第六章 三维变换与投影

三维图像投影变换——透视投影⼆、投影变换1、平⾯⼏何投影投影变换就是把三维物体投射到投影⾯上得到⼆维平⾯图形。

【计算机绘图是产⽣三维物体的⼆维图象，但屏幕上绘制图形的时候，必须在三维坐标系下考虑画法。

】常⽤的投影法有两⼤类两种投影法的本质区别在于【透视投影】的投影中⼼到投影⾯之间的距离是【有限的】，⽽【平⾏投影】的投影中⼼到投影⾯之间的距离是【⽆限的】。

（1）中⼼（透视）投影透视投影是3D渲染的基本概念，也是3D程序设计的基础。

其中的[p,q,r]能产⽣透视变换的效果1、透视基本原理因为⼀条直线段是由两点确定，多边形平⾯由围城该多边形的各顶点和边框线段确定，⽽任何⽴体也可以看成是由它的顶点和各棱边所构成的⼀个框体。

也就是说，可以通过求出这些【顶点的透视投影】⽽获得空间【任意⽴体的透视投影】。

三维世界的物体可以看作是由点集{X i}构成的，这样依次构造起点为E，并经过点X i的射线R i，这些射线与投影⾯P的交点集合便是三维世界在当前视点的透视图。

投影线均通过投影中⼼，在投影中⼼【相对】投影⾯【确定的】情况下，空间的⼀个点在投影⾯上只存在【唯⼀⼀个】投影。

2、⼀点透视先假设q≠0，p=r=0。

然后对点(x,y,z)进⾏变换图70对其结果进⾏齐次化处理得：A、当y=0时，有说明处于y=0平⾯内的点，经过变换以后没有发⽣变化B、当y→∞时，有说明当y→∞时，所有点的变换结果都集中到了y轴上的1/q处，即所有平⾏于y轴的直线将延伸相较于(0,1/q,0)，该点称为【灭点】，⽽像这样形成⼀个灭点的透视变换称为【⼀点透视】。

同理可知，当p≠0，q=r=0时，则将在x轴上的1/p处产⽣⼀个灭点，坐标为(1/p,0,0)，在这种情况下，所有平⾏于x轴的直线将延伸交于该点。

同理，当r≠0,q=p=0时，则将在z轴上的1/r处产⽣⼀个灭点，其坐标为(0,0,1/r)，这种情况下，所有平⾏于z轴的直线将延伸交于该点。

计算机图形学中的三维变换与投影算法计算机图形学是研究计算机中图形的表示、生成、处理和显示的学科。

在计算机图形学中，三维变换和投影算法是非常重要的技术，它们可以用来对三维物体进行位置、姿态和尺寸的调整，并将其投影到二维画面上。

三维变换是指通过对三维物体的顶点进行一系列变换操作，来改变物体的位置、形状和方向。

常用的三维变换操作包括平移、旋转和缩放。

平移操作改变物体的位置，旋转操作改变物体的方向，而缩放操作改变物体的尺寸。

通过组合不同的变换操作，可以实现复杂的三维物体的变换。

平移是通过将物体的每个顶点按照指定的距离移动来改变物体的位置。

旋转是通过将物体的每个顶点绕着旋转中心按照指定的角度旋转来改变物体的方向。

缩放是通过将物体的每个顶点按照指定的比例因子进行缩放来改变物体的尺寸。

这些变换操作可以通过矩阵运算来进行计算，从而实现对三维物体的变换。

投影是将三维物体投影到二维画面上的操作。

在计算机图形学中，常用的投影算法有平行投影和透视投影。

平行投影是将物体的每个顶点沿着平行于视线的方向进行投影，得到二维画面上的对应点。

透视投影则考虑到物体离视点的距离，并根据投影面和视点的位置关系而调整投影结果。

通过投影操作，可以将三维物体在计算机屏幕上展示出来，从而实现真实感的图形显示。

在实际应用中，三维变换和投影算法被广泛应用于计算机游戏、虚拟现实、计算机辅助设计等领域。

通过三维变换，可以实现物体的动画效果，使得游戏或虚拟现实场景更加逼真。

而通过投影算法，可以实现对物体的观察和测量，帮助设计师更好地进行产品设计和展示。

总结来说，计算机图形学中的三维变换和投影算法是实现三维物体在计算机中显示和操作的关键技术。

通过对物体进行平移、旋转和缩放等变换操作，可以改变物体的位置、方向和尺寸；而通过投影操作，可以将三维物体投影到二维画面上展示出来。

这些技术在计算机游戏、虚拟现实和计算机辅助设计等领域发挥着重要的作用，推动了计算机图形学的发展。

空间几何的投影和投影变换空间几何的投影和投影变换是数学中的重要概念，在生活中也有很多实际应用。

在这篇文章中，我们将介绍投影和投影变换的概念及其应用。

一、投影投影可以理解为把一个物体投射到一个平面上，在平面上得到的影像就是投影。

在三维空间中，我们可以用投影来描述一些物理现象，如阴影、光线等。

在立体几何中，我们经常将几何体投影到平面上，以便更好地观察和分析。

比如一个立方体，我们可以将其投影为一个正方形，以方便观察和计算。

在这个过程中，需要注意投影方向和位置。

另外，有时候我们也需要将一个物体在空间中的某一部分投影到一个平面上，以便更好地观察和分析。

这个过程称为部分投影。

比如一个球体，我们可以将其上半部分投影到一个平面上，以观察球面的形状。

二、投影变换投影变换是指把一个几何体通过投影变换成为另一个几何体的过程。

在这个过程中，几何体的形状、大小等性质可能会改变。

比如，我们可以将一个球体投影到一个平面上，得到一个椭圆形。

这就是一个投影变换。

在这个过程中，球体的形状保持不变，但其大小却变小了。

这是因为，球体的某些部分被压缩到了平面上，而平面又是一个二维的对象，不能够完全表示三维空间中的对象。

投影变换常用于计算机图形学中，用来处理三维图形的显示问题。

在这个过程中，需要进行一系列投影变换，以便将三维图形投影到屏幕上，显示给用户观看。

另外，投影变换还可以应用于图像处理中，比如图像压缩、图像增强等。

在这些应用中，我们也需要进行一系列的投影变换，将图像从一个空间变换到另一个空间，以便更好地处理和分析图像。

三、应用实例在生活中，投影和投影变换也有很多实际应用。

比如，我们可以通过投影来得到一个物体的影像，以便更好地观察和分析。

这可以应用于很多领域，如建筑设计、工程测量、地图绘制等。

另外，我们也可以通过投影变换来实现三维图形的显示和处理。

这可以应用于电脑游戏、模拟器、虚拟现实等领域。

同时，投影和投影变换还可以应用于现实中的一些物理现象，如光线的传播、镜面反射、阴影等。

第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。

xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。

二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。

矩阵运算的维数被扩展为四维。

三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。

(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。

平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。

1 实验目的1）掌握4*4矩阵乘法运算的编程实现。

2）掌握平移、比例、旋转三种基本三维几何变换矩阵生成。

3）掌握正交投影图的生成和绘制方法。

2 实验要求1）三维坐标系的原点位于屏幕中心，X轴水平向右，Y轴垂直向上，Z轴垂直于坐标屏幕，指向屏幕外。

2）设计实现三维图形变换类，具有平移、比例、旋转三维几何变换功能，以及正交投影变换功能.3）使用第二章的直线类绘制正四面体的是三维线框模型,要求体心位于坐标原点，使正四面体同时绕Y轴匀速旋转，并相对于体心点来回缩放。

4）使用双缓冲机制，绘制正四面体三维线框模型的二维正交投影图，要求投影到XOY平面。

3 详细设计3。

1 核心算法及类型设计void CTrans3DView：:BuildPointEdge(）｛double d=400;P[0]。

x=d/2; P[0］.y=d/2; P[0］.z=d/2；P［1］。

x=d/2； P［1]。

y=-d/2; P［1].z=-d/2；P[2］。

x=—d/2； P[2]。

y=—d/2; P[2]。

z=d/2；P[3].x=-d/2; P［3].y=d/2; P［3]。

z=—d/2；E[0]。

SetPointsIndex(0，1）；E［1].SetPointsIndex（0,2）;E[2］。

SetPointsIndex（0，3)；E[3］。

SetPointsIndex（1，2);E[4]。

SetPointsIndex（1,3)；E［5］.SetPointsIndex(2,3);｝void CTrans3DView：：OnDraw(CDC＊pDC){CTrans3DDoc* pDoc = GetDocument()；ASSERT_VALID（pDoc);if（!pDoc）return;// TODO：在此处为本机数据添加绘制代码CRect rect;GetClientRect(&rect);pDC-〉SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);pDC-〉SetWindowExt（rect.Width()，rect.Height()）;pDC—>SetViewportExt(rect.Width（），—rect.Height（）);pDC—〉SetViewportOrg（rect.Width（）/2，rect。

形学中的视变换与投影
视变换与投影是形学中非常重要的概念，它们在绘画、建筑、设计
等领域都有着广泛的应用。

本文将从视变换和投影两个方面对形学中
的视变换与投影进行探讨。

视变换是指将现实中的三维对象通过特定的变换方式投影到平面上，以获得一个二维的视图。

在视变换中，视点、观察方向、视图平面等
因素都会影响最终的投影效果。

例如，在透视投影中，远处的物体会
看起来比近处的物体小，而在等轴测投影中，则是保持物体的各个部
分等比例缩放。

视变换可以帮助我们更好地理解和表达三维空间中的
对象，是建筑师、设计师等专业人士必备的技能之一。

投影则是视变换中的一种特殊情况，它是将三维空间中的对象投影
到一个平面上，从而得到一个二维的图像。

在投影中，重要的参数包
括投影位置、投影方向和投影方式等。

常见的投影方式有平行投影、
透视投影、等轴测投影等，它们各自具有特定的特点和应用范围。

例如，在建筑设计中，通过等轴测投影可以清晰地表达建筑物的各个部分，而在艺术创作中，透视投影则可以营造出更加逼真的场景。

视变换和投影在形学中具有举足轻重的地位，它们不仅帮助我们更
好地理解和表达三维空间中的对象，还可以为我们的创作提供更多的
可能性。

因此，掌握视变换和投影的原理和方法，对于希望在绘画、
建筑、设计等领域有所作为的人来说至关重要。

希望通过本文的介绍，读者对形学中的视变换与投影有了更深入的了解，能够在实际操作中
灵活运用这些知识，为自己的创作增添新的色彩。