最大公因数与最小公倍数比较与复习

最大公因数和最小公倍数的定义在数学中，最大公因数和最小公倍数是两个常见的概念，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍最大公因数和最小公倍数的定义、性质和相关应用。

一、最大公因数的定义最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。

例如，12和30的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和30的最大公约数是6。

最大公因数的求法有多种方法，其中最常用的是辗转相除法。

该方法的基本思想是，用较大的数去除以较小的数，再用余数去除以刚才的除数，如此反复，直到余数为0为止。

最后一次除数即为最大公约数。

例如，求出120和84的最大公约数：120÷84=1 (36)84÷36=2 (12)36÷12=3 0因此，最大公约数是12。

二、最小公倍数的定义最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。

例如，6和8的公倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60等，其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24。

最小公倍数的求法也有多种方法，其中最常用的是分解质因数法。

该方法的基本思想是，将每个数分解成质因数的乘积，然后将这些质因数的最高次幂相乘即可。

例如，求出12和18的最小公倍数：12=2×318=2×3将它们的质因数分解乘起来，得到2×3=36，因此最小公倍数是36。

三、最大公因数和最小公倍数的性质最大公因数和最小公倍数有许多重要的性质，下面列举其中的几个：1. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。

即，设a、b为两个整数，则有gcd(a,b)×lcm(a,b)=ab。

证明：设a=p^α×p^α×…×p^α，b=p^β×p^β×…×p^β，其中p、p、…、p是不同的质数，α、α、…、α、β、β、…、β是非负整数。

【记忆背诵要点】家长签字：姓名：注意：每一个分数无论题目要求没，要约分后才能作为最后的结果。

一：约分的方法：1、先找到分子，分母的最大公因数；2、利用分数的性质约去最大公因数；3、化成最简分数。

（即不能再约分为止）二:比较分数大小的方法:1、分别对每个分数进行约分(或者通分),变成同分母分数, 或者变成同分子分数；2、比较化简后的两个分数的大小；3、比较原数的大小。

三：弄清互质的几种情况互质：两个数的最大公因数为1就叫做这两个数互质。

1.两个连续自然数是互质的。

例如：8与9；15与162.两个质数必然是互质的。

例如：5和7；11和133.一个质数和不是它倍数的合数。

例如：5和14；3和84.尽管两个数都是合数，但一个是2或3的倍数，另一个数是7或5的倍数。

例如：15和8，21和10四：求最大公因数或最小公倍数的方法：1.若两个数是互质的，则最大公因数为1，最小公倍数为这两个数的乘积。

2.若两个数是倍数关系，则较小的数为它们的最大公因数，较大的数为它们的最小公倍数。

当两个数相差较大时，要判断大数是否为小数的倍数。

例如：13与26，39，52，65，78；14与28，42，56，70，84；17与34，51等等。

以上两种情况不需要用分解质因数的方法。

3.两个数不是倍数关系的，也不是互质的才适合用分解质因数去求最大公因数和最小公倍数。

五：应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法1.分析题意，判断结果应该比所给数量大，则是求公倍数；2.分析题意，判断结果应该比所给数量小，则是求公因数；3.题目中含“最多”或“最长”等字眼，则是求最大公因数；4.题目中含“至少”，“下一次”字眼，则是求最小公倍数；【认真练习】 1.填空75和15 16和30 77和44 6和10 13和91 21和35 12和18 3和14 最大公因数最小公倍数2.比较大小：（1）和（2）和。

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

浅谈最小公倍数和最大公因数的教学明光市桥头镇司巷中心小学黄海燕摘要: 准确快速地求出两个数的最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。

通过观察比较不难发现，当两数成倍数关系或互质关系时可直接写出它们的最大公因数和最小公倍数。

当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；当只求最大公因数时，用除法算式法或小数缩小法比较简便；当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。

当这两个数比较大，比较复杂时用短除法比较简便。

看清之间关系，看清数据特征，看清条件与要求，用好最佳方法，认真细心计算。

一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。

准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。

对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。

而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。

而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。

它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。

只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。

最大公因数和最小公倍数总结一、最大公因数最大公因数的计算方法有很多种，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法等。

其中最常用且简便的方法是辗转相除法，也叫欧几里德算法。

这种方法的基本思想是，假设两个整数a和b，其中a>b，如果b能够整除a，那么b就是最大公因数；如果b不能整除a，那么将b与a除以b的余数进行运算，直到余数为0为止，此时的b就是最大公因数。

二、最小公倍数最小公倍数的计算方法有很多种，常见的有质因数分解法、倍数法、短除法等。

其中最常用且简便的方法是质因数分解法，即将每个数进行质因数分解，然后保留所有质因数的最高次幂，再将这些质因数相乘，即可得到最小公倍数。

最小公倍数在解决实际问题和进行数值计算时经常用到，例如求解两个物体周期性运动的最小公周期、求解延迟时间等。

它的计算方法简单且直观，能够有效地帮助我们解决实际问题和进行数值计算。

三、最大公因数和最小公倍数的关系最大公因数和最小公倍数之间存在着一定的关系，即最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

即对于两个整数a和b，它们的最大公因数记为gcd(a,b)，最小公倍数记为lcm(a,b)，那么有lcm(a,b) = a*b / gcd(a,b)。

这个关系可以通过质因数分解法进行证明。

假设a和b分别的质因数分解为：a = p1^x1 * p2^x2 * ... * pn^xnb = q1^y1 * q2^y2 * ... * qm^ym其中p1,p2,...,pn和q1,q2,...,qm分别为质数，x1,x2,...,xn和y1,y2,...,ym为正整数。

根据最小公倍数的定义，它包含了a和b的所有质因数，而且每个质因数的次数等于这两个数对应质因数的最大次数。

因此，lcm(a,b) =p1^max(x1,y1) * p2^max(x2,y2) * ... * pn^max(xn,yn) *q1^max(x1,y1) * q2^max(x2,y2) * ... * qm^max(xm,ym)。

最大公因数和最小公倍数总结一、最大公因数（GCD）1.定义：最大公因数，也被称为最大公约数，是指一组数中能够同时整除所有这些数的最大的正整数。

2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最大公因数是所有数的因数中的最小公因数。

-辗转相除法：将两个数进行相除，余数为0时，被除数即为最大公因数；余数不为0时，将除数作为被除数，余数作为除数进行下一次相除，直到余数为0为止。

二、最小公倍数（LCM）1.定义：最小公倍数是指能够同时整除一组数的最小的正整数。

2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最小公倍数是所有数的因数的最大公倍数。

-辗转相乘法：将两个数进行相乘，再除以它们的最大公因数，得到的商即为最小公倍数。

三、最大公因数和最小公倍数的性质1.互质关系：如果两个数的最大公因数是1，则它们被称为互质数或互质的。

互质数的最小公倍数等于它们的乘积。

2.二者关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。

3.分数化简：当分数的分子和分母有相同的因数时，可以将分子和分母都除以最大公因数，使分数化简为最简形式。

4.方程求解：在求解含有多个未知数的方程时，可以通过求解各个未知数的最大公因数来减少未知数的个数，进而简化方程。

四、应用举例1.分数化简：将分数4/8化简为最简形式。

首先可以找到4和8的最大公因数为4，然后将分子和分母都除以4，得到1/2，即为最简形式。

2.方程求解：解方程2x+3y=10。

首先可以观察到2和3的最大公因数为1，因此可以将方程同时除以最大公因数1，得到2x+3y=10。

这样一来，只剩下两个未知数x和y，方程的求解就更加简化了。

通过对最大公因数和最小公倍数的学习和理解，我们可以更加灵活地运用它们解决实际问题。

在数学中，最大公因数和最小公倍数是数论的基础，更是数学计算的重要工具。

掌握了最大公因数和最小公倍数的求解方法和应用技巧，对数学学科的理解和运用都将得到很大的提升。

公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。

掌握这些概念和求法是非常重要的。

最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。

例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。

短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。

我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。

然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。

除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。

最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。

例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。

通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。

12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。

两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。

需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。

在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。

公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。

3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：（1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。

4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的，最小的公因数是1。

6、求两个数的最大公因数的特殊情况：（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。

（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。

（3）如果两个数都是质数或者两个数是连续的自然数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。

7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。

8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。

合数：除了1和它本身外还有另外的因数叫做合数。

9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。

例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3 ；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=24 24是它们的最小公倍数。

10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1。

11、1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。

而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。

最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。

最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。

补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。

最大公因数与最小公倍数的应用对比一、我会填。

(每空2分，共28分)1．42的因数中，质数有( )，合数有( )，( )既不是质数也不是合数。

2．14和21的最小公倍数是( )，100以内14和21的公倍数有( )。

3．18和24的公因数有( )，最大公因数是( )。

4．a＝10b(a、b都是非零整数)，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。

5．两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，其中一个数是16，则另一个数是( )。

6．9路公共汽车每10分钟发一次车，11路公共汽车每15分钟发一次车，两车同时发车后，至少经过多少分钟又同时发车，这是求10和15的( )(填“最大公因数”或“最小公倍数”)。

7．学校购回75朵红花，60朵黄花，将红花、黄花搭配插在花瓶中，并且每个花瓶中的搭配要完全相同，两种花都正好用完。

要求最多能插多少瓶，是求75和60的( )(填“最大公因数”或“最小公倍数”)，此时每瓶中红花有( )朵，黄花有( )朵。

二、我会辨。

(对的在括号里打“√”，错的打“×”。

每题1分，共3分) 1．两个不同质数的最大公因数是1。

( )2．相邻两个非零自然数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

( )3．五(1)班评选的“爱心少年”占全班人数的18，“才艺少年”占全班人数的110，五(1)班至少有40人。

( ) 三、我会选。

(将正确答案的序号填在括号里。

每题2分，共6分)1．只有公因数1的一组数是( )。

A ．一个奇数和一个偶数B ．一个质数和一个合数C ．2和奇数2．a 和b 都是非零自然数，且a ÷11＝b ，a 和b 的最小公倍数是( )。

A ．11B ．aC ．bD ．无法确定3．有一块长48 cm 、宽42 cm 的长方形花布，不浪费边角料，剪出若干个相同的正方形布片。

正方形布片的边长不可能是( )cm 。

A ．2B ．3C ．6D ．12四、我会按要求正确解答。