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1. 推导（2.8.10）后两式第二式：T T Xi F F G g G g G g G g g g F l kkK kK k KK T T ki k K k K j K K K j x x t t X X tv x v X X x <><><>>>⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎪==⊗=⊗ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⊗=⊗⊗= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭（1）或Tl F FT-T>>><<>=得到0TT Tl F F F F F F T-T-T-T>>><<>><<>><<>===+ （2）⇒TTF F F FT -T<><>><<>=- （3）（我这一步得到的和书上有点差别，为什么呢？）第三式： 由（1）、（3）得到TT F F F F F lT -TT T<><>><<><>>>=-=由（2）、（3）得到TTTFF F Fl F-T-T T ><><<>><>>><--=-=-2.推导（2.8.16）后两式第三式： d d d d d div d v VvVv v=∴===v J J J J第四式：d d Tv FA ><><-= Jd d d TTvF A F A ><><><<--∴=+J J(这步最右式和书上的也不同)d d d div d d tr d d T T T T TTv F A F A F A F A d F A FA ><><><><><<<<----><><>><<--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭v J J J J JT tr tr TTd l Fl F><>>><>>>>--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（2.8.10）T d tr d d T T v l F A l F A ><>>><>>><<--⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭J3．证明第二单元章后习题变形基本定理：FV R R U ==R 为转动张量，且是正交张量T V R U R ⇒=U V ⇒、互为正交相似矩阵，因而有相同的特征值记,k K k k k k UN N V n n λλ=⊗=⊗T V R U R =k k k ij i j K k k i j ji R R n n e e N N e e λλ⇒⊗=⊗⊗⊗令k ij i j K k R n e e N λ=⊗证得k k n R N =4．简要说明四类应力的共同点和差异点（1）Cauchy 应力张量，kirchhoff 应力张量，第二类P-K 应力都是对称张量，而第一类P-K 应力无所谓对称性。
2二阶张量及其若干运算法则（一）概念.理论和公式提要2-1张量的乘法① 张量的外乘（并乘）张量的外乘用0表示，其外积为张量，其阶数等 于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘（点乘）张量的点乘用匕”表示（有时也可省去“•” ）, 其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“：”（两次点乘），例如A ：B ；其积为张量，其阶 数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设A 为CT （m ）, B 为CT （〃），C 为CT （p ）, 则A ：B ：C =D 9 D 为 CT （m + 斤 + p - 2 x 4）（2-1-1） 取加=4, n = 4, p = 2,则D 为CT （2）,其分量为D a = A ij inn B ,nn r P C r P （2T-2）其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分 量的询两个指标依次相同O二阶张量T 的范数记为||7|定义为T ：T = 为正方根，且有||T|| > 0,只当T = o 吋才取等号|a r|| = |a|||T||, |a|为标量◎的绝对值 ||r+i?||<||r||+W T ：国聊|・|网 |八忤制问为矢量"的模，/?亦为二阶张量。
⑤ 设A 和B 分是是CT0）和CT （" 则4和B 外积的s 次缩拼为张量C ,记为C S A®B = CC 为O + / - 25）阶张量，其分量关系为(2-1-3) (2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)(2-1-7)C ij …mn — Aj ……k$B k'kfks. 反Z,如果已知B 和C 为张量，其分量与带指标的量务•满足上式，则务•为张 量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于C 的阶数加减去 B 的阶数。
特别地当s = t, B 的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和c 的阶数Z 和。
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
、选择题1、连续介质假设意味着 B 。
（A）流体分子互相紧连；（B）流体的物理量是连续函数;（C）流体分子间有间隙；（D）流体不可压缩2、静止流体A—剪切应力。
（A）不能承受；（B）可以承受；（C）能承受很小的；（D）具有粘性是可承受3、温度升高时，空气的粘度 B 。
（A）变小；（B）变大；（C）不变；（D）可能变大也可能变小4、流体的粘性与流体的D_ 无关。
（A）分子的内聚力；（B）分子的动量交换；（C）温度；（D）速度梯度5、在常温下，水的密度为 D kg/m3。
（A）1 ；（ B）10 ；（ C）100；（ D）1000 6水的体积弹性模量A 空气的体积弹性模量。
（A）大于；（B）近似等于；（C）小于；（D）可能大于也可能小于7、C的流体称为理想流体。
（A）速度很小；（B）速度很大；（C）忽略粘性力；（D ）密度不变8、D—的流体称为不可压缩流体。
（A）速度很小；（B）速度很大；（C）忽略粘性力；（D）密度不变9、与牛顿内摩擦定律直接有关系的因素是 B（A）切应力和压强；（B）切应力和剪切变形速率;（C）切应力和剪切变形；（D ）切应力和速度。
10、水的粘性随温度升高而 B（A）增大；（B）减小；（C）不变；（D）不确定11、气体的粘性随温度的升高而A（A）增大；（B）减小；（C）不变；（D）不确定。
12、理想流体的特征是C（A）粘度是常数；（B）不可压缩；（C）无粘性；（D）符合pV=RT。
13、以下关于流体粘性的说法中不正确的是（B ）粘性是流体的固有属性；粘性是在运动状态下流体具有抵抗剪切变形速率能力的量度; 流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重作用;流体的粘性随温度的升高而增大。
14、按连续介质的概念，流体质点是指 D（A）流体的分子；（B）流体内的固体颗粒；（C）无大小的几何点; （D）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
15、理想流体与实际流体的主要区别在于（A ）o（A）是否考虑粘滞性；（B）是否考虑易流动性;（C）是否考虑重力特性；（D）是否考虑惯性16、对于不可压缩流体，可认为其密度在流场中（D ）（A）随压强增加而增加；（B）随压强减小而增加（C）随体积增加而减小；（D ）与压强变化无关17、液体与气体都是流体，它们在静止时不能承受（（A）重力；（B）压力；（C）剪切力；（D ）表面张力C ）o18、下列流体的作用力中，不属于质量力的是（B（A）电磁力；（B）粘性内摩擦力；（C）重力；（D）惯性力19、在连续介质假设下，流体的物理量（ D ）0（A）只是时间的连续函数；（B）只是空间坐标的连续函数;（C）与时间无关；（D ）是空间坐标及时间的连续函数20、用一块平板挡水，平板形心的淹深为h e,压力中心的淹深为h D,则h c A h D。
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
连续介质力学习题二答案连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续介质的宏观性质和行为。
在学习连续介质力学的过程中，习题是不可或缺的一部分。
下面将为大家提供一些连续介质力学习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一个均匀的弹性杆，长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
如果在杆的一端施加一个拉力F，另一端固定，求杆的伸长量。
解答：根据胡克定律，弹性杆的伸长量与施加的拉力成正比。
所以，伸长量可以用下面的公式表示：ΔL = (F * L) / (A * E)其中，ΔL表示伸长量，F表示施加的拉力，L表示杆的长度，A表示横截面积，E表示杨氏模量。
2. 一个圆柱形的液体容器，底面半径为R，高度为H。
如果在容器的底部施加一个压力P，求液体容器内部的压强分布。
解答：液体容器内部的压强分布可以用下面的公式表示：P(z) = P + ρ * g * z其中，P(z)表示液体容器内部距离底部高度为z处的压强，P表示底部施加的压力，ρ表示液体的密度，g表示重力加速度。
3. 一个均匀的弹性球体，半径为R，杨氏模量为E。
如果在球体的表面施加一个压力P，求球体的压缩量。
解答：根据胡克定律，弹性球体的压缩量与施加的压力成正比。
所以，压缩量可以用下面的公式表示：ΔR = (P * R^3) / (3 * E)其中，ΔR表示压缩量，P表示施加的压力，R表示球体的半径，E表示杨氏模量。
4. 一个均匀的弹性体，体积为V，体积弹性模量为K。
如果在弹性体的体积上施加一个压力P，求弹性体的体积变化量。
解答：弹性体的体积变化量可以用下面的公式表示：ΔV = -(P * V) / K其中，ΔV表示体积变化量，P表示施加的压力，V表示弹性体的体积，K表示体积弹性模量。
以上是一些连续介质力学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
在学习连续介质力学的过程中，多做习题是非常重要的，通过解答习题可以加深对理论知识的理解和运用。
同时，也希望大家能够在学习中保持耐心和积极性，相信通过不断的努力，一定能够掌握连续介质力学的知识。
连续介质力学习题二二．变形与运动2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点X变换到当前构形中的空间位置x时，必满足：)()()(t a A X t Q x +-⋅=，其中)(t Q 为正常正交仿射量。
2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e，有一物体的变形为：33222011,,X x X x X k X x ==+=，试写出以下各量：1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ；2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B的三个主不变量；3）写出C 和B的特征方程，并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和αl)3,2,1(=α。
4）试给出极分解R V F ⋅=中的左伸长张量V 和正交张量R的矩阵表示。
2-3 现取物质坐标系}{A X 为直角坐标系{X ，Y ，Z}，空间坐标系}{i x 为圆柱坐标系},,{z r θ，令z 轴与Z 轴重合，0=θ与X 轴重合，图示长方体发生纯弯曲，题2-3图变形满足),(X r r =),(Y θθ=)(Z z z =，且存在逆关系：),(r X X =，),(θY Y =)(z Z Z =，试写出以下各量：1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ；2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B的三个主不变量；3）写出C 和B的特征方程，并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和αl)3,2,1(=α。
2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e，有一物体的小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u-+++--=，试求：（1）P （0，2，-1）点的小应变张量e ，小转动张量Ω 及其反偶矢量ω； （2）求P 点在9/)48(321e e e+-=ν方向上的线应变；（3）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e-+=μ二方向上的直角的变化量。
连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。
连续介质力学作业（第一章）习题1. 向量~~~~k z j y i x a ++=。
~i ，~j ，~k 表示三维空间中标准正交基。
给定一组协变基~~12i g =，~~~2j i g +=，~~~3k j g +=。
（1）求逆变基1g ，2g ，3g 。
（2）求ij g（3）向量~a 参考逆变基~1g ，~2g ，~3g 表示时，~~i i g a a =，求i a 。
（1）[]222~~~~~~~~~3~2~1= +•= +• +×=• ×=k j k k j j i i g g g g+−=+× += ×=~~~~~~~~3~2~121211i j k k j j i g g g g~~~~~~1~3~22211j k i k j g g g g +−= × += ×=~~~~~2~1~32211k j i i g g gg =+×= ×=(2) g ij =gg ii ⋅gg jj �g ij �=�3/4−11/2−12−11/2−11�(3)a i =aa ⋅gg ii a 1=2x,a 2=x +y,a 3=y +z2. 已知笛卡尔坐标系331e e e ,,，一个新的坐标系定义为−−−= ′′′32132161312161312162310e e e e e e 向量321e e e x 321x x x ++=，给定函数2321x x )f(−=x 。
（1） 求函数f 的梯度）（f grad（2） 求向量x 参考新坐标系的表示形式i ′′=e x i x（3） 求函数f 在新的坐标系下的表达形式),,(321′′′′x x x f （4） 判断）（f grad 的客观性。
3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值6.11=σλ，3.22=σλ。
主方向2112123e e N −=，2122321e e N +=。
《连续介质⼒学》期末复习提纲--弹性波理论部分<连续介质⼒学> 期末复习提纲—弹性波理论部分1、⽆界线弹性体中的波传播（1）Helmholtz 定理 a. 定理内容b. 位移场的分解---⽆旋部分与⽆散部分(1)(2u u u =+ ，其中(1)0u ??= ，(2)0u ??=c. 转动向量与体积膨胀率的位移场表⽰(2)21122u ωψ=??=-?， (1)2u θφ=??=?（2）⽆界线弹性体中的P 波与S 波a. 体积膨胀率与转动向量满⾜的波动⽅程（★）2212211112,f c c c λµθθρ+?+??==222222211,2f c c c µωωρ+==b. Helmholtz 势满⾜的波动⽅程222222221211,b B c t c tφφφψ+=?+=??c. 位移场⽆旋部分与⽆散部分满⾜的波动⽅程2(1)(1)2(2)(2)221211,u b u u B u c c ?+?=?+??= d. 纵波与横波的相速度及其⽐值（★）21121221222)21c c c c c c c c ν??=- ===??=-??2、⽆界线弹性体中的平⾯波（1）波阵⾯、平⾯波与球⾯波（2）⼀般平⾯波及其描述（★）a. ⼀般平⾯波位移场的形式（★）(,)()u x t f x n ct d =?-b. 纵横波满⾜的条件及相速度公式（★）20()()()0d n n d c c P wave S wavec d n d n µρλµ?=±?=---++?=c. ⼀般平⾯波的能量密度与能通量密度向量（★）①平⾯纵波的情况（★）能量密度：[][][]222211112211112211()()22()p ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=?-+?-'=?- 能通量密度向量：[]2311()p ij i j ue n cf x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系： 1p p c n ?ε=②平⾯横波的情况（★）能量密度：[][][]222221212221112211()()22()s ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=-+-'=- 能通量密度向量：[]2321()s ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系： 2s s c n ?ε=（2）平⾯简谐波及其描述（★） a. 描述平⾯简谐波的物理量（★） kc ω=，2T πω=，12T ωαπ==，22c cT kππωΛ===2k n n c ωπ==Λ， 222i i k k k k k c ω?===A c T k k x n -ct k ωα--Λ-?振幅 -相速度周期-波数-圆频率波长()-相位-频率-波数向量b. 平⾯简谐波的位移场形式（★）[]()()c o s ()R e R e i k x n c ti k x tu A d k x n c t A d e A d e ω?-?-=?-??c. 平⾯简谐波的能量密度与能通量密度向量及波的强度（★）①平⾯简谐纵波的情形（★）能量密度：1122p ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量：p ij i j u e ?τ=-⼆者的关系： 1p p c n ?ε=平⾯简谐纵波的强度：1T pp dt T ??=?②平⾯简谐横波的情形（★）能量密度：1122s ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量：s ij i j ue ?τ=-⼆者的关系： 2s s c n ?ε=平⾯简谐横波的强度：01T s s dt T=d. ⾮均匀平⾯简谐波位移场满⾜的条件（★）''()k x i k x t u Ade e ω'-??-=?2220k k kk k c k k ω?''''''?-?=='''?=?e. ⾮均匀平⾯简谐波的传播特征。
