格林公式及其应用

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高数B 格林公式

Q P
(4) 在 D 内每一点都有
=
y
的全微分,
证明 (1) (2)
设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
B
线, 则
L2
P
d
x

Q
d
y

P
d
x

Q
d
y

L1
L2
A

L1 L 2
Pd x Qd y

L2
L1
(根据条件(1))
Pd x Qd y
对 D 内任意闭曲线 L 有 L P d x Q d y 0
Q P

在 D 内有
x y
在 D 内有d u P d x Q d y
P d x Q d y 0 为全微分方程
(如图) , 因此在D上
P Q

D D
L
y x
利用格林公式 , 得
Q Q
L P d x Q d y D ( x x )d xd y 0
(4) 在 D 内每一点都有
证毕
P Q

.
y x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pd x Qd y 0 .
Fx

y tan x
y
Fy
y y tan x
1
y
sec x
因此有
y x 0 1
cos x
练习题：
(1)
(2,1)
证明积分I=‫(׬‬1,0)
2 − 4 + 3 + 2 − 4 3 , 在

格林公式及其应用

L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0，作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向有 , xdy ydx x y
P 因连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积
一、格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB

高等数学-格林公式及其应用.ppt

l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积包.添分括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4

格林公式及其应用

y d
D
x = ψ 1( y)
由于区域 D 既是X − 型又是Y − 型的,两式相加则有
c O
x = ψ 2 ( y)
x
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
上页
下页
返回
结束
情形二情形二区域 D既不是 X − 型的又不是 Y − 型的, 但是是单连通区域 .
a, b
∂Q ∂p ∫∫( ∂x − ∂y)dσ = ∫L P( x, y)dx+ Q(x, y)dy D
平面区域上的二重积分与区域边界曲线上的曲线积分的关系。边界曲线上的曲线积分的关系。
上页下页返回结束
2.格林公式 2.格林公式
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L所围成 , 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D上具有一阶连续偏导数 , ∂Q ∂ P − 则有 ∫∫ dxdy = ∫ Pdx + Qdy , L ∂ x ∂y D 其中L 是 D 的正向边界曲线 .
− y2
dy
OA : y = x .
x : 0 → 1.
∫ xe
d y = ∫ xe
0
1
− x2
1 dx = (1 − e −1 ). 2
上页下页返回结束
(3)计算平面区域的面积 (3)计算平面区域的面积
∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dσ = ∫L P ( x , y )dx + Q( x , y )dy. D
D − y2
dxdy , D : 以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
y
为顶点的三角形闭区域 .

格林公式及其应用

一、区域连通性的分类二、格林（Green）公式三、简单应用四、小结
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D
单连通区域
D
复连通区域
L L1 L2
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.
L2 d
c
L1
证明 (3)
D3 D1
D2
D
证明 (4)D：复连通区域由(2)知
G
E C
B F
A
定理1
格林公式
格林公式： *1 格林公式的行列式形式：
*2 格林公式与牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式：
()左边: ()右边:
故 ()即说明(?) 格林公式是牛顿-莱布尼兹公式的推广
*3 格林公式的向量形式
解
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
— 格林公式
3. 格林公式的应用.
作业：199页 1(1)(2)(4)(5),4,5,9(2),*9(1)(3)
思考题
若区域 D 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。
g ef
思考题解答
L 由两部分组成外边界：内边界：
二、格林公式
定理1
格林公式
证明
思路:公式两边化为同一定积分.
(1)若区域 D 既是 X—型又是Y — 型.
从简单情形出发.
d L1
E
L2
D
c
C
d L1
E
L2
D
c C
类似，把 D 看成 X —型，有两式相加得

格林公式求面积

格林公式求面积格林公式是一种计算多边形面积的方法，适用于各种形状的多边形。

本文将介绍格林公式的原理和应用，并通过实例演示如何使用格林公式计算多边形的面积。

一、格林公式的原理格林公式是基于向量叉乘的原理，其核心思想是将多边形划分成若干个小三角形，然后计算每个小三角形的面积并求和，最终得到整个多边形的面积。

二、格林公式的应用格林公式适用于各种形状的多边形，包括凸多边形和凹多边形。

使用格林公式计算多边形的面积需要知道多边形的顶点坐标，然后按照一定的顺序连接这些顶点，形成一个封闭的多边形。

三、格林公式的计算步骤1. 根据多边形的顶点坐标，按照一定的顺序连接这些顶点，形成一个封闭的多边形；2. 遍历多边形的每条边，计算该边与x轴的夹角，并计算该边的长度；3. 根据向量叉乘的原理，计算每个小三角形的面积；4. 将每个小三角形的面积求和，得到整个多边形的面积。

四、格林公式的实例演示假设有一个四边形，其顶点坐标依次为A(0, 0)，B(2, 0)，C(2, 3)，D(0, 3)。

按照顺序连接这四个顶点，形成一个封闭的四边形。

计算AB边与x轴的夹角为0°，长度为2；计算BC边与x轴的夹角为90°，长度为3；计算CD边与x轴的夹角为180°，长度为2；计算DA边与x轴的夹角为270°，长度为3。

然后，根据向量叉乘的原理，计算AB边和BC边所形成的小三角形的面积为(2 * 3) / 2 = 3；计算BC边和CD边所形成的小三角形的面积为(3 * 2) / 2 = 3。

将每个小三角形的面积求和，得到整个四边形的面积为3 + 3 = 6。

五、格林公式的优缺点格林公式的优点是适用于各种形状的多边形，计算结果较为准确。

缺点是需要知道多边形的顶点坐标，并按照一定的顺序连接这些顶点，这在实际应用中可能会带来一定的困扰。

六、结语格林公式是一种计算多边形面积的常用方法，通过将多边形划分成小三角形并计算每个小三角形的面积，可以得到整个多边形的面积。

高等数学-格林公式及其应用

由格林公式知 xdy ydx 0 L x2 10 y 2
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一、格林公式
区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左

格林公式的应用

格林公式的应用
1.什么是格林公式？
格林公式是指由英国数学家格林提出的用来计算某一多项式在
某一点的近似值的公式，它是一个多项式的近似值计算公式。

格林公式是基于抛物线（parabola）近似曲线在一定范围内拟合某多项式，其实际应用中是以三次多项式来近似计算出某多项式在某一点的近
似值。

2.格林公式的应用
（1）求解曲线的稳定点：格林公式可用来计算曲线的稳定点，即一阶导数为0时的值。

（2）优化函数：格林公式可用于优化函数，如果给定函数的一阶和二阶导，可利用格林公式求得函数的极值点。

（3）数值积分：格林公式也用于数值积分，能够准确而快速地求得曲线的积分值。

（4）对称函数：格林公式可用于求解对称函数的极值点，比如圆形的半径等。

（5）曲线拟合：格林公式也可以用于曲线拟合来确定某一多项式在某一点的值，从而降低计算的复杂度。

- 1 -。

《格林公式及其应用》PPT课件

n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB

格林公式及其应用格林公式

格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。

它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。

格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。

下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。

1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。

下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。

1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。

1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。

2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。

下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。

2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。

例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。

格林公式及其应用-课件

OB
y
(1 )
o
y x2
x y2
B(1,1)
x
A(1,0)
进一步猜测：沿任意分段光滑的曲线 LOB：
2xydx x2dy ?
LOB
(1 )
问题1
一、Green公式
是否所有二型线积分都有这样的性质：积分值只与曲线 L的起点和终点有关
而与曲线 L所走过的路径无关？ ( 否 )
B(1,1)
I 1 2 y2 y 2 ydy 1 y4dy o
0
0
x
A(1,0)
5 1 y4dy 1 0
1. 引例
一、Green公式
引求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
L
LOAAB 来自12x 0dx
112 dy 1
0
0
1. 引例
一、Green公式
引求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
猜一猜：
2xydx x2dy ?
ydx
其中，L是D的正向边界曲线。
G.F .:P 0,Q x
证：xdy
L
Py 0,Qx 1
(1 0)d D
D
同理： ydx d D ydx
L
D
L
例1
4. Green公式举例
求椭圆
x2 a2

§2 格林公式及其应用

1 =0，从而因为是基本解，所以 ∆ M0 r rM 0 M M0M 由叠加原理，（见引 ∆R( M 0 ) = 0 。由叠加原理， ∆V ( M 0 ) = F ( M 0 ) 。见引（
1
力场势函数）。力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。称为体位势：可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证明：将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
上页下页返回
1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
上页下页返回
1 ∂u 1 ∂u dS ，即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公内的调和函数，式的推导，式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有

5 格林公式及其应用

L
P d x Qd y 0 .
(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.

L
P d x Qd y
的全微分,
(iii)
是 D 内是某一函数即 d u ( x, y ) P d x Q d y
(iv) 在 D 内处处成立
P Q . y x
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
这是因为设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2)是G内一条任意的闭曲线而且有
L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 由条件(iv), 在 D 上处处成立
D
P Q y x
利用格林公式 , 得
Q P L P d x Q d y ( x y )d xd y 0
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y0 x
u(x, y) P(x, y0)dx Q(x, y)dy
x0 y
u(x, y) Q(x0, y)dy P(x, y)dx
y0 x0
应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立
AO ,
原式
L AO ( x 3 y) dx ( y x) d y 2 2 ( x 3 y ) d x ( y x) d y OA 4 2 y 4 d xd y x dx L 0 D

格林公式及其应用

-
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
2 xy Q d (x ,x y )d y 2 xy Q d (x ,x y )dy
(0 ,
解：由题意知曲线积分与路径无关，因而有 Q (2xy)
x y
-
即 Q 2x. 于是 Q(x,y)x2(y)其中 ( y)
x
为任意可导函数。如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
-
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
DQ xP ydxdyPdxQdy (1)
其中L是D的取正向的边界曲线。公式（1）叫做格林公式。
注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向。
(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
(x,y)
u(x,y)
PdxQd满y 足
x y ( , ) 00
-
duPdxQdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L2xydQ y(x,y)dy
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有
(t,1 )
(1 ,t)
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。

格林公式及其应用

d d c
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y c

CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
即同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
例31.8. 计算 I
B(2,0)的路径．
AOB
(12 xy e y )dx (cos y xe y )dy ,
其中AOB为由点A(1,1)沿y x 2到O(0,0),再沿y 0到
解：添加辅助线: 直线段BC与CA.
y A
O
I sin 1 e 1.
C
B
x
(2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
D2
D1
L
Dn

k 1 n
n
Dk

Q P d xd y x y
o
x

k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
(1)
其中L取正向．
公式(1)称为格林公式．(Green formula)
证明: (1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
y
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B

格林公式及其应用

a
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C

x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π

格林(Green)公式及其应用

格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定理中发挥了重要作用，如黎曼定理和克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中的推广，它描述了高维空间中向量场和标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式或应用，它们在特定情况下可能更加方便或有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多格林公式的变种。这些变种可能在某些特定情况下更加适用，例如在处理非线性问题或复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格林公式在各个领域的应用越来越广泛。未来，我们可以进一步探索格林公式的各种应用，如数值计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过程。

11-3格林公式及应用

1 2 3
L Pdx Qdy .
故(1)式成立.
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy (1) D 证明 (3) 若区域为多连通区域如图
其边界曲线L 由二条闭曲线L1，L2 所构成． L2 D 作线段 AB，CE 将积分区域分成 D1， 2 . D 2 B L1 设其边界分别 l1，l2 . D1 A Q P 则 ( )dxdy x y D Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy x y x y D1 D2
1
L1
D
L2
2
y 证明 (1) ô ø ò D Ä ±ç L è ¼ Ð Ú È Ç Ó µ ß ¼ Ó Æ Ó ×±á Ä ±ß Ä º á º à º ¼ á ® ø ê Ö µ Ö Ï µ ¼ µ ² ¶ ¼ Á µ £ D：a x b， 1 ( x ) y 2 ( x ) . A b 2 ( x ) P P dy 则 dxdy dx a 1 ( x ) y y D
二、格林公式
定理设平面闭区域 D由分段光滑曲线 L所围成，函数 P ( x , y ) 及 Q( x , y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数， Q P )dxdy Pdx Qdy (1) 则有 ( L x y D 其中 L是 D 的边界取正向，公式(1) 称为格林公式．边界曲线L 的正向：当观察者沿区域D的边界L行走时，单连通区域 L 所围区域D总在他的左侧．多 L 连 D 通 L 区域
L2 D3 D2
3
D
D1
L1
L
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D D D

格林公式应用

格林公式应用
格林公式是一种将面积、体积或曲面积分转化为线积分和一般积分的定理，在物理学、数学和工程学中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用：
1.计算曲面积分：使用格林公式可以将曲面积分转化为线积分，从而简化计算，例如计算电场、磁场的曲面积分。

2.计算曲线积分：格林公式可以将曲线积分转化为一般积分或区域积分，用以计算流量、功率、电荷等。

3.流量计算：流量是指液体或气体在单位时间内通过单位面积的空间的体积，通过使用格林公式可以将流量计算转换为曲线积分，从而得到精确的流量值。

4.温度计算：格林公式可以将温度计算转化为线积分，从而得到空间内各点温度的变化情况。

这在热力学、气象学等领域中有广泛的应用。

5.电路理论：格林公式可以用来计算感性电路、电容性电路等的电流和电容等参数。

6.分析力学：格林公式可以用来计算刚体的动量、动能、力矩等物理量。

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D
PdxP dxP dx
L
L 1
L 2
L 1:y1(x)
Oa
bx
b
a
a P [x ,1 (x )d x ] bP [x ,2 (x )d x ]
a b {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x } DPydxdy.
2021/3/9
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设 D :1 ( y 区 ) x 2 ( y )c 域 ,y d .
终位于他. 的左侧 D带有正向的边为D 界的曲正线向称边.界曲
例 D 1 : 如 {x ,(y )x 2 y 2 1 } ,
z
正向边界为逆时针的走单向位圆周{(x, y) x2 y2 1}.
2021/3/9
O
1y
x1
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z
D 2:{x (,y)x2y21}
正向边界为顺时针走
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式二、格林公式的简单应用
2021/3/9
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一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界
D设为一平面 ,如区果 D域内任意一条闭曲
所围的有界区D域 ,则都称 D是属平于面单连通
域,不是单连通的称平为面复区连域.通区域
2021/3/9
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情形三D是复连通.区域
将 D沿辅A 助割 B线 ,开得到 L1以 BA L2A为 B
正向边界的 . 单连通区域
D(Q xPy)dxdy
L1
L2 A
B
D
P (x,y)d xQ (x,y)d y
L 1B A L 2AB
因P 为 (x ,y )d x Q (x ,y )d y 0 ,
D
0
2021/3/9
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二、格林公式的简单应用
(1)简化曲线积分
例1 计算 x4dxxd yy,其L 中是(以 0,0)(,1,0)(,0,1) L
为顶点的三正角向形 .边区界域的
解记 L所围区 D,由域格为林公 1 y式
x 4 d xxd y( (x) y (x 4))d x d y
L
D x y
D
ydxdy 1dx1xydy1.
D
00
6
O
1x
2021/3/9
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例2 计算 Lxdy,L是半径 r的为圆周在第一
则有
D
Q x
Pdxdy y
L
Pdx
Qdy,
其中L是D的正向边界曲. 线
公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家格林在 1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.反应的是二重积分与区域边界曲线上的第二类曲线积分的关系。结果是二重积分与曲线积分的計算可以互转。
2021/3/9
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证情 :区 D 既形域 X 型是一的 Y 型 .又的是
D : 1 ( x ) y 2 ( x ) a ,x b .
Pdxdybdx2(x)Pdy
Dy
a 1(x) y
y
b
a {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x .}
L 2:y2(x)
微积分学基本公式 a b f(x )d x F (x )b a F (b ) F (a )
复习Newton-Leibniz公式：这里 f(x)在[a,b]上连续
F (x )f(x )
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Newton-Leibniz公式的推广
函数：一元函数
二元函数
O
1
1 x
正向边界为逆时针走向
y 向的单位圆周 {(x, y) x2 y2 1}.
z
的圆周{(x, y) x2 y2 4} 与顺时针走向的圆周
1O 1 2 y
{(x, y) x2 y2 1}共同组成. x2 D 3:{x ,(y )1 x 2 y 2 4 }
2021/3/9
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积分范围：[a,b]
边界: a,b
2021/3/ (x,y)dy
平面区域上的二重积分与区域
边界曲线上的曲线积分的关系。
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2.格林公式
定理1 设闭区D域由分段光滑的曲 L所线围成, 函数P(x, y),Q(x, y)在D上具有一阶连续偏,导数
B A AB
P(x,y)dxQ (x,y)dy.
L 1L 2
定理得证.
2021/3/9
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公D 式 Q x P y dxdyLP dxQ dy的重:要
1．格林公式的实质: 建立了二重积分与边
界曲线积分之间的联系.
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二类曲线积分的新方法.
D
D
单连通域
复连通域
从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域．
2021/3/9
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D 是 x设 O 平 y面上 ,规的 D 的定闭边区界域
的正:向如下当人x站 O平 y立面(于位上于 z轴正向所指
侧)并 , 沿边界的这前一行方进 ,邻向时近朝处 D始的
类似地可证
y
D
Qdxdy x
LQdy.
d x1(y)
由于区D域既是X型又 c
是Y型的,两式相加则有 O
D
x2(y) x
D Q x P y dxdyLP dxQ dy
2021/3/9
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情形D 二既 X 不型区是的域 Y 又型 ,但不的
是是单 . 可使以得用每连辅个助部曲分线闭把区通域D分都成满有足限上区个述部条分件闭。区域域，
添在 X 加型 Q 每 D 辅又 i 上 P ,助个 Y 是有 d x Dd 线型分 y 将的割P 部成 dx 分有 Q .d 区限 y, 域个D既 1 是 CABDD23
因 D ix 为 y
L i
P dxQ dy0,
ACCBB A
对i求和有D Q x P y d xd yLP d xQ d y.
格林公式便于记忆的形式
x ydxdyLP(x,y)dxQ (x,y)dy.
DP Q
2021/3/9
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例: 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydxx2dy0
证: 令 P2xy,Qx2, 则
Q P 2x2x0 x y
利用格林公式 , 得
L2xydxx2dy
0dxdy

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