《概率论讲义》课件

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1 概率论与数理统计部分

第一讲 随机事件与概率

一、知识要点

1．准备知识：熟悉加法原理，乘法原理，无重复排列，可重复排列，组合等知识．

2．随机事件（样本空间的子集）的关系与运算．

（1）事件的包含，相等，和事件，积事件，差事件，对立事件，互斥事件，独立事件

（2）交换律，结合律，分配律，吸收律，De Morgan律

（3）常用结论：

;();;,AABAABABABAAAAA∅⊂⊂Ω⊂⊂∪−=⊂∪=Ω=∅

1111;(),;(),()∞∞∞∞

====∪=∪∪∪==∪∪=∩∩=∪

ii

ii

iiiiABABABABABABABABAAAA

3．随机事件的概率（本部分是核心问题）

（１）定义

①统计定义：大量重复试验的条件下，事件Ａ发生频率的稳定值称作Ａ发生的概率。

②古典概率定义：随机试验Ｅ的样本空间Ω含有有限个基本事件，每个基本事件等可

能发生，事件Ａ发生的概率规定为

==

Ω包含的基本事件

（）

包含的基本事件Ak

PA

n

③几何概率定义：随机试验Ｅ的样本空间Ω是一个区域（直线上的区间，平面或空间

的区域），每个基本事件等可能发生，规定事件Ａ的概率为

④公理化定义：随机试验Ｅ的样本空间为Ω，对任意事件A⊂Ω

，赋予一个实数Ｐ

（Ａ）称之为事件Ａ的概率，集合函数Ｐ（1）满足三公理

（ⅰ）０≤Ｐ（Ａ）≤１

（ⅱ）Ｐ（Ω）＝１

（ⅲ）{}

iA

为一列事件，()

ijAAij∩=∅≠

，则()

ii

i1

i1PAPA∞

∞

=

=⎛⎞

∪=

⎜⎟

⎝⎠∑

2

⑤条件概率：Ａ，Ｂ为二事件，()

PA0>

，在事件Ａ发生的条件下，Ｂ发生的概率

称作条件概率，规定

()()

()PAB

PB|A

PA=

（2）性质

①()

P0∅=

②()()()

iiij

i1

i1PAPAAAij∞

∞

=

=⎛⎞

∪=∩=∅≠

⎜⎟

⎝⎠∑

③AB⊂

时，()()()

PBAPBPA−=−

④()

()

PA1PA=−

⑤()()()()n

n

n1

ii12n

i1

i11ijnPAPAPAiAj1PAAA−

=

Lecture8.March10,2010

1ConvergenceofMarkovchaintransitionkernels

Theorem1.1[Convergenceoftransitionkernels]LetXbeanirreducibleaperiodic

MarkovchainwithcountablestatespaceS.Ifthechainistransientornullrecurrent,then

limn→∞Πn(x,y)=0∀x,y∈S.(1.1)

Ifthechainispositiverecurrentwithstationarydistributionµ,then

limn→∞Πn(x,y)=µ(y)∀x,y∈S.(1.2)

Theorem1.1isinfactequivalenttotheRenewalTheorem,whichwasprovedlasttime.When

theMarkovchainispositiverecurrent,Theorem1.1admitsanelegantproofbycoupling,

whichisworthexplaining.

ProofofTheorem1.1withpositiverecurrence.WhenXispositiverecurrent,the

Markovchainadmitsauniquestationaryprobabilitydistributionµ.LetX1beacopyof

theMarkovchainwithinitialdistributionµ.LetX2beanindependentcopyoftheMarkov

chainwithinitialdistributionδxforsomex∈S.Thenweclaimthatτ:=inf{n≥0:X1n=

X2n}<∞almostsurely.Iftheclaimholds,thenwecancoupleX1andX2bydefiningtwo

第一章 随机事件与概率

§1.1 随机事件

1.1.1 随机试验与样本空间

概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：

（1）在相同条件下试验是可重复的；

（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；

（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。 例1.1.1 1E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：={正面,反面}。

2E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：{1,2,3,4,5,6}。

3E: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到