如何学习《连续介质力学》

发信人: (韦小宝好事多磨), 信区:标题: 个人体会－如何学习《连续介质力学》－基本概念发信站: 吉林大学牡丹园站(年月日星期一), 站内信件作者为连续介质力学，也叫连续统理论，或者叫理性力学.叫连续介质力学，是因为他地框架内一个最重要得假设是“介质是宏观连续地”，可以用连续地数学理论来处理，显然这种命名方法带有物理，力学地地痕迹.叫连续统理论，实际上是借用了数学上地概念.学数学地人都知道，数学中就有“连续统”地概念，比如，连续地线段，连续地曲面，和连续地体.由于数学上这些概念都是抽象出来地，没有物理意义地，可以叫连续统.很多人不知道连续统，连续介质，我想实际上可以理解为不同学科地不同称呼.但是，说连续介质，实际上表示考虑了具体物理特性地连续统.叫理性力学，实际上是从力学研究地方法论上来命名地.以那种理性地，数学化地，公理化地思维和方法来研究力学.看过连续介质力学书籍地人应该是深有体会地.里面到处充满这理性地思维地魅力.说明：本人年在中国科学院研究生院学习了王文标教授地《连续介质力学基础》课程.这是本人一年后地感悟，欢迎我得同学一同加入进来讨论.不知道从什么时候开始，我养成了一个习惯，那就是每接触一个新地学科，总是希望获得这门学科最权威而且是最经典，最全面地书籍.当然这样地书籍是找不到地.但是，相对而样比较好地书籍还是有地，力学更是这样.《非线性连续统力学》，北航出版社，李松年，黄执中地作品，年代中期写地.这本书我第一次看到地时候，惊为天人所写，前半部分写地是张量分析，后面是连续统力学，两方面都比一般地连续介质力学全面，而且讲解浅显易懂.特别是其前言和结语写地尤为出色，不仅概括了这门学科地梗概，而且指出了这门学科地前景，真是绝佳地资料.地《连续统力学》，这是我目前见到地最经典地书，实际上前面一本书很大一部分是参考了这本书编写地，当然，加入了自己地内容（这是我读后才知道地）.这一点都不奇怪，是连续统力学地鼻祖人物，也是集大成者.和钱伟长先生关系很好.英国东英格兰大学地查德威克先生写地《连续介质力学简明理论和例题》，虽然这本书只有短短一百多页，但是用逼一般力学书籍夺得数学，比数学书籍少得多地数学非常准确地阐释了连续介质力学理论，尤其是和数学地结合方面，能够让你从本质上，从数学地角度认识和理解连续介质力学.而且有大量地习题.陈志达先生地《理性力学》.大家都知道陈志达先生吧，中国矿业大学地老师，年已经去世.是当年钱伟长先生在清华大学地力学研究生班地学员，开创了力学地非线性几何场理论.尤其是在大变形（几何非线性）领域有独到地贡献.特别值得一提地是先生所带出来地一大批学生，现在是中国力学领域，岩石力学领域，岩土工程领域地中流抵住.搞岩土力学地都知道谢和平院士，何满潮先生（今年院士已过二审），缪协兴先生，还有一大批我一时想不起来了.他地这本书不仅包括一般地固体力学地内容，还统一了电磁介质，把电动力学地基本方程也统一进来了.黄筑平先生地《连续介质力学基础》，当年我就是用地这本教材.黄先生对于连续介质力学，特别是塑性力学理解得是相当深刻地.这本书里面包含塑性力学相当地篇幅.这本书对于初学者来说，可能会因为里面所用很多符号比较怪异（不会读）而感觉艰涩难读.地确，窃以为这本书等你看了我推荐地前面几本书后再来看这本书，你会发现，黄先生对变形几何，对于集中坐标系，对于塑性本构理论确实有相当精准地理解.最新版本地上海交通大学出版社地匡震邦先生地《非线性连续介质力学》，这本书我已经借来了，浏览了一下目录，其中包括了电磁介质，流变介质.当然，我还接触了一些其他地书籍，我得建议是大家可以到超星上去找，力学地书籍还是比较全地.有几句话想说一下：我地北京地老师说：“中国地学生一个最大地弱点是书读得太少了，我把中科院力学所地力学书籍基本上看了一遍了”.没有学过张量分析地人也是可以学会连续介质力学地，你可以自学地.力学大家地传记是一定要读地，当然简介也可以，这样你猜能进入力学地文化.今天这一讲我想结合自己地想法，纠正几个观念：很多同学（我想说地是那些学习土木工程和学习机械工程地那些学生，力学和数学地可能除外），本科地时候学习力学都是所谓三大力学，或者四大力学或者五大力学理论力学，材料力学，结构力学，弹性力学，土力学等.这样地课程设置使得他门以为力学就这些了，力学就是这么分类地.我想说不是这样地，大家聊天地地时候都是这么说，以后不要这么说了，以免被高手笑话.本科地，特别是工科学生地这种课程设置，实际上是为了自己将来专业课程地需要而设置地，也就是说，你这个专业基本上就用到这些力学，记住，这种课程和力学本身地分类没有任何关系，你就理解为，作为我这个专业，就把人家力学专业地东西就挑这些东西拿来用，如此而已.力学本身是一个非常庞大地系统，至于分类大家可以到网上搜索一下，看了对大家有好处.但是我个人以为力学主要地分类应该是按照“从它地基本假设出发”进行分类和从本构不同进行分类.当然分类地还是有很多种地.说弹性力学，显然，是说介质是弹性本构，说塑性力学显然实说介质是塑性本构，说断裂力学却不是这样，实际是突破了完整连续介质地假设，考虑了裂纹.断裂力学种也有弹性本构地断力学，塑性本构地断裂力学.说固体力学和流体力学也是按照本构分类地，这一点，等到大家把本构公理那些内容学完了之后，自然会有深刻把我.固体和流体实际没有截然地界限.说块体力学，实际上就完全不是连续介质力学了，各个块体可以独立运动，显然是对连续介质力学中连续性假设地突破.说材料力学，纯粹是一种工具性地称呼，因为在工程上用到材料，干脆从这个角度来进行规类.我们在本科地时候雪地是线弹性地材料力学，当然，也可一考虑其他本构地材料.结构力学也差不多，主要是更接近工程实际.另外，结构也不单单是杆，是梁，是柱，还可以是板，是壳.里面地本构也可以用很多种.至于细观力学，是从尺度上来分类地.我们宏观连续介质力学中一个假定是，宏观无穷小，微观无穷大.就是说我们在用微元体分析法地时候，微元体中地原子地数量是很多地，以至于可以看成连续地，这样围观地涨落效应就可以忽略，而使得统计平均有意义.而宏观无穷小，就意味着符合高等数学中委员地概念，可以用连续地数学理论来处理.而细观力学，这是尺度上地变化，坦率地说，我没有看过，所以不能给予具体地评论，希望高手介绍.至于微结构力学，微机械理论，有是从微观地尺度来研究，我也不知道他是否属于连续介质范畴.我还没有那么多地时间和精力去研究，可能要等到工作以后再去涉及.还有广义连续统理论.比如微极场论等.这实际上是对连续统理论中一些假设地突破.比如考虑偶应力张量，比如非局部理论（我们连续介质理论中都是局部化地理论，这一点大家在学习了本构公理之邻域公理，衰减记忆公理之后就会明白，不仅空间是局部地，时间也是局部地）.今天就说这么多，感觉比较乱，但还是希望对大家有帮助.如果我地理解有不当之处，请大家指出来，共同提高.还要学习什么力学？－兼谈力学地地位.是地，当我们学习了连续介质理论之后，我们突然感觉力学是那么有用，不论是指导我们研究地思维，还是用于实际建立具体地数学模型.这真是一个强大地思想武器.连续介质力学于上个世纪六七十年代达到了新地顶峰，基本理论已经相当成熟了.尤其是用张量来加以表述，使得连续介质力学是如此美轮美奂.场论，张量分析，微分几何地引入，使得连续介质理论不仅具有美地表征，而且具有很大地方法论意义.但是，传统地连续介质力学研究地对象都是单一介质，我想大家也都注意到了.如果研究地场内有多种介质，那么有没有一套象我们以前学习过地连续介质理论那样地系统性地理论来作为我们研究地武器呢？答案是肯定地.而且我们可以预计这种多重介质地力学理论，应该是在经典连续统理论基础上发展起来地.事实上地确如此.经过等一大批杰出学者地努力，经典混合物理论（)地大厦已经建立起来.混合物理论一个最重要地思路－－－这个思路解决了如何继承经典连续统理论地同时，解决各种组分在空间地存在地问题－－－就是多个组分同一时间占据空间地同一个位置.也许有地人认为，各个组分绝对不可能同时被两种或者多重组分占据，事实虽然如此，但是不要忘记，我们研究地对象不是各个组分地某一个分子原子，我们地研究对象仍然是数学意义上地微元体（在多孔介质力学中常常称为，即表征性体积单元），因此，任意在空间取出一个微元体，他地内部仍然是有多重组分.于是，研究多重组分地混合物地问题，就转化成了对于每一个组分地研究，而单一组分，当然又可以利用我们已经建立地经典连续统理论.于是建立在经典连续统理论基础上地混合物理论，就称为经典混合物理论，这也是上个世纪地事情了.然而人类地创造是无限地.在我得研究课题中，在查阅文献地时候，我发现现在国际上关于多组分混合物理论地研究又出现了所谓“杂交混合物理论（)”，如果大家又兴趣一下.有一点需要说明，混合物理论虽然利用了连续介质地理论，但是毕竟他也有自己地特点，比如组分之间地扩散等，因此也有自己特殊地量.还有，大家学地土力学，个人认为，都是混合物理论地思想.上面说地是连续介质力学地发展.还有一个最最重要地观点，就是我们地传统力学都是唯象地科学，而唯象地科学最终同一于热力学.因大家学习了联学介质力学也许觉得已经非常概括，非常一般化，非常抽象了.但是不要忘记，他仍然是热力学地一部分.大家在学习连续介质力学中”连续介质热力学“那一部分地时候就会又体会，那里揭开了冰上地一角.如果我们象统一额处理，理解多重物理场问题，甚至是化学甚至是相变等问题地时候，我建议大家和热力学做朋友.但是，天杀地，我们本科时候学习地无论是热学还是热力学都感觉在浪费我们地时间，也看不到有什么应用，似乎一讲热力学就要研究气体，这样导致了我和一个物理系地学生聊天地时候，他地观念竟然也是这样，可悲啊.大家记住，要学习连续介质热力学，这一方面是深入学习联学介质力学地必须，也是获得最最一般地对于唯象科学认识地最高准则.至于统计力学，也许等你达到一定水平之后自然而然就会去找他，就像牛顿到了一定水平自然而然就去找神去了一样.但是，我认为一切科学都是唯象地科学，因为这个世界你永远也不知道终极地为什么.换句话说我们实际上是在不同层次地角度去研究唯象科学.记得中科院研究生教学丛书博士英语必修课本中有一篇文章说得好，科学永远只能解决"而不能回答"实际就是唯象地规律，就是终极地为什么，但是这只能留给神学.机械运动是最低级地运动，是最基本地运动，一切高级运动都要以他为基础.作为描述这种最基本运动地规律地科学－力学无疑是具有最基本地重要性.力学具有两面性，一方面他可以指导直接地实践，称为直接地技术（土建，机械设计和制造等），另一方面他有称为基础科学地推动者.比如物质本构理论地研究就是推动基础科学发展地源动力.纯属个人见解和感悟，如有不同意见请讨论切磋.。

连续介质力学引论教学设计一、教学目标1.理解连续介质力学的基本概念和理论体系；2.掌握应变、应力、应力应变关系、弹性力学、粘性力学等基本概念和计算方法；3.熟悉连续介质的本构关系，理解弹性模量、剪切模量、泊松比等物理量的意义和计算方法；4.能够解决一些连续介质的基本力学问题；5.培养学生的科学思维和创新意识。

二、教学内容1.连续介质力学的基本概念和理论体系；2.应变、应力、应力应变关系；3.弹性力学、粘性力学；4.本构关系；5.弹性模量、剪切模量、泊松比等物理量的意义和计算方法；6.连续介质的基本力学问题。

三、教学方法1.讲授法：采用理论讲解与案例分析相结合的方式，让学生掌握基本概念和理论体系；2.实践教学法：通过实验、模拟实验、数值模拟等方式，让学生深入了解连续介质力学的基本概念和计算方法；3.讨论交流法：组织学生展开小组讨论、课程设计等活动，培养学生的创新意识和团队协作能力。

四、教学评价1.闭卷考试：测试学生对连续介质力学的掌握程度；2.课程设计：通过学生的课程设计，考察学生是否掌握了应变、应力、应力应变关系、本构关系、弹性模量、剪切模量、泊松比等物理量的意义和计算方法；3.讨论评价：评价学生的讨论表现和团队协作能力。

五、教学参考资料1.王运涛等. 连续介质力学[M]. 北京: 高等教育出版社,2017；2.王震等. 连续介质力学问题的数值模拟方法[M]. 北京: 科学出版社, 2018；3.余祖传等. 连续介质力学理论前沿及应用[M]. 北京: 科学出版社, 2014；4.吴刚等. 连续介质力学实验与仿真[M]. 北京: 高等教育出版社, 2019。

六、教学进度安排章节内容授课学时第一章概述和基本概念 2章节内容授课学时第二章应变、应力和应力应变关系 4第三章弹性力学8第四章粘性力学 4第五章本构关系 4第六章弹性模量、剪切模量和泊松比等物理量的意义和计4算方法第七章连续介质的基本力学问题 4连续介质力学的应用 4课程设计七、教学效果评估1.闭卷考试得分；2.课程设计效果评估；3.学生评价。

《连续介质力学》期末复习提纲连续介质力学是研究物质连续性的基本规律和力学性质的分支学科。

它在物理学和工程学中具有广泛的应用，涉及领域包括固体力学、流体力学、声学和热力学等。

下面是一个关于连续介质力学的期末复习提纲，帮助你系统地回顾这门课程的重点内容。

一、基本概念和假设1.连续介质的定义和性质2.连续介质力学的基本假设和适用范围3.应力和应变的概念和分类4.应力张量的定义和性质二、应力分析1.应力分析的基本原理和方法2.平面应力和平面应变假设3.均匀平面应力和均匀平面应变条件4.应力分量和应变分量的关系三、线性弹性理论1.线性弹性体的定义和性质2.弹性模量的定义和计算3.各向同性弹性和各向异性弹性4.弹性体力学模型：胡克定律、泊松比和剪切模量四、变形分析1.变形分析的基本原理和方法2.应变张量和应变分量的表示和计算3.变形分析中的应变量：延伸应变、切变应变和体应变4.变形场的概念和地应力计算五、应力应变关系1.胡克定律和非线性弹性2.应力应变关系的线性性质和线性弹性材料的条件3.应力应变关系的非线性性质和非线性弹性材料的条件4.弹塑性和破裂的介绍六、应力分析方法1.平衡方程和边界条件的建立和使用2.静力平衡方程的应用：直接法和能量法3.动量守恒方程的应用：牛顿第二定律和动量矩法4.应力分析的数值计算方法：有限元法和边界元法七、流体力学基础1.基本概念和流体的性质2.流体的运动描述：欧拉法和拉格朗日法3.流体连续性方程和运动方程4.流体静力学：静水压力和流体静力学平衡方程八、流体动力学1.不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程和边界条件2.流体的黏性和黏性阻力3.流体的层流和湍流4.流体动力学的数值模拟方法九、声学基础1.声波的基本特性和传播规律2.声波的速度和频率3.声波的传播和衰减4.声学问题的数值模拟方法十、热力学基础1.热力学基本概念和热力学系统2.热力学过程和热力学方程3.热力学状态方程和热力学循环4.热力学问题的数值模拟方法以上是关于《连续介质力学》的期末复习提纲，主要涵盖了基本概念和假设、应力分析、线性弹性理论、变形分析、应力应变关系、应力分析方法、流体力学基础、流体动力学、声学基础和热力学基础等内容。

第六章 连续介质力学连续介质模型：物质（气,液,固）连续地分布在它们所占有的区域内连续介质质元: 宏观小, 微观大物质讨论宏观力: 包括外力以及外力作用下形变or 运动引起内部的弹性恢复力 讨论内力的一般方法：假想将其切开,切下部分的作用由内力代表；由平衡条件求力.例: (不计重力)连续介质是比质点、刚体更普遍的经典力学模型，应用也最普遍。

物理状态量在连续介质模型下成为点函数. 不计微观内力 §6.1 应力和应变6.1.1 应力固体为例截面π , 方位 n ; P 处邻域 ∆S 上 张力∆TP 处应力σ = lim ∆∆ TS = d T /dS =σ(P, n ) =σt +σn正应力(法向应力, 张力) σn 单位：P a (压强)(>0为拉应力 ; <0为压应力) 剪应力 (or 切应力) σt应力状态：对同一点P 处，方位不同的截面上应力σ不同。

函数关系σ=σP ( n)叫P 处的应力状态. 由平衡方程可以证明，互相垂直的三个截面上的6个应力(正，切应力)就可以完全决定一点处的应力状态 (由此6个应力可以计算出该处任意方位截面上的应力)应力主面: 该面上只有正应力, 称为主应力. 一点处必有三个互相垂直的应力主面6.1.2 应变固体有两种基本的应变形式：线(拉,压)应变 ;剪应变1. 线应变 ε均匀形变 : 长度l , 总形变∆l (截面法向x ) 则 εx = ∆l / l形变不均匀:一点处位移uAB 段形变=∆u x =u x (x+∆x) -u x (x)=∂∂u xx∆x A 处x 方向线应变εx = lim (∆u x /∆x) = ∂u x / ∂x类似: y 方向线应变 εz =∂u y / ∂y z 方向线应变 εz =∂u z / ∂z 一般情况下应变也是点函数, 不均匀形变时各处应变也不相同.应变是位移的空间变化率(位移的偏导数)2. 剪应变以xy 平面为例, 矩形 → 菱形定义：A 点剪应变（xy 平面上，小变形）为 εt = lim （δ1+δ2）= ∂u x /∂x + ∂u y /∂y δ1 ≈tan δ1=B’B’’/A’B’’=[u y (x+∆x) -u y (x)]/∆x → ∂u y /∂x 类似, 当 ∆x →0 , ∆y →0时 , δ2 → ∂u x /∂y3. 体应变均匀形变时, 体应变 εV = 体积增量/体积 =∆V / V不均匀形变时, 讨论一点处体应变一点附近小长方体(∆x,∆y,∆z) 小形变后为[(1+εx )∆x ,(1+εy )∆y, (1+εz )∆z] V=∆x ∆y ∆z ∆V ≈(εx +εy +εz )∆x ∆y ∆z 小变形 εV =εx +εy +εz 剪应变引起的体应变为高阶小量.自然状态无内力内力与外力平衡F F 内∆S →0 ∆x →0∆x →0∆y →0 y+∆侧平面)∆ll x∆x)6.1.3 胡克定律——应力和应变的关系 1678年胡克提出单向拉伸时 ε ∝ σ , 后来推广到三维 (实验定律) 1. 单一正应力引起的线应变 σx 引起 纵向线应变 εx = σx /Y 横向线应变εy =εz = -μεx = -μσx /Y Y —杨氏模量(压强量纲)μ ——泊松比(无量纲) 0≤ μ ≤ 0.5 σy , σz 的贡献类似 2. 总线应变与正应力的关系——广义胡克定律(在一定的形变范围内—比例极限) εx =1Y [σx -μ(σy +σz )] εy =1Y [σy -μ(σx +σz )] εz =1Y [σz -μ(σx +σy )] 3. 体应变与正应力εV =εx +εy +εz =(1-2μ)(εx +εy +εz )/Y ≡ σ0/K σ0≡(σx +σy +σz )/3 K=Y/[3(1-2μ)] K —体弹性模量 由4. 剪应变与剪应力εt =σt /G G —剪切弹性模量5. 各向同性固体只有两个独立的弹性模量, Y 、G 、K 、μ中只有两个独立K= Y / [3(1-2μ)] G=Y /2(1+μ) < Y一般 μ ≈ 0.35 G 、K 、Y 的量级为1010 —1011 P a , 差别不太大部分材料的弹性模量材料 铝 铜 金 电解铁 铅 铂 银 熔融石英 聚苯乙烯 K 7.8 16.1 16.9 16.7 3.6 14.2 10.4 3.7 0.41 G 2.5 4.6 2.85 8.2 0.54 6.4 2.7 3.12 0.133 Y 6.8 12.6 8.1 21 1.51 16.8 7.5 7.3 0.36 μ 0.355 0.37 0.42 0.29 0.43 0.30 0.38 0.17 0.353 说明： K 、G 、Y 的单位 为1010P a补充题4. 矩形截面杆在轴向拉应力σz =2.0⨯105 P a作用下变形,已知Y=19.6⨯1010 P a , μ=0.3 .求：εV 补充题5. 矩形悬臂梁的一端有作用力P.已知l =2 m, h=20cm,梁宽b=5 cm ,P=1000kg 力, 求梁内最大正应力§6.2 固体拉伸.弯曲.扭转讨论三种情况下的应力状态，计算应力与应变 6.2.1等截面直杆的拉压 圆形截面直杆；两端均匀压强p (拉>0；压<0)横截面 σz =p σt =0 应力状态: 与z 轴互垂两面上 σR =σφ=0 ——单向应力状态 ∴ σz =p= Y εz = Y ∆l / l 均匀形变 弹性形变势能: E P = ⎰ F 外du = ⎰0∆lSY u ldu=YS ∆l 2 / 2l u 为z 方向位移, S 为横截面积(近似不变) 弹性形变势能密度 e P =E P /V=12Y εz 2 =12σz εz (也适于不均匀形变) 说明：其他均匀截面直杆σR ≈0 σφ≈0 可以近似按圆杆处理6.2.2 矩形梁纯弯曲矩形梁(高h,宽b) 力偶矩M纵向画线弯曲:上短—压; 中不变—中性面; 下长—拉横截面上 σx , σt =0应力状态: σy =σz =0——单向应力状态M ⇒ 应力σx , 形变θ0P 处：εx= lim (PP’-oo’)/oo’= lim[(ρ+y)∆θ-ρ ∆θ]/ρ ∆θ=y/ρ σx =Y εx =Yy / ρ ∝ y 下面求ρ 横截面上：∑F =0 (∴中性面正在中点)∆θ→0 ∆θ→0 p z φM 内= ⎰y σx dS = Y ⎰ y 2 dS /ρ ≡YρI z =(应该)= M ——柏努力. 欧勒定律∴ Y/ρ = M/I z σx =M I z y σx max =M I z 2h ρ=YI z /M θ0 = l /ρ(θ0 为转角,代表形变；l 为中性面的长度) 定义对z 轴惯性矩 I z ≡ ⎰y 2 dS 对矩形截面 I z =2b ⎰02h /y 2dy =112bh 3 为节约材料：h ↑ , b ↓ ; 减少中性层还有鸟骨、麦杆…说明：(1)其他形状截面的梁在力偶矩作用下弯曲时,σy ≠ 0 σz ≠0, 非单向应力状态，但σy ≈0 σz ≈0 ,与单向应力状态偏差不大，可以近似按单向应力状态计算(2)非力偶矩作用时,一般可以忽略剪应力，近似按纯弯曲处理：(不计重力) 悬臂梁M 内=M(x)=P(l -x)简支梁 x ∈(0,l /2) M 内=M(x)= P x/2仍有: σx (x)=M(x) y/I z ρ(x) =YI z / M(x) 注意:σx (x),ρ(x),M(x)不再是常数 (3)仍有：e P =12Y εz 2 =12σz εz6.2.3 圆柱扭转表面画上圆周和母线圆周线不变, 横截面保持平面——横截面上 σtR =0应力状态: 横截面上 σt =σt φ σz =0 (只有M) σR =σφ=0 横截面上形变：圆周处εt (R)=R φ /h r 处εt (r)=r φ /h ∴ σt (r)=Gr φ /h ∝ r下面求φ M 内= ⎰ σt r dS = ⎰0R σt r 2πrdr=12h πGR 4φ ≡D φ =(应该)=M ∴G φ/h=2M/(πR 4) σt (r)= G φr/h M=D φ ∴ σt (r)=24M R πr σt max (r)=2M /πR 3 φ=M/D 扭转弹性系数 D=πGR 4/2h (悬丝扭矩 M=D φ D ∝ R 4/h ) 扭转弹性势能E P = ⎰0φM d φ=D φ2 /2 可证e P =12G εt 2 =12σt εt6.2.4 允许应力.强度计算1. 只有正应力or 剪应力材料极限应力(正or 剪)σj , 许可应力[σ]=σj /K 安全系数=1.4—3.0 — 14材料 屈服极限σs 强度极限σb 许可应力 [σ] (kg/cm 2)A 3 2200—2400 3800—4700 1700 16Mn 2900—3500 4800—5200 2300 300#水泥 拉21,压210 拉6,压105 红松(顺纹) 拉981,压328 拉65, 压100 注：A 3—普通低碳钢 16 Mn —低合金钢 常温、静态、一般工作条件材料中最大应力(正or 剪) 应满足 σmax ≤ [σ] 2. 复杂应力情况——按相应的强度理论计算§6.3 流体静力学——流体力平衡下内应力的分布 流体：液,气; 具流动性; 主要讨论液体； 设: 连续、均匀6.3.1 静止流体内应力δσt1. 一点处应力状态σt≡0 只有正应力σ , 且正应力大小与截面无关σ( n)≡σ证: 因为可流动流体静摩擦力=0 ∴σt≡0如图四面体受力平衡设S面上正应力为σ ,x向Sσ⋅x -σx S x=0σ=σ n S=S n S x=S ⋅ x∴σx S x=Sσ⋅x =σS⋅x= σS xσx=σ类似σy=σ=σzx,y,z任选, ∴任意截面上的正应力的大小皆为σ由四面体受力平衡, 从三个坐标平面的应力⇒任意截面S上的应力. 注意：忽略了体积力2. 流体内压强定义：流体内压强为P= -σ(流体中一般没有拉应力,∴σ<0 P>0)说明：(1)压强为标量,严格定义P= -σ0 = (σx+σy+σz) /3(2) 由一点处应力状态, σ与方位无关∴P与方位无关(3) 从证明知,关键σt=0 . 所以对理想流体（无内摩擦）在流动(包括加速流动)时结论也对(4)对粘滞性流体流动时有剪应力，各截面σ不相同.但若σt较小可以忽略，各截面正应力近似相等为σ , P ≈-σ(5) 流体中负压强(拉应力).特定条件（稳定，缓慢过程）下，流体中可出现负压. 水的负压可以达到300atm6.3.2 静止流体平衡方程——临近点处压强关系取小段柱状流体f—单位质量．．上的体积外力x向: [P(x) - P(x+∆x)] ∆S + ρ∆S ∆x f x =0∴∂P /∂x = ρf x类似: ∂P /∂y = ρf y ∂P /∂z = ρf z合起来:∇P = (∂P/∂x) x +(∂P/∂y) y +(∂P/∂z) z = ρf 6.3.3 重力场中静流体1. 流体中压强随高度分布小范围g为常矢量f = (∆m g) /∆m =g = g y ∂P/∂x =∂P/∂z = 0 ⇒P与x,z无关, 在同一高度上P相等∂P/∂y = ρg若ρ为常数(液体or高度差不大的气体)积分得:P(y)=P0+ρgy P0=P(0)不同密度液体(鸡尾酒)的稳定分界面为水平面2. 帕斯卡定律定律：加在密闭液体中的压强等值地传到液体中各处以及壁上.解释: 设压强加在o处,使P0等值地改变，但ρgy 保持不变，所以P(y)随P0同样增加.3. 阿基米德定律定律：浸在流体中物体所受浮力等于物体排开的流体的重量证明：设物体外表面为S .流体对物体作用通过压强体现.∴浮力=⎰-Pd S保持S不变，则浮力不变. 将物体换成流体，该流体应处于平衡，即外界对S的压力之和等于流体重量:⎰-Pd S +m g =0∴浮力= -m g 浮力作用点即该流体重心(一般情况下不是物体的重心)附: 等温理想气体压强随高度的分布已知其密度ρ=cP (c为常数)解: dP/dy = -ρg = -cgP ⎰PPdPP= ⎰y-cg dy 得：P(y)=P0e-cgy又例: 以ω匀速转动的水平试管,内部充满流体. 以试管为参考系, 则惯性离心力为体积力,产生径向压强差.§6.4 流体的定常流动6.4.1 描述流体运动的两种方法1. 两种方法拉格郎日法: 认准各个质元,分别描述其运动状态(r i,v i,a i)及其变化规律r i,v i,a i只是t的函数, v=d r/dt , a=d v/dt ; 应用牛顿定律必须用拉格郎日法. 困难：如何认准？如何跟踪？描述不便欧拉法: 讨论流体场(流体性质场)的场分布∆x)主要是流速场v=v(r,t) . 还有a=a(r,t)P=P(r,t) 压强场……2. 欧拉法中质元的加速度质元加速度a = d v/dt (速度全导数or实质导数)是对一个确定质元速度v(即拉格郎日法中的速度v)的导数.流速场v(r,t)在地点不变下对t的偏导数∂v/∂t ≠a (流速场中同一地点不同时刻的v是不同质点的速度)认准m i :a=d v(x,y,z,t)/dt=∂v/∂t+[∂∂vxdx +∂∂vydy+∂∂vzdz]/dt=∂∂vt+v x∂∂vx+v y∂∂vy+v z∂∂vz=∂∂vt+ v ⋅∇v3. 流体流动的图象表示拉格郎日法: 流体质元的实际运动轨迹——迹线流管——流线围成的细管;流束——流管中流体6.4.2定常流动: v与t无关，v=v(r) ;不定常流动: v与t有关定常流动特点：∂v/∂t =0 a = v⋅∇v≠ 0流线不变,与迹线重和∴迹线也不变P,ρ与t无关是否为定常流与参考系有关设迹线如图. V1,2,3为t1,2,3时刻同一质点的速度.若v与t无关，则v也是速度场中1,2,3点的速度,迹线也是流线. 迹线不变则场中质元数不变，∴ρ不变圆柱在理想流体在匀速直线运动. 在静系中流体为非定常流动，在圆柱参考系中为定常流动§6.6 粘滞流体的流体长时间、长距离、相对速度很大时,粘滞性不可忽略主要讨论层流. 层流：流体分层流动，彼此不混淆流体粘滞性的体现：固、液相对运动时出现摩擦力;液体内部流速不同，各层之间出现摩擦力6.6.1流体的粘滞性板A匀速直线运动引起层流,各层之间粘滞力fz层假想剖面∆S, 两侧粘滞力∆f牛顿摩擦定律:(实验定律) ∆f ∝ (dv/dz) ∆S 即∆f = ηdvdz∆Sdv/dz : z方向速度(空间)变化率(速度梯度)η: 粘滞系数(黏度)温度T↑⇒η↓ (液体) η↑(气体)(f本质: 液体主要来自层之间分子力；气体是通过该层交换宏观定向动量)[η]=ML-1T -1SI(MKS)制为Pa ⋅s CGS制为“泊”1泊=0.1 Pa⋅s η/ρ——运动黏度(比黏度)满足牛顿摩擦定律的流体——牛顿流体(否则叫非牛顿流体—少数如血液)6.6.2 粘滞流体的运动规律1. 动力学方程(介绍) 纳维—斯托克斯方程(Nevier,M. , Stokes,G.G.)-∇P+ρf+η∇2 v = ρ (d v/dt)2. 修改后的伯努力方程定常流动，不可压缩，沿流管(有粘滞性) 由功能原理dW粘1→2 +(P1-P2)dV = dE= (dm v22/2+dm gz2)-(dm v12/2+dm gz1)dm=ρdV∴ P1+ρv12/2+ρgz1=P2+ρv22/2+ρgz2 +w12——修正后的伯努力方程∆t)∆t)m i运动轨迹m质点t2t时刻:3流线w 12 = -w 粘1→2 = dW 粘1→2 /dV >0 为单位体积．．流体克服．．粘滞阻力做的功水平均匀细管中: v,z 相同， P 1 -P 2=w 12=P 2 -P 3=…=P 0’-P 1=ρg(H 1-H 2)=…=ρg ∆H=ρg(H 0’-H 1) ∴P 0’-P B =P 0’-P 0=ρgH 0’=w 细管 将液面A 与出口B 联系:P 0+ρgH 0+0=P 0+0+ρv 2/2+w 细管+w 粗管∴ρv 2/2=ρg(H 0-H 0’) -w 粗管=ρgh 0-w 粗管≈ρgh 0 v ≈(2gh 0)1/2w 细管, w 粗管分别是单位体积流体在细管和粗管中流动克服阻力做的功∴粘滞流体水平均匀流动必有压强差——流水水面不水平 , 熔岩流动高度差很大3. 哈根—泊肃叶(Hagen,G. , Poiseuille, J.L.M.)方程——水平圆管层流哈—泊定律由哈根1839年实验证实, 后为泊肃叶1842年独立发现水平圆管, 定常流动柱坐标(r,φ,z)v z 与r,φ无关v =v z (r)z d v /dt=0忽略体积力f =0 , 流线平行直线, ∴同一横截面上P 相同对小圆柱, 1、2两横截面上对应处速度相同 ∴合外力为零 即 (P 1-P 2)πr 2 + ηdv drz⋅2πr l =0 (f 粘为-z 方向, dv z /dr<0 ∴取 “+”)⎰0v r z ()dv z = ⎰R r -12ηl(P 1-P 2)r drv z (r)= (P 1-P 2)(R 2 -r 2) / (4ηl ) Q V = ⎰ v ⋅ d S = ⎰0Rv z 2πr dr = π(P 1 -P 2)R 4 / (8ηl ) ——哈—泊公式由此可以讨论石油、天然气、水输送问题（管径、压差与流量）;隧道、河流的流量…平均流速 v =Q V /S= (P 1 -P 2)R 2 / (8ηl ) P 1 -P 2=8ηv l R -2 ∝ l R -2,l光滑金属管光滑同心环缝滑阀口Re C2000—2300 1100 260例. 日常生活. 水管d=0.025m Re C =2000 1atm 20︒C时η=1.0⨯10 -3Pa⋅ s 则临界水流速v C = ηRe C /ρd = 0.079 m/s∴一般管流为湍流。

数学物理的连续介质力学方法连续介质力学是研究物质的宏观性质和运动规律的一门学科，它是数学物理学的重要分支之一。

在连续介质力学中，我们将物质视为连续的，而不是离散的粒子。

通过建立数学模型和方程，我们可以描述物质的运动、变形和相互作用等现象。

在这篇文章中，我们将探讨数学物理的连续介质力学方法。

1. 连续介质的基本概念在连续介质力学中，我们将物质视为连续的，即认为物质在微观尺度上是无限细小的。

这样一来，我们可以使用连续函数来描述物质的性质和运动规律。

连续介质力学的基本概念包括质点、质点集合、质量和密度等。

通过对这些概念的定义和描述，我们可以建立起数学模型来描述连续介质的力学行为。

2. 连续介质的运动学连续介质的运动学是研究物质运动的一门学科。

在连续介质力学中，我们可以通过定义位移、速度和加速度等概念来描述物质的运动。

通过对这些概念的数学表达，我们可以建立起描述物质运动的方程。

其中，最基本的方程是连续性方程和动量守恒方程。

连续性方程描述了物质的质量守恒，而动量守恒方程描述了物质的动量守恒。

通过求解这些方程，我们可以得到物质的运动规律。

3. 连续介质的变形学连续介质的变形学是研究物质变形的一门学科。

在连续介质力学中，我们可以通过定义应变和应力等概念来描述物质的变形。

应变描述了物质的形状和大小的变化，而应力描述了物质内部的力和应变之间的关系。

通过对这些概念的数学表达，我们可以建立起描述物质变形的方程。

其中，最基本的方程是胡克定律和应力平衡方程。

胡克定律描述了物质的应力和应变之间的关系，而应力平衡方程描述了物质的应力平衡。

通过求解这些方程，我们可以得到物质的变形规律。

4. 连续介质的相互作用在连续介质力学中，物质之间存在着相互作用。

这种相互作用可以通过定义物质的内部能和外部能来描述。

内部能是指物质内部的相互作用能，而外部能是指物质与外界的相互作用能。

通过对这些能量的数学表达，我们可以建立起描述物质相互作用的方程。

连续介质力学基础及其在材料科学中的应用连续介质力学是一门重要的物理学科，它研究的是连续介质中的力学现象。

它的应用广泛，特别是在材料科学中，是一个非常重要的基础学科。

在本文中，我将介绍连续介质力学的基础知识以及它在材料科学中的应用。

1. 连续介质力学的基础知识连续介质力学的研究对象是连续介质，这些介质的物理性质是通过一些宏观量来描述的。

连续介质力学涉及了不同的物理量，如质量、密度、速度、压力、应力等等。

其中，质量与密度是最基本的量，速度与压力则是演化连续介质过程中的关键量。

在连续介质力学中，一个系统的运动状态可以通过一个速度场来描述，这个速度场是连续介质中所有质点速度的矢量和。

同时，介质中也存在压力以及应力，在变形的情况下，压力和应力都会产生。

介质的变形是介质力学中的一大研究内容。

当一个力作用在一个介质上时，这个介质就会发生变形。

在介质受到外力的影响后，介质的形状、大小以及朝向都可能发生改变。

可是，连续介质力学并没有直接关注介质内部的结构，而是考虑到它们的宏观性质。

2. 连续介质力学在材料科学中的应用介质力学是材料科学中不可或缺的基础学科之一。

在材料科学中，这个学科的应用非常广泛。

2.1. 材料力学材料力学是介质力学的应用领域之一。

因为对材料的力学性能进行分析需要考虑力学行为与内部结构之间的关系，而此时，连续介质力学可以提供非常便利的工具。

特别是当材料具有复杂的微观结构时，这个工作就更加重要了。

以复合材料为例，这是一种由不同材料之间的层叠组合而成的材料。

连续介质力学可以用来描述这种材料的物理性质，从而发现不同材料的层与层之间所存在的相互作用。

通过分析其应力和变形等物理量，可以确定这种复合材料的力学特性。

2.2. 力学仿真连续介质力学也可以用来进行力学仿真。

在对材料进行仿真时，需要考虑到材料的物性以及不同的载荷情况。

而连续介质力学可以帮助我们建立基于微观力学行为的力学模型，从而预测材料在不同载荷下的性能表现。

连续介质力学简介连续介质力学是研究连续物质的物理性质和行为的学科。

它是一种宏观力学，将物质看作由连续的物质点填充而成，而不是由原子或分子组成。

连续介质力学在工程、物理、数学等领域有广泛应用，包括流体力学、弹性力学、塑性力学等分支。

一、连续介质力学应用领域连续介质力学应用领域非常广泛，包括以下几个领域：1. 工程领域：连续介质力学在工程领域有广泛的应用，如结构分析、地震工程、航空航天、土木工程等。

2. 物理领域：连续介质力学在物理领域有应用，如流体力学、弹性力学、塑性力学等。

3. 天体物理学：连续介质力学在天体物理学中有应用，如星系动力学、宇宙气体动力学、黑洞等领域。

4. 生物学：连续介质力学在生物学中有应用，如血液动力学、神经传导、肌肉运动等。

5. 环境科学：连续介质力学在环境科学中有应用，如流体动力学、水文学、气候学等。

6. 计算科学：连续介质力学在计算科学中有应用，如计算机图形学、计算物理学、计算工程、计算化学等。

在计算机图形学中，连续介质力学方法可以用于流体模拟。

这种方法将流体看作由连续的物质点填充而成，而不是由原子或分子组成。

连续介质力学方法通过求解流体的运动方程和连续性方程来模拟流体的行为。

以下是使用连续介质力学方法进行计算机图形学的流体模拟的步骤：1）. 将流体看作由连续的物质点填充而成，将流体域划分成多个小单元。

2）. 对每个小单元进行受力分析，包括重力、压力、粘力等。

3）. 求解小单元的运动方程和连续性方程，得到小单元的运动状态和密度分布。

4）. 根据小单元的运动状态和密度分布，更新整个流体的状态。

5）. 根据更新的流体状态，重新划分小单元，并重复步骤2-4，直到达到稳定的流体状态。

6）. 将模拟得到的流体状态可视化，如绘制流线、液面等。

在计算机图形学中，连续介质力学方法可以用于模拟各种流体现象，如水流、空气流、血管流动等。

这种方法能够产生逼真的动画和仿真效果，广泛应用于电影制作、游戏开发、可视化等领域。

连续介质力学方程连续介质力学方程是描述连续介质内部力学性质的基本方程。

它是研究固体、液体和气体等连续介质行为的重要工具。

在物理学和工程领域中，连续介质力学方程被广泛应用于材料科学、流体力学、地球物理学等领域。

1. 引言连续介质力学方程是基于连续介质假设建立的。

根据这个假设，连续介质可以看作是由无数微观粒子组成的，其性质在宏观尺度上表现为连续分布的。

通过对微观粒子的统计平均，可以得到宏观尺度上的物理量。

2. 连续介质假设在连续介质力学中，我们假设物体可以用一个连续分布的函数来描述。

这个函数被称为密度函数或者分布函数，通常用符号ρ表示。

通过对密度函数进行积分操作，我们可以得到宏观尺度上的物理量。

3. 连续性方程连续性方程描述了物体内部粒子数守恒的原理。

它是基于质量守恒定律推导出来的。

连续性方程可以用微分形式和积分形式表示。

微分形式的连续性方程如下：∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0其中，ρ是密度，t是时间，v是速度矢量。

积分形式的连续性方程如下：∫∂ρ∂tV dV+∫(ρv)S⋅dS=0其中，V是空间体积，S是边界面积。

连续性方程说明了物质在空间中的变化情况。

当密度变化时，物质会在空间中流动。

4. 动量守恒方程动量守恒方程描述了物体内部动量守恒的原理。

根据牛顿第二定律和连续介质假设，可以得到动量守恒方程。

动量守恒方程可以用微分形式和积分形式表示。

微分形式的动量守恒方程如下：ρ(dv dt+(v ⋅∇)v)=∇⋅T +f 其中，ρ是密度，t 是时间，v 是速度矢量，T 是应力张量，f 是外力矢量。

积分形式的动量守恒方程如下：∫ρV (dv dt +(v ⋅∇)v)dV =∫T S ⋅dS +∫f VdV 动量守恒方程描述了物质在空间中受到的力和速度变化之间的关系。

当物体受到外力作用时，会产生加速度，从而改变其速度。

5. 能量守恒方程能量守恒方程描述了物体内部能量守恒的原理。

根据热力学第一定律和连续介质假设，可以得到能量守恒方程。

连续介质力学基础教学设计引言连续介质力学是力学中的一大分支，是物理学中经典的话题之一，也是工程学和材料科学中的重要学科。

连续介质力学广泛应用于工程力学、流体力学、热力学、材料科学、动力学、地震学等领域。

因此，对于力学以及相关领域的学生，了解和掌握连续介质力学原理和知识至关重要。

本文将针对连续介质力学基础教学设计，通过分析教学内容和教学方法来探讨如何提高学生成绩和兴趣，提高学生的学习效果，并实现教师教学目标。

教学内容课程概述连续介质力学要求学生了解和掌握力学连续体的本质和特征，学生需要掌握相关的数学知识，包括微积分、偏微分方程、矩阵、向量算法等。

教学目标通过学习连续介质力学，学生将能够：1.理解和应用连续体力学的基本概念和原理2.解决与连续体运动和形变相关的问题3.应用数学工具有效地解决连续体力学问题4.了解连续介质力学在工程和科学领域中的应用教学大纲本教学大纲共分为四个部分：1.连续体力学基础概念2.连续体运动学3.连续体动力学4.连续体力学应用在教学过程中，应通过理论和实践方法相结合的方式探讨和实现上述四个方面的内容。

教学方法理论教学在传授理论知识方面，可以采用传统的黑板讲解和课堂授课的方式，将概念和原理结合实际案例，进行深入浅出的教学。

同时，鼓励学生提出问题，引导学生深入了解知识点和概念。

实验教学连续介质力学实验教学是学生学习和掌握力学知识的重要途径。

通过观察和实验，学生将更直观地了解连续介质运动和形变，加深对理论知识的理解。

因此，实验教学应是教学过程中必不可少的一部分。

课外学习推荐学生自主学习相关案例和文献资料，加深对知识点的理解和应用。

同时，更加前沿的学习，比如参加相关的科学讲座也是一种非常好的学习方式，鼓励学生参加各种讲座，科技沙龙等活动。

课程评估通过考试、作业、报告和课堂参与等形式进行学生的课程考核，以便评估教学效果，并为学生提供丰富的学习体验。

结论本文主要介绍了连续介质力学基础教学设计，包括教学内容、教学目标和课程评估。

连续介质力学基础课程设计前言连续介质力学是物理学和工程学领域中的一个重要分支。

它主要研究物质的宏观性质，如密度、质量、速度、应力和应变等，并通过宏观模型对这些性质进行建模和分析。

为了使学生更好地理解连续介质力学这一学科的基础知识和原理，我们设计了一门连续介质力学基础课程。

该课程旨在介绍连续介质力学的基本概念、原理和数学模型，包括连续体的运动学、应力分析、动力学、守恒方程和能量方程等。

通过课程的学习，学生将能够了解连续介质力学在实际工程和科学中的应用，以及进一步理解物理和工程学科的概念和原理。

课程目标1.了解连续介质力学的基本概念和原理。

2.掌握连续体的运动学和应力分析方法。

3.理解连续体的动力学模型和守恒方程。

4.掌握能量方程的基本原理和应用。

课程大纲第一章：引言1.1 课程介绍 1.2 连续介质力学的历史与发展第二章：连续体的运动学2.1 运动学的基本概念和分类 2.2 座标系的选择和描述 2.3 运动量的概念和守恒性质第三章：连续介质的应力分析3.1 应力的概念和表示 3.2 应变的概念和表示 3.3 应力分析的基本方程和解法第四章：连续体的动力学4.1 牛顿定律与能量原理 4.2 运动方程的建立 4.3 连续介质的动力学模型第五章：守恒方程和能量方程5.1 连续介质守恒定律的基本概念和方程 5.2 连续介质的能量方程 5.3 连续介质的热力学过程课程教学本课程采用讲授、案例分析、小组讨论和实验教学相结合的教学方法。

例如，针对运动学，我们将会通过案例分析和实验教学让学生了解座标系的选择和描述、连续体的运动量和守恒性质，从而更好地掌握连续体的运动学方法。

对于应力分析，我们将通过讲授和小组讨论使学生了解应力和应变的概念和表示方法，并通过应力分析的基本方程和解法加深学生的理解。

对于连续体的动力学和守恒方程，我们将通过教师讲解和学生实验来帮助学生理解连续介质的动力学模型和守恒定律。

对于能量方程，我们将通过理论讲解和实验教学来让学生更好地掌握连续介质的能量方程和热力学过程。