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理论力学-刚体的平面运动

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第七章 刚体的平面运动
一、是非题
1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。

（ ）
2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。

（ ）
3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。

（ ）
4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][
=永
远成立。

（ ）
5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。

（ ）
6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。

（ ）
7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。

（ ）
二、选择题
1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速
度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。

①u B sin θ；
②u B cos θ；
③u B /sin θ；
④u B /cos θ。

2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。

已知齿轮
Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度ω0逆时针转动，则齿轮
Ⅰ对曲柄OA的相对角速度ω1r应为。

①ω1r=（r2/ r1）ω0（逆钟向）；
②ω1r=（r2/ r1）ω0（顺钟向）；
③ω1r=[(r2+ r1)/ r1] ω0（逆钟向）；
④ω1r=[(r2+ r1)/ r1] ω0（顺钟向）。

3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶
点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则
图（a）的运动是的，图（b）的运动是
的。

①可能；
②不可能；
③不确定。

4．图示机构中，O1A=O2B。

若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。

①ω1=ω2，ε1=ε2；
②ω1≠ω2，ε1=ε2；
③ω1=ω2，ε1≠ε2；
④ω1≠ω2，ε1≠ε2。

三、填空题
1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只滚不滑）作；杆BC作；杆CD作；杆DE作。

并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬心。

2．试画出图示三种情况下，杆BC中点M的速度方向。

3．已知ω=常量，OA=r，u A=ωr=常量，在图示瞬时，
u A=u B，即u B=ωr，所以αB=d(u B)/dt=0，以上运算是否正
确？，理由是。

4．已知滑套A 以10m/s 的匀速率沿半径为R=2m 的固
定曲
杆CD 向左滑动，滑块B 可在水平槽内滑动。

则当滑套A 运动到
图示位置时，AB 杆的角速度ωAB = 。

5．二直相长度均为1m ，在C 处用铰链连接、并在图示平面内
运动。

当二杆夹角α90︒时，u A ⊥AC ，u B ⊥BC 。

若ωBC =1.2rad/s ，则
u B = 。

6．半径为r 的圆盘，以匀角速度ω沿直线作纯滚动，则其速度瞬心的加
速度的大小等于 ；方向 。

7．小球M 沿产径为R 的圆环以匀速u
r 运动。

圆环沿直线以匀
角速ω顺时针方向作纯滚动。

取圆环为动参考系，则小球运动到图示
位置瞬时：
①牵连速度的大小为 ；
②牵连加度的大小为 ；
③科氏加速度的大小为
（各矢量的方向应在图中标出）。

四、计算题
1．机构如图，已知：OA=OO 1=O 1B=L ，当φ=90º时，O 和O 1B 在水平直线上，OA 的角速度为ω。

试求该瞬时：（1）杆AB 中点M 的速度M V
；（2）杆O 1B 的角速度ω1。

2．平面机构如图所示。

已知：OA=AB=BC=L ，2/3L BD =，DE=3L/4，杆OA 的角速度为ω。

在图示位置时，φ=30°，O 、B 、C 三点位于同一水平线上。

试求该瞬间
滑块C 的速度。

3．平面机构如图所示。

已知：等边三角形板ABO 边长L=30cm ，
A 端与半径r=10cm 的圆盘中心铰接，圆盘可沿R=40cm 的固定圆弧
槽作纯滚动，BC=60cm 。

在图示位置时，OA 铅垂，BC 水平，盘心
A 的速度u A =20cm/s 。

试求该瞬时滑块C 的速度。

4．图示平面机构中，A 和B 轮各自沿水平和铅垂固定轨道作纯滚
动，两轮的半径都是R ，BC=L 。

在图示位置时，轮心A 的速度为u ，θ=60°，AC 水平。

试求该瞬时轮心B 的速度。

5．图示偏置曲柄机构，已知：曲柄OA 以匀角速度ω=1.5rad/s 转动，
OA=40cm ，AB=50cm ，h=30cm 。

试求OA 在图示水平位置时，滑块B 的速度和加速度。

6．在图示椭圆规机构中，已知：OC=AC=CB=R，曲柄OC以匀角速度
ω转动。

试用刚体平面运动方法求φ=45°时，滑块B的速度及加速度。

7．在图示四杆机构中，已知：AB=BC=L，CD=AD=2L，φ=45°。

在图示瞬时A、B、C成一直线，杆AB的角速度为ω，角加速度为零。

试求该瞬时C点的速度和加速度。

8．在图示平面机构中，已知：BC=5cm，AB=10cm，A点以匀速度u A=10m/s 沿水平运动，方向向右；在图示瞬时，θ=30°，BC杆处于铅垂位置。

试求该瞬时：（1）B点的加速度；（2）AB杆的角加速度；（3）AB杆中点D的加速度。

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理论力学-刚体的平面运动

理论力学-刚体的平面运动

表示为
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA

vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B

刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω

求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω

作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60

vD
60
理论力学7—刚体的平面运动

理论力学7—刚体的平面运动



A
[vB ]AB [v A ]AB
平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影( 大小和方向)相等。这就是速度投影定理。
例7-3 用速度投影定理解例1。 解：由速度投影定理得 vB
[vB ]AB [v A ]AB

B
vA cos30 vB cos60
解得

30°
vA
A
vB 10 3 cm s
0
O
I
vCA与vA方向一致且相等， 点C的速度
vC vA vCA 2vA
7.2 平面图形上各点的速度
7.2.2 投影法
vB v A vBA
vBA
vB vA
B
将两边同时向AB方向投影:
[vB ]AAB，因 此[vBA]AB=0。于是
M
x
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
这就是刚体的平面运动方程。
运动分解
y S O' O M

x
如果O'位置不动，则平面图形此时绕轴O'做定 轴转动； 如果O'M方位不变，则平面图形做平移。因此刚 体的平面运动包含了平移和定轴转动两种情况。 但能不能说平移和定轴转动是刚体平面运动的特 殊情况呢? 不能！
M
7.1 刚体平面运动的描述 而垂直于图形S的任 一 条 直 线 A1A2 必 然 作平移。 A1A2 的 运 动 可 用 其与图形S的交 点A的运动来代 替。无数的点A 构成了平面S。
A1 N A S
A2
M
因此，刚体的平面运动可以简化为平面图 形S在其自身平面内的运动。
刚体的平面运动方程 平面图形S在其平面上的位 y 置完全可由图形内任意线段 S O'M的位置来确定，而要确 定此线段的位置，只需确定 O' 线段上任一点O'的位置和线 段O'M与固定坐标轴Ox间的 O 夹角 即可。点O'的坐标和 角 都是时间t的函数，即
理论力学课件-刚体平面运动

理论力学课件-刚体平面运动


作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA

n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
理论力学第7章 刚体平面运动

理论力学第7章 刚体平面运动

基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。

O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。

动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。

SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。

[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。

r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。

速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。