图解空间几何问题提供帮助。
A a’
B0
A0
b0’
b’ a
B b0 a
b0
b b
§6.2 ●原理：
换面法
V a’
换面法
一、辅助投影面特征
a1’
V1
作平面V1⊥H;且V1∥AB;
并将AB向H1投影; 用V1替代V,与H构成H-V1 投影体系,O1X1为新的投 影轴; 则:AB成为对V1面的平行 线。
X
zA
A b’
zA
zB
X1 B a H
第六章
§6.1 一、投影变换的目的
投影变换
投影变换
投影变换的目的和方法
●目的：将一般位置的几何元素变换为对特殊投影的特殊位置
的几何元素；使图解空间几何问题更为简单、直接。
●方式：一般位置直线 →投影面平行线 →投影面垂直线
一般位置平面 →投影面垂直面 →投影面平行面 二、投影变换的常用方法

第六章投影变换


sinφ 1]
• z轴上C点［0 0 1 1］。
• 变换后为： ［0 0 1 1］·H = [sinθ -
cosθ·sinφ cosθ·cosφ 1]
2021/6/29
13
6.2.2 正轴测投影
•
在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上
述三点到坐标原点的长度是
,按正等轴测投
影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长
平面与二个坐标轴相交，这种投影被称为二点透
视。
二点透视示意图
2021/6/29
27
6.4 透视投影
• 3、三点透视 • 三点透视：按照投影面的方向可对在
用户坐标系中正放的矩形体产生三主消失 点，即投影平面与三个坐标轴相交，这种 投影被称为三点透视。
2021/6/29
28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
1.为什么需要做投影变换？
2.什么叫投影变换?
3.试述投影变换的分类
4.沿Z方向正投影的变换矩阵是什么样的？
5.若给出投影方向矢量［A，B，C］，且以Z=0的 平面作为投影平面，则斜平行投影变换矩阵是什 么样的？
6.若投影中心处于观察坐标系的原点，投影平面与Z 轴垂直并距原点的距离为d，则透视投影变换矩阵 是什么样的？
2021/6/29
2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中
心在无限远处的投影。见下图（b）。
2021/6/29
3
6.1 投影概念分类
a透视投影变换示意图 b平行投影变换示意图
2021/6/29
4
6.1 投影概念分类
• 二、投影的分类
2021/6/29
5
6.2 正平行投影
• 正平行投影的投影中心是在无限远处， 且投影射线与投影平面垂直。

投影变换的三种方法

投影变换的三种方法投影变换是图形学中常用的一种技术，它可以将一个物体或图像投影到一个新的坐标系中，从而改变其形状、位置和大小。

在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。

本文将介绍投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。

一、平行投影平行投影是一种简单而常用的投影变换方法，它将物体或图像的每个点沿着平行于观察方向的直线投影到投影平面上。

由于平行投影不考虑观察点与投影平面的距离，因此投影结果不会产生透视效果，物体的形状和大小在投影过程中保持不变。

平行投影可以简化计算过程，适用于一些不需要透视效果的场景，如平面图的绘制和建筑物的俯视图等。

二、透视投影透视投影是一种模拟真实世界中的投影效果的方法，它考虑了观察点与投影平面的距离，使得物体在投影过程中产生透视效果。

透视投影根据物体与观察点的距离和角度的不同，可以产生近大远小的效果，使得投影图像更加真实。

透视投影广泛应用于计算机游戏、虚拟现实和电影等领域，使得场景更加逼真，增强了用户的沉浸感。

三、仿射投影仿射投影是一种综合了平行投影和透视投影的投影变换方法，它可以保持物体的平行性和直线性，同时又能产生透视效果。

仿射投影通过对物体的位置、大小、形状和角度进行变换，将物体投影到一个新的坐标系中。

仿射投影在计算机图形学中具有广泛的应用，如图像矫正、图像处理和计算机辅助设计等领域。

总结：本文介绍了投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。

平行投影适用于不需要透视效果的场景，透视投影模拟了真实世界中的投影效果，而仿射投影综合了平行投影和透视投影的优点。

这三种方法在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。

通过合理选择和使用这些方法，可以实现对物体或图像的形状、位置和大小的变换，从而满足不同应用需求。

投影变换、切变变换(优秀经典公开课比赛课件)


设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投
影后的点坐标为(0,y).
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y) P/(0, y)
ox
建构数学
像
1 0
0 1 0 1
0 0
这类将平面内图形投影到某条直线
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
当kx<0时，沿y轴负方向移动；
当kx=0时，原地不动，
在此变换作用下，y轴上的点为不动点。
课堂小结
1．投影变换与投影变换的概念。
2.投影变换对应的矩阵。
切变变换与切变变换矩阵的概念。
3．10
k 1
是沿Байду номын сангаас轴方向的切变变换，x轴上
的点是不动点。
4．1k
0 1
是沿y轴方向的切变变换，y轴上的
点是不动点。
2.切变变换
F
F
S
S
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平
行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要 发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。
问题情境
一副码好的纸牌，现将它的左边与一把直尺对 齐，保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动， 用直尺轻轻推动纸牌，使得纸牌的形状变换为如图2 所示的模样，问纸牌被推动的前后存在什么变化规 律吗？
当ky>0时，沿x轴正方向移动；
当ky<0时，沿x轴负方向移动；

第六章 高斯—克吕格投影


3N
6
cos (1 tg )
3
5N
120
cos5 (5 18tg 2 4tg 4 4 ) ......
（6-7）
16
经纬线形状：
本投影通常是按一定的经差分带投影，每带的经差一般不大（6或3）。
17
图6-2 高斯-克吕格投影全球经纬格网
18
x s
y x
x
-dy
N
由于对取导数比较复杂，以下利用等角 条件加以变换，得：
x x r M y y r M
o
-dy
-dx F 图6-3 子午线收敛角

A’
y
y tg x
25
或利用下式
x x x x d d d dx tg y y y y dy d d d
同理可得：
考虑到H=（EG-F2）=(x/)(y/)-(y/)(x/) 是一个面积元素， 恒为正，在上面两式的开方中，只有当第一个式子取负号，第二个式子 取正号时，才恒成立。所以等角条件还可以表示为：
x r y M
y r x M
10
第六章
高斯-克吕格投影
（Gauss-Krüger Projection）
§6-1 高斯-克吕格投影的原理和公式
投影性质
等角横切椭圆柱投影
名称由来
德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年 代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投 影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。
2
概念
2 2 2 2 2 2
15
高斯—克吕格投影的直角坐标公式：
将以上求得的各个系数a代入前面的方程，加以整理，有：
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其中，xp,yp,zp是投影点坐标，xo,yo,zo是物体 2017/10/27 8 上点的坐标。
•
6.2.2 正轴测投影
2017/10/27
9
6.2.2 正轴测投影
• 正轴测投影的投影方向不与坐标轴方向 平行。 • 为了达到投影要求，需在用户坐标系 中安排恰当的观察坐标系位置。假设观察 坐标系与用户坐标系重合。经将用户坐标 系先绕y轴旋转θ角，再绕x轴旋转φ角的变 换，形成观察坐标系与用户坐标系的新的 位置关系，如上图所示。两坐标系之间的 变换矩阵为：
，
，所
2017/10/27
15
6.2.2 正轴测投影
• 正二轴测投影：投影线与各坐标轴的夹角中有两个相 等，使得物体中有两个与坐标轴平行的边等比例缩小的正 轴测投影，如图所示。
•
设投影线与x轴及y轴的夹角相等，则A‘O=B’O 即：
2017/10/27
16
6.2.2 正轴测投影
•
• • 解上述方 • 程： ， ， ， 。
第六章 投影变换
重点：掌握平行投影、透视投影以及投 影分类的概念。 难点：理解并推导透视投影的变换 公式及变换矩阵。 课时安排：授课4学时；上机2学时。
2017/10/27
1
第六章 投影变换
• 实际物体都是三维的，可以在三维直角坐标系 中描述，但显示屏是二维的，所以最终还是用二维 图形基元产生图形。从三维物体模型描述到二维图 形描述的转换过程称为投影变换。
2017/10/27 10
6.2.2 正轴测投影
•
在观察坐标系中的正投影是去掉它们的 z分量，即可得到正轴测投影的图形。 2017/10/27 11 • 常用的正轴测投影有：
6.2.2 正轴测投影
• • 1、正等轴测投影 正等轴测投影：投影方向与各坐标轴 夹角相等的正轴测投影，此时物体中各边 以相同比例缩小，如图所示。
2017/10/27
28
习题
1.为什么需要做投影变换？ 2.什么叫投影变换? 3.试述投影变换的分类 4.沿Z方向正投影的变换矩阵是什么样的？ 5.若给出投影方向矢量［A，B，C］，且以Z=0的 平面作为投影平面，则斜平行投影变换矩阵是什 么样的？ 6.若投影中心处于观察坐标系的原点，投影平面与Z 轴垂直并距原点的距离为d，则透视投影变换矩阵 是什么样的？
2017/10/27
2
6.1 投影概念分类
• 一、投影的概念 投影变换分为平行投影和透 视投影两种： • 1、透视投影变换：投影射线汇聚于投影中心， 或者说投影中心在有限远处的投影。 • 即从空间选定的一个投影中心和物体上每点 连直线从而构成了一簇射线，射线与选定的投影 平面的交点集便是物体的投影。见下图（a）。 • 2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中 心在无限远处的投影。见下图（b）。
•
根据正轴测投影的变换公式（见正轴测 投影示意图），在用户坐标系中， 2017/10/27 12
6.2.2 正轴测投影
• x轴上A点［1 0 0 1］。 • 变换后为：［1 0 0 1］·H = [cosθ sinθ·sinφ -sinθ·cosφ 1] • y轴上B点［0 1 0 1］。 • 变换后为：［0 1 0 1］· H = [0 cosφ sinφ 1] • z轴上C点［0 0 1 1］。 • 变换后为： ［0 0 1 1］·H = [sinθ cosθ·sinφ cosθ·cosφ 1] 2017/10/27
2017/10/27 3
6.1 投影概念分类
a透视投影变换示意图 b平行投影变换示意图
2017/10/27 4
6.1 投影概念分类
• 二、投影的分类
2017/10/27
5
6.2 正平行投影
• 正平行投影的投影中心是在无限远处， 且投影射线与投影平面垂直。 正轴测投影
• 正投影
2017/10/27
6
6.2.1 正投影
•
正投影的投影方向与用户坐标系的某个坐标轴 方向平行，即投影方向与另外两个坐标轴组成的平 面是垂直的。示意图中给出了立方体的各种正投影。
2017/10/27
7
6.2.1 正投影
• 在观察坐标系中进行平行正投影很方便，因 为是按Z方向投影，物体的投影图坐标便与它的Z 值无关，所以去掉Z变量便是三维物体的二维投影 描述。沿Z方向正投影的变换可表示成：
2017/10/27 21
6.4 透视投影
• 透视投影：投影射线汇聚于投影中心，或者 说投影中心在有限远处的投影。
2017/10/27
22
6.4 透视投影
• 透视投影变换的观察坐标系中（见上图所 示），投影中心处于坐标系原点，投影平面与Z轴 垂直并距原点距离为d。由相似三角形关系求得空 间点P(x0，y0，z0)和投影平面上投影点P'(xp，yp， zp)的坐标关系： xp=x0· d/z0 yp=y0· d/z0 zp=d 可见随着物距z0的增大，投影点的xp和yp将 减小。在齐次坐标系中这个变换关系可写成如下 2017/10/27 23 所示：
6.4 透视投影
• [x'p y'p z'p w]=
• 由上式得[x'p y'p z'p w]=[x0 y0 z0 z0/d]，可见 w=z0/d，所以
2017/10/27
• 透视投影分为三类：
24
6.4 透视投影
• 1、一点透视 • 一点透视：由透视变换关系可见，只有与投 影平面平行的平行线（它们有相同的z0值）才能 在投影线之间继续保持平行，垂直投影平面的平 行线的透视投影线将汇聚到一个消失点 （xi=0,yi=0）上（见示意图）。由平行于用户坐 标轴的平行线投影产生的消失点称为主消失点。 按照投影面的方向可对在用户坐标系中正放的矩 形体产生一个主消失点，即投影平面与一个坐标 轴相交，2 正轴测投影
• 在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上 述三点到坐标原点的长度是 ,按正等轴测投 影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长 度的投影长度应相等：A'O=B'O、C'O=B'O 即
2017/10/27
14
6.2.2 正轴测投影
•
•
解上述方程组： ， ， 以正等轴测投影变换矩阵为：
2017/10/27 25
6.4 透视投影
2017/10/27
26
6.4 透视投影
• 2、两点透视 • 二点透视：按照投影平面的方向可对在用户 坐标系中正放的矩形体产生二主消失点，即投影 平面与二个坐标轴相交，这种投影被称为二点透 视。
2017/10/27
二点透视示意图
27
6.4 透视投影
• 3、三点透视 • 三点透视：按照投影面的方向可对在 用户坐标系中正放的矩形体产生三主消失 点，即投影平面与三个坐标轴相交，这种 投影被称为三点透视。
另给一约束条件，设原用户坐标系中z方向单 位长度的投影长度是k，即：
• 从而可以确定投影变换矩阵H。
2017/10/27 17
6.2.2 正轴测投影
• 3、正三轴测投影 • 正三轴测投影：投影线与各坐标轴夹角全 不相等，使得物体中三个与坐标轴平行的三条 边各以不同比例缩小的正轴测投影，如图所示。
2017/10/27
18
6.3 斜平行投影
•
斜平行投影：是指投影射线方向不与投 影平面垂直的平行投影。若投影方向用矢 量［A，B，C］表示，则点(Xo,Yo,Zo)的投 影直线可用参数写成：
•
以Z=0（Zp=0）的平面作为投影平面 时，射线与投影面的交点满足t=-Zo/C，所 以投影点的坐标是:
19
2017/10/27
6.3 斜平行投影
•
• •
Xp=Xo－A· Zo/C和Yp=Yo－B· Zo/C。 这些变换关系可写成：
[xp yp zp 1]=[xo yo zo 1]· Mob其中
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常用的斜平行投影有：
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6.3 斜平行投影
• 1、斜等测投影 • 斜等测投影：投影方向与投影平面成 45°的斜平行投影，它保持平行投影平面 和垂直投影平面的线的投影长度不变。 • 2、斜二测投影 • 斜二测投影：与投影平面成arctg(2)角 的斜平行投影，它使垂直投影平面的线产 生长度为原来1/2的投影线。
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