波函数的统计解释

有关实验：
子弹 水波 光波
｝｛ 双缝衍射
子弹：P=P1+P2 波：I≠I1+I2
电子
电子：
1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度，即
(rr , t) 2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对 值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
数学表达： (r,t) | (r,t) |2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
2.2 测不准原理
一. 宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动 从根本上讲不具有这种特点。
海森伯 1927年
共轭量
x px
t E
J
二.量子力学中的测量过程
1.海森伯观察实验
2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时 具有确定的值
(r , t)
c(
p,
t
)
p
(r )dpx
dpy
dpz
e
p (r )
1
(2) 2 3
i pr
§2.3 态迭加原理
测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根 本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。
经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动 等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加 性其实质是什么呢？
当然，几率的相干迭加是电子衍射实验所揭示的直接结果。但是，既然微观粒 子的波函数是态函数，在这里迭加性就具有更深刻的意义。
设ψ1，ψ2 是体系的两个状态，则迭加性表明： ψ =c1 ψ1 +c2 ψ2 也是体系的可能状态。 此时粒子出现的几率是：
归一化：
(r, t )d
| (r,t)
2
| d
1
说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个位相因子不能确定。
(2)有些波函数不能(有限地)归一。例如平面波。此时
代表“相对
几率密度”。
| (r,t) |2
二.自由粒子的波函数
粒子具有波动性，它的运动可用一个波函数来描述。自由粒子，能量 ，
首先我们就应该指出，本节所讲的内容是比较抽象和难于理解和接受的。因为它 反映的微观粒子的运动特点是和你们头脑中经典物理图象和思考方式格格不入的。也 正因如此，它反映了微观粒子的运动如何与经典物理的图象形成尖锐的矛盾，并反映 出它运动的本质特性。
一.态及态函数
给出
(r尽, t管) 粒子的位置不确定（我们不能要求它确定，这是微观粒子
a) 含
的偏微分方程
t
b) 是线性方程 c) 只含基本常数，不含状态参数。
2.自由粒子满足的方程
e (r, t) A
i ( pr Et )
i E
t
i p
2
p2 2
E ~ i t
p~ i
p2 ~ 22
对自由粒子：
E
p2
2
∴
i 2 2
t
2
p的相对几率
可以证明，任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：
e
p (r , t)
1
(2) 32
i ( pr Et )
e
p (r )
1
(2) 3 2
i p r
(r, t)
c(
p,
t )
p
(r )dpxdpy dpz
其中： 而：
e c( p, t ) c( p)
i Et
是同一状态的两种不同
§ 2.4 薛定谔方程
本节我们讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律，即薛定谔方程。
应该明确，薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个基
本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践 来检验。我们只是用一个比较简单的办法来引述它。
1.薛定谔方程应满足下列条件：
e c( p, t)
1
(2) 32
(r, t )
d i pr
(r,t) 和
c( p, t) 互为付氏变换。
由此看出： (r, t) 给定后， c( p, t) 完全确定；
同样， c( p, t) 给定后，
(r,t) 完全确定。
因此， c( p,t) 和
的描述方法。
(r,t)
的本质），但它的几率分布是完全确定的，我们在以后还将证明，此时粒子的能
量，动量等各种可观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们把
由
描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各力学量的值不确定，但
它的可能值及其分布几率是确定的），而把
称为态函数。
(r,t)
(r,t)
二 .态迭加原理
经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性。对微观粒子的波动性，从 电子衍射实验知，其实质也是波的迭加性。
的相对几率是完全确定的 。
量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，是由 微观粒子的波粒二性所决定的。
态迭加原理是由波的迭加性和波函数完全描述一个微观体系的状态这两个概 念的概括。
态迭加原理的表述：
若ψ1，ψ2是体系的两个可能状态，那么它们的线性迭加ψ=c1ψ1+c2ψ2 也是体系的一个可能状态。
|ψ|2=|c1ψ1+c2ψ2|2
=(c1*ψ1*+c2*ψ2*)( c1ψ1+c2ψ2) =|c1ψ1|2+|c2ψ2|2+c1*c2ψ1*ψ2+c1c2*ψ1ψ2*
但是，对于体系的其他力学量，如力学量
A ，如果在ψ 下的值是a1 ,在ψ2
下的值是a2 ，则在ψ =c1ψ1+c2ψ2的态，它的值可能是a1 ,也可能是a2 ，而测得 a1， a2
三.动量的几率分布
在电子衍射实验中，电子在晶体表面反射后，以各种不同的动量
运动。动量确定的粒子的p状态为：
e p( r,t ) A
i ( Et pr)
而在晶体表面反射后的晶电子状态 状态的迭加。
p 为各种值的
(r, t) p c( p) p(r, t)
|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc(
p)
|2
为粒子的动量
E 动量
长
是常数，，运传动播方方向向不固变定，，与是p之一相个联平系面的波波：频率
，波
E/h
h/ p
一般地，我们用复数形式 则自由粒子的平面波
Acos[2 (x / t)]
Acos[2 (n/ A)]
A
cos(k
rt)
e A i(krt)
e
(r ,
t)
A
i / ( prEt)