线性变换

通识教育平台数学课程系列教材第一节向量空间第二节向量的线性相关性第三节向量空间的基及向量的坐标第四节欧氏空间第五节线性变换定义1一、线性变换的定义设σ是向量空间V 到向量空间W 的一个映射，如果σ满足:1) σ( α+ β) = σ( α) + σ( β),2) σ( k α) = k σ( α).其中α,β为V 中任意向量，k 为任意实数σ有上面的性质也说成σ保持向量的线性运算. 简言之，线性映射就是保持线性关系的映射.则称σ是V 到W 的一个线性映射. σ(α) 称为α在σ下的象，也可记为σα.§5 线性变换向量空间V 到其自身的线性映射称为V 中的线性变换.(1) 向量空间中变换的写法σ: ( x , y ) →( x + y , x -y ), (x , y ) ∈R 2σ( x , y ) = (x + y , x -y ), ( x , y ) ∈R 2注：(2)).()()(2121βαβασσσk k k k +=+可简写成σ(α+ β) = σ(α) + σ(β),σ(k α) = k σ( α).(3) 通常用花体字母T , S , … 来表示V 中的线性变换. 向量α在线性变换T 下的像，记为T (α) 或T α.上一页例1设A为n 阶实矩阵，对任意的n维行向量α，令T(α)=αA, α∈V.事实上, 设α, β∈V，因为T(α+ β) = (α+ β)A= αA+ βA= T(α) + T( β).T(kα) = ( kα)A = k (αA)= k T( α)故T是R n中线性变换.例2设V 是一向量空间，λ∈R . 对任意的α∈V ，令T (α) = λα，则T 是V 中的一个线性变换.所以T 是V 中的线性变换. 称这种变换为数乘变换.E (α) = α, O (α) = 0.上一页事实上, 设α, β∈V ，k ∈R ，因为T (α+ β) = λ(α+ β)= λα+ λβ= T (α) + T ( β).T (k α) = λ( k α)= k (λα)= k T (α)特别地，当λ= 1 时，T (α) = α，T 称为恒等变换，记为E ；当λ= 0时，T (α) = 0，T 称为零变换，记为O ，即例3R 3 中σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是线性变换.事实上, 设α= ( x 1, y 1, z 1) , β=( x 2, y 2, z 2)σ(α+ β) = σ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, z 1+ z 2 )= ( x 1+ x 2, y 1 + y 2, 0)= ( x 1, y 1, 0) + ( x 2, y 2, 0)= σ(α) + σ( β).证σ(k α) = σ(k x 1, k y 1, kz 1 )= ( k x 1, k y 1, 0)= k (x 1, y 1, 0)= k σ( α).故σ( x , y , z ) = (x , y , 0) 是R 3 中线性变换，称之为R 3 中向xOy 面的投影变换.x y z ( x , y , z )(x , y , 0)0上一页例4在R 2 中，设0≤ θ<2π, 令σ：(x , y )→(x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)则σ是R 2的一个线性变换.称线性变换σ是绕原点按逆时针方向旋转θ角的旋转变换.xy ( x , y )0θ事实上，由σ( (x , y )+(x 1 , y 1))=σ(x +x 1, y +y 1)证上一页)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x k +-=)cos sin ,sin cos (θθθθky kx ky kx +-=),()),((ky kx y x k σσ=).,(),(11y x y x σσ+=)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=)cos sin ,sin cos (1111θθθθy x y x +-+)]cos )(sin )(,sin )(cos )[(1111θθθθy y x x y y x x ++++-+=二、线性变换的性质和运算§5 线性变换定理1设T 是V 中的线性变换，则（1）T 把零向量变到零向量，把α的负向量变到α的像的负向量，即T ( 0 ) = 0, T ( -α) = -T (α).（2）T 保持向量的线性组合关系不变，即)(2211s sk k k ααα+++ T = k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k s T (αs )（3）T 把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，即若α1, α2, …, αs 线性相关，则T (α1 ), T (α2), …, T (αs )也线性相关.定义2设L(V) 是向量空间V中的全体线性变换的集合，定义L(V)中的加法、数乘与乘法如下：（1）加法：(T+S)α= T ( α) +S (α) ；（2）数乘：(k T)α= k T (α) ；（3）乘法：(T S)α= T (S (α)) ,其中，α∈V，k∈R,T ,S ∈L(V).易验证，T +S，T S 以及k T 都是V 中的线性变换.§5 线性变换三、线性变换的矩阵设V 是一个m 维向量空间,α1,α2,…,αm 是V 的一组基.T 是V 的一个线性变换.(1)T (α1)=a 11α1+ a 21α2 + … a m 1αm ,T (α2)=a 12α1+ a 22α2 + … a m 2αm ,……………T (αm ) = a 1m α1+ a 2m α2 + … a mm αm ,可用矩阵形式表示为：设则设,,2211m m k k k V ααααα+++=∈∀ (k 1α1+k 2α2+…+ k m αm )= k 1T (α1)+k 2T (α2)+…+k m T (αm )因此，若已知基向量α1,α2, …,αm 在线性变换T 下的像，就可知道V 中任意向量在线性变换T 下的像了.= (α1, α2, …, αm )(T (α1), T (α2), …, T (αm ))⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mm m m m m a a a a a a a a a 212222111211A (T (α1), T (α2), …, T (αm ) ) = (α1, α2, …, αm ) A.称矩阵A 为线性变换T 在基α1, α2, …, αn 下的矩阵.记T (α1, α2, …, αm ) = (T (α1), T (α2), …, T (αm ) )则有T (α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )A因此，取定V 的一组基后，对于V 的线性变换T 有唯一确定的m 阶方阵A 与它对应.T A在给定基下一一对应(1)V 中的全体线性变换组成的集合L (V ) 与全体实m 阶方阵所成集合R m X m 之间存在一一对应关系.注意：(2)线性变换的和、数乘和乘法对应于相应的矩阵之间的和、数乘和乘法.(3)线性变换可逆（即存在V 的一个变换S ，使得TS =E ）当且仅当T 对应的矩阵A 可逆，且T 的逆变换对应的矩阵就是A -1.例2例1R n 中恒等变换E (α) = α在每一组基下的矩阵为n 阶单位阵.R n 中零变换O (α)=0在任意基下的矩阵为零矩阵.R n 中线性变换T (α) = k α,k ∈R . T 在每一组基下的矩阵为数量矩阵k E n .例3求R 3 中的线性变换T (x 1, x 2, x 3)在标准基下的矩阵.T (e 1) = T (1, 0, 0 ) = (a 1 , b 1, c 1) = a 1e 1+b 1e 2+c 1e 3解所以T 在标准基下的矩阵为),,(332211332211332211x c x c x c x b x b x b x a x a x a ++++++=T (e 2) = T (0, 1, 0 ) = (a 2 , b 2, c 2) = a 2e 1+b 2e 2+c 2e 3T (e 3) = T (0, 0, 1 ) = (a 3 , b 3, c 3) = a 3e 1+b 3e 2+c 3e 3.321321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c b b b a a a A练习求R 2 中旋转变换σ(x , y ) = (x cos θ-y sin θ, x sin θ+ y cos θ)在标准基e 1= (1, 0), e 2= (0, 1)下的矩阵.σ(e 1) = (cos θ, sin θ) = cos θ⋅e 1+ sin θ⋅e 2,,σ(e 2) = (-sin θ, cos θ) = -sin θ⋅e 1+cos θ⋅e 2,,,.cos sin sin cos ),())(),((2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθe e e e σσ解若设(x , y )的象σ(x , y )在e 1, e 2下的坐标为(x ', y ')则x ' = x cos θ-y sin θy ' = x sin θ+ y cos θ.cos sin sin cos ''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x θθθθ四、象与原象的坐标变换公式设α1,α2, …, αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1, α2, …, αn 下的矩阵为A. 如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1, x 2, …, x n ) 和(y 1, y 2, …, y n )，则(3)§5 线性变换得由n n y y y αααξ+++= 2211)(σ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y nn x x x αααξ+++= 2211).()()()(2211n n x x x ασασασξσ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121))(,),(),((ααασσσ),,,(21n ααα =.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A 将(3)与(4)比较得.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y α的坐σ(α)的坐σ的矩(4)定理2设α1,α2,…,αn 是向量空间V 的一组基，线性变换σ在基α1,α2,…,αn 下的矩阵为A .如果ξ与σ(ξ)在该基下的坐标分别为(x 1,x 2,…,x n )和(y 1,y 2,…,y n )，则.2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y例4设σ是R 4的一个线性变换，对∀(x 1,x 2,x 3,x 4)∈R 4,σ(x 1,x 2,x 3,x 4)=(2x 1+x 2,3x 1-x 3,x 3,x 1+x 4),求σ在标准基ε1,ε2,ε3,ε4下的矩阵.σ(ε1) = σ(1, 0, 0, 0) = (2, 3, 0, 1)=2ε1+ 3ε2+ε4,σ(ε2) = σ(0, 1, 0, 0)= (1, 0, 0, 0)=ε1,,σ(ε3) = σ(0, 0, 1, 0) = (0, -1, 1, 0)=-ε2 + ε3,σ(ε4) = σ(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1)=ε4.解因为))(),(),(),((4321εεεεσσσσ.1001010001030012),,,(4321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεε所以σ在ε1, ε2, ε3, ε4下的矩阵为.1001010001030012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 上一页定理3设α1,α2,⋯,αm 和β1,β2,⋯,βm 是向量空间V 的两组基.线性变换σ在这两组基下的矩阵分别为A 与B ,从基α1,α2,⋯,αm 到基β1,β2,⋯,βm 的过渡矩阵是C ,则五、同一线性变换在不同基下的矩阵B =C -1AC .§5 线性变换线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组基的情况下建立的.如果取不同的基，同一线性变换对应的矩阵一般是不相同的.于是得B =C -1AC.●●●由 证,),,(),,(2121A m m αααααα =σ,),,(),,(2121B m m ββββββ =σ.),,,(),,(2121C m m αααβββ =),,(21m βββ σ[][]C C m m ),,,(),,,(2121αααααα σσ==AC m ),,(21ααα =.),,,(121AC C m -=βββ (线性变换保持线性关系)定义4设A,B为两个n阶矩阵,如果存在可逆矩阵C,使得B=C-1AC,则称A与B相似,记作A~B.由定理3知线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反之,若两矩阵相似,那么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵.定理设B=C-1AC,如果线性变换σ在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A，且则σ在基β1, β2, ⋯, βn 下的矩阵为B.(β1, β2, ⋯, βn) = (α1, α2, ⋯, αn )C.σ基α1, α2, ⋯, αn下Aσ基(β1, ⋯, βn) = (α1, ⋯, αn)CBB = C-1AC.下上一页*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三个性质:1. 反身性:A~A;2. 对称性:如果A ~B, 则B ~A;3. 传递性:如果A~B, B ~C, 则A~C.例2线性变换σ在基β1, β2下的矩阵为上一页设α1,α2与β1 , β2 是向量空间V 的两组基，由基α1,α2到基β1, β2的过渡矩阵为C ,线性变换σ在基α1,α2下的矩阵为求线性变换σ在基β1, β2下的矩阵B.,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C ,0112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 解AC C B 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111011221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11011112.1011⎪⎪⎫ ⎛=定理4设σ是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：六、正交变换(1) σ是正交变换；§5 线性变换定义5设σ为欧氏空间V 中的线性变换, 如果对于任意的α, β∈V , 都有),,(),(βασβσα=则称σ为V 中的正交变换.(2) σ保持向量的长度不变，即对于任意的;)(,αασα=∈V 的标准正交基；也是的标准正交基，则是如果V V m m )(,),(),(,,,)3(2121ασασασααα (4) σ在任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵.B =C -1AC .例6定义映射上述映射显然为一个线性变换，σ在标准正交基下的矩阵为(,)(cos sin ,sin cos ).x y x y x y σθθθθ=-+.cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA .,为正交矩阵即且满足A E AA A A T T ==故坐标旋转变换是一个正交变换，它保持向量的长度不变.七、线性变换的特征值与特征向量§5 线性变换给定V 中的一个线性变换σ，是否存在V 的一组基，使σ在此组基下的矩阵为对角矩阵？事实上，的特征向量的属于特征值也是，非零实数的特征向量，则对任意的属于特征值是如果.λσξλσξk k 定义6设σ是向量空间V 的一个线性变换,如果存在实数λ和V 中一非零向量ξ,使得λξξ=)(σ那么λ称为σ的一个特征值, ξ称为σ的属于特征值λ的一个特征向量.1.线性变换的特征值与特征向量的概念例7设σ是数乘变换：σ(α)=λα, α∈V，则λ是σ的特征值，V中非零向量都是σ的属于特征值λ的特征向量.2. 线性变换可对角化的条件定理5设V为m维向量空间，为V中的一个线性变换.那么存在V的一组基，使得σ在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是σ有m个线性无关的特征向量.设σ可对角化, 则存在V 的一组基α1, α2, ⋯αm , 使σ在此基下的矩阵为对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m Λλλλ 21即σ(α1, α2, …, αm ) = (α1, α2, …, αm )Λ证则mi i i i ,2,1,)(==ααλσ反之,如果σ有m 个线性无关的特征向量,就取它们为基,则σ在此基下的矩阵就是对角形矩阵.因此α1,α2,⋯αm 就是σ的m 个线性无关的特征向量.上一页注意：从以上证明可知，如果线性变换σ在某一组基下的矩阵为对角阵A ，则这组基由σ的特征向量组成，且矩阵A 的对角元就是线性变换σ的特征值.方阵与线性变换是一一对应的，可类似引入方阵的特征值与特征向量的概念.3.矩阵的特征值与特征向量的概念定义1设A 是一个m 阶实方阵, 如果存在实数λ和非零的m 维列向量ξ, 使得λξξ=A 那么λ称为方阵A 的一个特征值, ξ称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（1）设m 阶方阵A 是m 维向量空间V 上线性变换σ在一组基下的矩阵，则λ是σ的特征值的充要条件是λ为矩阵A 的特征值.结论：从线性变换与矩阵的对应关系可得如下结论.设R m 中线性变换σ在基α1, α2, …, αm 下的矩阵为A . 即的特征向量于特征值的属是矩阵是的特征向量的充要条件征值的属于特是线性变换则为下的坐标中非零向量，它在基为..),,,(,,,2121λλσξαααξA X x x x X V Tm m =（2）m 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.即m 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 有m 个线性无关的特征向量.σ的特征值= A 的特征值ξ= (α1, α2, …, αm ) XA 的属于λ的特征向量σ的属于λ的特征向量练习设R 2 的线性变换σ为σ: (x 1, x 2)→(2x 1+ 4x 2, -x 1),求σ在基α1= (1, -1), α2= (-1, 2) 下的矩阵.上一页σ在标准基ε1, ε2下的矩阵为,0142⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 而由ε1, ε2 到α1, α2 的过渡矩阵为,2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C 解那么σ在α1, α2 下的矩阵为B =C -1AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111014221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211101421112.73135⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。

线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。

2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。

根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。

二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。

设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。

线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。

由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。

另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。

线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。

因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。

设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。

这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。