凑微分法解不定积分(个人用讲义)

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分是高等数学中的基础内容之一，也是数学中的一个重要分支之一。

而在不定积分中，凑微分法是一种常用的解题方法。

本文将从教学角度出发，浅谈如何在教学中引导学生正确运用凑微分法。

一、基础概念在进行凑微分法之前，需要先了解微分的概念。

微分是函数在某一点处的变化量，也可以理解为函数值的增量。

在不定积分中，我们可以通过凑微分法将原函数化简为更加简单的形式。

凑微分法的基本思路是通过对被积函数进行一定的操作，然后构造出函数的微分形式，最终达到化简函数的目的。

二、教学方法对于凑微分法的教学，我们需要注意以下几个方面：1.概念讲解在讲解凑微分法时，需要先明确其相关的概念，如被积函数、微分、微分形式等。

同时，需要引导学生理解微分是一个“微小量”的概念，通常表示为dx。

在这个基础上，才能正确地理解凑微分法的思路。

2.实例讲解凑微分法的实践中需要通过例题进行讲解。

要注意选择难度适宜的例题，使学生能够理解凑微分法的运用方法。

在讲解实例时，需要清晰、详细地阐述凑微分法的运用过程，引导学生理解这一思路的合理性。

3.注意应用条件凑微分法的应用需要具备一定的条件，如被积函数可以转化为微分形式、微分形式可以被积分等。

在教学中，需要引导学生正确理解这些条件，以避免误用凑微分法的情况。

4.梳理思路凑微分法的思路比较灵活，需要学生具备一定的逻辑思维能力。

在教学中，需要引导学生结合具体例题，理清楚凑微分法的思路，以达到深刻理解。

三、教学效果通过以上教学方法，可以有效提高学生对凑微分法的认识和理解，并引导学生掌握凑微分法的应用方法。

同时，这种教学方法可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高学生的数学素养。

总之，凑微分法是不定积分中常用的一种方法，对于教学来说，需要通过概念讲解、实例讲解、应用条件、思路梳理等方面进行引导，以达到教学效果的最大化。

浅析计算不定积分方法之凑微分不定积分是高等数学的基本内容和主要内容，该运算是求导运算的逆过程，而定积分的计算主要是用牛顿—莱布尼茨公式，使用牛顿—莱布尼茨公式的前提是找到被积函数的一个原函数。

因此，不定积分是连接微分学和积分学的纽带。

由于不定积分方法的灵活性和积分结果的不确定性，导致很多学员在计算积分的过程中常常觉得很混乱，找不到一个统一的方法进行计算。

不定积分的常规求解方法主要包括利用基本积分公式直接积分、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，这两种方法的核心是“凑微分”。

换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，第一类换元积分法的解题思路是首先利用dx x g )(凑成微分形式)(x du ，然后换元令)(x u u =使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式求积分，求出积分后再换元。

其中最为关键的一步是凑成微分形式)(x du ，也是学员们感到最困难的一步，因为题目中需要有dx x u )(才能凑成微分形式)(x du ，而)(x u 往往不容易看出来，也就无法凑成微分的形式了，这正是凑微分的核心。

由于“凑微分”方式灵活多样，单靠几个常见的凑微分并不能给学生足够的启示，因此我们将其归结为四种方法，以便学生易于掌握。

1、能化成若干个函数的积分，观察各个函数能否凑微分，找出合适的求解如：求解不定积分时⎰⎰=)(ln ln ln x xd dx x x ，因为⎰==udu dx xx d 1)(ln ，这里的x u ln =。

2、不能化成几个函数的乘积若一个不定积分不能直接化成若干个函数的乘积或可以化成若干个函数的乘积但难以计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式接近，若接近，则依此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。

如：求不定积分⎰+dx x x 2cos 4sin 时，C x x d x x d x dx x x +-=+-=+-=+⎰⎰⎰)2cos arctan(21)2cos ()2cos (1121)(cos cos 41cos 4sin 222 3、能化成几个因式的乘积但难以凑微分若一个不定积分既不能化成若干个函数的乘积或能化成若干个函数的乘积但难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分的基本公式接近，则可以先利用恒等变形方法进行转化，然后进行相应求解。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分是微积分中的重要概念，而在不定积分的求解中，“凑微分法”是一种常用的方法。

本文将对凑微分法在不定积分中的教学进行一些浅谈，并探讨该方法的教学要点和注意事项。

一、凑微分法的定义凑微分法是指在不定积分的求解中，通过适当的代入和转换，把被积函数化为微分形式的某个函数的导数，从而实现不定积分的求解。

凑微分法的关键在于如何进行适当的代入和转换，使得被积函数可以化为微分形式的函数。

二、凑微分法的教学要点在教学凑微分法时，首先需要让学生了解凑微分法的基本思想和原理，即通过适当的代入和转换，将被积函数化为微分形式的函数的导数。

需要引导学生学会辨别适当的代入和变换方法，例如对于含有分式的函数，可以通过引入一个辅助变量进行凑微分；对于含有三角函数的函数，可以通过三角恒等式进行凑微分。

需要让学生通过大量的练习，掌握不同情况下的凑微分方法，培养他们对凑微分法的灵活运用能力。

以一个简单的实例来说明凑微分法的教学方法。

考虑不定积分\int\frac{1}{(x+1)^2}dx。

我们可以尝试代入x+1来凑微分，即令u=x+1，然后对u求微分，即du=dx。

于是，原积分就可以化为\int\frac{1}{u^2}du的形式。

这样，通过凑微分法，我们可以很容易地求出原积分的结果为-\frac{1}{x+1}+C，其中C为任意常数。

在教学凑微分法时，需要注意以下几个问题。

需要注重引导学生培养观察和发现问题的能力，让他们能够在实际求解中发现适当的变换方法。

需要注意训练学生的数学推理和演绎能力，让他们能够清晰地解释凑微分法的思路和过程。

需要通过大量的实例来巩固和加深学生对凑微分法的理解和掌握，让他们掌握凑微分法的基本技巧和方法。

凑微分法是不定积分中常用的方法之一，在教学中需要重点培养学生的观察和发现能力，并注重训练他们的数学推理和演绎能力。

通过合理的教学安排和实例训练，可以帮助学生更好地掌握凑微分法，并能够灵活运用于不定积分的求解中。

浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分中的“凑微分法”是数学学科中一个重要的概念，对于学生来说，掌握这一方法是十分关键的。

在教学中，如何有效地引导学生理解和运用这一方法，是一项重要的教学任务。

本文将从凑微分法的基本概念、教学方法和教学策略等方面进行探讨，希望能够对教师和学生有所帮助。

一、凑微分法的基本概念在不定积分中，凑微分法是一种通过凑微分的方式来进行积分的方法。

通常情况下，我们会遇到一些复杂的不定积分，这时就需要通过一些技巧和方法来进行简化。

凑微分法就是一种常用的简化方法之一。

凑微分法的基本思想是将被积函数中的某一部分用微分形式表示出来，然后对表示出来的微分进行简化，最后再进行积分。

通过这种方式，可以大大简化原来复杂的不定积分，从而更容易进行求解。

凑微分法的基本步骤如下：1. 针对被积函数中的某一部分，通过一些技巧将其表示成微分形式；2. 对表示出来的微分进行简化，通常是将其整理成形式简单的积分；3. 最后再进行积分，得出最终的结果。

二、如何教授凑微分法在教学中，如何教授凑微分法是一个关键的问题。

下面将从教学步骤、教学方法和案例分析等方面进行讨论。

1. 教学步骤在教学中，可以将凑微分法的教学步骤分为以下几个步骤：（1）引入凑微分法的基本概念，让学生了解凑微分法的基本思想和步骤；（2）通过简单的例子进行讲解，让学生掌握凑微分法的基本操作方法；（3）引导学生进行一些练习，让他们逐步掌握凑微分法的技巧和能力；（4）通过一些复杂的案例进行讲解，让学生了解凑微分法在实际问题中的应用。

通过以上步骤，可以让学生逐步掌握凑微分法的基本原理和操作方法，从而更好地应用于实际问题中。

2. 教学方法还可以采用启发式教学方法进行教学。

通过提出一些引导性问题，让学生自己去发现凑微分法的操作规律和技巧，从而培养他们的思维能力和解决问题的能力。

3. 案例分析在教学中，可以通过一些实际的案例进行分析和讲解。

可以通过一些常见的函数进行分析，引导学生掌握凑微分法的具体操作方法和技巧。

不定积分公式Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。

定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。

显然C x F dx x f +=⎰)()(①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx xx x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 ③())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分①()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx x x d xdx x ±±=±=-=+=①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C x C x x xd dx x x xdx②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot Cx C x x xd dx x x xdx③()()()⎰⎰⎰++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()⎰⎰⎰+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc C x x xx x x d dx x x x x x xdx⑤()⎰⎰+==C x xx d dx x x ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e xx x x x 1ln 111 ⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x xx x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x x x x arctan 1122 ⑩()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 21C ax ax a ++-=②dx x x dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x x x xdx x x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan 31ln 211311212222③()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x x x dx x x x ()C x x x +--+-=21arctan 2352ln 212 ④()C x x x xd x dx x xdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x x d x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot⑦C x x x x d xdx dx xx x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 ⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==C axC t dt t a tdt a arcsin cos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec ())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则 原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222 C x x xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则 原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1t dtdx t t x x t x -=+=+=则 原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666 ()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x xx d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos C x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx xx x xx x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。

凑微分法求不定积分不定积分是高等数学中常见的重要概念，占据着重要的地位，受到了广大学生和教师的广泛关注。

其解法不论是中学生还是大学生均需要充分掌握，掌握的核心思想是补充凑微分法。

本文就以凑微分法求不定积分来阐述凑微分法的重要性、基本原理及步骤。

什么是凑微分法求不定积分? 凑微分法是一种比较简单、容易理解的方法，它可以被应用来求解不定积分。

凑微分法一般用来求解单变量积分，其基本思想是 M = ∫f(x) dx = f(x) - F(x) =f(b) -f(a) -∫a~bF'(x)dx , 其中F'(x)是f(x)在x处的导数。

凑微分法求解不定积分的基本步骤大致如下：（1）确定积分的范围：积分的范围就是把函数的取值范围指定为[a,b], 其中a,b分别是函数f(x)的开始点和结束点；（2）确定函数f(x)：在确定函数f(x)之前，需要先确定函数是线性函数，指数函数，对数函数，三角函数，双曲函数等，不同的函数类型有不同的特点，需要分析清楚；（3）确定积分的起点a和终点b：它们是确定函数f(x)的取值范围，有一定的规律和范围；（4）求函数f(x)的导函数F'(x)：根据函数的类型和取值范围，对函数进行导数的求解；（5）求积分数值：利用步骤(1)～(4)中求得的数据计算出积分数值。

凑微分法在学习和研究数学上有着重要的作用，但同时也会给学生构成重要考试内容，所以充分掌握凑微分法就显得尤为重要。

学习凑微分法不仅仅是为了通过考试，更是为了使自己理解和掌握数学的本质，为自己的学习提供一个基础。

本文利用凑微分法求不定积分的方法，详细介绍了凑微分法的重要性、基本原理、步骤以及其应用于学习的重要性。

期望通过本文，使学生更加系统地、全面地掌握凑微分法的知识，以最大限度发挥其功能和价值，使学生在学习和考试中都可以获得成功。

不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。

本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。

首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。

不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。

通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。

此外，它还可以帮助求解积分函数。

具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。

下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。

先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。

除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。

举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。

以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。

总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。