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1．如图所示，有一块木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为M=4kg ，长为L=1.4m ；木板右端放着一小滑块，小滑块质量为m=1kg ，其尺寸小于L 。
小滑块与木板之间的动摩擦因数为μ==04102.(/)g m s（1）现用恒力F 作用在木板M 上，为了使得m 能从M 上面滑落下来，问：F 大小的范围是什么？（2）其它条件不变，若恒力F=22.8牛顿，且始终作用在M 上，最终使得m 能从M 上面滑落下来。
问：m 在M 上面滑动的时间是多大？2.如图所示，平板车B 的质量为3.0kg ，以4.0m/s 的速度在光滑水平面上向右运动．质量为1.0kg 的物体A 被轻放到车的右端，设物体与车上表面间的动摩擦因数为0.25．求：①如果平板车足够长，那么平板车最终速度多大？物体在车上滑动的时间是多少？ ②要使物体不从车上掉下，车至少要有多长？3、如图3-29所示，质量M=8Kg 的小车放在水平光滑的平面上，在小车右端加一水平恒力F ，F=8N ，当小车向右运动的速度达到1.5m/s 时，在小车前端轻轻放上一个大小不s 计，质量为m=2kg 的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长，求从小物块放上开始经过t=1.5s ，小物块通过的位移大上为多少？(取g=10m/s 2)4．如图所示，光滑水平面上的长L 为木板以恒定速度v 0向右运动，将一个质量为m 、长度也是L 金属板与木板左右对齐轻放于木板上，。
金属板与木板间动摩擦因数为μ。
求：⑴为保证金属板不能从木板上掉下，木板的速度v 0应满足什么条件？⑵保持木板匀速运动外力对木板所做功是多少？ 5.如图所示，质量为m=5kg 的长木板放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为m=5kg 的物块A 。
木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2=0.2。
现用一水平力F=60N 作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t=1s ，撤去拉力。
高三物理连接体试题答案及解析1.（13分）如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=1.0kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ=0.25，且与台阶边缘O点的距离s=5m．在台阶右侧固定了一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R=m，今以O点为原点建立平面直角坐标系。
现用F=5N的水平恒力拉动小物块，已知重力加速度．（1）为使小物块不能击中挡板，求拉力F作用的最长时间；（2）若小物块在水平台阶上运动时，水平恒力一直作用在小物块上，当小物块过O点时撤去拉力，求小物块击中挡板上的位置的坐标．【答案】（1）；（2）x=5m，y=5m【解析】（1）为使小物块不会击中挡板，拉力F作用最长时间t时，小物块刚好运动到O点．由牛顿第二定律得：（1分）解得：（1分）减速运动时的加速度大小为：（1分）由运动学公式得：（1分）而（1分）解得：（1分）（2）水平恒力一直作用在小物块上，由运动学公式有：（1分）解得小物块到达O点时的速度为：（1分）小物块过O点后做平抛运动．水平方向：（1分）竖直方向：（1分）又（2分）解得位置坐标为：x=5m，y=5m （1分）【考点】牛顿第二定律，平抛运动2.（16分）电磁感应现象是电磁学中最重大的发现之一，它揭示了电、磁现象之间的本质联系。
电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即，这就是法拉第电磁感应定律。
（1）如图所示，把矩形线框abcd放在磁感应强度为B的匀强磁场里，线框平面跟磁感线垂直。
设线框可动部分ab的长度为L，它以速度v向右匀速运动。
请根据法拉第电磁感应定律推导出闭合电路的感应电动势E=BLv。
（2）两根足够长的光滑直金属导轨平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L。
两导轨间接有阻值为R的电阻。
一根质量为m的均匀直金属杆MN放在两导轨上，并与导轨垂直。
整套装置处于磁感应强度为B匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。
导轨和金属杆的电阻可忽略。
让金属杆MN由静止沿导轨开始下滑。
2 二阶张量及其若干运算法则(一) 概念、理论和公式提要2-1 张量的乘法① 张量的外乘(并乘) 张量的外乘用⊗表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘(点乘) 张量的点乘用“·”表示(有时也可省去“·”)，其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“∶”(两次点乘)，例如B A∶；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设)(CT )(CT )(CT p n m 为，为，为C B A ，则)42(CT ⨯-++=p n m 为，∶∶D D C B A (2-1-1) 取)2(CT 244为，则，，D ===p n m ，其分量为rp mnrp ijmn ij C B A D = (2-1-2)其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分量的前两个指标依次相同。
④ 二阶张量ij ij T T =T T T T ∶，定义为的范数记为为正方根，且有时才取等号只当，o T T =≥0 (2-1-3) 的绝对值为标量，ααααT T = (2-1-4) R T R T +≤+ (2-1-5) R T R T ⋅≤∶ (2-1-6) a T a T ≤⋅ (2-1-7)R a a 的模，为矢量亦为二阶张量。
⑤ 设C B A B A 次缩拼为张量外积的和，则和分是是和s t r )(CT )(CT ，记为C B A =⊗s C)2(s t r -+为C 阶张量，其分量关系为mn k k k k k k ij mn ij s s B A C 2121= (2-1-8)反之，如果已知C B 和为张量，其分量与带指标的量 ij A 满足上式，则 ij A 为张量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于s 2的阶数加C ，减去B 的阶数。
特别地当B ，t s =的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和C 的阶数之和。
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。
第一章 连续体力学思考题1-1 在固体的形变中，弹性模量是一个重要的参数。
杨氏模量的物理意义是什么？答：对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成正比。
在拉伸应变中l l Y∆＝拉σ 其中，比例系数Y 称为杨氏模量。
弹性模量实际上反映了材料对形变的抵抗能力。
在拉伸应变中，杨氏模量反映了材料对拉伸形变的抵抗能力。
1-2 生物材料的应力～应变关系与一般固体的应力～应变关系有什么不同？答：晶体材料的原子排列很有规则，原子间的键合比较紧密，可以产生较大的应力，杨氏模量一般较高；而生物材料绝大多数是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱。
当受到外力拉伸时，不仅生物材料的分子本身可以伸长，而且分子之间也容易发生滑动，杨氏模量相对较小。
1-3 液体的表面张力与橡胶弹性膜的收缩力有什么不同？答：前者来源于分子间的吸引力，后者来源于分子的形变；前者只存在于液体表面，后者存在于发生应变的弹性膜的整个横截面上。
1-4 图1-1中表示土壤中的悬着水，其上、下两液面都与大气接触。
已知 上、下液面的曲率半径分别为A R 和B R (B R >A R )，水的表面张力系数为γ，密度为ρ。
问悬着水高度h 为多大？解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。
对上液面应用拉普拉斯公式，得AA R p p γ20=- 对下液面使用拉普拉斯公式，得 BB 02R p p γ=- 图1-1 土壤中的悬着水 又因为gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 112R R g h ργ1-5 在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。
试解释这种现象的成因。
答：由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。
2125 连续介质热力学(一) 概念、理论和公式提要连续介质热力学或热力学(thermo-mochanics)是连续介质力学和经典热力学的交叉或结合，是本世纪50年代开始发展起来的。
连续介质热力学为连续介质力学提供了更为坚实的理论基础。
5-1 基本概念(1) 能量贬值原理 孤立系统在自身变化过程中，有效作功能(有序能)不会增加，非作功能(无序能)不会减少，称为能量贬值原理。
有效作功能减少表示系统的能量品质蜕化，系统自身产生了耗散机制，过程不可逆，有能量耗散。
能量品质不变的过程为可逆过程。
(2) 熵 熵是反映不可逆过程的量，可看作是系统微观无序度的一种量度。
系统的熵发生变化来自两个方面：(a)根据能量贬值原理，系统在变化过程中，由于产生了耗散机制，无序能是有增无减的，与此对应的熵增记作0d )(≥i S ，称为熵产或熵生成，或内部熵增，且0d )(≥i S ；这表明在孤立系统中熵只能产生，不能消失，这是一个普遍的客观规律。
(b)系统在与外界进行能量交流时，非作功能发生迁移，与之相对应的熵增长率是可变动的，可增可减的，记r S d ，称为熵供、熵流或外部熵增。
系统的总熵增S d 为)()(d d d r i S S S += (5-1-1)且有)()(d d 0d r i S S S ≥≥，(5-1-2)上式称为Clausius-Duhem 不等式或熵不等式，或经典热力学第二定律。
熵是状态函数，)()(r i S S 和不是状态函数，且有θQS r d d )(= (5-1-3)0)(d >θθ，绝对温度是热力学温标是系统的热增量，Q 。
213(3) 状态变量 内变量确定或描述系统的状态所必需的(但不一定是充分的)参量总称为状态变量，其中彼此独立的状态变量称为基本状态变量，有时简称为状态变量。
基本状态变量是客观实体，具有可测量性。
其余的状态变量可表示为基本状态变量的函数，称为状态函数。
在热力学系统中，一般将ε(设为小变形)和绝对温度θ作为(基本)状态变量。
各状态变量之间的关系称为本构方程或状态方程。
对于不可逆过程，基本状态变量的现时值不足以确定或描述系统的现时状态，需要引入能以反映物质自身组织结构不可逆变化的一组参数。
称为内变量，记作 ，，，21=ααq 。
内变量不一定能观测、但是独立存在的。
内变量可以是张量，例如塑性应变张量，粘性应变张量等，也可以是标量，例如强化参量、相变程度、位错密度、损伤积累程度等。
这里存在一个公理：恒存在一个由基本状态变量和内变量组成的完整集合，这个集合的现时值可唯一确定系统当前的不可逆热-力学状态。
5-2 热力学第一定律及其推论 热力学第一定律可表示为Q L K Ue +=+)( (5-2-1) 式中⎰⎰==v u v u tU d d D D ρρ (5-2-2) ⎰⎰==v v t K d d 21D D v v vv ρρ (5-2-3) ⎰⎰-=s v Q d d hn ργ (5-2-4) ⎰⎰+=s v L e d d )(vTn fv ρ (5-2-5)K U、分别是系统的总内能和总动能的时间导数，Q 是外界对系统的供热率，)(e L 为施加系统的外功率；γ为单位时间由外界提供给单位质量的热量，h 为单位时间流经单位面积的热流矢，n 为系统边界的法向单位矢。
此处及今后都省去了积分区或R R ∂和。
214将式(5-2-2)~(5-2-5)代入(5-2-1)，并应用Green 公式，得到⎰⎰++=+∶T fv vv ργρρ(d )(v u v d )h vT ∇-∇+ε(5-2-6) 此处已用到小变形时ε ≈D 。
再应用动量守恒方程⎰⎰∇+=v v d )(d T f v ρρ ，式 (5-2-6)简化为⎰⎰=∶T (d v uρε v d )h ∇-+ργ (5-2-7) 其局部形式为∶T =uρε ∶T h =∇-+ργε *Q + (5-2-8) 上式是热力学第一定律的局部形式，式中h ∇-=ργ*Q(5-2-9) 是单位时间单位体积的热供。
按式(5-1-1)、(5-1-3)，有0)()()(≥+=i i r ss s s， (5-2-10) )()(*i r s s s Qρθρθρθ-== (5-2-11) 此处)()(r i s s s、、分别是单位质量的熵变率、熵产率、熵供率。
于是式(5-2-8)可写成∶T ε )(i s s u ρθρθρ+-= (5-2-12) 上式表明)(i sρθ具有功率的性质。
在不可逆过程中，(u u =ε)αθq 、、，(s s =εαααααθqQ q Q q 的内力，为对应于；记、、)为内力功率。
现设 )()()()(d q d q Q Q Q ααα+=+=，T T T (5-2-13)角标“q ”和“d ”分别表示“准保守”(可逆)和“耗散”(不可逆)部分。
将εε∶∂∂=uuααθθq q u u ∂∂+∂∂+ εε∶∂∂=ssααθθq q s ∂∂+∂∂+代入式(5-2-12)，得到=ε∶T ρεεθε ∶)(∂∂-∂∂su215)()()(i ss u q q s q uρθθθθθρθρααα+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+ (5-2-214) 上式对任何过程都成立，对于o =ε及0=αq (纯加热或冷却过程)的特殊情况，上式变为)()(0i ss uρθθθθθρ+∂∂-∂∂= 上式右侧θθρθ 为状态函数，与可正可负，括号中的量，而0)(≥i s无关。
因此上式要求0=∂∂-∂∂θθθsu 于是式(5-2-14)简化为=ε∶T ρ-∂∂εu(θεε ∶)∂∂s )()(i s q q s q u ρθθρααα+∂∂-∂∂+ (5-2-15) 上式中)(i sρθ是耗散功率，可将其写成 ∶)()(d i sT = ρθε 0)()()(21≥+=+d d q L L q Q αα (5-2-16) 将上式及式(5-2-13)代入式(5-2-15)，可以得到 ρ=)(q T -∂∂εu(θ)ε∂∂s (5-2-17)这解释了)(q T 为准保守应力的原由。
类似地定义)()(αααθρq sq u Q q ∂∂-∂∂= (5-2-18) )(q Q α称为准保守内力。
于是式(5-2-15)可写成εε∶∶)()()(d q T T T +=αααq Q Q d q )()()(++ 上式表明0)()()(=+=αααααqQ Q q Q d q (5-2-19) 我们考虑}{}{ααqQ 与正交的情况，则上式要求 )()(d q Q Q αα-= (5-2-20)引入单位质量的自由能ψs u θψ-= (5-2-21)216对上式求物质导数，得θθψs s u --= (5-2-22) 其中(ψψ=εαααψθθψεεψψθq q q ∂∂+∂∂+∂∂=∶，，，) (u u =ε=uq ，，，)αθεε∶∂∂uααθθq q u u ∂∂+∂∂+ 将上两式代入式(5-2-22)，并注意到式(5-2-17)、(5-2-18)及0=∂∂-∂∂θθθsu ，得到 ρεεψ ∶∂∂∶)(q q q T =∂∂+∂∂+θθψρψραα ε θραα s q Q q -+)( (5-2-23) 由上式易得ρ=)(q T εψ∂∂ijq ij εψρσ∂∂=)(， (5-2-24)θψ∂∂-=s (5-2-25) )()(d q Q q Q αααψρ-=∂∂= (5-2-26) 上式表明()()(ψψα=都有势和q q Q T ε)αθq ，，，这可说明“准保守力”一词的由来。
式(5-2-23)也可写成∶)(q T =ψρ ε θραα s q Q q -+)( (5-2-27) 将式(5-2-22)代入上式，又可得到∶)(q uT = ρε s q Q q ρθαα++)( (5-2-28) 上式表明，u 也可以是ε、θθ和的函数，亦即和s s 可分别作为基本状态变量和状态函数。
由式(5-2-28)又可得到217⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=)()()()(s q u u su q u Q u u q ij q ij q 、、，αααεθρερσερT (5-2-29)在等温)0()0(==αθq 及内变量不变的情况下，式(5-2-27)简化为 ∶)(q T =ψρ ε (5-2-30) 上式表明，在等温及内变量不变的情况下，自由能具有可恢复(可回收)的有序能的物理含义；由于)(q T 是准保守应力或可逆应力，所以有⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰0d d )()2()1()(εεψρ∶∶△q q TT (5-2-31) 因此自由能可作为系统所具有的有效作功能的一种量度。
类似地，在等熵)0(=s及内变量不变的情况下，由式(5-2-28)可得 ⎰)2()1()(d ∶△q u T ρε， ⎰=0d )(ε∶q T (5-2-32)单位体积的耗散功率，且有∶)()()(21d d d L L T =+ε ()(ϕαα=+q Q q ε，、、αθq ε0)≥αθq 、、 (5-2-33) 0≥ϕϕ位体积的耗散函数，且不是状态函数，称为单。
5-3 热力学第二定律按式(5-1-1)，系统的总熵率不小于总熵供率0)()(≥≥i r S S S， (5-3-1) 这是经典热力学第二定律或熵不等式，这是从能量贬值原理导出的，从而能量贬值原理又称为熵增加原理。
此处⎰⎰==v s v s tS d d D D ρρ (5-3-2) ⎰⎰==v s v s tS i i i d d D D )()()( ρρ (5-3-3)218⎰⎰⎰∇-∇+=-=v s v S r d ))((d d 2)(θθθθγρθρθγρh h hn (5-3-4) 根据0)()(≥-=r i S S S，可得热力学第二定律的总体形式 ⎰⎰≥∇-∇+-=0d ))((d 2)(v s v s i θθθθγρρρh h (5-3-5) 上式的局部形式为0)(2)(≥∇-∇+-=θθθθγρρρh h s si (5-3-6) 上式为热力学第二定律的局部形式。
应用式(5-2-8)消去h ∇+-ργ，得到∶∶T ==)(i sρθδε 0≥∇-+-θθρθρhs u (5-3-7) δ称为比耗散函数，是单位体积的耗散功率。
将式(5-2-22)代入上式消去u，得到 ∶T ==)(i sρθδε 0≥∇---θθθρψρh s (5-3-8) 再将式(5-2-27)代入消去)()()(d q d (q)Q Q ααψ-=+=，，及T T T ，得到∶)()(d i s T == ρθδε 0)(≥∇-+θθααh qQ d (5-3-9) 上式表明，能量耗散来源于：耗散应力)(d T 作功、内变量变化)0(≠αq及热交换等三个方面，其中前两项之和称为内禀耗散，记作Λ；第三项为热流耗散。
