千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第85炼 几何概型

第65炼 直线的方程与性质一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ 表示 （1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x -=-，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。

3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x -=-证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x -=-，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x -=-，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x -=- 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x --=-- ④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a-==-- ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴-=--⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。

专题19 立体几何综合小题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m αB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ5．已知四棱锥P ABCD -的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm ）的正三角形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．83BCD ．436．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线1A D 与直线AC 所成角大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．907．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为侧面11ABB A 内动点，且满足1PD △PBC 面积的最小值为（ ）A ．1B C ．2 D ．2 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒.1D 、1E 分别是11A B 、11A C 的中点，1CA CB CC ==，则1AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，则以下结论错误的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AD ⊥平面CB 1D 1C ．AC 1⊥BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为45°10．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且//a b ，则实数m 的值等于（ ）A ．32B ．－2C ．0D ．32或－2 11．正方体ABCD ­­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．0 C D13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）A ．cmB ．10 cmC ．cmD ．30 cm14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体P -ABC 中，设E ，F 分别是PB ，PC 上的点，连接AE ，AF ，EF （此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个15．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π二、多选题16．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则//a bD ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是848,,999⎛⎫- ⎪⎝⎭17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，以下结论正确的是（ ）A ．直线1B D 与1BC 是异面直线B ．直线1A D 与1BC 平行C ．直线1BD 与1BD 垂直D ．三棱锥11A BC D -的体积为64318．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使//DP 面11AB DB ．二面角1P BB D --的平面角大小为60︒C ．1PB PD +D ．P 到平面11AB D19．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ） A ．若//m α，m β⊂，a n β⋂=，则//m n B ．若//m n ，//m α，则//n α C ．若a n β⋂=，αβ⊥，βγ⊥，则n γ⊥ D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ20．在下列条件中，不能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM ＝2OA －OB －OC ；B ．111532OM OA OB OC =++； C ．0MA MB MC ++=；D ．OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0；21．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．22．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+23．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，1BC 与1B C 交于点F ，点E 是线段11A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．1111222AF AB AC AA =++ B ．存在点E ，使得AF BE ⊥C ．三棱锥B AEF -D ．直线AF 与平面11BCC B第II 卷（非选择题）三、填空题24．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、BC 的中点，则三棱锥N ­DMC 1的体积为___________.25．已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60︒，则此三棱锥的体积为__．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________________．27．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．28．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 长为3，且11120A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC =__.29．如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则用向量,,a b c 表示向量MN =________．30．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且P A⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为163，则球O的表面积为___________.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．在三棱锥P －ABC 中，3APB BPC CPA π∠∠∠===，△P AB ，△P AC ，△PBC 的面积分别记为123,,S S S ，且123322S S S === ）A BC D 2．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线//AD 平面α，直线//BC 平面α，F 是棱BC 上一动点，现有下列三个结论：⊥若,M N 分别为棱,AC BD 的中点，则直线//MN 平面α；⊥在棱BC 上存在点F ，使AF ⊥平面α；⊥当F 为棱BC 的中点时，平面ADF ⊥平面α.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥3．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB BC ⊥，点Р在上底面圆的圆周上，则222PA PB PC ++的最小值为（ ）A ．246B ．226C ．208D ．1984．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（ ）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF A BEF -的体积为（ ）A ．112B ．14 C D ．不确定6．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB DC ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=7．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于（ ）A ．2BA •ACB ．2AD •BDC ．2FG •CAD ．2EF •BC8．如图一，矩形ABCD 中，2BC AB =，AM BD ⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ．现将ABD △沿BD 翻折至A BD '的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（ ）A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD9．点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA D D （包括边界）内运动，且1//PB 平面DMN ，则PC 的长度范围为（ ）A ．B ．⎣C ．D ．⎣10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC (不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（ ）①1//A M 平面1ACD ； ②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③AC ⊥平面11MB D 恒成立； ④三棱锥1D AMC -的体积不是定值． A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②④11．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，6BAC π∠=，SB =4,2SC SA ==，则该四面体的外接球的表面积是（ ）A ．253πB ．100πCD ．20π12．已知圆锥SO 的母线长为 ）A ．B ．24C ．36πD ．4813．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则下列结论中正确的有（ ）（1）//l 平面PAD ；（2）//AE 平面PCD ；（3）直线PA 与l （4）平面α截四棱锥P ABCD -所得的上、下两部分几何体的体积之比为35．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △是边长为2的正三角形，ABCD 是正方形，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．293π B ．643π C ．263π D ．283π15．已知在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是棱AC 上的一动点，BP ＋PE 四面体内切球的体积为（ ）A B ．13πC ． D16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，11C D ，11A D 的中点，若平面//α平面EFGH ，且平面α与棱11A B ，11B C ，1B B 分别交于点P ，Q ，S ，其中点Q 是棱11B C 的中点，则三棱锥1B PQS -的体积为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．1617．已知球O ，过其球面上A ，B ，C 三点作截面，若点O 到该截面的距离是球半径的一半，且2AB BC ==，120B ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）（注：球的表面积公式24)S r π=A ．643π B ．83πC ．323π D ．169π18．如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC =CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．13C D19．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、3h ，则123::h h h =（ ）A．2B ． C 2:2 D 6:620．如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为30．直线AB 与平面β所成的角的正弦值是（ ）A B C D二、多选题21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则四个推断正确的是（ ）A ．111AC AD ⊥B ．11AC BD ⊥C ．平面11//A C B 平面1ACD D ．平面11A C B ⊥平面11BB D D22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为2323．正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（ ） A ．截面可以是三角形B ．PA 与底面ABCD 所成的角为60︒C ．PA 与底面ABCD 所成的角为45︒D ．当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：124．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥E BCD -B ．三棱锥E BCD -C ．存在某个位置，使得AE BD ⊥D ．设二面角D ABE --的平面角为θ，且0θπ<<，则DAE θ<∠25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC26．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为60C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A27．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<.则下列结论中正确的有（ ）A ．当12a =时，ME 与CN 相交 B ．MN 始终与平面BCE 平行 C ．异面直线AC 与BF 所成的角为45︒D ．当a =MN28．(多选)如图，ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论正确的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°29．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF ，FB ，BE ，H 为BF 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．DE ⊥BFB ．EF 与CH 所成角为3π C ．EC ⊥平面DBFD ．BF 与平面ACFE 所成角为4π30．下图中正方体1111ABCD A B C D -边长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．平面1C BD ⊥平面1A BDB ．正方体1111ABCD A BCD -外接球与正四面体11A DBCC ．正四面体11A DBCD ．四面体1A ADB第II 卷（非选择题）三、填空题31．空间四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==，BD =BD 和AC 所成的角为3π，则该四面体的外接球的表面积为 __.32．如图，A 、B 、C 、D 、P 是球O 上5个点，ABCD 为正方形，球心O 在平面ABCD 内，PB PD =，2PA PC =，则P A 与CD 所成角的余弦值为______．33．已知圆锥、圆柱的底面半径和体积都相等，则它们的轴截面的面积之比的比值是___________34．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左图是南北朝官员独孤信的印信，它是由正方形和正三角形围成.右图是根据这只印信作出的直观图，直观图的所有顶点都在一正方体的表面上（如果一个正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面的四条棱上，那么这个八边形的边长就等于这个直观图的棱长）.__________.35．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为__________.36．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AA =M ，N 分别在棱DA ，DC 上.二面角1D MN D --的大小为30°.若三棱锥1D DMN -，则三棱锥1D DMN -的外接球的表面积为___________.37．异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．38．已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为4的正方形，SD ⊥面ABCD ，点M 、N 分别是AD 、CD 的中点，P 为SD 上一点，且SD ＝3PD ＝3，H 为正方形ABCD 内一点，若SH ∥面PMN ，则SH 的最小值为__．39．如图，在ABC 中，AB AC ==1cos 3BAC ∠=-，D 是棱BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为___________.40．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线,AC BF 上移动，若CM BN =，则MN 长度的最小值为__________．任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知四面体ABCD M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；③MFN ∠的余弦值的取值范围为；④FMN 1． 其中正确结论的为（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④2．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，2PA =，2AB AC ==，2BAC π∠=.已知点Q 为棱PA（不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过平面PBC 与平面ABC 反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的取值范围为（ ）A ．(1B ．)4C ．4⎫⎪⎭D ．(3．如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（ ）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与1A C 、不重合），有以下四个结论：⊥存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ⊥存在点M ，使得//DM 平面11B D C ；⊥若1A DM 的周长为L ，则L⊥若1A DM 的面积为S ，则S ∈⎝． 则正确的结论为（ ） A ．⊥⊥ B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点，若满足1PB PC d +=的点P 的个数为4，则d 的取值范围为（ ）A ．)2B ．C ．2,1⎡⎣D ．(16．在三棱锥D ABC -中，222AD AB AC BC ===，点A 在面BCD 上的投影G 是BCD △的垂心，二面角G AB C --的平面角记为α，二面角G BC A --的平面角记为β，二面角G CD A --的平面角记为γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βγα>>D ．γβα>>7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1AA 的中点，F 是棱BC 上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）A ．三棱锥11CB EF -的体积为定值16B ．存在点F ，使得直线EF 与直线1CD 相交C ．当F 是棱BC 的中点时，直线EF 与直线1CD 所成的角为π6D ．平面1D EF 截正方体所得的截面是五边形8．如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（ ）A ．ADB ∠的大小不会发生变化 B ．二面角A BDC --的平面角的大小不会发生变化 C ．BD 与平面ABC 所成的角变大 D ．AB 与DE 所成的角先变小后变大9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为（ ）A ．2350cm 3πB ．2700cm 3πC ．2350cm πD 210．已知在Rt ABC △中，斜边2AB =，1BC =，若将Rt ABC △沿斜边AB 上的中线CD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．13π3B ．20π3C ．10π3 D ．7π311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，5AD =，14AA =，点F 是1AA 的中点，点E 为棱BC 上的动点，则平面1C EF 与平面11ABB A 所成的锐二面角正切的最小值是（ ）A ．513BC D ．13512．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB内，且三角形PMN 的面积PMN S =△P 的轨迹长度为（ ）A B C D13．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D14．如图，等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，2PBA π∠=，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ； ③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④15．已知AB 、CD 是圆O 的两条直径，且60AOC ∠=︒，如图1，沿AB 折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点D 位置，如图2．设直线BD '与直线OC 所成的角为θ，则（ ）A ．90BD C '∠=︒且60θ>︒B ．90BDC '∠=︒且60θ≤︒ C ．90BD C '∠≠︒且60θ>︒ D ．90BD C '∠≠︒且60θ≤︒二、多选题16．如图，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧AD (不含A ，D 点)一动点．下列说法正确的是（ ）A ．三梭锥P —ABD 的每个侧面三角形都是直角三角形B ．三棱锥P —ABD 体积的最大值为83C ．三棱锥P —ABD 外接球的表面积为定值32πD ．直线PB 与平面ABCD17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（ ） A ．若112BF BC BD →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则三棱锥的11-F B CC 的外接球表面积为4π B ．若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C ．若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一D ．若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半18．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图⊥，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图⊥.则下列结论正确（ ）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．多面体ABCDEF 的体积为94D ．球离球托底面DEF 119．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '20．如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，4CAD π∠=，3BCD π∠=.现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成△11(D AC D 不在平面ABC 内）.若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面1ACDB ．1AD 与BC 不可能垂直C ．二面角1D AB C -- D ．直线1AD 与DM 所成角的取值范围为(,)63ππ21．已知边长为a 的菱形ABCD 中，π3ADC ∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ） A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 可能相互垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '22．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11B C 上一点（不与端点重合），则（ ）A ．平面OCP 截正方体1111ABCD ABCD -所得截面一定是梯形 B ．存在点P ，使得三棱锥1P ABD -的体积为23C ．存在点P ，使得AP 与11CD 相交D ．当P 是棱11B C 的中点时，平面OCP 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得截面圆的面积269π23．在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AC CD ⊥，直线AB ，CD 所成的角为60°，AB CD ==，4AC =，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）A B ．52π C ．80π D ．208π第II 卷（非选择题）三、填空题24θ，则当tan θ等于______时，侧面积最小．25．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A ，B ，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,AB BC CA ，由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC ．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点若P ，Q 在赤道上，且PQ =，则球面NPQ △的面积为________；若NP PQ QN R ===，则球面NPQ △的面积为________．26．如图，在矩形ABCD 中，2,4,AB BC E ==是边AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折成A BE ∠'，使得二面角A BE C '--的平面角为锐角，点F 在线段A B '上运动(包括端点)，当直线CF 与平面A BE '所成角最大时，FBE 在底面ABCD 内的射影面积为___________.27．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱两两垂直，AB 与底面BCD 成30角，P 是平面BCD 内任意一点，则AP BP的最小值是________.28．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是棱AD 的中点，点,F G 在平面1111D C B A 内，若EF =CE BG ⊥，则FG 的最小值为_________．29．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能为梯形； ②四边形1BFD E 有可能为菱形； ③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直于平面11BB D D ；⑤四边形1BFD E 其中正确结论的序号是_____________30．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为________.。

合用文档第 100 炼 利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同样，其余地方均同样的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：若是方程f a 0 和 f b 0 表现同构特点，则 a,b 可视为方程f x 0的两个根（ 2）在不等式中的应用：若是不等式的两侧表现同构特点，则可将同样的构造构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用： 若是 A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 满足的方程为同构式， 则 A,B 为方程 所表示曲线上的两点。

特其余，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 AB 的方程（ 4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特点，即关于a n ,n 与a n 1, n 1 的同构式，进而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：x 1 例 1：（ 2015 天津十二校联考） 设 x, y R ，满足y1（）552 x sin x1 3，则 x y2 y sin y11A.B.2C.4D. 6思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非 x, y ， 而 是 x 1 , y1，进而可变形为x15 x1 sin x1 125，观察上下式子左边构造同样，进而可将同样的构造y 1 y 1 sin y112视为一个函数， 而等式右边两个结果互为相反数， 可联想到函数的奇偶性， 进而利用函数性质求解5x 1 解：5y 12x sin x1 3 x 15x 1 sin x 1 12 2 y sin y 11y 1 5y1 sin y112设 f tt 5 2t sin t ，可得 ft 为奇函数，由题意可得：f x 11 f y 1f y 1f x 11x 1y 1x y2答案： B例 2：若函数 fxx 1 m 在区间 a,b 上的值域为a ,b b a 1 ，则实数 m 的2 2取值范围是 _____________a 1 maa, f b思路：注意到f x 是增函数，进而获取f ab，即2，发现22b 1 mb2两个式子为 a,b 的同构式， 进而将同构式视为一个方程，而 a,b 为该方程的两个根， m 的取值只需要保证方程有两根即可解：f x 为增函数a1 aa mf ab2 , f bb221b m2a, b 为方程 x 1 mx 在 1,上的两个根，即 mx x 1 有两个不同样的根2 2令 tx 1 t 0xt 2 1所以方程变形为：m 1 t21 t1 t2 2t 1 ，结合图像可得：m0,1222答案： m0,12例 3：设 a,b ? R ，则 | “ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）A. 充分不用要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不用要条件思路：观察 a a > b b 可发现其同构的特点，所以将这种构造设为函数f xx x ，解析f xx xx 2 , xf x a > b ? f ( a )f( )其单调性。

第97炼 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++②几何平均数：n G = ③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④ 平方平均数：2nn a Q ++=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。

高中联赛难度几何题100道（精华双图版）第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。

求证：PCE PCD ∠=∠。

第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F ,线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。

第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。

求证：ACD DPE ∠=∠2。

第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆。

第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。

求证：AC PQ ⊥。

第六题：证明线段相等已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。

第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。

求证：GM FM AM ⨯=2。

第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。

专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征； （Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。