第六章 投影变换
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投影变换
投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。
2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。
投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。
●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。
bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。
near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。
程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。
void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。
Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。
zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。
参数恒为正。
图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。
第6章 投影变换
AD C B a≡b≡d ≡ ≡ P X V H
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b’1. a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d
. a’1 d’1
H X1 V 1
c
如何确定d 如何确定 1 c’1 点的位置？ 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 已知两交叉直线 和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
●
a′ ′ XV H a c
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
d b
d’1
.
●
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
.
d1
n’1 圆半径=MN 圆半径
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c’1
●
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
的实长及与H面的夹角 例：求直线AB的实长及与 面的夹角。 求直线 的实长及与 面的夹角。
面代替V面 投影体系中， 用 面代替 投影体系中 。 空间分析： V1面代替 面，在V1/H投影体系中，AB//V1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ V1 a′ ′ a’1
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b’1
H
b a
4
6.2.1基本条件 基本条件
a'1 V1
6.2 换面法
X1
α
α b'1 O1
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b’1. a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d
. a’1 d’1
H X1 V 1
c
如何确定d 如何确定 1 c’1 点的位置？ 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 已知两交叉直线 和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
●
a′ ′ XV H a c
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
d b
d’1
.
●
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
.
d1
n’1 圆半径=MN 圆半径
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c’1
●
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
的实长及与H面的夹角 例：求直线AB的实长及与 面的夹角。 求直线 的实长及与 面的夹角。
面代替V面 投影体系中， 用 面代替 投影体系中 。 空间分析： V1面代替 面，在V1/H投影体系中，AB//V1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ V1 a′ ′ a’1
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b’1
H
b a
4
6.2.1基本条件 基本条件
a'1 V1
6.2 换面法
X1
α
α b'1 O1
画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换
b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、 投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、 一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、 换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的 投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、 新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。
投影变换
a’
a
a1‘
一般位置平面经过二次变换成为投影面平行面
（选择一条投影面平行线作为辅助线）
旋转轴
旋转平面
点在旋转轴垂直的投影面上做圆周运动； 在旋转轴平行的投影面上做直线运动。
不指明轴的旋转
A a’
a
• 小结： 一、 变换投影面法 新投影到新轴的距离等于老投影到老轴的距离。 二、旋转法 在旋转轴垂直的投影面上作圆周运动； 在另一投影面上作平行于投影轴的直线运动，形状、 大小不变。 一般位置直线一次变换成投影面平行线； 投影面平行线一次变换成投影面垂直线。 一般位置直线一次变换成投影面垂直面（取平面上的平行线 变换）； 投影面垂直面一次变换成投影面平行面。
V V1
V
H
H
投影体系仍然保持相互垂直的关系，每次变换一个投影面。
V V V1 V H2 V1
H
H
H
V
V H1
V V2 H1
H
H
H
V a‘ A O ax a XX1 ax1 H O1 a1‘ V1 O
a‘
XX1 ax ax1 a O1 a1‘
V a’ a’ ax1 A a1 O ax XX1 a a H O1 H1 O ax O1 a1 ax1 X1
O2 a’ V X ax O a2 H2 ax2 V1 X2 a1‘ A X1 ax1 a H O1 O
a’
X
X2
a2
X1 O2 a1‘ a O1
一般位置直线经过一次变面垂直线
一般位置直线经过两次变换成为投影面垂直线
投影面垂直面经过一次变换成为投影面平行面
第六章 投影变换
步骤二
步骤三
增加的投影面称为新投影面 或辅助投影面(如V1面) ，新 投影面上的投影称为新投影 或辅助投影（如a1’）。
与新投影面垂直的投影面，称 为保留投影面（如H），投影 称为保留投影,新投影面与保 留投影面交得的投影轴称为新 投影轴或辅助投影轴（如OX）
原来与保留投影面垂直的投 影面，称为替换投影面或旧 投影面(如V面)，投影称为替 换投影或旧投影（如a’）。
1.一般位置平面变换为投影面垂直面
(单击play按钮)
一般位置平面变换为投影面垂直面：只要将该一般位置平面上的任一直线变换成投 影面的垂直线，则此一般位置平面就成为该投影面的垂直面。
平面的换面法
一般位置平面变换为投影面垂直面—求α角
c’
a’
X
V H
d' b’
取水平线AD；作V1⊥AD，则△ABC⊥V1， △ABC在V1面的积聚投影与X1轴的夹角α 即为其与H面的夹角
a c d b b '1
作X1轴垂直于ad
α a'（ 1 d '1 ）
c'1
平面的换面法
2.投影面垂直面变换为投影面平行面
b’
X1轴平行于ac
V a’ X
ax bx
b’ c’
cx
B
b’1
V1
X1 A c’1 cx1 bx1 ax1 a’1
a’
X
V H
c’
O
C
b a
O1
c
c’1
c b
a
H
a’1
b’1
实形
平面的换面法
3.一般位置平面变换为投影面平行面 a’ 投影面 平行面
X V H
投影变换
投影变换由于数据源的多样性，当数据与我们研究、分析问题的空间参考系统（坐标系统、投影方式）不一致时，就需要对数据进行投影变换。
同样，在对本身有投影信息的数据采集完成时，为了保证数据的完整性和易交换性，要对数据定义投影。
空间数据与地球上的某个位置相对应。
对空间数据进行定位，必须将其嵌入到一个空间参照系中。
因为GIS 描述的是位于地球表面的信息，所以根据地球椭球体建立的地理坐标（经纬网）可以作为空间数据的参照系统。
而地球是一个不规则的球体，为了能够将其表面的内容显示在平面的显示器或纸面上，就必须将球面的地理坐标系统变换成平面的投影坐标系统当系统使用的数据取自不同地图投影的图幅时，需要将一种投影的数字化数据转换为所需要投影的坐标数据。
投影转换的方法可以采用：1.正解变换通过建立一种投影变换为另一种投影的严密或近似的解析关系式，直接由一种投影的数字化坐标x、y 变换到另一种投影的直角坐标X、Y。
2.反解变换即由一种投影的坐标反解出地理坐标(x、y→B、L)，然后再将地理坐标代入另一种投影的坐标公式中(B、L→X、Y)，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换(x、y→X、Y)。
3.数值变换根据两种投影在变换区内的若干同名数字化点，采用插值法，或有限差分法，最小二乘法、或有限元法，或待定系数法等，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换。
目前，大多数GIS 软件是采用正解变换法来完成不同投影之间的转换，并直接在GIS 软件中提供常见投影之间的转换。
借助ArcToolbox 中Projections and Transformations工具集中的工具，可以实现对数据定义空间参照系统、投影变换，以及对栅格数据进行多种转换，例如翻转（Flip）、旋转（Rotate）和移动（Shift）等操作。
1. 定义投影定义投影（Define Projection），指按照地图信息源原有的投影方式，为数据添加投影信息。
《画法几何》(杨辉、李小汝)教学课件 第六章~
图6-4 点的一次变换（变换H面）
如果变换H面，则用一个垂直于V面的新投影面H1代替H面，构成V/ H1投影体系。如图6-4所示， 可作出点B在H1面上的新投影，其作图步骤与变换V面时相似，此时点B的Y坐标不变。
9
6.2.2 点的换面规律
2．点的二次换面
画法几何
在工程中，有些问题经过一次换面还不能解决，需要经过两次或两 次以上的连续换面。二次换面是在一次换面的基础上再进行换面，每次 换面都按照点的换面规律。但应注意，在换面时，先换哪一个面应根据 解题需要而定，然后按顺序依次更换各个投影面，V，H面必须交替变 换，即以V/H→V/ H1 → V2/ H1的顺序变换或以V/H→ V1 /H→ V1 / H2的 顺序变换。
画法几何
将一般位置直线变换成铅垂线，作图步骤如下： ① 作新投影轴O1X1// ab ，得到AB在V1 / H体系中的新投影 a1′ b1′ ； ② 再作另一新投影轴O2X2⊥ a1′ b1′ ，得到AB在V1 / H2体系中的新 投影 a2(b2) 。
图6-9 一般位置直线变换成投影面垂直线
15
③ ∠ b2c2 d2 为△ABC与△ACD两平面间的夹角a。
图6-15 两平面间的夹角分析
19
6.2.4 应用实例
【例6-3】 如图6-16所示，在直线BC上取一点E，使AE=20mm 。
画法几何
分析： 直线BC与点A组成一般位置平面△ABC，利用两次换面可求出 △ABC的实形，在实形中可作出AE=20mm 。
画法几何
作图步骤如下： ① 作新投影轴O1X1平行于△ABC的积聚性投影acb； ② 在V1投影面上得到△ABC的新投影△ a1′ b1′ c1′ ，△ a1′ b1′ c1′反映△ABC实形。
第六章投影变换
sinφ 1]
• z轴上C点［0 0 1 1］。
• 变换后为： ［0 0 1 1］·H = [sinθ -
cosθ·sinφ cosθ·cosφ 1]
2021/6/29
13
6.2.2 正轴测投影
•
在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上
述三点到坐标原点的长度是
,按正等轴测投
影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长
平面与二个坐标轴相交，这种投影被称为二点透
视。
二点透视示意图
2021/6/29
27
6.4 透视投影
• 3、三点透视 • 三点透视：按照投影面的方向可对在
用户坐标系中正放的矩形体产生三主消失 点，即投影平面与三个坐标轴相交，这种 投影被称为三点透视。
2021/6/29
28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
1.为什么需要做投影变换？
2.什么叫投影变换?
3.试述投影变换的分类
4.沿Z方向正投影的变换矩阵是什么样的？
5.若给出投影方向矢量［A，B，C］，且以Z=0的 平面作为投影平面，则斜平行投影变换矩阵是什 么样的？
6.若投影中心处于观察坐标系的原点，投影平面与Z 轴垂直并距原点的距离为d，则透视投影变换矩阵 是什么样的？
2021/6/29
2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中
心在无限远处的投影。见下图（b）。
2021/6/29
3
6.1 投影概念分类
a透视投影变换示意图 b平行投影变换示意图
2021/6/29
4
6.1 投影概念分类
• 二、投影的分类
2021/6/29
5
6.2 正平行投影
• 正平行投影的投影中心是在无限远处， 且投影射线与投影平面垂直。
投影变换-课件
投影变换
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会 投影到各自的树根
排球中场休息时,工作人员用平地 拖把拖扫比赛场地.要求同时同向推动拖 把,把垃圾推到边界线停止
图2垃圾推到边界线 图1树在中午的阳光下形成影子
提出问题
这两个生活中事情，实质反映了平 面上的点在某一直线上的投影，能否用 矩阵来表示？
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
理解应用
研究线段AB在矩阵
作用下变换
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2)
例题深化
矩阵
的变换作用如何?并说
明这种变换的几何意义.
变式1
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M矩阵 作 用下分别变换为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)
求变换对应的矩阵M
解决问题
方案1:以直线为X轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则 投影后的点坐标为(x,0)故所求矩阵为
y
P(x,y)
o
p/(x,0) x
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系.
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(0,y)
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会 投影到各自的树根
排球中场休息时,工作人员用平地 拖把拖扫比赛场地.要求同时同向推动拖 把,把垃圾推到边界线停止
图2垃圾推到边界线 图1树在中午的阳光下形成影子
提出问题
这两个生活中事情，实质反映了平 面上的点在某一直线上的投影，能否用 矩阵来表示？
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
•
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•
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谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
理解应用
研究线段AB在矩阵
作用下变换
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2)
例题深化
矩阵
的变换作用如何?并说
明这种变换的几何意义.
变式1
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M矩阵 作 用下分别变换为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)
求变换对应的矩阵M
解决问题
方案1:以直线为X轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则 投影后的点坐标为(x,0)故所求矩阵为
y
P(x,y)
o
p/(x,0) x
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系.
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(0,y)
投影变换
意义
意义
随着计算机地图制图的发展，研究地图投影变换的理论和方法日益重要和迫切，因为在采用制图自动化作业 中，必须首先提供从一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的关系式，即数学模式，才能进行这 种作业。因为如果没有这两种不同投影点的坐标变换关系式，就无法编制出合乎变换要求的，适用于电子计算机 进行变换所需要的程序设计。所以，地图投影变换已成为计算机地图制图的一个组成部分。
种类
种类
ArcGIS投影变换 ArcToolBox投影变换 ArcToolBox -> Data Management Tools -> Projections and Transformations a) Define Projection b) Feature -> Project c) Raster -> Project Raster d) Create Custom Geographic Transformation 当数据没有任何空间参考显示为Unknown时 (1)利用Define Projection给数据定义一个Coordinate System (2)利用Feature -> Project或 Raster -> Project Raster对数据进行投影变换 我国经常使用的投影坐标系统为北京54、西安80，由这两个坐标系统变换到其他坐标系统下时，通常需要提 供
投影变换
研究投影点坐标变换的理论和方法
01 简介
03 种类 05ห้องสมุดไป่ตู้意义
目录
02 基本方法 04 方法发展
基本信息
投影变换（projection transformation）是将一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的过 程。研究投影点坐标变换的理论和方法。
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§３旋转法如图所示，空间点A
绕直线OO旋转，点A称
为旋转点，直线OO称为
旋转轴。
自A点向OO轴
引垂线，其垂足O称旋
转中心，AO称旋转半径，
A点的旋转轨迹是以O为
圆心，以AO为半径的圆
周，称为轨迹圆，轨迹
圆所在的平面与旋转轴
垂直。
按旋转轴与投影面的相对位置不同，旋转法分为：
1)绕垂直于投影面的轴线旋转，简称绕垂直轴旋转。
2)绕平行于投影面的轴线旋转，简称绕平行轴旋转。
3)绕一般位置的轴线旋转。
3.1 点的旋转
如图所示，点A绕垂直于V面的OO轴(正垂轴)旋转，其V投影反映轨迹圆实形，而H投影为过A点且平行于X轴的直线段，其长度等于轨迹圆的直径。
如图所示，点A绕铅垂轴旋转，其H投影反映轨迹圆实
形，即H投影ａ沿圆周旋转θ角到ａ
1，其V投影ａ′沿投影
轴的平行线移动至ａ
1’，ａ′ａ
1
’∥ＯＸ。
由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影则沿与旋转轴垂直的直线移动。
3.2 直线的旋转
直线的旋转，仅需使属于
该直线的任意两点遵循绕同一
轴、沿相同方向、转同一角度
的规则作旋转，然后，把旋转
后的两个点连接起来。
如图所示，直线AB绕铅垂
轴OO按逆时针方向旋转θ角，
也就是使A、B两点分别绕OO轴
逆时针旋转θ角，按照点的旋
转规律求得ａ
1b
1
、ａ
1
’b
1
’。
直线旋转的基本性质
1)直线绕垂直轴旋转时，直线在旋转轴所垂直的投影面上的投影长度不变。
2)直线对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。
3)直线在旋转轴所平行的投影面上的投影长度及对该投影面的倾角都改变。
3.2.1 把一般位置直线旋转成投影面平行线
直线绕垂直轴旋转一次，就能改变直线对一个投影面的倾角，因此，用绕垂直轴旋转的方法，求一般位置直线的实长及对投影面的倾角时，只要旋转一次即可实现。
［例1］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的实长和α角
分析：欲求一般位置直线AB的实长和α角，需把直线AB绕铅垂轴旋转成正平线。
为了作图简便，使该轴过直线的一个端点，如A点，那么，只旋转B点即可。
作图步骤：
1）过点A作铅垂轴OO：ａ′∈ｏ′ｏ′，ｏ′ｏ′⊥ＯＸ
2）求新投影ｂ
1、b’
1
：将水平投影ｂ以ｏ（ｏ与ａ重合）
为圆心，ａｂ为半径旋转至ｂ
1，ａｂ
1
∥ＯＸ，b
1
’沿OX轴平
行线平移至b’。
3）连接ａ’ｂ
1’、ａｂ
1
；ａ′ｂ
1
’反映AB的实长。
4）确定α角：ａ′ｂ
1
’与OX轴的夹角α即为所求。
［例2］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的β角分析：欲求一般位置
直线的β角，需把直线AB
绕正垂轴旋转成水平线。
3.2.2 把投影面平行线旋转成投影面垂直线
某投影面的平行线绕该投影面的垂直轴旋转时，始终保持与该投影面平行，而能改变对另一投影面的倾角。
所以投影面平行线可经一次旋转为投影面垂直线。
［例3］试将正平线AB旋转成为铅垂线
分析：正平线和铅垂线都平行于V面，因此，在旋转过程中，直线对V面的倾角应保持不变，只改变它对H面的倾角，所以应取正垂线为旋转轴。
作图步骤：
1）过点A作正垂轴OO：ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ；
ａ′与ｏ′重合
2）以OO为轴，将AB旋转成铅垂线：即将正面投影
ｂ′沿圆周（以ａ′为圆心，以ａ′ｂ′为半径）
旋转至ｂ
1’。
3）连接ｂ
1’ａ′（ｂ
1
′ａ′⊥ＯＸ），水平投影
ａ与ｂ
1
重合。
3.3 平面的旋转
平面的旋转是通过旋
转该平面所含不共直线的
三个点来实现的，旋转时，
必须遵循同轴、同方向、
同角度的规则。
平面的旋转性质：
1)平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂直的投影面上的投影，其形状和大小都不变。
2)平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。
3)平面的另一个投影，其形状和大小发生改变，并且，该平面对旋转轴所不垂直的那个投影面的倾角也改变。
3.3.1 把一般位置平面旋转成投影面垂直面
只要将平面内的一条投影面平行线旋转成垂直于某投影面，则平面就垂直于该投影面。
［例1］试求一般位置平面
ABC对V面的倾角β
分析：欲求一般位置平面ABC对V面的倾角β，须将平面ABC旋转成为铅垂面，为此，应在平面内取一条正平线（如CD），只要将正平线CD绕正垂轴(含C点)旋转成为铅垂线，那么平面ABC就旋转成为铅垂面。
作图步骤：
1）含点Ｃ作正垂轴ＯＯ：C∈OO，ｏｏ⊥ＯＸ；ｃ′与ｏ′重合
2）作平面ABC内的正平线CD：ｃｄ∥ＯＸ，并求出ｃ′ｄ′。
3）求平面的新投影：将ｃ′ｄ′旋转至ｃ’ｄ
1’，ｃ’
ｄ
1
’⊥ＯＸ，ａ、ｂ旋转相同的角度，平面△ＡＢＣ就
成为铅垂面，它的水平投影ａ
1ｃｂ
1
积聚成一直线。
正面
投影ａ′、ｂ′依三同原则旋转至ａ
1’、ｂ
1
’位置。
4）求β角：ａ
1ｃｂ
1
与OX轴的夹角β即为所求。
［例2］试求一般位置平面ABC对H面的倾角α分析：欲求一般位置平
面ABC对H面的倾角α，需
把平面ABC旋转成为正垂面。
为此应在平面内取一条水平
线CD，只要将水平线CD绕
铅垂轴（含C点）旋转成为
正垂线，那么，平面ABC就
旋转成为正垂面。
3.3.2 把投影面垂直面旋转成为投影面平行面
投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋转时，可改变垂直面对另一投影面的倾角。
所以只要经一次旋转，就能使垂直面旋转成为另一投影面的平行面。
［例3］试将正垂面ABC
旋转成为水平面
分析：欲求正垂面△ＡＢＣ的实形，应将ABC平面旋转成为水平面，即需改变平面对H面的倾角，所以旋转轴为正垂线。
作图步骤：
1）过点A作正垂轴OO，ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ，ａ′与ｏ′重合。
2）求平面的新投影：将正面投影ｂ′、ｃ′以ａ′
为圆心旋转，使ａ’ｂ
1’ｃ
1
’∥ＯＸ。
同时求出水平
投影ｃ
1、ｂ
1
，△ａｂ
1
ｃ
1
就是△ＡＢＣ的实形。
3.4 旋转法的应用
［例1］试在平面ABCD内过点M作一直线MN，使其与V面的倾角为４５°
分析：过点M作β＝４
５°的直线MN会有若干条，
但含于平面ABCD内的直线，
却是有确定解的，为此，包
含M点任作一水平线ＭＮ
1，
使MN
1直线与V面的倾角β＝
４５°；然后，将Ｎ
1点旋转
到平面ABCD上，为保持β＝４５°，旋转轴应为过M点的正垂线。
作图步骤：
1）作β＝４５°的水平线ＭＮ
1：作ｍｎ
1
，使ｍｎ
1
与OX轴的夹角为４５°，ｍ′ｎ
1
’∥ＯＸ。
2）过点M作正垂轴OO：ｍ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ；ｍ′与ｏ′重合。
3）将正面投影ｎ
1
’旋转至ａ′ｂ′上的ｎ′位置，同时求出水平投影ｎ，ｎ∈ａｂ。
4）连接ｍ′ｎ′，ｍｎ，即为所求。