不定积分凑微分法教学探析

第24课不定积分的积分方法复习（10 min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33 min）【教师】引入课题——换元积分法和分部积分法利用不定积分的基本积分公式及性质可以求出一些不定积分，但这种方法只能求一些简单的不定积分，对于一些复杂的积分（如2sin5d2e dxx x x x⎰⎰，等），靠上述方法是解决不了的．为了能求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其他方法．本节我们将介绍求不定积分的两种主要方法：换元积分法和分部积分法．换元积分法可分为第一换元积分法（凑微分法）和第二换元积分法（去根号法）两种．【教师】讲解不定积分的第一类换元积分法（凑微分），将凑微分的方法分成三类，针对每一类，从易到难的列举例题，反复讲解，总结被积函数的特点规律，使学生达到熟练掌握的目的定理1（第一换元积分法）设函数()f u具有原函数()F u，且()u xϕ=可导，则函数[()]F xϕ是函数[()]()f x xϕϕ'的原函数，即有换元公式()[()]()d[()]()du xf x x x F x C f u uϕϕϕϕ=⎡⎤'=+=⎣⎦⎰⎰．上述积分方法称为第一换元积分法，也称为凑微分法．求sin5d x x⎰．解将d x进行配凑，因为1d d(5)5x x=，所以1sin5d sin5d(5)5x x x x=⎰⎰5111sin d cos cos5555u x u u u C x C==-+-+⎰还原．（例2～例4详见教材）从以上例子可以看出，第一换元积分法的关键在于“配凑”．为方便计算，下面给出一些常用的凑微分公式供大家学习不定积分的第一类换元积分法（凑微分）和第二类换元积分法。

边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例11()()d [()]()d t x f x x f t t t ψψψ-=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰，其中，1()t x ψ-=为()x t ψ=的反函数．第二换元积分法主要包括两种方法：简单根式换元法和三角换元法．下面通过例子来介绍这两种方法．1）简单根式换元法求d 1xx+⎰．解 求这个积分的主要困难是x ，所以令x t =，则2x t =，显然d 2d x t t =，于是d 2d 1112d 21d 1111x t t t t t t t t x +-⎛⎫===-⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 2(ln |1|)2(ln |1|)t t C x x C =-++=-++．求1d 21x x +-⎰．解 为了去掉根号，设1t x =-，则21x t =+，d 2d x t t =，于是1222d d 2d 2221t t x t t t t x +-==+++-⎰⎰⎰12d 4d 24ln |2|2t t t t C t=-=-+++⎰⎰214ln |21|x x C =--+-+．2）三角换元法求22d (0)a x x a ->⎰． 解 设sin x a t =，则d cos d x a t t =．令π||2t <，于是得 2222222d sin cos d cos d a x x a a t a t t a t t-=-⋅=⎰⎰⎰221(1cos 2)d sin 2222a a t t t t C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰例12 例11 例10（5）22d arcsinx xC aa x=+-⎰；（6）22d 1arctan x xC a x a a=++⎰； （7）22d 1ln 2x x aC x a a x a-=+-+⎰；（8）22d 1ln 2x a xC a x a a x +=+--⎰；（9）2222d ln ||xx x a C x a =+±+±⎰．【学生】理解、掌握不定积分的第一类换元积分法（凑微分），了解不定积分的第二类换元积分法第二节课讲授新课（22 min ）【教师】讲解不定积分的分部积分法，通过由易到难的例题使学生掌握其应用前面在复合函数微分法的基础上得到了换元积分法，现在我们利用函数乘积的微分运算来推导分部积分法． 设函数()()u u x v v x ==，具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+， 即 ()()[()()]()()u x v x u x v x u x v x '''=-．对上式的两边求不定积分，有()()d [()()]d ()()d u x v x x u x v x x u x v x x '''=-⎰⎰⎰，即 ()d ()()()()d ()u x v x u x v x v x u x =-⎰⎰，上式可简记为 d d u v uv v u =-⎰⎰．此公式为分部积分公式．在运用分部积分公式时，应当正确选取函数u 和函数v ，下面举例来说明．求e d x x x ⎰．解 设d e d d(e )x x u x v x ===，，于是d d e x u x v ==，，所以e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．学习不定积分的分部积分法。

高教视野 GAOJIAO SHIYE4　数学学习与研究　2020.12◎李瑞芬　(金肯职业技术学院,江苏　南京　210000) 【摘要】不定积分是高等数学教学中的重点内容,而第一类换元积分法(凑微分)又是不定积分中的一个难点.本文从第一类换元积分法的基本原理出发,重点分析将被积函数写成因子相乘的形式,然后对因子当中的复合函数进行研究,随后引入中间变量将复合函数变成基本初等函数来积分的过程.这种简明有效的教学方法可以帮助学生迅速接受并掌握凑微分,本文还详述了凑微分在换元积分、分部积分中的运用.【关键词】不定积分;凑微分;乘法在高等数学的课程中,一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内容之一,是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解方法主要有:直接积分法、第一类换元法(凑微分法)、第二类换元法、分部积分法四种.其中,凑微分法应用极其广泛,在换元积分法和分部积分法中,凑微分均是核心,是学生学习的重点和难点[1],下面我们将对凑微分的教学方法进行进一步的探索.凑微分法的基本原理为:设f (u )具有原函数F (u ),即F′(u )=f (u ),∫f (u )d u =F (u )+C.如果u 是中间变量,u =φ(x )且设φ(x )可微,那么根据复合函数微分法,有d F [φ(x )]=f [φ(x )]φ′(x )d x.从而根据不定积分的定义得:∫f [φ(x )]·φ′(x )d x=F [φ(x )]+C =∫f (u )d u(u =φ(x )).在实际教学中,学生往往对用凑微分原理解题理解困难.因此为了让学生能准确且更快地掌握凑微分,我们对第一类换元法中第一步把被积函数分解成因子乘积的形式进行强调再随之解题.由于同学们对基本初等函数的不定积分公式掌握得相对牢固,因此我们只要先把复合函数变形成积分表中的基本初等函数再来解不定积分的话就会容易很多.现在我们通过以下几个例题对这种方法进行详细的阐述.由于凑微分方式灵活多样,单单依靠几个常见的凑微分习题并不能给学生足够的启示,因此在讲解过程中我们将方法归结为三种,更便于学生掌握.一、被积函数可化成若干个因子的乘积,研究其中的复合函数,进行凑微分例1　求不定积分∫2x e x 2d x.分析　被积函数直接是几个因子乘积的形式,且其中有一个是常数.常数因子可以不用考虑,因为常数可以直接提到不定积分的前面.剩下一个基本初等函数x ,一个复合函数e x 2.我们只研究复合函数,引入中间变量把复合函数变成基本初等函数,即令x 2=u ,则e x 2=e u,那么原题当中的积分变量就由x 变成了u ,为了保证变量的统一,剩下的2x d x 需要凑成d u.而我们发现d u 恰好等于2x d x ,故解题过程如下.解　∫2x ex 2d x =∫e x 2d x 2=∫e u d u =e u +C =e x 2+C.例2　求不定积分∫cos x sin 2x d x.分析　被积函数是乘积的形式,且其中一个是基本初等函数cos x ,另一个是复合函数sin 2x.我们只研究复合函数,引入中间变量把复合函数变成基本初等函数.即令sin x =u ,则sin 2x =u 2,那么原题当中的积分变量就由x 变为u 了,为了保证变量的统一,剩下的cos x d x 要凑成d u.而我们发现d u 恰好等于cos x d x.解　∫cos x sin 2x d x =∫sin 2x dsin x =13sin 3x +C.例3　求不定积分∫sin xxd x.分析　被积函数是相除的形式,根据上述分析,首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为sin x 乘1x,其中只有sin x 为复合函数,故令x =u ,则sinx =sin u ,剩下的1xd x 需要凑成d u.解　sin xx =2∫sin x d x =-2cos x +C.对于凑微分解题,刚开始的时候老师可以和同学们强调上述解法,也就是把被积函数写成几个因子乘积的形式,接下来研究是复合函数的那个因子,剩下的因子和d x 凑成d u.等学生熟练了之后再引入公式,他们接受起来就会容易很多,从而避免了对凑微分公式的死记硬背.对于简单的被积函数可以这么做,但是对于复杂的被积函数,也就是被积函数当中不止一个复合函数的,应该怎么做呢?先来看如下两个例题.例4　求不定积分x x.分析　被积函数是相除的形式,根据上述分析,首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.(arctan x )3乘1x乘11+x .写成乘法之后,被积函数虽然是三个因子乘积的形式,但是只有(arctan x )3是复合函数.而1x是基本初等函数,11+x 是简单函数.故研究(arctan x )3,但是这个函数是由三层函数复合而成的,故我们要引入两个中间变量把它逐步变成基本初等函数.但是这里需要注意的是要从内到外依次改变积分变量.解　∫(arctan x )3x (1+x )d x =∫(arctan x )3·1x ·11+xd x =2∫(arctan x )3·11+xd x =2∫(arctan x )3darctan x =12(arctan x )4+C.n. All Rights Reserved. GAOJIAO SHIYE 高教视野5　数学学习与研究　2020.12例5　求不定积分∫ln 2tan xcos x sin xd x.分析　被积函数是相除的形式,根据上述分析,首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为ln 2tan x 乘1cos x 乘1sin x.这三个函数均为复合函数,那么我们应该选取哪个复合函数进行研究呢?这里我们归纳总结,遵循一个原则:选取复合层数最多的,也就是最复杂的那个复合函数进行研究.这里选取ln 2tan x 进行研究.这个复合函数是由三层函数复合而成的,和例4一样,根据从内到外的原则,分别用凑微分将其解出.具体过程如下:∫ln 2tan xcos x sin xd x =∫ln 2tan x ·1cos x ·1sin x d x =∫ln 2tan x ·1tan x dtan x =∫ln 2tan x dlntan x =13ln 3tan x +C.由此可见,在用凑微分解不定积分的时候,将被积函数转化成乘积的形式再来求解,学生更容易掌握,且避免了传统的对公式的死记硬背的方法.针对被积函数的形式和特点,我们归纳出以下几种选择方法和技巧.1.被积函数只有一个复合函数时,引入中间变量,将复合函数变成我们熟悉的基本初等函数,再来求解.如:∫(4x +3)2d x =14∫(4x +3)2d(4x +3)=112(4x +3)3+C.2.被积函数是几个函数相乘时,只需研究其中的复合函数.如例1,例2.3.被积函数是几个函数相乘除时,将被积函数统一写成相乘的形式,再来研究它们之中的那个复合函数.如例3,例4.4.被积函数为多个复合函数相乘的时候,选择复合层数最多的也就是最复杂的那个复合函数进行研究.需注意的是由内而外分别进行凑微分.如例5.二、变量代换法中的凑微分变量代换法主要用于被积函数中含有根式的情况,我们解题时一个重要的思路就是将未知向已知转化,故解决此类问题的首要任务是用变量代换将根式化成整式,化成我们熟悉的形式,再来求解.在化成整式后的求解过程中,凑微分又是一个主要的解题思路.例6　求不定积分∫1x +3xd x.分析　令3x =t ,则x =t 3,d x =3t 2d t ,于是原积分可化为∫1x +3xd x =∫1t 3+t ·3t 2d t =3∫t t 2+1d t.到这一步为止,又变成了我们熟悉的形式,故将除法写成乘法的形式,研究被积函数当中的复合函数,再来求解.解　∫1x +3xd x =∫1t 3+t ·3t 2d t =3∫t t 2+1d t =3∫1t 2+1·t d t =32∫1t 2+1d(t 2+1)=32ln(t 2+1)+C ,最后将变量t 换成3x 即可.三、分部积分法中的凑微分分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分,分部积分法关键是凑微分,将f (x )拆分成uv′.如求∫x cos x d x.设u =x ,d v =cos x d x =d(sin x ),∫x cos x d x =∫x d(sin x )=x sin x -∫sin x d x =x sin x +cos x +C ,则容易求解.在实际教学中我们总结出一个比较实用的方法:对拆分成乘积的两个函数求导数,若求导后函数类型发生变化则选此函数为u ,若类型没有发生变化则选此函数为v′,两个函数类型均未发生变化则任选一个作为u 即可,从而总结一个口诀“三指动,反对不动”,即三角函数、指数函数可以作为v′,反三角函数、对数函数不能作为v′.例7　求不定积分∫e x cos x d x.分析　被积函数为e x cos x ,而(e x )′=e x ,(cos x )′=-sin x ,求导后函数的类型均没有发生改变,仍为指数函数和三角函数.故根据上文总结,可任选一个函数作为v′.这里不妨取e x 为v′.解　∫e xcos x d x =∫cos x de x=e xcos x -∫e xd(cos x )=e xcos x +∫e xsin x d x =e xcos x +e xsin x -∫e xdsin x =e xcos x +e xsin x -∫e x cos x d x ,再将式子中的∫e xcos x d x 移项、合并,即可得∫e xcos x d x =12e x(sin x +cos x )+C.此种方法实用性较强,但在各方面亦具有一定的局限性.如求解不定积分∫x 2e x d x ,被积函数为x 2和e x ,(x 2)′=2x ,(e x )′=e x .求导后的函数类型没有发生变化,故可任意选取一个函数为u ,但通过求解发现并非如此.解法1　∫x 2e x d x =13∫e x d(x 3)=13x 3e x -13∫x 3e xd x =13x 3e x -112∫e x d(x 4)(陷入无限循环).解法2　∫x 2e xd x =∫x 2d(e x)=x 2e x-2∫x e xd x =x 2e x-2∫x d(e x)=x 2e x-2x e x+2∫e xd x =x 2e x-2x e x+2e x+C (简单明了).为了解决此类缺陷,我们再给出一个选取u 及v′的简单方法:将被积函数化成两个函数相乘的形式,按照“反对幂指三”或者“反对幂三指”的顺序,优先选取u.如求解不定积分∫x 2ln x d x ,被积函数为幂函数和对数函数的乘积,故应选取对数函数ln x 为u ,即可解出.分析分部积分法中选取u 的两种方法,各有利弊.第一种方法利用凑微分,使学生的发散思维得以拓展,但对于某些题目不能应用.第二种方法简洁且应用广泛,但在一定程度上限制了同学们发散思维的培养.因此在实际教学过程中,教师应当将上述两种方法相互结合、补充,使教学效果最大化.综上,在不定积分的求解中,凑微分方法非常重要,学生应该领略凑微分的精髓,从而体会微积分的系统性,感受微积分的魅力.【参考文献】[1]熊欧.不定积分凑微分法的教学新探[J ].数学学习与研究,2018(21):10,12.[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M ].北京:北京大学出版社,2003.n. All Rights Reserved.。

浅谈凑微分法的教学陈文亚摘要：凑微分法（第一换元法）既是高等数学积分学的重点，又是难点.一般学生在刚开始学习凑微分法时，总会被方法的名字迷惑，认为凑微分法就是求导数或求微分，使得整个学习走向错误的方向，觉得凑微分法非常难学.因此作者根据多年的教学经验，总结了一些方法，让学生理解凑微分，从而掌握凑微分的实质，摒弃原来死套公式的方法，从本质上掌握凑微分法.关键词：不定积分凑微分法第一换元法凑微分法是高等数学中常用的积分方法，也是一种很重要的积分方法，它既是学习第二换元法和分部积分法的基础，又是学习定积分、微分方程、多元函数重积分的基础.虽然凑微分法很重要，但学生在学习这部分内容时就是掌握不好，究其原因主要有以下几个.一、概念混淆，分不清凑微分和微分的本质区别.初学者经常会把凑微分和微分这两个概念混淆，这两个概念虽然字面相近，但两者是互逆运算，微分与导数相关.凑微分实际上是已经知道函数的微分，问的是哪个函数的微分，如微分cosxdx是哪个函数的微分呢？由导数公式（sinx）′=cosx，得到dsinx=cosxdx，我们把这个过程称为凑微分.凑微分概念与原函数非常相似，而原函数全体就是不定积分，从而得到凑微分遵循的是积分原则，但形式是微分，正是这种形式上的差别让学生很难接受凑微分的实质是积分，所以在刚接触凑微分法的时候，学生经常会把公式xdx凑微分成d2x或dx.故老师在讲授新课时，首要任务是讲清楚凑微分与微分的区别，同时要反复强调凑微分的实质是积分，凑微分遵循的原则是积分规律，但形式还是微分.一旦理清了凑微分的内涵，学生在学习凑微分法的时候，就不需要死记那些凑微分的公式，只需记住积分公式，在凑微分的时候写成微分形式即可，从而减轻了学生的记忆负担.在掌握凑微分的概念后，学生在选择函数进行凑微分时，就会有更大的主动性，知道凡是可以积分的函数都可以凑微分，那么函数的选择范围就更大.二、记不住凑微分公式.要想把凑微分法学好，在理解凑微分实质的基础上，还要熟练掌握常用的积分公式，特别是幂函数的积分公式.初学不定积分的同学一般都会背幂函数的积分公式，但不会真正使用，教师可以把幂函数的积分公式的常用形式罗列一下，这有助于学生学习凑微分法.三、面临多个函数可以凑微分，不会选择判断.高等数学教材在讲授凑微分法时，都会通过一些简单、常见的例题给学生总结一些凑微分的公式，学生即使把这些公式背熟，碰到熟悉的会做，一旦形式发生改变，就不会运用这些公式了，究其原因就是不理解为何要凑微分.事实上，凑微分法是复合函数求导法则的逆运算，复合函数求导法则中要对内层函数和外层函数求两次导数，因此凑微分法也要做两次积分，凑微分是对复合函数的内层函数积分，积完分需要换元，故内层函数凑好微分后的形式都会在原不定积分中出现.根据上面的讨论，凑微分法在计算不定积分的时候，选择函数凑微分的依据有两个：（一）可以积分的函数才可以凑微分；（二）选择的函数在凑微分后，微分符号d左面表达式与右面的表达式应该有公共部分.一般来说，只要凑微分后，微分号前后有公共部分，凑微分的选择和变形就是对的.上面的两个依据只是教学生如何选对函数，函数选对了不一定能把积分算出来，因为在凑微分的时候通常要注意两个技巧.第一个技巧是凑微分的时候通常会有系数或负号产生，系数和符号一般都要放在微分号的前面，这样进行第二步换元时，换元对象非常清晰.第二个技巧是在凑完微分后有时还需要做系数的恒等变形或常数的变化.事实上，凑微分法就是反复使用基本积分公式表，学生在学习过程中要紧扣这个关键点，第一步选择哪个函数凑微分，凑成什么形式，都必须依据积分表，不可凭空捏造；第二步微分凑好后，一定要根据凑出来的函数换元，当换元后的形式在积分公式表中找不到时，可能是凑微分对象选择不对，检查微分符号d左右的形式是否有公共部分，如果有，就要根据题目的具体情况对凑出来的函数做系数和常数的恒等变形；如果微分符号左右的形式没有公共部分，这时就要从第一步重新开始选择函数.此外，学生在学习过程中还会把凑微分法和分部积分法混淆，因为分部积分法的第一步也是凑微分，但虽然两种方法的第一步都是凑微分，目的却完全不一样，凑微分法是为了让左右有公共部分，以便换元；而分部积分法则是为了把函数变成？蘩udv形式，而且？蘩udv中左右函数是绝对不会有公共部分的，弄清楚这一点，两者就不会混淆了.参考文献：[1]林瑾瑜.不定积分凑微分法探析.和田师范专科学校学报，2006（41）.[2]龚亚英.谈谈不定积分凑微分法的教学.数学爱好者（教育学术），2008（02）.[3]甘建强.浅谈凑微分法的阶梯方法.东西南北教育观察，2012（05）.[4]侯风波.高等数学（第三版）.高等教育出版社，2010.5.考试周刊2016年27期考试周刊的其它文章高中英语教学案例分析省高职院校会计技能大赛研究线性代数教学过程中的几点改进让图画书阅读滋养孩子的心灵浅议案例教学法在初中政治教学中的运用初高中英语听力教学衔接探究-全文完-。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分是高等数学中的基础内容之一，也是数学中的一个重要分支之一。

而在不定积分中，凑微分法是一种常用的解题方法。

本文将从教学角度出发，浅谈如何在教学中引导学生正确运用凑微分法。

一、基础概念在进行凑微分法之前，需要先了解微分的概念。

微分是函数在某一点处的变化量，也可以理解为函数值的增量。

在不定积分中，我们可以通过凑微分法将原函数化简为更加简单的形式。

凑微分法的基本思路是通过对被积函数进行一定的操作，然后构造出函数的微分形式，最终达到化简函数的目的。

二、教学方法对于凑微分法的教学，我们需要注意以下几个方面：1.概念讲解在讲解凑微分法时，需要先明确其相关的概念，如被积函数、微分、微分形式等。

同时，需要引导学生理解微分是一个“微小量”的概念，通常表示为dx。

在这个基础上，才能正确地理解凑微分法的思路。

2.实例讲解凑微分法的实践中需要通过例题进行讲解。

要注意选择难度适宜的例题，使学生能够理解凑微分法的运用方法。

在讲解实例时，需要清晰、详细地阐述凑微分法的运用过程，引导学生理解这一思路的合理性。

3.注意应用条件凑微分法的应用需要具备一定的条件，如被积函数可以转化为微分形式、微分形式可以被积分等。

在教学中，需要引导学生正确理解这些条件，以避免误用凑微分法的情况。

4.梳理思路凑微分法的思路比较灵活，需要学生具备一定的逻辑思维能力。

在教学中，需要引导学生结合具体例题，理清楚凑微分法的思路，以达到深刻理解。

三、教学效果通过以上教学方法，可以有效提高学生对凑微分法的认识和理解，并引导学生掌握凑微分法的应用方法。

同时，这种教学方法可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高学生的数学素养。

总之，凑微分法是不定积分中常用的一种方法，对于教学来说，需要通过概念讲解、实例讲解、应用条件、思路梳理等方面进行引导，以达到教学效果的最大化。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分是微积分中的重要概念，而在不定积分的求解中，“凑微分法”是一种常用的方法。

本文将对凑微分法在不定积分中的教学进行一些浅谈，并探讨该方法的教学要点和注意事项。

一、凑微分法的定义凑微分法是指在不定积分的求解中，通过适当的代入和转换，把被积函数化为微分形式的某个函数的导数，从而实现不定积分的求解。

凑微分法的关键在于如何进行适当的代入和转换，使得被积函数可以化为微分形式的函数。

二、凑微分法的教学要点在教学凑微分法时，首先需要让学生了解凑微分法的基本思想和原理，即通过适当的代入和转换，将被积函数化为微分形式的函数的导数。

需要引导学生学会辨别适当的代入和变换方法，例如对于含有分式的函数，可以通过引入一个辅助变量进行凑微分；对于含有三角函数的函数，可以通过三角恒等式进行凑微分。

需要让学生通过大量的练习，掌握不同情况下的凑微分方法，培养他们对凑微分法的灵活运用能力。

以一个简单的实例来说明凑微分法的教学方法。

考虑不定积分\int\frac{1}{(x+1)^2}dx。

我们可以尝试代入x+1来凑微分，即令u=x+1，然后对u求微分，即du=dx。

于是，原积分就可以化为\int\frac{1}{u^2}du的形式。

这样，通过凑微分法，我们可以很容易地求出原积分的结果为-\frac{1}{x+1}+C，其中C为任意常数。

在教学凑微分法时，需要注意以下几个问题。

需要注重引导学生培养观察和发现问题的能力，让他们能够在实际求解中发现适当的变换方法。

需要注意训练学生的数学推理和演绎能力，让他们能够清晰地解释凑微分法的思路和过程。

需要通过大量的实例来巩固和加深学生对凑微分法的理解和掌握，让他们掌握凑微分法的基本技巧和方法。

凑微分法是不定积分中常用的方法之一，在教学中需要重点培养学生的观察和发现能力，并注重训练他们的数学推理和演绎能力。

通过合理的教学安排和实例训练，可以帮助学生更好地掌握凑微分法，并能够灵活运用于不定积分的求解中。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分中的“凑微分法”是数学学科中一个重要的概念，对于学生来说，掌握这一方法是十分关键的。

在教学中，如何有效地引导学生理解和运用这一方法，是一项重要的教学任务。

本文将从凑微分法的基本概念、教学方法和教学策略等方面进行探讨，希望能够对教师和学生有所帮助。

一、凑微分法的基本概念在不定积分中，凑微分法是一种通过凑微分的方式来进行积分的方法。

通常情况下，我们会遇到一些复杂的不定积分，这时就需要通过一些技巧和方法来进行简化。

凑微分法就是一种常用的简化方法之一。

凑微分法的基本思想是将被积函数中的某一部分用微分形式表示出来，然后对表示出来的微分进行简化，最后再进行积分。

通过这种方式，可以大大简化原来复杂的不定积分，从而更容易进行求解。

凑微分法的基本步骤如下：1. 针对被积函数中的某一部分，通过一些技巧将其表示成微分形式；2. 对表示出来的微分进行简化，通常是将其整理成形式简单的积分；3. 最后再进行积分，得出最终的结果。

二、如何教授凑微分法在教学中，如何教授凑微分法是一个关键的问题。

下面将从教学步骤、教学方法和案例分析等方面进行讨论。

1. 教学步骤在教学中，可以将凑微分法的教学步骤分为以下几个步骤：（1）引入凑微分法的基本概念，让学生了解凑微分法的基本思想和步骤；（2）通过简单的例子进行讲解，让学生掌握凑微分法的基本操作方法；（3）引导学生进行一些练习，让他们逐步掌握凑微分法的技巧和能力；（4）通过一些复杂的案例进行讲解，让学生了解凑微分法在实际问题中的应用。

通过以上步骤，可以让学生逐步掌握凑微分法的基本原理和操作方法，从而更好地应用于实际问题中。

2. 教学方法还可以采用启发式教学方法进行教学。

通过提出一些引导性问题，让学生自己去发现凑微分法的操作规律和技巧，从而培养他们的思维能力和解决问题的能力。

3. 案例分析在教学中，可以通过一些实际的案例进行分析和讲解。

可以通过一些常见的函数进行分析，引导学生掌握凑微分法的具体操作方法和技巧。

凑微分法求不定积分不定积分是高等数学中常见的重要概念，占据着重要的地位，受到了广大学生和教师的广泛关注。

其解法不论是中学生还是大学生均需要充分掌握，掌握的核心思想是补充凑微分法。

本文就以凑微分法求不定积分来阐述凑微分法的重要性、基本原理及步骤。

什么是凑微分法求不定积分? 凑微分法是一种比较简单、容易理解的方法，它可以被应用来求解不定积分。

凑微分法一般用来求解单变量积分，其基本思想是 M = ∫f(x) dx = f(x) - F(x) =f(b) -f(a) -∫a~bF'(x)dx , 其中F'(x)是f(x)在x处的导数。

凑微分法求解不定积分的基本步骤大致如下：（1）确定积分的范围：积分的范围就是把函数的取值范围指定为[a,b], 其中a,b分别是函数f(x)的开始点和结束点；（2）确定函数f(x)：在确定函数f(x)之前，需要先确定函数是线性函数，指数函数，对数函数，三角函数，双曲函数等，不同的函数类型有不同的特点，需要分析清楚；（3）确定积分的起点a和终点b：它们是确定函数f(x)的取值范围，有一定的规律和范围；（4）求函数f(x)的导函数F'(x)：根据函数的类型和取值范围，对函数进行导数的求解；（5）求积分数值：利用步骤(1)～(4)中求得的数据计算出积分数值。

凑微分法在学习和研究数学上有着重要的作用，但同时也会给学生构成重要考试内容，所以充分掌握凑微分法就显得尤为重要。

学习凑微分法不仅仅是为了通过考试，更是为了使自己理解和掌握数学的本质，为自己的学习提供一个基础。

本文利用凑微分法求不定积分的方法，详细介绍了凑微分法的重要性、基本原理、步骤以及其应用于学习的重要性。

期望通过本文，使学生更加系统地、全面地掌握凑微分法的知识，以最大限度发挥其功能和价值，使学生在学习和考试中都可以获得成功。

基于雨课堂下“高等数学”课程的教学实践研究——以“不
定积分凑微分法”教学为例
林霞
【期刊名称】《科技风》
【年(卷),期】2024()4
【摘要】为推进新型教学模式的改变,提高“高等数学”等理论课程学习的效率,提升学生学习的兴趣,文章首先分析当下教学模式的改变,以及“高等数学”等理论课程面临的问题,然后从“高等数学”课程中节选“不定积分凑微分法”作为实践探究,具体分析其教学模式,最后从课前准备、课堂授课、课后反馈三个方面提出了基于“雨课堂”的“高等数学”教学实践探究。

【总页数】3页(P106-108)
【作者】林霞
【作者单位】西昌民族幼儿师范高等专科学校小学教育系
【正文语种】中文
【中图分类】G511
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对不定积分中凑微分法与分部积分法的教学新议作者：王晓平杨朝蓉王琦来源：《科教导刊》2011年第18期摘要凑微分法与分部积分法的公式中均有凑微分的过程，学生易混淆。

针对这一情况，文中提出一种直观、简洁、易于学生掌握的方法——“拆”、“选”、“凑”、“判”四步法，帮助学生快速准确地选择凑微分因子和积分方法，从而可以快速解题。

关键词凑微分凑微分法分部积分法不定积分中图分类号：G642文献标识码：AGather Together Differential Method Divide PartIntegral Method Teaching in Indefinite IntegralWANG Xiaoping, YANG Chaorong, WANG Qi(Yibin Vocational and Technical College, Yibin, Sichuan 644003)AbstractBoth the formulate of gather together differential method and divide part integral method are have gather together differential process, the students usually confused about them, aimed at this situation, this paper raises a directive, simple and easy method——"demolition ", "choose", "gather together", "distinguish"of four step method, in oder to help students rapidly and accurately choose to use gather together differential method or integral method, so that they can quickly solve the problem.Key wordsgather together differential; gather together differential method; divide part integral method; indefinite integral不定积分是高等数学的重要内容，是学生学习后续课程的基础。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分是高中数学和大学微积分课程中的重要内容，掌握不定积分是解决相关问题的必要步骤。

在不定积分的教学中，“凑微分法”是一种常见的技巧，可以帮助学生在解决一些特殊类型的积分问题时更加便捷地求解。

本文将就“凑微分法”的教学进行浅谈。

一、凑微分法的基本思想凑微分法是指通过构造等价的式子，将原有的积分式子转化为简单易求的形式，然后进行求解的方法。

其基本思想是在积分被积函数中凑出一个微分式子，以此来转化原式。

其实质可以理解为微分运算和反微分运算的互逆性。

二、凑微分法教学中应注意的问题1、选择适当的凑微分法凑微分法并非适用于所有的积分问题，教师在传授凑微分法时，应该指出使用该方法的情况。

有些时候，选择代数恒等式、三角函数恒等式或积化和分化等其他的技巧更为适用。

同时，凑微分法也不应作为通用解决积分问题的方法，应该帮助学生了解其思想，理解其原理和应用范围。

凑微分法在教学中需要明确的是，它的基本步骤。

凑微分法的基本步骤包括：选出适当的凑微分的项，进行凑微分转化，然后进行常规的积分求解，最后恢复原式。

为了帮助学生掌握这些步骤，教师可以教授一些典型的例题，通过讲解题目操作步骤来帮助学生掌握该方法。

3、鼓励学生思考、积极尝试凑微分法的教学中还应该鼓励学生思考，积极尝试。

学生需要掌握的不仅仅是方法，更是对问题分析和求解的思维能力。

在实际解决问题过程中，有些时候可能需要发挥自己的想象力，巧妙地运用存在的数学知识和技巧，将问题转化为容易求解的形式。

三、总结凑微分法在不定积分中常常被使用，其思想简单，方法易掌握，但也需要教师在教学中引导学生灵活运用，提高他们的思维能力和解题能力。

在学生理解基本步骤后，教师应该通过出示一些典型例题，帮助学生宽泛地运用该方法，从而加深其对该方法的理解和掌握。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学1. 引言1.1 概述在数学教学中，凑微分法在教学中起着至关重要的作用。

通过凑微分法的教学，可以帮助学生更好地理解不定积分的概念和方法，提高他们的解题能力和逻辑思维能力。

凑微分法的应用举例也可以让学生更直观地理解该方法的实际应用，增强学生的学习兴趣和信心。

深入探讨凑微分法在不定积分教学中的应用和意义具有重要的研究价值。

目前，关于凑微分法在不定积分中的教学研究还比较有限，对于该教学方法的优化和改进还有待进一步探讨。

本文将从凑微分法的概念、教学方法、应用举例、优缺点和教学策略等方面展开讨论，旨在为教师和学生提供更多关于不定积分中凑微分法的教学指导和帮助。

1.2 研究意义不限、作者、日期等。

的内容如下：不定积分是高等数学中的重要内容，也是数学分析课程中的难点之一。

在不定积分的学习过程中，凑微分法是一种常用的方法，可以帮助学生更好地理解和掌握积分运算的技巧和方法。

凑微分法可以使学生在解决复杂的不定积分问题时更加得心应手，提高他们的解题效率和准确性。

在教学实践中，深入研究凑微分法的教学策略和方法，可以帮助教师更好地指导学生掌握不定积分的解题技巧，提高教学效果和教学质量。

对凑微分法的研究具有重要的理论和实践意义，有助于推动数学教育的发展和提高学生的数学素养。

1.3 研究现状在国内，各级学校的数学教师们纷纷对凑微分法进行了教学实践，并不断总结经验，提出教学方法，以期提高学生的数学解题能力。

一些教育研究机构也开始重视凑微分法在数学教学中的应用，探讨如何更好地将其融入教学实践中。

这些研究为凑微分法在数学教学中的推广和应用提供了有力支持。

在国外，一些著名大学的数学教授们也对凑微分法进行了深入的研究，提出了许多新颖的观点和解决问题的方法。

他们通过理论探讨和实际运用，进一步完善了凑微分法的理论体系，为不定积分中的解题提供了更多的思路和方法。

凑微分法在不定积分中的研究现状较为活跃，学者们纷纷投身共同探讨如何更好地利用凑微分法解决数学问题，为该领域的发展贡献力量。

不定积分凑微分法的变式教学探讨在高等数学的课程中，一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内容之一，是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解方法主要有：直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法四种.其中，凑微分法应用极其广泛，在换元积分法和分部积分法中，凑微分均是核心，是学生学习的重点和难点[1]，下面我们将对凑微分的教学方法进行进一步的探索.凑微分法的基本原理为：设f（u）具有原函数F（u），即F′（u）=f （u），∫f（u）du=F（u）+C.如果u是中间变量，u=φ（x）且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有dF[φ（x）]=f[φ（x）]φ′（x）dx.从而根据不定积分的定义得：∫f[φ（x）]·φ′（x）dx=F[φ（x）]+C=∫f（u）du（u=φ（x））.在实际教学中，学生往往对用凑微分原理解题理解困难.因此为了让学生能准确且更快地掌握凑微分，我们对第一类换元法中第一步把被积函数分解成因子乘积的形式进行强调再随之解题.由于同学们对基本初等函数的不定积分公式掌握得相对牢固，因此我们只要先把复合函数变形成积分表中的基本初等函数再来解不定积分的话就会容易很多.现在我们通过以下几个例题对这种方法进行详细的阐述.由于凑微分方式灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分习题并不能给学生足够的启示，因此在讲解过程中我们将方法归结为三种，更便于学生掌握.一、被积函数可化成若干个因子的乘积，研究其中的复合函数，进行凑微分例1求不定积分∫2xex2dx.分析被积函数直接是几个因子乘积的形式，且其中有一个是常数.常数因子可以不用考虑，因为常数可以直接提到不定积分的前面.剩下一个基本初等函数x，一个复合函数ex2.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数，即令x2=u，则ex2=eu，那么原题当中的积分变量就由x变成了u，为了保证变量的统一，剩下的2xdx需要凑成du.而我们发现du恰好等于2xdx，故解题过程如下.解∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.例2求不定积分∫cosxsin2xdx.分析被积函数是乘积的形式，且其中一个是基本初等函数cosx，另一个是复合函数sin2x.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数.即令sinx=u，则sin2x=u2，那么原题当中的积分变量就由x变为u了，为了保证变量的统一，剩下的cosxdx要凑成du.而我们发现du恰好等于cosxdx.解∫cosxsin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C.例3求不定积分∫sinxxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为sinx乘1x，其中只有sinx为复合函数，故令x=u，则sinx=sinu，剩下的1xdx需要凑成du.解∫sinxxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C.对于凑微分解题，刚开始的时候老师可以和同学们强调上述解法，也就是把被积函数写成几个因子乘積的形式，接下来研究是复合函数的那个因子，剩下的因子和dx凑成du.等学生熟练了之后再引入公式，他们接受起来就会容易很多，从而避免了对凑微分公式的死记硬背.对于简单的被积函数可以这么做，但是对于复杂的被积函数，也就是被积函数当中不止一个复合函数的，应该怎么做呢？先来看如下两个例题.例4求不定积分∫（arctanx）3x（1+x）dx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.（arctanx）3乘1x乘11+x.写成乘法之后，被积函数虽然是三个因子乘积的形式，但是只有（arctanx）3是复合函数.而1x是基本初等函数，11+x是简单函数.故研究（arctanx）3，但是这个函数是由三层函数复合而成的，故我们要引入两个中间变量把它逐步变成基本初等函数.但是这里需要注意的是要从内到外依次改变积分变量.解∫（arctanx）3x（1+x）dx=∫（arctanx）3·1x·11+xdx=2∫（arctanx）3·11+xdx=2∫（arctanx）3darctanx=12（arctanx）4+C.例5求不定积分∫ln2t anxcosxsinxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为ln2tanx乘1cosx乘1sinx.这三个函数均为复合函数，那么我们应该选取哪个复合函数进行研究呢？这里我们归纳总结，遵循一个原则：选取复合层数最多的，也就是最复杂的那个复合函数进行研究.这里选取ln2tanx进行研究.这个复合函数是由三层函数复合而成的，和例4一样，根据从内到外的原则，分别用凑微分将其解出.具体过程如下：∫ln2tanxcosxsinxdx=∫ln2tanx·1cosx·1sinxdx=∫ln2tanx·1tanxdtanx=∫ln2tanxdlnt anx=13ln3tanx+C.由此可见，在用凑微分解不定积分的时候，将被积函数转化成乘积的形式再来求解，学生更容易掌握，且避免了传统的对公式的死记硬背的方法.针对被积函数的形式和特点，我们归纳出以下几种选择方法和技巧.1.被积函数只有一个复合函数时，引入中间变量，将复合函数变成我们熟悉的基本初等函数，再来求解.如：∫（4x+3）2dx=14∫（4x+3）2d（4x+3）=112（4x+3）3+C.2.被积函数是几个函数相乘时，只需研究其中的复合函数.如例1，例2.3.被积函数是几个函数相乘除时，将被积函数统一写成相乘的形式，再来研究它们之中的那个复合函数.如例3，例4.4.被积函数为多个复合函数相乘的时候，选择复合层数最多的也就是最复杂的那个复合函数进行研究.需注意的是由内而外分别进行凑微分.如例5.二、变量代换法中的凑微分变量代换法主要用于被积函数中含有根式的情况，我们解题时一个重要的思路就是将未知向已知转化，故解决此类问题的首要任务是用变量代换将根式化成整式，化成我们熟悉的形式，再来求解.在化成整式后的求解过程中，凑微分又是一个主要的解题思路.例6求不定积分∫1x+3xdx.分析令3x=t，则x=t3，dx=3t2dt，于是原积分可化为∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt.到这一步为止，又变成了我们熟悉的形式，故将除法写成乘法的形式，研究被积函数当中的复合函数，再来求解.解∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt=3∫1t2+1·tdt=32∫1t2+1d（t2+1）=32ln （t2+1）+C，最后将变量t换成3x即可.三、分部积分法中的凑微分分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分，分部积分法关键是凑微分，将f（x）拆分成uv′.如求∫xcosxdx.设u=x，dv=cosxdx=d （sinx），∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C，则容易求解.在实际教学中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若求导后函数类型发生变化则选此函数为u，若类型没有发生变化则选此函数为v′，两个函数类型均未发生变化则任选一个作为u即可，从而總结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可以作为v′，反三角函数、对数函数不能作为v′.例7求不定积分∫excosxdx.分析被积函数为excosx，而（ex）′=ex，（cosx）′=-sinx，求导后函数的类型均没有发生改变，仍为指数函数和三角函数.故根据上文总结，可任选一个函数作为v′.这里不妨取ex为v′.解∫excosxdx=∫cosxdex=excosx-∫exd（cosx）=excosx+∫exsinxdx=excosx+exsinx-∫exdsinx=excosx+exsinx-∫excosxd x，再将式子中的∫excosxdx移项、合并，即可得∫excosxdx=12ex（sinx+cosx）+C.此种方法实用性较强，但在各方面亦具有一定的局限性.如求解不定积分∫x2exdx，被积函数为x2和ex，（x2）′=2x，（ex）′=ex.求导后的函数类型没有发生变化，故可任意选取一个函数为u，但通过求解发现并非如此.解法1∫x2exdx=13∫exd（x3）=13x3ex-13∫x3exdx=13x3ex-112∫exd（x4）（陷入无限循环）.解法2∫x2exdx=∫x2d（ex）=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xd（ex）=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+C（简单明了）.为了解决此类缺陷，我们再给出一个选取u及v′的简单方法：将被积函数化成两个函数相乘的形式，按照“反对幂指三”或者“反对幂三指”的顺序，优先选取u.如求解不定积分∫x2lnxdx，被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故应选取对数函数lnx为u，即可解出.分析分部积分法中选取u的两种方法，各有利弊.第一种方法利用凑微分，使学生的发散思维得以拓展，但对于某些题目不能应用.第二种方法简洁且应用广泛，但在一定程度上限制了同学们发散思维的培养.因此在实际教学过程中，教师应当将上述两种方法相互结合、补充，使教学效果最大化.综上，在不定积分的求解中，凑微分方法非常重要，学生应该领略凑微分的精髓，从而体会微积分的系统性，感受微积分的魅力.。

不定积分的求解技巧凑微分法不定积分的求解技巧之一是凑微分法。

凑微分法是一种通过巧妙地凑微分项的方式，将被积函数转化为可直接求积的形式。

下面将详细介绍凑微分法的原理和应用。

一、凑微分法的原理凑微分法的基本思想是通过变换被积函数，使得被积函数的微分形式出现在被积函数之外，在求积的过程中可以直接被积。

相当于将被积函数分解为两个部分，一个部分是可直接求积的微分形式，另一个部分则是凑出的微分项。

通过凑出的微分项，将原函数的微分项和凑出的微分项相加，得到一个新的函数，即可进行直接求积。

二、常用的凑微分法技巧1. 一元一次方程凑微分法对于一元一次方程形式的被积函数，可以通过凑微分法直接求积。

例如，对于被积函数f(x)=(ax+b)^n (n为整数)，可以利用代换u=ax+b，然后求u的微分，再在原函数中用u替换为x，即可得到新的被积函数。

在求积的过程中，可以发现新的被积函数的微分形式是常见的可直接求积的形式。

2. 分式凑微分法对于被积函数是分式形式的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。

例如，对于被积函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是两个多项式，Q(x)的次数大于P(x)的次数。

可以通过凑微分法，将被积函数分解为部分分式的形式。

然后将分解后的每一项进行分解，得到新的被积函数，即可进行直接求积。

3. 完全微分凑微分法对于被积函数是完全微分的情况，可以通过凑微分的方式将其变换为可直接求积的形式。

例如，对于被积函数f(x,y) = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy，其中u(x,y)为某个函数。

可以根据求导的规则，将被积函数进行求导并整理，得到被积函数的微分形式。

然后将微分形式中的各项进行凑微分，得到新的被积函数，即可进行直接求积。

三、凑微分法的应用凑微分法在求解不定积分中有广泛的应用。

通过凑微分法，可以将被积函数转化为可直接求积的形式，从而简化求积的过程。

凑微分法常用于多项式函数、分式函数和特殊函数等形式的不定积分的求解中。

对不定积分中凑微分法与分部积分法的教学新议Gather Together Differential Method Divide PartIntegral Method Teaching in Indefinite IntegralWANG Xiaoping, YANG Chaorong, WANG Qi(Yibin Vocational and Technical College, Yibin, Sichuan 644003) AbstractBoth the formulate of gather together differential method and divide part integral method are have gather together differential process, the students usually confused about them, aimed at this situation, this paper raises a directive, simple and easy method――"demolition ", "choose", "gather together", "distinguish"of four step method, in oder to help students rapidly and accurately choose to use gather together differential method or integral method, so that they can quickly solve the problem.不定积分是高等数学的重要内容，是学生学习后续课程的基础。

求不定积分有第一换元积分（凑微分）、第二换元积分、分部积分、有理函数积分及三角函数有理式积分等方法，其中尤以“凑微分法”及“分部积分法”最为常用，也最为重要。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学【摘要】本文介绍了不定积分中常用的“凑微分法”。

在我们对凑微分法进行了介绍，说明了其在教学中的目的与意义。

接着在我们详细解释了什么是凑微分法，如何应用凑微分法，以及通过实例分析展示了凑微分法的具体操作方法。

同时也提出了在使用凑微分法时需要注意的事项，并且探讨了凑微分法的优缺点。

最后在我们对凑微分法进行了总结，展望了未来可能的发展方向，同时得出了教学过程中的一些启示。

通过本文的学习，读者将对凑微分法有更深入的了解，提高数学学习的效率与质量。

【关键词】浅谈不定积分中“凑微分法”的教学，关键词：引言：介绍、目的、意义正文：凑微分法、应用、实例分析、注意事项、优缺点结论：总结、展望、启示1. 引言1.1 介绍不定积分是微积分中一个重要的概念，凑微分法是其中一种解题方法。

凑微分法在解不定积分时常常能够简化问题，使得计算更加高效。

本文将浅谈不定积分中的凑微分法的教学，主要包括凑微分法的基本概念、应用方法、实例分析、注意事项以及优缺点等内容。

在解决不定积分时，凑微分法是一种常见且实用的方法。

通过“凑微分”这一操作，可以将被积函数化简为更容易求解的形式，从而简化计算过程。

凑微分法的应用范围很广，可以帮助我们解决各种类型的不定积分，提高解题效率。

在接下来的内容中，我们将详细介绍什么是凑微分法，如何应用凑微分法来解决不定积分问题，通过实例分析来帮助读者更好地理解凑微分法的实际应用，同时也会提醒大家在使用凑微分法时需要注意的事项，以及凑微分法的优缺点。

通过本文的阅读，希望读者能够对不定积分中的凑微分法有更深入的了解，从而提高解题的效率和准确性。

1.2 目的在教学不定积分中，“凑微分法”是一种常见的解题方法，通过凑微分可以简化复杂的不定积分问题，使求解过程更加简洁和高效。

故本文旨在探讨不定积分中“凑微分法”的教学方法，帮助学生更好地理解和掌握这一解题技巧。

引导学生深入理解凑微分法的概念及其应用场景，通过具体的案例分析教学，引导学生熟练运用凑微分法解决不定积分问题。