下载文档原格式
格林公式及其应用一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件１ 格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下： １.１ 单连通区域设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域,否则称是多连通区域． １.２ 格林公式Ⅰ设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,则其中表示边界是正向,若是的一条封闭曲线,则定向如下：当人沿进行时,使区域在它的左边,或在上一点作一右手系标架使指向的外法线方向,则的指向即为的方向． １.３ 格林公式Ⅱ设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线则为边界曲线的外法线方向．例1:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin =[]ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121例2:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x xQ += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价.(1)xQy P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线 (3)积分⎰Γ+A BQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P x u =∂∂ Q yu =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P x u =∂∂ ),(y x Q yu=∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 x y uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQy P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒ 曲线积分⎰Γ+A BQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P x u =∂∂ Q yu =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limx dxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(limlim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim 0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x A B),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=xy C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx A By x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ ------曲线积分的N-2公式 例3:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQx y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例4:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQy P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例5:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5.解一:xQy P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y Pcos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y x Q设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r 由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =2 21Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关. dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=20cos )cos 1(2πtdtt xdx24π-=例6:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x例7 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，求证220Lxydx x dy +=⎰证明 令22,P xy Q x ==则P Qx y x∂∂==∂∂在全xOy ，这个单连通区域G 内成立．故由格林公式可得2200LDxydx x dy dxdy +=±=⎰⎰⎰ ．(2)当考虑积分L Pdx Qdy +⎰ 时，若L 为平面区域G 内一条简单闭曲线，而区域G 为含有“点洞”M 的复连通区域，函数P 、Q 除点M 外，处处有连续偏导数存在，且满足P Qy x∂∂=∂∂．当闭路L 不包围点M 时，此曲线积分的值为零．当闭路L 包围点M 时，一般说来，此线积分不再为零，积分值为一常数，具体求法如下：只要选择一个适当小的包围点M 的正向闭曲线C 来将点M 扣掉，则曲线积分在以L 和C 围成的复连通区域G 内仍可用格林公式计算，并有结论：LCPdx Qdy Pdx Qdy +=+⎰⎰其中C 为闭路正向．#综上可知,格林公式可使曲线积分的计算大大简化,因此在场论、流体力学、热力学、电学及微分方程等学科中得到广泛的应用.。
格林公式的应用
1.什么是格林公式？
格林公式是指由英国数学家格林提出的用来计算某一多项式在
某一点的近似值的公式，它是一个多项式的近似值计算公式。
格林公式是基于抛物线（parabola）近似曲线在一定范围内拟合某多项式，其实际应用中是以三次多项式来近似计算出某多项式在某一点的近
似值。
2.格林公式的应用
（1）求解曲线的稳定点：格林公式可用来计算曲线的稳定点，即一阶导数为0时的值。
（2）优化函数：格林公式可用于优化函数，如果给定函数的一阶和二阶导，可利用格林公式求得函数的极值点。
（3）数值积分：格林公式也用于数值积分，能够准确而快速地求得曲线的积分值。
（4）对称函数：格林公式可用于求解对称函数的极值点，比如圆形的半径等。
（5）曲线拟合：格林公式也可以用于曲线拟合来确定某一多项式在某一点的值，从而降低计算的复杂度。
- 1 -。
