《概率》 讲义

1 概率论与数理统计部分

第一讲 随机事件与概率

一、知识要点

1．准备知识：熟悉加法原理，乘法原理，无重复排列，可重复排列，组合等知识．

2．随机事件（样本空间的子集）的关系与运算．

（1）事件的包含，相等，和事件，积事件，差事件，对立事件，互斥事件，独立事件

（2）交换律，结合律，分配律，吸收律，De Morgan律

（3）常用结论：

;();;,AABAABABABAAAAA∅⊂⊂Ω⊂⊂∪−=⊂∪=Ω=∅

1111;(),;(),()∞∞∞∞

====∪=∪∪∪==∪∪=∩∩=∪

ii

ii

iiiiABABABABABABABABAAAA

3．随机事件的概率（本部分是核心问题）

（１）定义

①统计定义：大量重复试验的条件下，事件Ａ发生频率的稳定值称作Ａ发生的概率。

②古典概率定义：随机试验Ｅ的样本空间Ω含有有限个基本事件，每个基本事件等可

能发生，事件Ａ发生的概率规定为

==

Ω包含的基本事件

（）

包含的基本事件Ak

PA

n

③几何概率定义：随机试验Ｅ的样本空间Ω是一个区域（直线上的区间，平面或空间

的区域），每个基本事件等可能发生，规定事件Ａ的概率为

④公理化定义：随机试验Ｅ的样本空间为Ω，对任意事件A⊂Ω

，赋予一个实数Ｐ

（Ａ）称之为事件Ａ的概率，集合函数Ｐ（1）满足三公理

（ⅰ）０≤Ｐ（Ａ）≤１

（ⅱ）Ｐ（Ω）＝１

（ⅲ）{}

iA

为一列事件，()

ijAAij∩=∅≠

，则()

ii

i1

i1PAPA∞

∞

=

=⎛⎞

∪=

⎜⎟

⎝⎠∑

2

⑤条件概率：Ａ，Ｂ为二事件，()

PA0>

，在事件Ａ发生的条件下，Ｂ发生的概率

称作条件概率，规定

()()

()PAB

PB|A

PA=

（2）性质

①()

P0∅=

②()()()

iiij

i1

i1PAPAAAij∞

∞

=

=⎛⎞

∪=∩=∅≠

⎜⎟

⎝⎠∑

③AB⊂

时，()()()

PBAPBPA−=−

④()

()

PA1PA=−

⑤()()()()n

n

n1

ii12n

i1

i11ijnPAPAPAiAj1PAAA−

=

- 1 - 概率论通识讲义

概率论是现代科学的重要分支之一，它研究的是随机事件的规律性和概率分布，是科学研究、决策分析、风险管理等领域不可或缺的工具。本文旨在为读者提供概率论的基础知识，包括概率的定义、性质、概率分布、随机变量等内容。

一、概率的定义和性质

概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。概率的定义有三种形式：古典概型、几何概型和统计概型。其中，古典概型适用于事件的样本空间有限的情况，几何概型适用于事件的样本空间为几何形状的情况，统计概型适用于事件的样本空间无限的情况。

概率具有以下几个性质：

1. 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)必须大于等于0。

2. 规范性：对于样本空间Ω中的所有事件A，它们的概率之和等于1，即P(Ω)=1。

3. 可列可加性：对于任意的可列个事件A1、A2、…，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。

4. 互斥事件的加法规则：对于互斥事件A和B，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

二、概率分布

概率分布是用来描述随机变量的概率分布规律的函数。随机变量是指取值不确定的变量，可以是离散的或连续的。离散型随机变量取 - 2 - 有限或可数个值，其概率分布函数称为概率质量函数。连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布函数称为概率密度函数。

离散型随机变量的概率质量函数可以用下列公式表示：

P(X=x) = f(x)，其中x为随机变量的取值，f(x)为概率质量函数。

连续型随机变量的概率密度函数可以用下列公式表示：

P(a≤X≤b) = ∫ab f(x)dx，其中a和b为随机变量的取值范围，f(x)为概率密度函数。

三、随机变量

Lecture8.March10,2010

1ConvergenceofMarkovchaintransitionkernels

Theorem1.1[Convergenceoftransitionkernels]LetXbeanirreducibleaperiodic

MarkovchainwithcountablestatespaceS.Ifthechainistransientornullrecurrent,then

limn→∞Πn(x,y)=0∀x,y∈S.(1.1)

Ifthechainispositiverecurrentwithstationarydistributionµ,then

limn→∞Πn(x,y)=µ(y)∀x,y∈S.(1.2)

Theorem1.1isinfactequivalenttotheRenewalTheorem,whichwasprovedlasttime.When

theMarkovchainispositiverecurrent,Theorem1.1admitsanelegantproofbycoupling,

whichisworthexplaining.

ProofofTheorem1.1withpositiverecurrence.WhenXispositiverecurrent,the

Markovchainadmitsauniquestationaryprobabilitydistributionµ.LetX1beacopyof

theMarkovchainwithinitialdistributionµ.LetX2beanindependentcopyoftheMarkov

chainwithinitialdistributionδxforsomex∈S.Thenweclaimthatτ:=inf{n≥0:X1n=

X2n}<∞almostsurely.Iftheclaimholds,thenwecancoupleX1andX2bydefiningtwo

高三数学总复习讲义--概率

第一讲：随机事件的概率

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

必然事件：在一定条件必然要发生的事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

事件A的概率：

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某

个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作

P(A)。由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个

基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果试验

中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果

出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包

含的结果有m个，那么事件A的概率。

在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是

集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数

与集合I的元素个数的比值：

（古典概型）

这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就

是事件的排列数或组合数。

题型一：与排列组合综合

例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班

长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；

练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不

同的分组数为

________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。

题型二：与两个计数原理综合

例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将

正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一

个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；

练习2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，所得数是

大于20000的偶数的概率是________________；

题型三：有、无放回抽样问题