弹塑性力学有限单元法

弹塑性有限单元法汽车车体冲压件通常使用弹塑性材料，在冲压过程中，这种材料的变形成形过程非常复杂，一般用刚塑性FEM与弹塑性FEM二种方法来评价整个冲压成形过程。

在刚塑性FEM中，忽略弹性变形，仅将塑性应变作为计算指标。

因此，在冲压成形过程中，当材料放置到模具上因自重产生的弯曲挠度，从模具中取出冲压件厚产生的弹性恢复等材料变形不能进行计算。

因此，有人提出了根据刚塑性FEM的计算结果，再用弹性FEM计算其卸载过程，但是，刚塑性FEM很难正确地预测在冲压过程中产生的缺陷。

弹塑性FEM可以再空间上时间上交替考虑弹性变形与塑性变形，从理论上讲可以正确地描述整个冲压过程，所以弹塑性FEM可以说是评价冲压过程的最好解析方法。

现有的弹塑性FEM，根据其时间积分方法的不同，可分为“静态显函数法”“静态隐函数法”和“动态显函数法”。

讲加速度项加入平衡方程式求解的称为动态，反之，平衡方程式中不包含加速度项的解法称为静态。

隐函数与显函数是常微分方程数值计算方法中的数学用语。

显函数求方程的解不需要反复计算，而隐函数常微分方程求解时需要迭代多次逼近其解。

显函数解法要求增分补偿不能取得太大，解析冲压成形过程需要较多的计算解析次数。

隐函数解法通常可以保证应力平衡方程式成立，因而增分步长可以取得较大些，以减少解析计算次数。

各种弹塑性FEM的优缺点如下：动态显函数法：该方法求解各节点的独立性运动方程以获得节点变形，因而不需要组成刚度矩阵，即使单元划分得再细，节点再多也占用的计算内存较少，并且每一模拟步骤的计算速度也比其他方法快，因此可以计算对象的单元分割得很细。

但是这种方法是用动态的冲击求解变形问题，时间增量需控制在10-6秒以下，要模拟一秒钟的冲压过程，就需要计算10^6次，实际上这种计算方法十分耗时，为减少运算时间，常常将物理意义不十分清楚的衰减项加入到运动过程，人为地将质量附以加权常数以减少模拟计算次数。

此外，即使在方程式中加入了衰减项，应力值还是会发生振动，增加了弹性恢复计算的难度。

塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。

它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。

金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。

由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。

据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。

随着现代制造业的高速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计方面提出了更高的要求。

若工艺分析不完善、模具设计不合理或材料选择不当，则会造成产品达不到质量要求，造成大量的次品和废品，增加了模具的设计制造时间和费用。

为了防止缺陷的产生，以提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司企业及大专院校和研究机构对塑性成形件的性能、成形过程中的应力应变分布及变化规律进行了大量的理论分析、实验研究与数值计算，力图发现各种制件、产品成形工艺所遵循的共同规律以及力学失效所反映的共同特征。

由于塑性成形工艺影响因素甚多，有些因素如摩擦与润滑、变形过程中材料的本构关系等机理尚未被人们完全认识和掌握，因而到目前为止还未能对各种材料各种形状的制件成形过程作出准确的定量判定。

正因为大变形机理非常复杂，使得塑性成形研究领域一直成为一个充满挑战和机遇的领域。

一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。

如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。

在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。

仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹性本构关系：弹性本构关系是描述材料的弹性行为的数学模型。

常见的弹性本构模型包括线性弹性模型和非线性弹性模型。

线性弹性模型假设应力与应变之间的关系是线性的，而非线性弹性模型则考虑了应力与应变之间的非线性关系，如Hooke定律和多项式模型等。

塑性本构关系：塑性本构关系是描述材料的塑性行为的数学模型。

常见的塑性本构模型有单一的本构模型和多线性本构模型。

单一本构模型假设应力与应变之间的关系是单调递增的函数，而多线性本构模型则将塑性行为分段描述，适用于复杂的应力和应变关系。

一般在工程中，弹性本构关系常与塑性本构关系相结合，用于模拟材料在加载过程中的弹性和塑性变形。

有限元方法：有限元方法是一种将连续介质离散成有限个子域，并建立一个代表离散网格的有限元模型进行求解的方法。

在弹塑性有限元方法中，将结构或材料划分成无限形状的有限个单元，每个单元都有一组本征坐标。

然后根据问题的对称性和几何形状，选择适当的数学模型，建立方程组。

模拟方法：在弹塑性有限元法中，首先要确定问题的边界条件，包括力、位移或边界反应。

然后，应用合适的数值方法，如有限差分法或有限元法，对弹塑性问题进行离散求解。

通常采用迭代法进行求解，不断更新单元应力和应变，直到达到一定的收敛准则。

在实际应用中，弹塑性有限元法可以用于模拟多种材料和结构的力学行为，如金属、混凝土、岩土、复合材料等。

通过合理选择材料模型和有限元网格，可以准确地模拟材料的应力、应变分布以及变形情况。

总之，弹塑性有限元法是一种基于有限元法的理论框架，用于模拟材料和结构在加载过程中的弹性和塑性行为。

它包括弹性本构关系、塑性本构关系、有限元方法和模拟方法等几个方面，可以应用于各种材料和结构的力学分析和设计中。

第三章 弹塑性有限元方法的实施§3.1 增量平衡方程和切线刚度矩阵 1、 分段线性化的求解思想塑性变形的特点决定了塑性本构关系的非线性和多值性，上面由塑性增量理论给出了塑性应力—应变关系{}{}ep d D d σε=⎡⎤⎣⎦其中 [][]{}{}[]{}[]{}Tep TFFD DD D FFA Dσσσσ∂∂∂∂=-∂∂+∂∂⎡⎤⎣⎦说明当前应力状态不仅与当前应变有关，而且和达到这一变形状态的路径（加载历史）有关。

这里包含了屈服准则、强化条件和加卸载准则。

由此，对物理非线性问题，通常采用分段线性化的纯增量法和逐次迭代的方法求解。

即将加载过程分成若干个增量步，选择其中任意一个增量步建立它的增量平衡方程并求解，对整个过程的求解有普遍意义。

2、 增量平衡方程和切线刚度矩阵设t 时刻（加载至i -1步终），结构（单元）在当前载荷（广义体力{}v f 和表面力{}s f ）的作用下处于平衡状态，此时物体内一点的应力、应变状态为{}{}σε、。

在此基础上，施加一个载荷增量{}{}v s f f ∆∆和，即从t t t →+∆时刻，则在体内必然引起一个位移增量{}u ∆和相应的{}σ∆、{}ε∆，只要{}{}v s f f ∆∆和足够小，就有{}{}ep D σε∆=∆⎡⎤⎣⎦。

倘若初始状态{}σ已知，加载过程已知，则ep D ⎡⎤⎣⎦可以确定（即pij d ε⎰可以确定，然后可在硬化曲线上得到1p ε所对应的硬化系数）于是上面的方程成为线性的。

在t t t →+∆这一增量过程中，应用于虚功原理可得到如下虚功方程：()()()0eeT T T V V s s V S f f u dV f f u dS σσδεδδ⎡⎤+∆-+∆∆-+∆∆=⎣⎦⎰⎰ （1）根据小变形几何关系u N q B q ε∆=∆∆=∆和，再由虚位移()q δ∆的任意性，并设()()eeT T v v s s VS P P N f f dV N f f dS +∆=+∆++∆⎰⎰，展开后，其中单元在t 时刻载荷等效节点力：eeT T v s VS P N f dV N f dS =+⎰⎰；t ∆内增量载荷的等效力eeT T v s VS P N f dV N f dS ∆=∆+∆⎰⎰。