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不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)

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换元积分法PPT课件

换元积分法PPT课件

dx
x 1 x2
dx
arctan 1 x2
x
dx
1 2
1 1 x2
d(1
x2
)
arctanxd
arctanx
1 ln(1 x2 ) 1 (arctanx)2 C
2
2
28
二、第二换元法
引例
x dx x 1
为了将被积函数中的根式 x 1 去掉，
应将其作为一个整体，因此令 t x 1
因此，x t 2 1, dx 2tdt 将其代入原积分式中，
x dx t 2 1 2tdt 2 (t2 1)dt 2 t3 2t C
x 1
t
3
2 (t 2 1)dt 2 t3 2t C 3
2 ( x 1)3 2 x 1 C
29
3
第一换元法： f (j(x))j(x) d x f (u) d u 是被积表达式
已明显含有因子j(x)。而在实际问题中，常常遇到的是一般形
dx
1 3
dx x4
dx x 1
1 ln x 4 C. 3 x1
24
例 19
求
x2
dx . 4x 5
解
x2
dx 4x
5
1
dx (x
2)2
1
d( x 2) ( x 2)2
arctan(x 2) C.
25
例 20
求
x1
x2
4x
dx. 5
解
x1
x2
4x
dx 5
1 ( x2 4x 5) 1
例 2 求 (4x 5)99 dx.
解 上式与基本积分表中 x dx 1 x 1 C 1

不定积分 ppt

不定积分 ppt


x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,

x11 x11

dx

t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C

(1 x ) 102

(1 x ) 101
C
解二


x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx

x)
dx
(1
101
100
x)
dx

(1 x ) 102
102

(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C

1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一

ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx


dx 2 co s
2
d x 2

《不定积分》ppt课件

《不定积分》ppt课件

2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−

高等数学第四章 第二节不定积分 课件

高等数学第四章 第二节不定积分 课件

1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )

《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分

《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分
（11） csc x cot xdx csc x C
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质

不定积分的换元积分法PPT课件

不定积分的换元积分法PPT课件

例 2.求 3x 1dx
解：
3x
1dx
1 3
3x
1d(3x
1)
令u
3x
1
1 3
udu
1 3
2 3
u
3 2
C
回代3x
1
u
2 9
(3x
3
1) 2
C
2 9
(3x
1)
3x 1 C.
第5页/共34页
例 3.求下列不定积分
（1）
e2x2ln xdx
e2x2 xdx 1
4
e2x2d(2x2 ) 1 e2x2 C. 4
其中s 是m和n的最小公倍数.
(2) 对 R(x, n ax b )dx, (ad bc 0)可作代换 cx d t n ax b . cx d
第21页/共34页
例 11.求 1 dx
1 ex
解：令 1 ex t ，ex t 2 1，
x ln(t 2 1) ，dx 2t dt ，则 t2 1
积分
F(u) C 回代: (x) u
F[(x)] C
第一换元法或称为凑微分法，是与复合函数的 微分法则相对应的积分方法。
第3页/共34页
（二）常用凑微分式子
1、求不定积分时常用的微分性质
(x)dx d[(x)] 1 d[a(x) b] ， a
其中 a, b 都是常数，且a 0 。
2、常用凑微分式子
x C.
第9页/共34页
例 6．求下列不定积分
（1）
a2
1
x2
dx
1 dx a2[1 ( x )2 ]
1 arctan x C.
a
1 a

不定积分的计算ppt课件

不定积分的计算ppt课件

1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1

42不定积分的换元积分法-52页PPT文档资料

42不定积分的换元积分法-52页PPT文档资料
(4 )f(sx)icno xd xs
d(axb)
dxn
1 xn
dxn
dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x dcosx
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
dtanx
(7) f(ex)exdx (8) f(lnx)1xdx
de x dln x
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例5. 求 解:
类似

sin xdx cos x


dcosx cosx

cos x dx sin x


dsin x sin x
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例10
求

1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
补例
求

1 2x3
d.x 2x1
解：原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
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补例. 求
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
注: 当
时
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a (2) f(xn)xn 1dx1
n
(3) f(xn)1xdx1n
x
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例6. 求
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1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
1
11
a2
x 2 dx
a2
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
6
求
x2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
(
x
1 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
10
书中例4 求
dx
x2
. 1
1du u
ln
u
C
.
1
1
11 1
解
x2
1
(x
1)( x
1)
[ 2
x
1
x
], 1
dx 1 1 1
x2 1
2
[
x
1
x
]dx 1
1 (ln x 1 ln x 1 ) C 2
1 ln x 1 C. 2 x1
11
求
x(1
1 2ln
dx. x)
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2 ln
d (ln x
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
u 1 2ln x
1 2
1 u
du
1 ln u 2
C
1 ln(1 2
2 ln
x)
C.
12
例5 求 sin5 xdx.
解 sin5 xdx sin4 x sin xdx
(sin2 x)2 d(cos x)
u2
C
9
例4
求
3
1 2
dx. x
解 d(3 2x) (3 2x)dx 2dx,
3
1 dx 2x
1 2
1 3 2x
(3
2 x )dx
1 2
3
1 2x
d(3
2x)
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(3 2x) C. 2
一般地
f
(ax
b)dx
1 a
f
(u)du
(其中u ax b)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
14
例6 求
1 cos
x
dx.
解
1 dx cos x
cos cos2
x x
dx
1 1 sin2 x d sin x
1 2
( 1
1 sin
x
1
1 sin
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
18
例9 求 cos 3x cos 2xdx.
解 cos Acos B 1[cos( A B) cos( A B)], 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C.
17
例8 求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
(1 cos2 x)2 d cos x
(1 2cos2 x cos4 x)d cos x
cos x
2 cos3 x 1 cos5 x
3
5
C.
说明 当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇 次项去凑微分.
13
附例 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x) sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
x
)d
sin
x
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
1 2
ln
(1 sin x)2 cos2 x
C
ln sec x tan x C.
15
例7 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2
sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
7
例3 求 x sin x2dx.
已知 sin udu cos u C
解
x
sin
x2dx
1 2
sin
x 2dx 2
1 2
sin
udu
1 cos u C 2
1 cos x2 C; 2
(u x2)
8
求 sin 2xdx.
解（一）
sin
2
xdx
1 2
sin
2 xd
(2x)
已知 sin udu cos u C
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
2
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微）
dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [( x)]( x)dx F[( x)] C F(u) C
[ f (u)du] (u (x))
左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.
4
例1 求 3 x 5dx.
已知 u du 1 u 1 C
1
解 3 x 5dx (令u x 5)
1
u3du
34
3
4
u3 C ( x 5)3 C.
4
4
5
例2a21 x2dx.(a
0)
已知
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
解