中考数学二模试题(含解析)

2024年广东省深圳市34校中考二模联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（）A．与对手打成平局B．输给对手C．打赢了对手D．无法确定【答案】B【分析】根据正负数的概念即可得出答案．【详解】解：由题意可知：胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，∴某队得到“－1”分，则球队比赛输给了对手．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数的概念，解题的关键是理解正数和负数的意义．2．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】∵不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴不符合题意；∵ 是轴对称图形，也是中心对称图形，∴符合题意；∵不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴不符合题意；∵不是中心对称图形，∴不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．3．中国海关总署于2024年1月12日发布消息称：2023年我国汽车出口量为522万辆，同比增加57.4%．数据“522万”用科学记数法表示应为（ ）A ．75.2210⨯B ．65.2210⨯C ．452210⨯D ．70.52210⨯【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正整数，当原数绝对值小于1时，n 是负整数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：522万65220000 5.2210==⨯．故选：B ．4．下图是深圳市2024年4月7~11日的天气情况，这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ）A ．19，19B ．19，18C ．18，19D ．20，19【答案】A【分析】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和中位数的知识解答．根据这5天的最低气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，本题得以解决．【详解】解：这5天中最低气温从低到高排列是：18，19，19，20，23，故这组数据的中位数是19，众数是19，故选：A ．5．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若1130335AB CD ∠=︒∠=︒∥，，，则2∠的度数为（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质推出335ABC ∠=∠=︒，由三角形外角的性质即可求出2∠的度数．由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到418013050∠=︒-︒=︒，由三角形外角的性质即可求出2485ABC ∠=∠+∠=︒．【详解】解：如图，∵AB CD ，∴335ABC ∠=∠=︒，∵1130∠=︒，∴418013050∠=︒-︒=︒，∴2485ABC ∠=∠+∠=︒．故选：C ．6．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．()22343218ab ab a b -⋅=-D ．()32623ab ab b÷-=-【答案】D【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，原式计算错误，不符合题意；B 、a 与22a 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；C 、()2223422322198a b ab ab ab a b -⋅⋅==，原式计算错误，不符合题意；D 、()32623ab ab b ÷-=-，原式计算正确，符合题意；故选：D ．7．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB 为60cm ，桌面平放时高度DE 为70cm ，若书写时桌面适宜倾斜角ABC ∠的度数为α，则桌沿（点A ）处到地面的高度h 为（ ）A ．()60sin 70cm α+B ．(60cos 70)cm α+C ．(60tan 70)cm α+D ．130cm【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：AC CB ⊥，然后在Rt ACB △中，利用锐角三角函数的定义求出AC 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：AC CB ⊥，在Rt ACB △中，60cm AB =ABC α∠=，∴sin 60sin AC AB αα=⋅=，∵70cm DE =，∴桌沿（点A ）处到地面的高度()60sin 70cm h AC DE α=+=+．故选：A ．8．在同一直角坐标系中，一次函数1212(0)2y x y kx b k =+=+<，的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．2y 随x 的增大而减小B ．3b >C ．当120y y <<时，12x -<<D ．方程组24x y kx y b -=-⎧⎨-=-⎩的解为23x y =⎧⎨=⎩【答案】C9．下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x 两，共有y 人，则所列方程（组）错误的是（ ）隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.《算法统宗》注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语A ．7498y y +=-B ．4879x x -+=C ．7498y x y x =-⎧⎨=+⎩D ．7498y x y x=+⎧⎨-=⎩【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．如图（a ），A ，B 是⊙O 上两定点，90AOB ∠=︒，圆上一动点P 从点B 出发，沿逆时针方向匀速运动到点A ，运动时间是()s x ，线段AP 的长度是()cm y ．图（b ）是y 随x 变化的关系图象，其中图象与x 轴交点的横坐标记为m ，则m 的值是（ ）A ．8B ．6C ．D ．143【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点P 的运动时间是解题关键．根据AP 最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．【详解】解：如图，当点P 运动到PA 过圆心O ，即PA 为直径时，AP 最长，由图（b ）得，AP 最长时为6，此时2x =，90AOB ∠=︒Q ，90POB ∴∠=︒，∴此时点P 路程为90度的弧，点P 从点B 运动到点A 的弧度为270度，∴运动时间为236⨯=，故选：B ．二、填空题11＝ ．12．若关于x 的一元二次方程()222420a x x a a -+-+=有一个根为0，则=a ．【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把0x =代入一元二次方程()222420a x x a a -+-+=中求出a 的值，再根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：把0x =代入方程()222420a x x a a -+-+=得：220a a -+=，解得0a =或2a =，∵方程()222420a x x a a -+-+=是关于x 的一元二次方程，∴20a -≠，∴2a ≠．∴a 的值为0．故答案为：0．13．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A ，B ，C ，D ．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是 ．A 冰化成水B 酒精燃烧C 牛奶变质D衣服晾干共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：共2种，∴所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为14．如图，正比例函数()0y ax a =>的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象交于A ，B 两点，过点A 的直线分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点．当2AC AD =，18BCD S =△时，则k =．15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，过点E 作ED 的垂线交BC 于点F ，对角线AC 分别交DE ，DF 于点G ，H ，当DH AC ⊥时，则GH EF的值为 ．三、解答题16．（1）计算：()02120248cos603π-⎛⎫--︒+- ⎪⎝⎭；（2）化简：22211121a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪+-+17．在直角坐标系中，将ABC 进行平移变换，变换前后点的坐标的情况如下表：变换前ABC ()1,1A ()4,1B ()4,5C 变换后A B C ''' ()6,3A '()9,3B 'C '(1)平移后点C '的坐标是______，并在直角坐标系中画出A B C ''' ；(2)若(),P m n 是ABC 内一点，通过上述平移变换后，点P 的对应点P '的坐标可表示为______；(3)连接BB '，CC '，则四边形BB C C ''的形状是______，其面积为______．【答案】(1)()9,7，画图见解析(2)()5,2m n ++；(3)平行四边形，20【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，平行四边形的性质与判定等等：（1）根据()1,1A ，()6,3A '可得平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度，据此求出C '的坐标，再描出A B C '''、、，然后顺次连接A B C '''、、即可；（2）根据（1）所求的平移方式即得到答案；（3）根据平移的性质得到BB CC BB CC ''''=，∥，则四边形BB C C ''的形状是平行四边形，则4520BB C C S ''=⨯=四边形．【详解】（1）解：∵A B C ''' 是ABC 平移得到的()1,1A ，()6,3A '，∴平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度，∵()4,5C ，∴()45,52C +'+，即()9,7C '，故答案为：()9,7C '如图所示，A B C ''' 即为所求；（2）解：∵A B C ''' 是ABC 向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度得到的，(),P m n 是ABC 内一点，∴点P 的对应点P '的坐标可表示为()5,2m n ++，故答案为：()5,2m n ++；（3）解：由平移的性质可得BB CC BB CC ''''=，∥，∴四边形BB C C ''的形状是平行四边形，∴4520BB C C S ''=⨯=四边形．故答案为：平行四边形，20．18．某校学生的上学方式分为“A 步行、B 骑车、C 乘公共交通工具、D 乘私家车、E 其它”，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图：(1)本次抽样调查的人数为______人，并补全条形统计图；(2)扇形统计图中“A 步行”上学方式所对的圆心角是______度；(3)若该校共2000名学生，请估计该校“B骑车”上学的人数约是______人；(4)该校数学兴趣小组成员结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．如：骑车上学的学生超过全校学生总人数的30%，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议．故答案为：150；（2）扇形统计图中“A步行”上学方式所对的圆心角是故答案为：36；（3）估计该校“B骑车”上学的人数约是故答案为：680；（4）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）．19．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元；（2）设再次订购m 本《朝花夕拾》，则再次订购(100)m -本《西游记》，根据题意得：301410(100)1200m m m ≥⎧⎨+-≤⎩，解得：3050m ≤≤．设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为w 元，则1410(100)w m m =+-，即41000w m =+，40> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当30m =时，w 取得最小值，最小值为43010001120⨯+=（元)，此时1001003070m -=-=（本)．答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元．20．如图，以ABC 的边AB 为直径作O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点E 作EF AC ⊥，垂足为F ，EF 与AB 的延长线交于点G ．(1)以下条件：①E 是劣弧BD 的中点：②CF DF =；③AD DF =．请从中选择一个能证明EF 是O 的切线的条件，并写出证明过程：(2)若EF 是是O 的切线，且46AF AB ==，，求BG 的长．【答案】(1)详见解析(2)6BG =∴∠=∠，12，OA OD=，∠+∠=∠+∠A123A∴∠=∠=∠=∠，123∴∥，OE AC，EF AC⊥OE AC∴∥，∴∠=∠=︒，90OEG AFE的切线．∴是OEFDE OE，方法2：证明：连接,，=⊥,CF DF EF AC∴垂直平分线段CD，EF∴=，CE DE四边形ADEB为圆内接四边形，∴∠=∠，1CDE，OB OE=∴∠=∠，12∴∠=∠，C2∴∥，OE ACOEG AFE∴∠=∠=︒，90的切线．∴是OEF∥，（2）由（1）可知OE AC90,∴∠=∠=︒∠=∠，OEG AFE GOE GAF∴△∽△，GOE GAF21．【项目化学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.实验过程：如图（a ）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A 处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x （单位：s ）、运动速度v （单位：cm /s ）、滑行距离y （单位：cm ）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下：运动时间/t x0246810L 运动速度()/cm /s v 1098765L 滑行距离/cm y 01936516475L根据表格中的数值分别在图（b ）、图（c ）中作出v 与x 的函数图象、y 与x 的函数图象：（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：任务二：观察分析（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）任务三：问题解决（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：n处有一辆电动小车，以2cm/s的速（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方cm度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．（2）由（b ）中图象可知：v 与x 的函数关系为一次函数关系，∴设v kx c =+，代入(0,10)，(2,9)得：1029c k c =⎧⎨+=⎩，解得：1210k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，v ∴与x 的函数关系为1102v x =-+；设2y ax bx =+代入(2,19)，(4,36)得：22．综合与探究．【特例感知】（1）如图（a ），E 是正方形ABCD 外一点，将线段AE 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接DE ，BF ．求证：DE BF =；【类比迁移】（2）如图（b ），在菱形ABCD 中，4AB =，=60B ∠︒，P 是AB 的中点，将线段PA ，PD 分别绕点P 顺时针旋转90︒得到PE ，PF ，PF 交BC 于点G ，连接CE ，CF ，求四边形CEGF 的面积；【拓展提升】（3）如图（c ），在平行四边形ABCD 中，12AB =，10AD =，B ∠为锐角且满足4sin 5B =．P 是射线BA 上一动点，点C ，D 同时绕点P 顺时针旋转90︒得到点C '，D '，当BC D ''△为直角三角形时，直接写出BP 的长．线段AE 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，AE AF ∴=，90EAF ∠=︒，EAF BAD ∴∠=∠，EAF DAF BAD DAF ∴∠-∠=∠-∠，DAE BAF ∴∠=∠，(SAS)ADE ABF ∴ ≌，DE BF ∴=；（2）如图1，连接AC ，作FH PC ⊥，交PC 的延长线于H ，作GQ PC ⊥于Q ，四边形ABCD 是菱形，AB BC ∴=，AB CD ，60B ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，AC BC = ，P 是AB 的中点，CP AB ∴⊥，122AP PB AB ===，PC CD ∴⊥，4sin 60PC =⋅︒=PF PD ∴==90DPF DCP ∠=∠=︒ ，90DPC CPF DPC PDC ∴∠+∠=∠+∠=︒，CPF PDC ∴∠=∠，90H DCP ∠=∠=︒ ，(AAS)PHF DCP ∴△≌△，FH PC ∴==211622PCF S PC FH ∴=⋅=⨯=△，设QG x =，则CQ =，90PQG DCP ∠=∠=︒ ，PQG DCP ∴△∽△，∴PQ QG CD PC =，∴4PQ =PQ ∴，由PQ CQ PC +=得，=，65x ∴=，116622255PEG S PE QG ∴=⋅=⨯⨯=△，624655CEFG S ∴=-=四边形；（3）如图2，以点B 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立坐标系，作PF AD ⊥，交DA 的延长线于点F ，作D G PF '⊥于G ，作CV x ⊥轴，过点P 作PV CV ⊥于V ，作C W PV '⊥于W ，4sin 5B =Q ，∴直线AB 的解析式为43y x =，设4(,)3P m m ，90F G ∠=∠=︒ ，90PDF DPF ∴∠+∠=︒，90DPD '∠=︒ ，90DPF GPD '∴∠+∠=︒，PDF GPD '∴∠=∠，PD D P '= ，(AAS)PDF D PC '∴△≌△，PF GD '∴=，PG DF =，12AB = ，4sin sin 5DCE B ∠==，4481255DE ∴=⨯=，3361255CE =⨯=，364810,55D ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，即：8648,55D ⎛⎫⎪⎝⎭，865PG DF m ∴==-，48453GD PF m '==-，484486,()5335D m m m m ⎛⎫'∴+--- ⎪⎝⎭，即481786,5335m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，222248178650260()(388533593BD m m m m '∴=-+-=-+，同理可得：43PW CV m ==，10C W PV m '==-，44,(10)33C m m m m ⎛⎫'∴--- ⎪⎝⎭，即：17,1033m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22221750140()(10)1003393BC m m m m '∴=+-=-+，当90BC D ''∠=︒时，12C D CD ''== ，2225014050260121003889393m m m m ∴+-+=-+，185m ∴=，563BP m ∴==，当90BD C ''∠=︒时，2225014050260100388129393m m m m -+=-++，545m ∴=，5183BP m ∴==，当90C BD ''∠=︒时，2225014050260100388129393m m m m -++-+=，m ∴5103BP m ∴==。

2023-2024学年第二学期适应性练习初三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1. 5的相反数是（ ）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了相反数．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可得结果．【详解】解：5的相反数是，故选：C ．2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，故选：C ．3. 分式中x 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故选：A ．4. 下列运算正确的是（ ）155-15-5-73.9910⨯60.39910⨯63.9910⨯70.39910⨯10n a ⨯110a ≤＜n a n 63990000 3.9910=⨯11x-1x ≠1x ≠-1x ≤-1x ≤10x -≠1x ≠A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可．【详解】解：A 、，原选项计算错误；B 、，原选项计算错误；C 、，原选项计算正确；D 、，原选项计算错误；故选C ．5. 正五边形的每一个外角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查正多边形的外角，根据多边形的外角和等于360度，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：正五边形的每一个外角是；故选D ．6. 整数a 满足则a 的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．，∴，故选：B ．7. 圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）．A. 10B. 20C.D. 2221a a -=()224ab ab =235a a a ⋅=842a a a ÷=2222a a a -=()2224ab a b =235a a a ⋅=844a a a ÷=360︒108︒40︒72︒360725=︒a <<<<4a =2200πcm 2:1cm【答案】B【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得：，∴（负值舍去），∴母线长为；故选：B ．8. 如图，是等边三角形，点P 是边上的一个动点，点P 关于的对称点分别为，，连接，，，点P 从点A 运动到点B 的过程中，的面积变化情况为（ ）A. 保持不变B. 一直变小C. 先变大再变小D. 先变小再变大【答案】D【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，对称易证是顶角为120度的等腰三角形，腰长为的长，根据腰长先变小后变大，即可得出结果．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵点P 关于的对称点分别为，，∴，，∴，∴，r rcm 2rcm 12π2200π2r r ⨯⋅=10r =21020cm ⨯=AOB AB ,OA OB 1P 2P 1OP 2OP 12PP 12OPPOP 12OPP OP AOB 60AOB ∠=︒,OA OB 1P 2P 12OP OP OP ==21,AOP AOP BOP BOP ∠=∠∠=∠()212122120P OP AOP AOP BOP BOP AOP BOP AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒122130OPP OP P ∠=∠=︒过点作，则：，，∴，∴的面积随着的变化而变化，∵为上的一个动点，∴当时，的面积最小，此时点为的中点，∴点P 从点A 运动到点B 的过程中，的面积先变小后变大，故选D ．9. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y 轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，由此得出答案．【详解】解： ，，∴点C 与点B 关于y 轴对称；由于A 、C 的图象关于原点对称，因此选项A 、C 错误；，O 12OD PP ⊥21122OD OP OP ==1222PP DP ===12212111222OP P S PP OD OP =⋅=⨯= 12OPP OP P AB OP AB ⊥12OPP P AB 12OPP ()4,2A m --()2,B m -()2,C m ()2,B m -()2,C m ()4,2A m --()2,B m -()2,B m - ()2,C m 2m m >-Q由，可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，选项不正确，故选：B ．10. 如图，在平面直角坐标系中，，B 为x 轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可．【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点，则：，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，()4,2A m --()2,B m -0a >D ∴()0,4A AB ABC 90BAC ∠=︒12ABC S =△OC OC C CE AC ⊥A x E ACE AOB ∽24AE AO ⋅=AE AE F ,OF CF CF OF OC OF CF ≤+C CE AC ⊥A x E 90ACE AOB ∠=︒=∠ABO EAB ∠=∠90OAE ∠=︒90OBA OAB ∠+∠=︒90BAC ∠=︒90BAE CAE ∠+∠=︒CAE BAO ∠=∠ACE AOB ∽AC AE OA AB=∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，取的中点，连接，则：，∵，∴，在中，由勾股定理，得：；∵，∴长的最大值为8；故选C ．【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11. 因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式m ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．AC AB OA AE ⋅=⋅1122ABC S AB AC =⋅=△24AB AC ⋅=24OA AE ⋅=()0,4A 4OA =6AE =AE F ,OF CF 132AF EF AE ===90ACE ∠=︒132CF AE ==Rt OAF△5OF ==8OC OF CF ≤+=OC 3m m -=(1)(1)m m m +-32(1)(1)(1)m m m m m m m -=-=+-(1)(1)m m m +-12. 若x ，y 满足方程组，则______．【答案】1【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相加，即可得出结果．【详解】解：，，得：；∴；故答案为：1．13. 抛物线与y 轴交点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果．【详解】解：∵，∴当时，，∴抛物线与y 轴交点的坐标为；故答案为：．14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______．【答案】-3【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为-2，从而得出另一个根．【详解】解：设方程的另一个根为m ，则1+m=-2，解得m=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，x 1•x 2=．232323x y x y +=⎧⎨+=⎩x y +=232323x y x y +=⎧⎨+=⎩①②+①②555x y +=1x y +=()212y x =-+()0,30x =y ()212y x =-+0x =()20123y =-+=()212y x =-+()0,3()0,3x 220x x k +-=12b x x a+=-c a15. 如图，平行于y 轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于A ，C 两点，与x 轴交于B ，D 两点，连结，点A ，B 对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C 的坐标是_________．【答案】【解析】【分析】根据点A 、B 对应直尺上的刻度分别为5、2，OB ＝2．即可求得A 的坐标,进而求出反比例函数解析式，直尺的宽度，可得C 点横坐标，代入解析式可求坐标．【详解】解：∵直尺平行于y 轴，A 、B 对应直尺的刻度为5、2，∴AB=3，∵ OB ＝2，∴A 点坐标为：（2，3），把（2，3）代入得，，解得，m=6，反比例函数解析式为，∵直尺的宽度BD ＝2，OB ＝2．∴C 的横坐标为4，代入得，,∴点C 的坐标是(0)m y x x=>AC 2BD =2OB =34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2BD =m y x=32m =6y x=6y x =6342y ==34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．16. 一次函数图象经过点，当时，，则k 的值可以是___________．（写出一个即可）【答案】7（答案不唯一，满足即可）【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，将代入得，可知当时，，由此可得，求解即可，根据一次函数的性质得是解决问题关键．【详解】解：将代入得：，即，亦即：，当时，，∵，即，∴，故答案为：7（答案不唯一，满足即可）．17. 如图，在四边形中，，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，，求的长为______．【答案】【解析】【分析】先证明得，再证明四边形菱形，由菱形性质得，则，再由勾股定理求出的长，然后由勾股定理求出的长即可．【详解】证明：，，的342⎛⎫ ⎪⎝⎭，y kx b =+()1,12x =59y <<48k <<()1,1y kx b =+1y kx k =-+2x =1y k =+519k <+<519k <+<()1,1y kx b =+1k b +=1b k =-1y kx k =-+2x =211y k k k =-+=+59y <<519k <+<48k <<48k <<ABCD AD BC ∥90A ∠=︒BD BC =E CD BE AD F CF 1AD =2CF =BF ()BCE FDE ASA ≌BC FD =BCFD 2BD DF CF ===3AF AD DF =+=AB BF AD BC ∥ FDE BCE ∴∠=∠点为的中点，，在与中，，，，，四边形为平行四边形，又，平行四边形是菱形；，，，，，即的长为故答案为：【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．18. 如图，在中，，将沿翻折得到，若经过的内心I ，则的长为______．【答案】2 E CD DE EC ∴=BCE FDE BCE FDE CE DEBEC FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BCE FDE ASA ∴ ≌BC FD ∴=AD BC ∥ ∴BCFD BD BC = ∴BCFD 2BD DF CF ∴===3AF AD DF ∴=+=90A ∠=︒ AB ∴===BF ∴===BF ABCD Y 3,5AB AD ==ABD △BD A BD ' A D 'CBD △DI【解析】【分析】翻折，结合内心是三角形三条角平分线的交点，以及平行线的性质，推出，，证明，求出的长，再根据等积法结合角平分线的性质，得到，进行求解即可．【详解】解：∵翻折，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵点I 是的内心，∴平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，∴，∵平分，∴到的距离相等，∴又∵（同高三角形的面积比等于底边比），CDE DBC ∠=∠BE DE =CDE CBD ∽,CE BE CD DI CE IE=ADB BDE ∠=∠ABCD Y AD BC ∥3,5CD AB BC AD ====ADB DBE ∠=∠BDE DBE ∠=∠BE DE =CBD △CI DCE ∠DI BDC ∠BDE CDE ∠=∠CDE DBC ∠=∠DCE DCB ∠=∠CDE CBD ∽CD CE BC CD=2CD BC CE =⋅95CE =95CE =165ED BE BC CE ==-=CI DCE ∠I ,CE CD ::CDI CEI S S CD CE= ::CDI CEI S S DI IE =∴，即：，∴，∴；故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的内心，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．三、解答题．（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）化简：．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，整式的运算：（1）先进行特殊角的三角函数值，零指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算；（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．20. （1）解方程：；（2）解不等式组：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解分式方程，求不等式组的解集：（1）将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．CD DI CE IE =35935DI IE ==58DI DE =55162885DI DE ==⨯=()02cos 45π33︒---()()()2222x y x y x x y +---4-22y xy-+()02cos 45π332134=︒---=--=-22224422x y x xy y xy =--+=-+2111x x x =+++()312213a a a ⎧+->⎨-≤⎩12x =524a <≤【详解】解：（1），∴，解得：；经检验，是原方程的解；∴方程的解为：．（2）由①，得：；由②，得：，∴不等式组的解集为：．21. 如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为矩形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．（1）由证明即可；（2）由全等三角形性质得，．再证，则四边形为平行四边形．然后由矩形的判定即可得出结论．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，，的2111x x x =+++21x x =++12x =12x =12x =()312213a a a ⎧+->⎨-≤⎩①②54a >2a ≤524a <≤E F 、ABCD BE DF =ABE CDF △≌△90AEC ∠=︒AECF SAS ABE CDF △≌△AE CF =AEB CFD ∠=∠AE CF AECF ABCD AB CD ∴=AB CD ABE CDF ∴∠=∠在和中，，；【小问2详解】如图，由（1）可知，，，．，，四边形为平行四边形．又，平行四边形矩形．22. 为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为分）进行统计学处理：【收集数据】甲组名同学的成绩统计数据：（单位：分）乙组名同学中成绩在分之间数据：（满分为分，得分用x 表示，单位：分）【整理数据】（得分用表示）（1）完成下表分数/班级甲班（人数）乙班（人数） 【分析数据】请回答下列问题：（2）填空：平均分中位数众数为ABE CDF AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE CDF ∴≌△△ABE CDF △≌△AE CF ∴=AEB CFD ∠=∠180AEB AEO CFD CFE ∠+∠=∠+∠=︒AED CFE ∴∠=∠AE CF ∴∥∴AECF 90AEC =︒∠ ∴AECF 100208790607792835676857195959068788068958581207080x ≤<100707275767678787879x 060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤13466114甲班　乙班　（3）若成绩不低于分为优秀，请以甲组、乙组共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？【答案】（1），（2），（3）人【解析】【分析】（1）根据数据统计的方法以及各组数据之和等于样本容量可得答案；（2）根据中位数、众数的定义可求出、的值；（3）求出样本中甲乙两个班“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再乘总人数即可．【小问1详解】解：由题意可知，乙班在的数据有个，在的有，个，故答案为：，；【小问2详解】甲班人中得分出现次数最多的是分，共出现次，因此甲班学生成绩的众数，将乙班名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数，故答案为：，；【小问3详解】（人），答：甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数约为人．【点睛】本题考查中位数、众数，频数分布表，掌握中位数、众数以及“频率”是正确解答的前提．23. 如图，在电路AB 中，有三个开关：S 1、S 2、S 3．80.682=a 80.35b =7880401600959578.5840a b 7080x ≤<98090x ≤<2011945----=952095395a =20787978.52+=78.5b =9578.5665416008402020+++⨯=+401600840=频数总数（1）当开关S 1已经是闭合状态时，开关S 2、S 3的断开与闭合是随机的，电路AB 能正常工作的概率是 ；（2）若三个开关S 1、S 2、S 3的断开与闭合都是随机的，求电路AB 能正常工作的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】先画树状图展示出所有等可能结果，从中找到使电路AB 正常工作的情况数，在根据概率公式计算即可；【详解】（1）画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中电路AB 能正常工作的有3种结果，∴电路AB 能正常工作的概率是；故答案是．（2）画树状图如下：34383434由树状图知，共有8种等可能结果，其中电路AB 能正常工作的有3种结果，∴电路AB能正常工作的概率是；【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确分析计算是解题的关键．24. 尺规作图在中，，，若点D 是斜边上一个动点，点K 在上，点B 、点D 、点K 组成的三角形为等腰三角形，（1）连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K ，点D 的具体位置．（2）在（1）的条件下，求此时的面积．【答案】（1）图见解析（2）【解析】【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键．（1）以为圆心，的长为半径化弧，交于点，作的中垂线交于点，即为所求；（2）过点作，设，勾股定理求出的值，利用，求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可．【小问1详解】如图，即为所求；38Rt ABC △90ACB ∠=︒6,9AC BC ==AB BC ,CD KD CD DK ⊥BDK 7526C AC ABD BD BC K ,D K D DE BC ⊥BK DK x ==x 5sin 13DE DK DCK CD CK ∠===DE ,D K由作图可知：，，∴为等边三角形，，∵，∴，∴，即：，故点即为所求；【小问2详解】过点作，设，则：，由（1）知，由勾股定理，得：，即：，解得：，∴，∵，∴，∴的面积为．25. 如图，在一块长为，宽为矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，平行四边形道路与矩形边所夹锐角，剩余部分（图中①②③④部分）种上草坪，使草坪面积为，求图中x 的值．的DK BK ∠=AC CD =△BKD ,B BDK A ADC ∠=∠∠=∠90B A ∠+∠=︒90BDK ADC ∠+∠=︒90CDK ∠=︒CD DK ⊥,D K D DE BC ⊥BK DK x ==9CK BC BK x =-=-6CD AC ==222CD DK CK +=()22269x x +=-52x =5513,9222DK BK CK ===-=5sin 13DE DK DCK CD CK ∠===5301313DE CD ==BDK 11530752221326BK DE ⋅=⨯⨯=22m 17m 160∠=︒2299m【答案】2【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的面积公式以及三角函数的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．先利用三角函数求出道路的宽度，然后根据矩形面积两条道路的面积 + 两条道路重合部分的面积 = 草坪面积列出方程即可．【详解】作平行矩形的长，则，又两条平行四边形互相垂直，．由题意可知：米，米，米，矩形面积两条道路的面积 + 两条道路重合部分的面积 = 草坪面积，根据题意得，可列方程为：，解得：，(不合题意，舍去)图中x 的值为2．26. 如图，四边形为正方形，点E 为中点，连接，将纸片折叠，使点C 落在上的点G 处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H 与点G 重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A 落在上点Q 处，折痕为．-AC 60ACB ∠=︒ ∴90ABC ∠=︒AC x =1cos 602BC x x =︒=sin 60AB x x =︒= -∴222172217299x x x ⎫⨯--+=⎪⎪⎭12x =250x =∴ABCD CD BE BE EF BC BE BC BI BE BP（1）写出和的关系，并说明理由．（2）求证：H 为的黄金分割点．（3）以下结论：①P 是的黄金分割点；②P ，Q ，I 三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号）【答案】（1），，理由见解析（2）证明见解析（3）①②③【解析】【分析】（1）正方形性质，得到，进而得到，折叠，得到，进而得到，即可得出结论；（2）设，得到，，进而得到，进而得到（3）连接，证明，得到，得到，判断②，设，则：，，勾股定理求出的值，进而求出的值，解直角三角形，求出的值，进而求出的长，判断①③即可．【小问1详解】解：，理由如下：∵四边形为正方形，∴，，，∴，∵折叠，∴，的EF PB BC AD DE EQ PQ +=EF PB ∥2PB EF =AB CD CEB ABE ∠=∠11,22BEF BEC PBE ABE ∠=∠∠=∠PBE BEF ∠=∠CE a =2BC a =,EG CE a BE ===)1BG BH a ==-BH BC =QI QBI CBI ≌90,IQB C IQ IC ∠=∠=︒=180BQP IQP ∠+∠=︒,CE DE CI IQ x α====2AB BC BQ AD a ====IE a x =-x ,DI IQ DP AP PQ ,EF PB ∥ABCD AB CD AB CD =90A C ∠=∠=︒CEB ABE ∠=∠11,22CEF BEF BEC ABP PBE ABE ∠=∠=∠∠=∠=∠∴，∴；∵，，∴，∴，∴；【小问2详解】证明：设，则：，∵折叠，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴∴H 为的黄金分割点；【小问3详解】连接，∵正方形，∴，∵翻折，∴，，CEF ABP PBE BEF ∠=∠=∠=∠EF PB ∥CEF ABP ∠=∠90A C ∠=∠=︒BAP ECF ∽2PB AB CD EF CE CE===2PB EF =CE α=2CD α=,EG CE a BG BH ===ABCD 90,2BCD BC CD a ∠=︒==BE ==)1BH BG BE EG a ==-=-BH BC ==BC QI ABCD ,90AB BC BAP C =∠=∠=︒,90AB BQ BC BQP A ==∠=∠=︒QBI CBI ∠=∠∵，∴，∴，∴，∴三点共线，故②正确；设，则：，，∴，∴，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵，∴P 是的黄金分割点；故①正确；BI BI =QBI CBI ≌90,IQB C IQ IC∠=∠=︒=180BQP IQP ∠+∠=︒,,P Q I ,CE DE CI IQ x α====2AB BC BQ AD a ====IE a x =-BE =)2EQ a =-222IE EQ IQ =+())2222a x a x ⎡⎤-=+⎣⎦)22x a =-()(145IE a a =-+=-(6DI DE IE a =+=-tan QE PD DIP IQ DI∠==12PD DI ==(132PD DI a ==()231PQ AP AD DP a a ==-=-+=))21DE EQ a a a +=+-=-DE EQ PQ +=PD AP ==AD综上：正确的有①②③；故答案为：①②③．【点睛】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，黄金分割，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，利用勾股定理和直角三角形的性质求值，是解题的关键．27. 如图，为的直径，点C 是上任意一点，过点C 作于G ，交于D ，，连接．分别交于F 、H ．（1）如图1，求证：．（2）如图1，若，，求的长．（3）当点C 在圆上运动的过程中，试判断之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析 （2）6（3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，得到，即可得出结论；（2）根据，求出的长，进而求出的长，圆周角定理，得到，求出的长，进而求出的长，利用三角函数求出的长，再利用三角函数求出的长即可；（3）将沿着翻折，使点于上的点重合，得到，进而推出，三线合一，得到，根据，即可得出结论．【小问1详解】解：为的直径，，∴，∵，AB O O CD AB ⊥O AC EC=AE CD BC 、AF CF =4AG =3tan 4EAB ∠=EH AG BG BE 、、BG AG BE =+CAF ACF ∠=∠3tan 4FG EAB AG ∠==FG ,AF CG tan tan ACG ABC ∠=∠BG AB BE EH BEC BC E AB M ,BE BM CE CM ==AC CM =AG GM =BG BM MG =+AB O CD AB ⊥ AC AD = AC EC=∴，∴，∴；【小问2详解】∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵为的直径，∴∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴设，则：，∴，∴，∴；【小问3详解】，理由如下：∵， AC CE=CAF ACF ∠=∠AF CF =CD AB ⊥4AG =3tan 4FG EAB AG ∠==3FG=5AF ==5CF AF ==8CG CF FG =+=AB O 90AEB ∠=︒AC CE AD ==ACG CBG EBC ∠=∠=∠41tan tan tan 82CG EH AG ACG CBG EBC BG BE CG ∠=∠=∠=====216BG CG ==12HE BE =20AB AG BG =+=3tan 4BE EAB AE ∠==3,4BE x AE x ==520AB x ==4x =12BE =162HE BE ==BG AG BE =+ AC CE=∴，，∴平分，∵为直径，∴，将沿着翻折，使点于上的点重合，则：，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，从复杂图形中有效的获取信息，是解题的关键．28. 如图，一次函数与二次函数的图像交于A 、D 两点（点A 在点D 左侧），与二次函数的图象交于B 、C 两点（点B 在点C 左侧）．（1）如图1，若，，请求出的值．（2）如图1，若，点B 与A 横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由．AC CE =ABC EBC ∠=∠BC ABE ∠AB AB BE >BEC BC E AB M BEC BMC ≌,BE BM CE CM ==AC CE =AC CM =CG AM ⊥AG MG =BG BM MG BE AG =+=+()0,0y mx n m n =+≠>2y x =22y x =1m =1n =:AB CD 1m =:AB CD（3）如图2，若，求的值．【答案】（1（2）（3）【解析】【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答；（2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出（3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答．【小问1详解】解：若，，则一次函数为，联立和得：，解得，，联立和得：，:2AB CD=:BC AD231310,AB CDAP BF⊥CQ DH⊥ABP CDQ∽::AB CD AP CQ=1AP=1B Ax x-=5=D CCQ x x=-=:2B AD Cx xAB CDx x-==-:C BD Ax xBC ADx x-=-3m=-26nm=1m=1n=1y x=+1y x=+2y x=21y xy x=+⎧⎨=⎩xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A∴D1y x=+22y x=212y xy x=+⎧⎨=⎩解得或，，，【小问2详解】解：当时，一次函数为，联立和得：，解得，联立和得：，解得：，过点A 、B 、C 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、F 、G 、H ；过点A 作于点P ，过点C 作于点Q ，∵轴，轴，∴，∴，又，，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y =⎧⎨=⎩11,22B ⎛⎫∴ ⎝-⎪⎭()1,2C AB ∴==CD ==:AB CD ∴==1m =y x n =+y x n =+2y x =2y x n y x=+⎧⎨=⎩A D x x ==y x n =+22y x =22y x n y x =+⎧⎨=⎩B C x x ==AP BF ⊥CQ DH ⊥BF x ⊥DH x ⊥BF DH ∥ABP CDQ ∠=∠AP BF ⊥CQ DH ⊥∴，∴，∵点B 与A 横坐标之差为1，∴，，整理得：，∵，∴．【小问3详解】解：联立和得：，解得联立和得：，解得：由（2）可得：，ABP CDQ ∽::AB CD AP CQ =1AP =1B A x x -=1=5=32D C CQ x x =-===32::1:23AB CD AP CQ ===y mx n =+2y x =2y m n y x =+⎧⎨=⎩A D x x ==y mx n =+22y x =22y mx n y x =+⎧⎨=⎩B C x x ==:2B A D Cx x AB CD x x -==-，整理得：，由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则，两边同时除以m 得：，令，则，解得：，∴，，同理可得：．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤．2=3m =-0m <3=2n t m =3=6t =26n m=15==13:110C BD A x x BC AD x x -====+=-。

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2024年中考第二次模拟考试（徐州卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分140分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2024年夏季奥运会将在法国巴黎举行，平移如图所示的巴黎奥运会图标可以得到的图形是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由图形可知，选项D与原图形完全相同．故选：D2．8-的倒数是（）A．8B．18C．18-D．8-【答案】C【解析】解：∵1818⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，∴8-的倒数为18-，故选：C ．3．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约1700万吨．将数据1700万用科学记数法表示为（）A ．71.710⨯B ．80.1710⨯C ．81.710⨯D ．71710⨯【答案】A【解析】解：将数据1700万用科学记数法表示为71.710⨯．故选：A ．4．下列运算正确的是（）A ．()325a a -=-B ．3515a a a ⋅=C ．22321a a -=D ．()22346a b a b -=【答案】D【解析】解：A 、()326a a -=-，故A 不正确，不符合题意；B 、358a a a ⋅=，故B 不正确，不符合题意；C 、22232a a a -=，故C 不正确，不符合题意；D 、()22346a b a b -=，故D 正确，符合题意；故选：D ．5．一个含45︒的三角板和一个直尺按如图所示方式叠合在一起，若1123=︒∠，则2∠的度数是（）A ．67︒B ．68︒C ．77︒D ．78︒【答案】D【解析】解：1=123∠︒ ，123EFB ∴∠=︒，EF BD ∥，123EFB ∠=︒，18012357ABD ∴∠=︒-︒=︒，又90ABC ∠=︒ ，905733DBC ∴∠=︒-︒=︒，2453378C DBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：D ．6．如图，,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，连接,AC BC ，若36C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（）A ．72︒B ．62︒C ．54︒D ．36︒【答案】A 【解析】解：∵36C ∠=︒，∴272AOB C ∠︒=∠=，故选：A ．7．某校射击比赛所用的靶子有8环，9环，10环三个环次，每一环又有10个小环，小新、小华、小宇三人每人射击三次，成绩如图所示，则射击成绩的平均数约为9.0环的是（）A ．小新B ．小宇C ．小华D ．三人都有可能【答案】C 【解析】解：由图可知：小新的成绩2个在10环上，一个在9环上，平均成绩不可能为9.0环；小宇的成绩一个在10环，一个接近10环，一个接近9环，平均数不可能为9.0环；小华的成绩均在9环附近，射击成绩的平均数约为9.0环；故选C ．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的顶点C 在y 轴上，A 在x 轴上，把矩形ABOC 沿对角线BO 所在的直线翻折，点A 恰好落在反比例函数()0k y k x=≠的图象上点D 处，BD 与y 轴交于点E ，点D 恰好是BE 的中点．已知A 的坐标为()4,0，则反比例函数的表达式为（）A ．232y =B ．43y =C ．4y x =D ．1633y x=【答案】B 【解析】解：∵矩形ABOC ，A 的坐标为()4,0，∴4OA =，点B 的横坐标为4，∵折叠，∴4OD OA ==，∵E 在y 轴上，D 为BE 的中点，∴点D 的横坐标为2，过点D 作DF OA ⊥，∴2OF =，∴2223DF OD OF =-，∴(2,23D ，∴22343k =⨯=∴反比例函数的表达式为43y =故选B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）9．0.0081的平方根是．【答案】0.09±【解析】解：因为20.090.0081()±=，所以0.0081的平方根是0.09±；故答案为：0.09±．10．当x =时，分式43xx --无意义．【答案】3【解析】 分式43xx --无意义30x ∴-=3x ∴=．故答案为：3．11．如图，由三个正方形拼成的图形中，字母B 所代表的正方形面积是．【答案】144【解析】解：由勾股定理得，字母B 所代表的正方形面积16925144=-=．故答案为：144．12．如图，第4套人民币中菊花1角硬币采用“外圆内凹正九边形”设计，则内凹正九边形的外角的度数为．【答案】40︒【解析】解：内凹正九边形的外角的度数为360940︒÷=︒，故答案为：40︒．13．若分式方程12x x a +=+的解是3x =，则=a ．【答案】1-【解析】解：分式方程去分母得：122x x a +=+，由分式方程的解为3x =，代入整式方程得：31232a +=⨯+，解得：1a =-，故答案为：1-．14．某节活动课上，安安用一张半径为18cm 的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为10cm ，则这张扇形纸板的面积为cm²．【答案】180π【解析】解：解：这张扇形纸板的面积为121018180cm²2ππ⨯⨯⨯=，故答案为：180π．15．已知20ax bx c ++=的两根为2，3，则20cx bx a -+=的两个根分别为．【答案】121123x x =-=-，【解析】解：∵20ax bx c ++=的两根为2，3，∴235236bca a -=+==⨯=，，∴56b a c a =-=，，∴方程20cx bx a -+=即为2560a ax x a ++=，∴26510x x +=+，∴()()21310x x ++=，解得121123x x =-=-，，故答案为：121123x x =-=-，．16．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60︒得到正方形AEFG ，连接CF ，则CF 的长是．2【解析】解：如图所示，连接AC 、AF ，∵四边形AEFD 是四边形ABCD 逆时针旋转60︒，∴AC AF =，60CAF ∠=︒，∴ACF △是等边三角形，∴AC CF AF ==，在Rt ABC △中，222AC AB BC =+=∴2AC CF =2．17．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是AD 边的中点，连接,AC BE 交于点,F CAD ∠的平分线AG 交CD 边于点G ，点A 关于过点E 的某条直线的对称点H 恰好在AG 上，且点H 不与点A 重合，连接FH ，则FH 的长为．46363【解析】解：∵在矩形ABCD 中，4AB =，42AD =E 是AD 边的中点，∴90BAD ∠=︒，122AE ED AD ===∴222tan 42AE ABE AB ∠==，2tan 242CD CAD AD ∠=，∴tan tan ABE CAD ∠=∠，∴ABE CAD ∠=∠，∴90ABE BAF CAD BAF BAD ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴90BFA ∠=︒，即BE AC ⊥，∵在矩形ABCD 中，4AB =，22AE =∴()224226BE =+AE BC ∥，∴AEF CBF ∽△△，∴12EF AE BF BC ==，∴12633EF BE =，连接EH ，∵点A 关于过点E 的某条直线的对称点H 恰好在AG 上，∴2AE EH ==∴EAH EHA ∠=∠，∵AG 是CAD ∠的平分线，∴EAH CAH ∠=∠，∴EHA CAH ∠=∠，∴HE AC ∥，∵BE AC ⊥，∴BE EH ⊥，即90FEH ∠=︒，∴()222224622633FH EF EH ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭463．18．如图，在矩形ABCD 中，6,10AB BC ==，点E 是AD 边的中点，点F 是线段AB 上任一点，连接EF ，以EF 为直角边在AD 下方作等腰直角EFG ，FG 为斜边，连接DG ，则DEG 周长最小值为．【答案】555【解析】解：如图，过点G 作GH AD ⊥于点H ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90,6,10A AB CD AD BC ∠=︒====，∴5AE ED ==，∵90A FEG GHE ∠∠∠===︒，∴90,90AEF GEH GEH EGH ∠∠∠∠+=︒+=︒，∴AEF EGH ∠∠=，∵EF EG =，∴(AAS)AEF GHE ≌ ，∴5GH AE ==，过点G 作直线l AD ∥，∵5GH =，GH AD ⊥，∴点G 在直线l 上运动，作点D 关于直线l 的对称点T ，连接ET ，在Rt EDT 中，90,5,10DET DE DT ∠=︒==，∴2255ET DE DT +=∵GD GT =，∴GE GD EG GT ET +=+≥，∴55GE GD +≥，∴GE GD +的最小值为55，∴DEG 周长最小值为555，故答案为：555．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算．(1)()()220240221π433-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭；(2)21111x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭．【解析】（1）解：原式411199=+--39=13=；（2）原式21111x x x x+--=⨯+(1)(1)1x x x x x+-=⨯+1x =-．20．解方程或方程组：(1)解方程：2450x x --=；(2)解不等式组：()432123x x x x ⎧+≤+⎪⎨-<⎪⎩①②．【解析】（1）解：因式分解得，(5)(1)0x x -+=，∴10x +=或50x -=，∴15=x ，21x =-；（2）解：解不等式①得，1x ≥-，解不等式②得，3x <，∴不等式组的解集为：13x -≤<．21．一个不透明的笔袋里装有若干支黑色、红色和蓝色这三种颜色的中性笔（除笔芯颜色外，其余都相同），其中黑色中性笔有2支，红色中性笔有1支，从中任意摸出的一支笔是黑色中性笔的概率为12．(1)求笔袋中蓝色中性笔有多少支？(2)第一次任意摸出一支笔（不放回），第二次再摸出一支笔，请用树状图或列表法求出两次摸到的都是黑色中性笔的概率．【解析】（1）解：122112÷--=（支），答：笔袋中蓝色中性笔有1支．（2）解：解法一：树状图法由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑色中性笔的情形有2种，∴两次摸到的都是黑色中性笔的概率为21126=．解法二：列表法第一次第二次黑1黑2红蓝黑1（黑1，黑2）（黑1，红）（黑1，蓝）黑2（黑2，黑1）（黑2，红）（黑2，蓝）红（红，黑1）（红，黑2）（红，蓝）蓝（蓝，黑1）（蓝，黑2）（蓝，红）由列表可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑色中性笔的情形有2种，∴两次摸到的都是黑色中性笔的概率为21126=．22．某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查、统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是（填写“普查”或“抽样调查”）；(2)教育局抽取的初中生有人，扇形统计图中m的值是；(3)若该市共有初中生12000人，则平均每天完成作业时长在“7080t≤<”分钟的初中生约有多少人．【解析】（1）解：抽查方式为随机抽取几所学校部分初中生进行调查，则在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）解：4515%300÷=人，∴教育局抽取的初中生有300人，∴每天完成作业时长在“7080t≤<”分钟的初中生人数有3004513521990----=人，∴90%100%30%300m=⨯=，∴30m=，故答案为：300；30；（3）解：1200030%3600⨯=人，∴平均每天完成作业时长在“7080t≤<”分钟的初中生约有3600人．23．新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．(1)求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？(2)茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？【解析】（1）解：设每辆甲型车的售价为x 万元，每辆乙型车的售价为y 万元，根据题意得：36545155x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：2015x y =⎧⎨=⎩，答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元；（2）解：设购买甲型车a 辆，则购买乙型车为()8a -辆，依题意得：()14520158153a a ≤+-≤，解得：5 6.6a ≤≤∵a 为正整数，∴a 取5或6．∴有两种购车方案：方案一：购买甲型车5辆，购买乙型车3辆，此时的费用是145万元，；方案二：购买甲型车6辆，购买乙型车2辆，此时的费用是150万元；24．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线．(1)在AC 上求作一点E ，使得BEC BCD ∠=∠（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若140D ∠=︒，求CBE ∠的度数．【解析】（1）解：如图，点E 即为所求；（2）解： 四边形ABCD 是菱形，AD CB ∴∥，ACD ACB ∠=∠，180D BCD ︒∴∠+∠=，18014040BCD ∴∠=︒-︒=︒，20ACD ACB ∴∠=∠=︒，又∵40BEC BCD ∠=∠=︒，1801802040120CBE ACB BEC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．25．如图，CD 是O 的直径，点B 在O 上，点A 为DC 延长线上一点，过点O 作OE BC ∥交AB 的延长线于点E ，且D E∠=∠(1)求证：AE 是O 的切线；(2)若线段OE 与O 的交点F 是OE 的中点，O 的半径为3，求阴影部分的面积．【解析】（1）证明：连接OB ，∵CD 是O 的直径，∴BC BD ⊥，即90CBD ∠=︒，∵OE BC ∥，∴90DGO CBD ∠=∠=︒，∴90BGE DGO ∠=∠=︒，90D DOG ∠+∠=︒，∵D E ∠=∠，∴DOE DBE ∠=∠，∵OD OB =，∴D OBD ∠=∠，∴90OBD DBE D DOG ∠+∠=∠+∠=︒，∴90OBE ∠=︒，∵OB 是O 的半径，∴AE 是O 的切线；（2）解：连接BF ，∵90OBE ∠=︒，F 是OE 的中点，∴BF OF =，∵O 的半径为3，90∠=︒DGO ，∴3BF OF OB ===，18090BGO DGO ∠=︒-∠=︒，∴OBF 是等边三角形，∴60BOF ∠=︒，∴9030OBG BOF ∠=︒-∠=︒，∴1322OG OB ==，2222333322BG OB OG ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴阴影部分的面积为：2603133339336022228OBG OBF S S ⨯π⨯π-=-⨯=-扇形△，∴阴影部分的面积为39328π26．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且26AB =米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53︒时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长．(2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan 53 1.33︒≈，cot 530.75)︒≈．【解析】（1）解： 斜坡AB 的坡比为51:12i =，:12:5BE EA ∴=，设12BE x =，则5EA x =，由勾股定理得，222BE EA AB +=，即222(12)(5)26x x +=，解得，2x =，则1224BE x ==，510AE x ==，答：改造前坡顶与地面的距离BE 的长为24米；（2）解：作FH AD ⊥于H ，则tan FH FAH AH ∠=，24181.33AH ∴=≈，18108BF ∴=-=，答：BF 至少是8米．27．如图，在ABC 中，10AB AC ==，45BC =AD BC ⊥于点D ，点P 从点A 出发，沿折线AC CD →向终点D 运动，点P 在AC 上以每秒5个单位长度的速度匀速运动，在CD 5匀速运动，当点P 不与点A 、D 重合时，作PQ AB ∥，PQ 与射线AD 交于点Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为()s t ．(1)直接写出AD =______．(2)求sin BAC ∠的值．(3)当正方形PQMN 与ABC 重叠部分图形是四边形时，直接写出t 的取值范围．(4)连接BM ，直接写出BM AB ⊥时t 的值．【解析】（1）解：∵,=⊥AB AC AD BC ，∴1145522BD BC ==⨯=在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：2245AD AB BD -=故答案为：45（2）解：如图1，作CE AB ⊥于点E ．分别以AB BC 、为底表示ABC 的面积两式相等，可得：8BC ADCE AB ⋅==；∴4sin 5CEBAC AC ∠==；（3）解：正方形PQMN 与ABC 重叠部分图形随着t 的变化而变化．①如图2，当Q 点与D 点重合时，正方形PQMN 与ABC 重叠部分图形，由四边形变为五边形．∵PQ AB ∥，∴1APBDPC DC ==，∴此时：1215ACt ==．②如图3：当MQ 经过B 点时，正方形PQMN 与ABC重叠部分图形，由五边形变为四边形．∵4sin 5BAC ∠=，∴243cos 155BAC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭；∵,PQ AB PN PQ ⊥∥，∴PN AB ⊥．∴此时，cos AP BAC PQ AB ⋅∠+=，即355105t t ⨯+=，解得：54t =．如图4：当P 与C 重合时，正方形PQMN 与ABC 重叠部分图形，由四边形变为三角形．此时，1025t ==．综上：t 的取值范围为：01t <≤或524t ≤<；（4）解：由（3）可知54t =时，MQ 经过点B 时BM AB ⊥；另外当P 在DC 上时，也会出现BM AB ⊥，如图5．∵,PQ AB MQ PQ ⊥∥；∴MQ AB ⊥，∴ABD BQD QPD ∽∽ ．∴::::::AB BQ PQ AD BD QD BD QD PD ==，即10::45225:BQ PQ QD QD PD ==；得：52PD =∴535452522CP BC PD BD =--=-=；∴3572225t ==．故BM AB ⊥时t 的值为：54，72．28．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）坐标分别为()2,0-，()4,0，交y 轴于点C ．(1)求出抛物线解析式；(2)如图1，过y 轴上点D 作BC 的垂线，交直线BC 于点E ，交抛物线于点F ，当355EF =F 的坐标；(3)如图2，点H 的坐标是()0,2，点Q 为x 轴上一动点，点()2,8P 在抛物线上，把PHQ 沿HQ 翻折，使点P 刚好落在x 轴上，请直接写出点Q 的坐标．【解析】（1）解：将()2,0-，()4,0代入表达式得：4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：28b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为228y x x =-++；（2）过点F 作x 轴的垂线交BC 于N ，交x 轴于M ，∵FNE BNM ∠=∠，90FNE EFN BNM MBN ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFN MBN ∠=∠，在Rt BOC 中，90BOC ∠=︒，由勾股定理得：22224845BC OB OC =+=+=∴cos cos OB EF EFN MBN BC FN ∠=∠=35545FN =，∴3FN =，∵()4,0B ，()0,8C ，∴直线BC ：28y x =-+，设()2,28F m m m -++，(),28N m m -+，∴()228283m m m -++--+=或()28²283m m m -+--++=，∴243m m -+=或243m m -+=-，解得：11m =，23m =，327m =427m =，∴()1,9F 或()3,5或(27,17-或()27,271其中()1,9F 和(27,17-两点所对应的E 点不在线段BC 上，所以舍去，∴点F 的坐标为()3,5或()27,271；（3）分两种情况讨论：①如图所示，当点Q 位于x 轴负半轴时，过点P 作PM y ∥轴交x 轴于点M ，作PN x ∥轴交y 轴于点N ，则四边形OMPN 为矩形，∵()2,8P ，∴2NP OM ==，8ON PM ==，∵()0,2H ，∴826NH =-=，∴222226210PH NP NH =+=+=，由折叠可知：210PH HP '==QP QP '=，∴()222221026OP P H OH =--'='，设OQ x =，∴6QP QP x '==+，2QM x =+，∵222P M Q M P Q +=，∴()()222826x x ++=+，∴4x =，∴Q 点的坐标为()4,0-；②如图所示，当点Q 位于x 轴正半轴时，过点P 作PM y ∥轴交x 轴于点M ，作PN x ∥轴交y 轴于点N ，由①得：210PH P H '==，P Q PQ '=，∴()222221026OP P H OH =--'='，设OQ m =，则6P Q PQ m '==+，2QM m =-，∵222P M Q M P Q +=，∴()()222286m m -+=+，∴2m =，∴Q 点的坐标为()2,0，综上所述，Q 点的坐标为()4,0-或()2,0．。

2024年长沙市雅礼实验中学初三二模试卷数学科目考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列各数为无理数的是（）A．3 B．3.14 C．D2．为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A B．C．D．4．中科院国家天文台基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量．其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（）A．B．C．D．5．将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（）A．B．C．D．6．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）A．B．C．D．7．二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面576=437a b ab+=22(1)1x x+=+326x x x⋅=980510⨯118.510⨯108.0510⨯118.0510⨯142∠=︒2∠42︒45︒48︒52︒15112x xx+<-+⎧⎪⎨-≥⎪⎩完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取两张邮票，恰好抽到“立春”和“立夏”的概率是（）A．B ．C ．D ．8．若反比例函数的图象在第二、四象限内，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知四边形ABCD 内接于，，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．10．某校ABCDE 五名学生参加投篮比赛，其中有3人进入了决赛．A 说：“如果我进入，那么B 也进入．”B 说：“如果我进入，那么C 也进入．”C 说：“如果我进入，那么D 也进入．”D 说：“如果我进入，那么E 也进入，”大家都没有说错，则进入决赛的三个人是（ ）A ．A ，B ，CB ．B ，C ，DC ．C ，D ，ED ．D ，E ，A二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11有意义，则x 的取值范围是________．12．在平面直角坐标系中，点A （，3）到y 轴的距离为________．13．如图的弦，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且，则MN 的长为________．14．若a 是一元二次方程的一个根，则的值为________．15．将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．16．如图，在中，，．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．则的度数为________．131416122m y x+=2m >-2m <-2m >2m <O 110BDC ∠=︒BOC ∠110︒120︒70︒140︒4-O 8AB =3OM =2230x x +-=224a a +90︒ABC △45A ∠=︒30B ∠=︒ACD ∠三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．风力发电作为一种清洁能源、可再生能源，已成为我国重要的能源结构之一．某研学小组到风力发电厂参观学习，发现一如图所示的风力发电机，在A 处测得，向前120米到达B 处，测得，其中A ，B ，C 在同一条直线上，点D 为发电机顶端处．若风轮叶片的长度为30米，则风力）20．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间x （单位：小时）进行分组整理并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形图：（1）请补全频数分布直方图；（2）扇形图中m 的值为________；D 等级所对应的扇形圆心角度数为________；（3）若该校总共有2000名学生，每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有多少人．21．如图，D ，E 为中GF 边上两点，过D 作交CE 的延长线于点A ，．（1）求证：；（2）若，，，求CF 的长．01122024)3tan 30(3--π-+︒-2(2)4(1)(1)3m m m m m +-+-+12m =30DAC ∠=︒60DBC ∠=︒ 1.73=GCF △AB CF ∥AE CE =ADE CFE ≌△△3BG =5BC =2BD =22．2023-2024赛季欧洲冠军杯决赛于6月2日在伦敦温布利大球场拉下帷幕，赛前某体育运动专卖店决定采购某款运动T 恤，最初用6000元购进一批该款T 恤，由于市场供不应求，该专卖店又用15000元购进了第二批该款T 恤，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵10元．（1）该专卖店购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T 恤衫按相同的标价销售，要使两批T 恤衫全部售完后利润不低于16800元，那么每件T 恤衫的标价至少是多少元？23．如图，平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别是，的平分线，且E 、F 分别在边BC ，AD 上，．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若，，求平行四边形ABCD 的面积．24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”．（1）判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”；①________ ②________ ③________（2）关于x 的函数（a 为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由；（3）若抛物线（a 、b 、c 为常数），与x 轴分别交于A （，0），B （，0）两点，其中；与y 轴交于C 点（0，c ），抛物线顶点为P 点，点M 为第三象限抛物线上一动点，且点M 的横坐标为t ，连接AC ，BM 交于N 点，连接BC ，CM ，记，，若满足：①抛物线顶点P 为“开心点”；②；③是等边三角形；若，m 的值．25．如图，点C 在AB 为直径的圆O 上，连接AC ，BC ，的角平分线交AB 于点E ，交圆O 于点P ．G是上一点，且，连接AG 并延长交CB 的延长线于点F ，连接EG ．（1）求证：；（2）若，，求的面积．BAD ∠BCD ∠AE AF =60ABC ∠=︒4AB =y x =1y x=-2y x =2(4)24ay ax a x =++++2y ax bx c =++1x 2x 12x x <1MCN S S =△2BCN S S =△20b a -=ABP △625m t m ≤≤+12S S ACB ∠ BPPG BC =AC CF =6BC =8AC =AEG △（3）设，，求y 关于x 的函数表达式．2024年长沙市雅礼实验中学初三二模数学答案一、选择题题号12345678910答案DCADCBCBDC二、填空题11． 12．413．214．615．116．三、解答题17．解：原式18．解：原式当时，原式19．解：由题意得：，在中，，，∴，在中，∴∴，∵风轮叶片的长度为30米，∴叶片顶端离地面的最小距离米，APx BE=tan AGE y ∠=1x ≥-75︒(2133=++-0=22224(1)3m m m m=+--+24m =+12m =5=DC AC ⊥Rt DBC △60DBC ∠=︒BC x =tan 60CD BC =⋅︒=Rt ACD △30DAC ∠=︒3tan 30CDAC x==︒2120AB AC BC x =-==60BC =CD =3073.8≈答：叶片顶端离地面的最小距离约为73.8米．20．解：（1）∵，∴本次调查共抽取了100名学生，，∴D 组有25人，补全频数分布直方图如下：（2）∵，∴，D 等级所对应的扇形圆心角度数为（3）人答：每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有620人；21．（1）证明：∵，∴，，在和中，，∴（AAS ）．（2）解：∵，∴，∴，∵，，1010%100÷=100102140425----=4040%100=40m =2536090100⨯︒=︒10212000620100+⨯=AB CF ∥F ADE ∠=∠A ECF ∠=∠ADE △CFE △ADE CFE EAD ECF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CFE ≌△△AB CF ∥GBD GCF ∽△△GB BDGC CF=3BG =5BC =2BD =∴，∴，∴．22．解：（1）设该店铺购进第一批T 恤衫每件的进价是x 元，则购进第二批T 恤衫每件的进价是元，依题意有，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，．该店铺购进第一批T 恤衫每件的进价是40元，购进第二批T 恤衫每件的进价是50元；（2）件，件，设每件T 恤衫的标价是a 元，依题意有：，解得．答：每件T 恤衫的标价至少是84元．23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∵AE 、CF 分别是、的平分线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形AECF 是平行四边形，∵，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，8CG =4210CF =328CF=163CF =(10)x +600015000210x x ⨯=+40x =40x =10401050x +=+=600040150÷=1500050300÷=150(40)300(50)16800a a -+-≥84a =BAD BCD ∠=∠AD BC ∥BAD ∠BCD ∠12BAE DAE BAD ∠=∠=∠12BCF DCF BCD ∠=∠=∠DAE BCF ∠=∠AD BC ∥DAE AEB ∠=∠BCF AEB ∠=∠AE FC ∥AE AF =AD BC ∥∴，∵AE 平分，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，BE 边上的高为由（1）知四边形AECF 是菱形，∴，∴平行四边形ABCD 的面积为24．解：（1）√，×，√；（2）联立，得到：，整理，得：，第一种情况：当时，，，所以函数是开心函数，有1个开心点；第二种情况：当时，，∴时，；时，；时，综上所述：当或时，函数是开心函数，有1个“开心点”；当且时，函数是开心函数，有2个“开心点”；当时，函数不是开心函数（3）∵，∴，∴抛物线的对称轴为：，∴顶点的横坐标为，∵抛物线顶点为“开心点”，∴顶点的纵坐标为：，∴二次函数的解析式为：，∵三角形ABP 是等边三角形，∴，∴，DAE AEB ∠=∠BAD ∠BAE DAE ∠=∠BAE AEB ∠=∠AB EB =60ABC ∠=︒ABE △4AB AE BE ===h =4AE CE ==8BC=8S BC h =⋅=⨯=2(4)24ay ax a x =++++3y x =23(4)24ax ax a x =++++2(1)204aax a x ++++=0a =20x +=2x =-0a ≠2(1)4(2)614aa a a ∆=+-+=-+0∆>16a <0∆=16a =0∆<16a >0a =16a =16a <0a ≠16a >20b a -=2b a =12bx a=-=-1-133-⨯=-22(1)323y a x ax ax a =+-=++-2(2)4(3)1212a a a a ∆=--==1a =∴二次函数的解析式为：，当时，；当时，，解得：∴A （，0），B （0），C （0，），设直线AC 的解析式为：（），则：，解得：，∴；过点M 作x 轴的垂线交AC 于点D ，过点B 作x 轴的垂线交AC 于点E ，∵点M （t ，），则D （t ，），E （）∴，．∴，即∴是关于t 的二次函数，且对称轴：又∵，∴随t 的增大而减小，∴当时，，解得或（舍去）．∴222y x x =+-0x =2y =-0y =2220x x +-=11x =-21x =-1-1-2-y kx b =+0k ≠0(12k b b ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩12k b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(12y x =-222t t +-(12t --1-+62(1MD t t =--+6BE =-12S MN MD S BN BE ==12S S =12S S t =6225m m +≥65m ≥-12S S t m =12S S =1m =-m =1m =-25．（1）证明：∵AB 是的直径，∴，∵CP 平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：①如图，连接PB ，∵AB 是的直径，∴，，∴，∵CP 平分，∴，∴∵，，∴，∴，∴连接BG ，AG 与CP 交于HO 90ACB ∠=︒ACB ∠1452PCA PCB ACB ∠=∠=∠=︒ PBPB =45PAB PAB ∠=∠=︒PG BC = PGBC =PAG BAC ∠=∠PAG BAG BAC BAG ∠+∠=∠+∠45CAG PAB ∠=∠=︒F CAG ∠=∠AC CF =O 90ACB APB ∠=∠=︒8AC =6BC =10AB =AP =ACB ∠43AE AC EB BC ==44077AE AB ==CAB PAF ∠=∠APG ABC ∠=∠PAG EAC ∽△△AG APAC AE=AG =∵AB 是的直径，∴，，，∵，，∴，∴，；（3）解：如图，连接PB ，PG ，∵CP 平分，∴，∴，∵AB 是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵CP 平分，∴，∴，O90BGF AGB ∠=∠=︒2BF CF BC =-=BG =EAH BAG ∠=∠90AHC AGB ∠=∠=︒AEH ABG ∽△△AE EH AB BG=EH =11422S EH AG =⋅==ACB ∠AP BP =AP BP =O 90APB ∠=︒AB =AP x BE=AP BE x =⋅1AE AB BE BE BE -====-AP BE x AE AB BE ⋅====-ACB ∠1AC AE CB BE==-1)AC BC =-不妨设，则，，∴，由（2）知：∴，∴，∴，∴，∴∴．2BC PG a ==PH GH==1)2AC a =-⋅1)(2AH CH AC x a ===⋅-=AEC APG ∽△△PG AP CE AE=2aCE =CE =(2EH CH CE x a =-=-=tan EH y AGE GH =∠===。

虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学 练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1. 下列各数中，无理数是（ ）A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C 是无理数，故本选项正确；D 、是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2. 关于一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程无实数根，的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．3. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．【详解】解：二次函数，，函数图象开口向下，对称轴为，时，函数值随自变量的增大而减小，故选：A ．4. 下列事件中，必然事件是（ ）A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件；故选D ．5. 如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故选：B ．6. 在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个．180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到的距离d ，比较d 与半径的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形中，，，设点C 到的距离为d ，∴点C 到的距离，∴直线与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，，故答案为：-28. 分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 解不等式：，的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，故答案为：．10. 函数的定义域是 【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．故答案为：．12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，，白球有个故答案为：．13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），故答案为：780．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，，故答案为：．15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和．【详解】解：如图，连接,则，过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形，,．故答案为：16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，， 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H ，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H ，连接，，，，在中，，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==，CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．18. 如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A 的对称点），那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．【详解】解：连接，455PH \=43PH BH \==，CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得：，，，是等边三角形，，，设，则，在中，，，解得：（舍去），，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-，Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭；当．20. 解方程组：【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知： 对方程②进行因式分解得：即或∴原方程组化为 或 解得或故原方程组的解为：或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点．()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求面积．【答案】（1）反比例函数为，一次函数解析式 （2）【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（）利用待定系数法求解即可；（）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为，把点代入得，，∴反比例函数为，把点，点代入，得，，∴，，∴点，点，设一次函数解析式，的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点，点代入得，解得，∴一次函数解析式；【小问2详解】∵一次函数解析式，∴把点代入，得，∴，∴点，∵轴，∴点横坐标为，把代入得，∴∴，∴22. 根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．任务一如图①，求斜坡的坡比．问题解决任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在中，25米，斜坡长为65米，（米），斜坡的坡比；任务二：如图③，作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形，四边形为矩形，米，米，，为米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，米．23. 如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接．CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====，3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE（1）求证：；（2）连接交于点，连接交于点．如果，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论；（2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论；【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形，，，，又，点D 在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；【小问2详解】解：如图，BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==．24. 新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；【小问2详解】解：抛物线：，当时，，即与y 轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y 轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --，2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <，四边形为平行四边形，，即，解得：，；【小问3详解】解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．25. 在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --，()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴，∴；【小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴，∴，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。

2024年广东省深圳市宝安区中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在3-，0，23-四个数中，最小的是（ ）A ．3-B ．0C ．23-D2．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“141--”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻．【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的“141--”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻；A 、C 、D 选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B 选项折成正方体后，有图案的三个面两两相邻；的展开图是故选：B ．【点睛】正方体展开图“1−4−1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻．关键是明白有图案的三个面两两相邻．3．下列计算正确的是（ ）A ．426a a a +=B ．527a a a ⋅=C ．5210()ab ab =D ．1025a a a ÷=【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的运算法则逐项计算即可判断．【详解】解：A. 42a a 、不是同类项，不能合并，不符合题意；B. 527a a a ⋅=，符合题意；C. 52210()ab a b =，不符合题意；D. 1028a a a ÷=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项和幂的运算，掌握相关法则是解题关键．4．如图，12l l ∥，135∠=︒，250∠=︒，则∠3的度数为（ ）A ．85︒B ．95︒C ．105︒D ．115︒【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质可得出231180∠+∠+∠=︒，据此可得出∠3的度数．【详解】解：∵12l l ∥，∴231180∠+∠+∠=︒，∵135∠=︒，250∠=︒，∴()()318021*********∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．5．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）环数789人数2？3A ．4人B ．5人C ．6人D ．7人A B C D7．如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，则一定与A ∠相等的是（ ）A ．B∠B ．C ∠C ．D ∠D ．APD∠【答案】C 【分析】根据圆周角定理得出即可．【详解】解：根据圆周角定理得：∠A =∠D ，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．8．一艘轮船在静水中的最大航速为50km /h ，它以最大航速沿河顺流航行80km 所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km 所用时间相等，设河水的流速为xkm /h ，则可列方程（ ）A ．8050x +＝6050x -B ．8050x -＝6050x +C ．8050x +＝6050x -D ．8050x -＝6050x+【答案】C9．如图，将一张矩形纸片按图①，图②所示方法折叠，得到图③，再将图③按虚线剪裁得到图④，将图④展开，则展开图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】对于此类问题，亲自动手操作，即可得出答案．【详解】严格按照图中的顺序向右翻折，向下翻折，按按虚线剪裁，展开得到结论，故选：D．【点睛】本题考查了剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①b＝2a；②c﹣a＝n；③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；⑤一元二次方程ax2+）x+c＝0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（ ）（b﹣12A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．分解因式3818x y xy -= ．【答案】()()22323xy x x +-【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据题中所给多项式的结构特征，先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案，灵活应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键．【详解】解：3818x y xy-()2249xy x =-()()22323xy x x =+-，故答案为：()()22323xy x x +-．12．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至2月17日21时，2024年春节档新片总票房突破80.23亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据80.23亿用科学记数法表示为 ．13．有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共100个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 个．系．14．新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即20cm AB =，平板的支撑角60ABC ∠=︒，小明坐在距离支架底部30cm 处观看（即30cm DB =），点E 是小明眼睛的位置，ED DC ⊥垂足为D ．EF 是小明观看平板的视线，F 为AB 的中点，根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为80︒时（即80AFE ∠=︒），对眼睛最好，那么请你求出当小明以此视角观看平板时，他的眼睛与桌面的距离DE 的长为 cm ．（结果精确到1cm ）（参考数据：1.73,tan 400.84,sin 400.64,cos400.77︒≈︒≈︒≈≈）∵20cm AB =，F 为AB 的中点，∴11201022BF AB ==⨯=，∵FT DC ∥，60ABC ∠=︒，∴60HFB ABC ∠=∠=︒，∵180HFB HFE EFA ∠+∠+∠=15．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则12 PD PC+的最小值为．【答案】15三、解答题16．计算：6023112)cos 45()2---︒-︒+-．17．先化简，再求值：21221121x x x x x --⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭，再从1，－1，2中选一个合适的数作为x 的值代入求值．18．为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）：信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组5060x ≤<，第Ⅱ组6070x ≤<，第Ⅲ组7080x ≤<，第Ⅳ组8090x ≤<，第Ⅴ组90100x ≤<；信息二：第Ⅲ组的成绩为747173747976777676737275，，，，，，，，，，，．根据信息解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数为________人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为：________；(2)第Ⅲ组竞赛成绩的众数是________分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是________分；(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数．【答案】(1)50，72︒(2)76，77.5(3)720【分析】（1）根据第Ⅲ组人数及第Ⅲ组所占的百分数可得到抽样总人数，第Ⅱ组的所占百分数为20%即可解答；（2）根据第Ⅲ组的成绩及中位数和众数的定义即可解答；（3）根据样本成绩不低于80分的学生人数即可解答．【详解】（1）解：∵第Ⅲ组7080x ≤<为12人，第Ⅲ组所占的百分数为24%，∴本次抽取的学生人数为1224%50÷=（人），∵第Ⅰ组所占百分数为8%，第Ⅲ组所占百分数24%，第Ⅳ组所占百分数40%，第Ⅴ组所占百分数8%；∴第Ⅱ组的所占百分数为100%8%24%40%8%20%----=，∴第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为36020%72︒⨯=︒，故答案为：50，72︒；（2）解：∵第Ⅲ组的成绩为747173747976777676737275，，，，，，，，，，，，∴第Ⅲ组竞赛成绩的众数是76分，∵第Ⅰ组人数为508%4⨯=（人），第Ⅲ组人数为5024%12⨯=（人），第Ⅴ组的人数为19．2024年4月18日上午10时08分，华为70Pura 系列正式开售，华为70Pura Ultra 和70Pura Pro 已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“4G 改变生活，5G 改变社会”，不一样的5G 手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A 、B 两种型号的5G 手机出售，售出1部A 型、1部B 型手机共获利600元，售出3部A 型、2部B 型手机共获利1400元．(1)求A 、B 两种型号的手机每部利润各是多少元；(2)某营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共20部，其中B 型手机的数量不超过A 型手机数量的23，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．【答案】(1)A 种型号手机每部利润是200元，B 种型号手机每部利润是400元．(2)营业厅购进A 种型号手机12部，B 种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：（1）设A 种型号手机每部利润是x 元，B 种型号手机每部利润是y 元，由售出1部A 型、1部B 型手机共获利600元，售出3部A 型、2部B 型手机共获利1400元，再建立方程组即可；（2）设购进A 种型号的手机a 部，则购进B 种型号的手机()20a -部，获得的利润为w 元，2008000w a =-+，再利用一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设A 种型号手机每部利润是x 元，B 种型号手机每部利润是y 元，20．如图，在ABCD Y 中，O 为线段AD 的中点，延长BO 交CD 的延长线于点E ，连接AE BD 、，=90BDC ∠︒．(1)求证：四边形ABDE 是矩形；(2)连接OC ，若2AB =，BD =，求OC 的长．∵四边形ABDE是矩形，∴2==，ODDE AB=，∴OD OE∵OF DE⊥，21．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，若由点P 、原点O 、两个垂足AB 、为顶点的矩形OAPB 的周长与面积的数值相等时，则称点P 是平面直角坐标系中的“美好点”．【尝试初探】（1）点()23C ，______ “美好点”(填“是”或“不是”)；【深入探究】（2）①若“美好点”()6(0)E m m >，在双曲线k y x =(0k ≠，且k 为常数)上，则k =______；②在①的条件下，()2F n ，在双曲线k y x=上，求EOF S △的值；【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点()P x y ，是第一象限内的“美好点”．①求y 关于x 的函数表达式；②对于图象上任意一点()x y ，，代数式()()22x y -⋅-是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．∴11155956222EOF FOG EOG S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= ；（3）①∵点()P x y ，是第一象限内的“美好点”，22．如图，(1)如图①，等腰ACB △，90ACB∠=︒，D 为AB 的中点，90MDN ∠=︒，将MDN ∠绕点D 旋转，旋转过程中，MDN ∠的两边分别与线段AC 、线段BC 交于点E 、F （点F 与点B 、C 不重合），写出线段、、CF CE BC 之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图②，等腰ACB △，120ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，60MDN ∠=︒，将MDN ∠绕点D 旋转，旋转过程中，MDN ∠的两边分别与线段AC 、线段BC 交于点E 、F （点F 与点B 、C 不重合），直接写出线段、、CF CE BC 之间的数量关系为 ；(3)如图③，在四边形ABCD 中，AC 平分BCD ∠，120BCD ∠=︒，60DAB ∠=︒，过点A 作AE AC ⊥，交CB 的延长线于点E ，若6CB =，2DC =，则BE 的长为 ．【答案】(1)CF CE BC +=，理由见解析∵等腰ACB △中，ACB ∠∴CD AB ⊥，即CDB ∠∵在Rt CDB △中，点G ∵AE AC ⊥，。

初中学业水平质量监测九年级数学一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的选项中，选出符合题目的一项）1.下列是无理数的是？（）A.12024 B.0 C. D.3.14-【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．A、12024是有理数，不符合题意；B、0是整数，属于有理数，不符合题意；CD、 3.14-是有理数，不符合题意；故选：C．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，结合选项分析即可．A、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；B 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为与原图重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；C 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；D 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；故选B ．3.下列运算中，正确的是（）A.22a a ÷= B.()326a a -=C.235a a a ⋅= D.()2224a a -=-【答案】C【解析】【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式等知识，根据以上知识正确化简计算是解题的关键.根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，以及完全平方公式解答即可．解：A ．2a a a ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意；B ．()326a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C ．235a a a ⋅=，原计算正确，故此选项符合题意；D ．()22244a a a -=-+，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．4.2024年1月26日，湖南省文化和旅游厅发布，2023年湖南全省接待旅游总人数约658000000人次．其中658000000用科学记数法表示为（）A.865810⨯B.765.810⨯C.96.5810⨯D.86.5810⨯【答案】D【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于10的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数位数减，据此即可解答．解：8658000000 6.5810=⨯．故选：D5.如图，直线AB CD ，AC DE ∥，47A ∠=︒，则D ∠的度数是（）A 47︒B.53︒C.133︒D.43︒【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线的性质等知识，根据AB CD 得到47ACD A ∠=∠=︒，根据AC DE ∥，即可求出47D ACD ∠=∠=︒．解：∵AB CD ，47A ∠=︒，∴47ACD A ∠=∠=︒，∵AC DE ∥，∴47D ACD ∠=∠=︒．故选：A6.某校足球队20名队员年龄分布情况如下表：年龄（岁）12131415人数（人）3872则该队队员年龄的众数、中位数分别是（）A.15，13.5B.15，13C.13，13.5D.13，13【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，据此求解即可．解：把这20名队员的年龄从低到高排列，处在第10名和第11名的年龄分别为13岁，13岁，∴中位数为1313132+=，∵年龄为13岁的人数最多，∴众数为13，故选：D ．7.关于x 的一元二次方程230x kx --=（k 为常数）根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式等知识点，先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到0∆>，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．∵()()2Δ43k =--⨯-2120k =+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．8.对于某个二次函数，两位同学探究了它的图像和性质，下图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，则下列结论中错误的是（）A.0a > B.0b > C.0c > D.240b ac ->【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据图象经过()0,2可判断C ，结合抛物线顶点在第四象限可判断A ，B ，D ．解：∵图象经过()0,2，∴20c =>，故C 正确；∵抛物线顶点在第四象限，∴0a >，240b ac ->，02b a->，故A ，D 正确；∴0b <，故B 不正确．故选C ．9.如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒．若8AC =，则菱形ABCD 的周长为（）A.32B.C.16D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，只需要证明ABC 是等边三角形求出8AB AC ==即可得到答案，证明ABC 是等边三角形是解题的关键．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，AB BC CD AD ===，∴180B BAD ∠+∠=°，∵120BAD ∠=︒，∴=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∴8AB AC ==，∴菱形ABCD 的周长432AB ==，故选：A ．10.如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表100m ，以点O 为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点O 处用雷达发现A ，B 两处鱼群，那么A ，B 两处鱼群的距离是（）A.5mB.400mC.500mD.300m【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出90AOB ∠=︒及OA 、OB 后即可根据勾股定理求解．解：如图，连接AB ，数轴交点为O ，由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为36012390︒÷⨯=︒，90AOB ∴∠=︒，又个单位长度代表100m ，300m OA ∴=，400m OB =，∴根据勾股定理可得，Rt AOB ∴ 中，22500m AB OA OB =+=．故选：C ．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.函数y =x 的值___________．【答案】2（答案不唯一，满足1x >的实数即可）【解析】【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件，求出x 的取值范围，即可求解．解：根据题意得：10x ->，解得：1x >，∴一个符合条件整数x 的值是2．故答案为：2（答案不唯一，满足1x >的实数即可）12.计等：202413tan 30-+︒=___________．【答案】1-+【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：202413tan30︒-+3133=-+⨯1=-故答案为：1-+13.如图，ABC 中，边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，设DEF 和ABC 的而积分别为1S ，2S ，则12S S =_____．【答案】1:4【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线性质，根据中位线可得12DE DF EF AC BC AB ===，从而DEF CBA ∽，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．∵边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，∴DE ，EF ，DF 是ABC 的中位线，∴12DE AC =，12EF AB =，12DF BC =，∴12DE DF EF AC BC AB ===，∴DEF CBA ∽，∴2121124S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：1:4．14.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为___________．【答案】2200(1)162x -=【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次降价的百分率是x ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．设平均每次降价的百分率是x ，根据题意，得：根据题意，得：2200(1)162x -=，故答案为：2200(1)162x -=．15.如图，CD 为O 的直径，点D 平分 AB ．若28C ∠=︒，则CDB ∠=___________度．【答案】62【解析】【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的特征，连接BC ，根据点D 平分 AB ，得到 AD BD=，由同弧所对圆周角相等得到28BCD ACD ∠=∠=︒，根据CD 为O 的直径，得90CBD ∠=︒，由直角三角形的特征即可求解．解：连接BC ，点D 平分 AB ，28C ∠=︒，∴ AD BD=，∴28BCD ACD ∠=∠=︒，CD 为O 的直径，∴90CBD ∠=︒，9062CDB BCD ∴∠=︒-∠=︒，故答案为：62．16.为践行《环保宣言》，某校开展中小学生主题演讲比赛，如图是7位评委对甲、乙两位参赛选手的打分情况，通过折线图发现7位评委对___________选手在演讲比赛中的表现评价更一致．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】本题主要考查了折线统计图、方差等知识点，根据方差的意义求解即可，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以7位评委评价更“一致”的是乙组，故答案为：乙．17.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是___________2cm （结果保留π）．【答案】24π【解析】【分析】本题考查了圆锥成面积公式，利用圆锥侧面积公式πS rl =侧（其中r 是底面圆半径，l 是母线）求解即可．解：根据题意，得几何体的侧面积是26824πcm 2π⨯⨯=，故答案为：24π．18.如图，点(3,)A a -在双曲线6(0)y x x =-<上，作直线OA 交双曲线(0)k y x x =<于点B ，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，连接BC ．已知ABC 的面积为1，那么k =________．【答案】323-【解析】【分析】本题考查已知图形的面积求k 值，先求出A 点坐标进而求出OA 的解析式，过点B 作BD y ⊥轴，延长CA 交BD 于点E ，根据三角形的面积公式，求出B 点坐标，即可得出k 值．解：点(3,)A a -在双曲线6(0)y x x =-<上，∴36a -=-，∴2a =，∴(3,2)A -设直线OA 的解析式为y mx =，则：23m =-，∴23m =-，∴23y x =-，设2,3B n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点B 作BD y ⊥轴，延长CA 交BD 于点E ，则：∵AC x ⊥轴，∴CE BD ⊥，∴四边形OCED 为矩形，∵(3,2)A -，∴2AC =，3DE OC ==，∵112122ACB S AC BE BE =⋅=⨯= ，∴1BE =，∴4BD =，∴n =-4，∴84,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴832433k =-⨯=-．故答案为：323-．三、解答题（本大题共8小题，第19−20题每小题6分，第21−22题每小题8分，第23−24题每小题9分，第25−26题每小题10分，共66分）19.解方程：()()135x x -+=【答案】124, 2.x x =-=【解析】【分析】把一元二次方程化为方程的一般形式，再按因式分解的方法解方程即可．解：()()135x x -+= ，2280x x ∴+-=(4)(2)0,x x ∴+-=124, 2.x x ∴=-=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用十字乘法分解因式是解题的关键．20.先化简，再求值：22341244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中2x =【答案】12x x --；222【解析】【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式化简计算，根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可．解：22341244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭223(2)2(2)(2)x x x x x +-+=⋅++-21(2)2(2)(2)x x x x x -+=⋅++-12x x -=-，当2x =+时，上式22+==．21.某校为摸底九年级学生排球垫球成绩，现从九年级学生中这机抽取若下名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的不完整的统计图表，根据信息回答下列问题：等级排球垫球数（次）人数A 30x >20B20x30<≤40C1020x<≤mD010x≤≤8（1）m=______，扇形统计图中，“B”所对应的扇形圆心角的度数为______度；（2）若该校九年级共有1200名学生，请你估计垫球数超过20次的学生人数．（3）从垫球成绩优秀的两男两女4名学生中，随机抽取2名学生为九年级学生演示垫球动作，请用树状图法或列表法求选中的两名学生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）32，144（2）720人（3）2 3【解析】【分析】本题考查了扇形统计图基础及其应用，样本估计总体，根据表格获取信息是解题的关键，（1）用A 组的人数除以该组所占的百分比，求得九年级学生中随机抽取的学生人数，再用总人数减去其他组的人数即可求解；（2）根据样本估计总体的定义，结合统计表即可求解；（3）根据题意列出表格，再根据概率的计算公式，即可得到答案．【小问1】解：由题可得：从九年级学生中随机抽取的学生人数为：2020%100÷=（人），∴1002040832m=---=，∵等级B的人数为：40100%40% 100⨯=∴40%360144⨯︒=︒，故答案为：32，144．【小问2】解：4020 1200720100+⨯=（人）答：排球垫球数超过20次的学生人数是720人．【小问3】解：设两名男生分别为A ，B ，两名女生分别为a ，b ，则用列表法表示为：A B a b A AB Aa AbB BA Ba Bba aA aB abb bA bB ba∴P （两名学生恰好是一男一女)82123==．22.在矩形ABCD 中．（1）尺规作图：作对角线AC 的垂直平分线，分别交AD BC ，于点E ，F （保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）已知3AB =，4BC =，求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）258CF =【解析】【分析】本题考查了作线段垂直平分线，矩形的性质，勾股定理．（1）根据题意作出图形即可；（2）在Rt ABF 中，利用勾股定理列式即可求解．【小问1】解：所作图形如图所示，；【小问2】解：连接AF ．设CF x =，则4BF x=-EF 是AC 的垂直平分线，FA CF x ∴==．在Rt ABF 中，由勾股定理得：222AB BF AF +=，2223(4)x x +-=，解得258x =．258CF ∴=．23.小明一家为践行“低碳生活，绿色出行”，决定以骑行的方式去湖边游玩．已知小明骑单人自行车的速度比爸爸妈妈骑双人自行车速度快3km/h ，小明骑行12km 与爸爸妈妈骑行10km 的时间相同．（1）小明骑单人自行车的速度是多少km/h ？（2）某自行车租赁商店计划购买单人自行车和双人自行车共40辆，已知每辆单人自行车和双人自行车的单价分别为200元、360元，若总费用不超过10000元，则该商店最多．．可购买多少辆双人自行车？【答案】（1）18km /h（2）12辆【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．（1）设小明骑单人自行车的速度是km /h x ，根据“小明骑行12km 与爸爸妈妈骑行10km 的时间相同”列分式方程求解即可；（2）设该商店购买m 辆双人自行车，根据“总费用不超过10000元”列不等式求解即可．【小问1】解：设小明骑单人自行车的速度是km /h x ，12103x x ∴=-，18x ∴=经检验：18x =是原方程的解且符合题意；答：小明骑单人自行车的速度是18km /h ；【小问2】解：设该商店购买m 辆双人自行车，则200(40)36010000m m -+≤，12.5m ∴≤m 是正整数，m ∴最大值为12，答：该商店最多可购买12辆双人自行车．24.某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题．甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1）如图2，甲同学目高AB （眼睛到地面距离）1.60米，站在距离旗杆CD 底部(0)m m >米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点C 的仰角()090αα︒<<︒，通过计算求出旗杆CD 的高度．（1）请用含有m ，α的代数式表示旗杆CD 的高度=________米．为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表．序号离旗杆CD 底部距离（单位：米）仰角旗杆CD 的高度（单位：米）①1050︒13.52②1539︒13.75③2041︒1899.④2526︒1379.⑤3022︒13.72（2）观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填）（3）乙同学计划用自制的立角三角板AFG （两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高AB （1.60米），他调整位置，设法使斜边AG 保持水平，边AF 与旗杆顶点C 在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a ，b ，c …表示，求旗杆CD 的高度（用含有a ，b ，c …的代数式表示）．【答案】（1）tan 1.6m α⋅+（2）③（3）1.6bc a +【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，解直角三角形，求出CE 即可得出答案；（2）根据表格中的数据进行判断即可；（3）证明AFG AEC ∽，得出AF FG AE CE =，bc CE a=米，即可得出答案．【小问1】解：过点A 作AE CD ⊥于点E ，如图所示：根据题意可知，四边形ABDE 为矩形，∴AE BD m ==米，16.DE AB ==米，在Rt ACE 中，tan CE AEa =，∴tan ·tan CE AE m αα=⨯=米，∴()·tan 1.6CD CE DE m α=+=+米；【小问2】解：因为距离旗杆底部越远，α的度数越小，所以根据表格中的数据可知，第③组数据测量有误；【小问3】解：需测量的线段AF a =米，FG b =米，BD c =米，由题可知，四边形ABDE 是矩形，AE BD c ==米，90AFG AEC ︒∠=∠= ，CAE GAF ∠=∠，AFG AEC ∴△∽△，AF FG AE CE ∴=，a b c CE ∴=，bc CE a∴=（米），1.6 1.6bc CD CE a∴=+=+（米）答：旗杆CD 的高度为 1.6bc a ⎛⎫+⎪⎝⎭米．25.如图，ABC 内接于O ，AB 为直径，OF AC ⊥于点F ，延长OF 交O 于点E ，过E 作O 的切线ED ，与BC 的延长线交于点D ，连接EB 交AC 于点G ，连接CE ．（1）求证：四边形EFCD 为矩形；（2）求证：2CE EG EB =⋅；（3）若2CG GF m=（m 为常数），求sin CEB ∠（用含m 的代数式表示）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）1sin 1CEB m ∠=+【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明即可；（2）由垂径定理得 AE CE=，从而ACE EBC ∠=∠，然后证明GCE CBE △∽△即可证明结论成立；（3）证明GCB GFE △∽△得2CG BC GF EF m==，设2BC a =，EF ma =，由三角形中位线的性质得12FO BC a ==，可求(1)AO OE a m ==+，求出1sin 1FO A AO m ==+，再证明CEB A ∠=∠即可．【小问1】OF AC ⊥ 于点F ，90EFC ∴∠=︒（垂直的性质）．AB 为直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），90DCF ∠=︒．ED 为O 的切线，90DEO ∴∠=︒．（切线垂直于过切点的半径）90EFC DCF DEO ︒∠=∠=∠= ，∴四边形EFCD 为矩形．（三个角是直角的四边形是矩形）；【小问2】OF 过圆心，OF AC ⊥于点F ，AE CE∴=，（垂径定理）ACE EBC ∴∠=∠．（等弧所对的圆周角相等）而BEC BEC ∠=∠，GCE CBE ∴△∽△，（有两组角对应相等的两个三角形相似）GE CE CE BE∴=（相似三角形对应边成比例）2CE GE BE∴=⋅【小问3】四边形EFCD 为矩形，OE BD ∴∥，GCB GFE ∴△∽△，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似）∴2CG BC GF EF m==．（相似三角形对应边成比例）设2BC a =，EF ma =；AF FC = ，AO BO =，FO ∴是ABC 的中位线，12FO BC a ∴==．（三角形中位线性质）在Rt AOF 中，(1)AO OE ma a a m ==+=+1sin (1)1FO a A AO a m m ===++．又A ∠和CEB ∠都是 BC所对的圆周角，CEB A ∴∠=∠．（同弧所对的圆周角相等）1sin 1CEB m ∴∠=+【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．26.二次函数223y x tx =--（t 为常数且0t >）的图像与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴相交于点C ．（1）当1t =时，①求A ，B 两点的坐标；②如图1，点M 是线段AB 上的动点，求22CM BM +的最小值．（2）若点(4,)D m a -，(3,)E b ，(,)F m a 都在这个二次函数的图像上，且3a b <<-，求m 的取值范围．【答案】（1）①(1,0)A -，(3,0)B ②32（2）7m >【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，三角函数，勾股定理等知识点，（1）当1t =时，二次函数为2=23y x x --，①当0y =时，解方程得两根，进而即可得解；②如图，以BM为斜边，构造Rt BMG ，得2BM MG =，然后求出CM MG +最小值即可得解；（2）由(4,)D m a -，(,)F m a 的坐标求出对称轴方程，（i ）当点E 在对称轴左边时，（ii ）当点E 在对称轴右边时，分类讨论即可得解；熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．【小问1】当1t =时，二次函数为2=23y x x --，①当0y =时，2230x x --=，解得，11x =-，23x =．(1,0)A ∴-，(3,0)B ．②如图，以BM 为斜边，构造Rt BMG ，使得2sin 2MBG ∠=，即45MBG ∠=︒，再连接BC ．点(0,3)C -，OC OB ∴=，45OBC ∴∠=︒，90CBG ∴∠=︒，即CB BG ⊥．在Rt BMG 中，2sin 2BM MBG BM MG ⋅∠==，∴要求22CM BM +的最小值，即求CM MG +的最小值，由于垂线段最短得，CM MG +的最小值为CB 的长，∴在Rt BOC 中，由勾股定理得，BC ==．22CM BM ∴+的最小值为小问2】点(4,)D m a -，(,)F m a 关于对称轴对称∴对称轴42m m x t -+==，即2t m =-，且点D 在对称轴左侧，点F 在对称轴右侧． 点(0,3)C -关于对称轴的对称点为(24,3)C m '--，3a b <<- 且0t >，40243m m ->⎧∴⎨->⎩，解得4m >．（i ）当点E 在对称轴左边时，3a b <<- ，34m ∴<-，解得7m >，7m ∴>，（ii ）当点E 在对称轴右边时，3a b <<- ，∴点E 在C '下方，点F 上方，2433m m ->⎧∴⎨<⎩，723m m ⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，m ∴不存在，综上所述：m 的取值范围是7m >．。

龙华区2023-2024学年第二学期九年级调研测试试题数学试卷说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．3．作答选择题1~10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题11~22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．4．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 为打造极具辨识度的城市环保新名片，深圳市清洁能源环卫作业车辆的外观、标识正逐步改为统一标准．下列四个图标是深圳环卫车身上的环保符号，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2. 深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约7.2万平方米，设计藏书量800万册，其中800万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，解题关键是确定a 和n ．根据科学记数法定义进行表示即可得到答案．【详解】解：∵800万，∴科学记数法表示：，故选：C ．3. 下列运算正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，整式乘法以及完全平方公式，平方差公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键，分别根据合并同类项法则，单项式乘以多项式运算法则，以及完全平方公式、平方差公式逐一判断即可．【详解】A 、，故本选项不合题意； B 、，故本选项不符合题意；C 、，故本选项不符合题意；D 、，故本选项符合题意；故选：D ．4. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）为的2810⨯5810⨯6810⨯70.810⨯10n a ⨯110a ≤<8000000=68.010⨯224m m m +=()11m n mn +=+()222m n m n +=+()()22m n m n m n+-=-22242m m m m +=≠()11m n mn m mn +=+≠+()222222m n m mn n m n +=++≠+()()22m n m n m n +-=-33⨯A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可．【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的，∴飞镖落在阴影区域的概率为．故选：B ．5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为，故选：A ．6. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）1349592349491024x x +≥⎧⎨<⎩10x +≥1x ≥-24x <2x <12x -≤<22MAD ∠=︒23FCN ∠=︒ABC ∠A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，∴，，∴．故选：B ．7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设第一次分钱的人数为x 人，则第二次分钱的人数为（x +6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】解：设第一次分钱的人数为x 人，则第二次分钱的人数为（x +6）人，依据题意，可得．故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8. 数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A ，C ，E 在同一直线上，，若，则点B ，D 到直线的距离之和为（ ）44︒45︒46︒47︒AD BE FC ∥∥22MAD ∠=︒23FCN ∠=︒22MAD ABE ∠=∠=︒23EBC FCN ∠=∠=︒45ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒10406x x =-40106x x =-10406x x =+40106x x =+10406x x =+AB BC CD DE BC CD ⊥10AE =AEA. 5B.C.D. 10【答案】A 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，过于M ，于N ，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．【详解】解：过于M ，于N ，∵，∴，同理：，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，∴点B ，D 到直线的距离之和为5．故选：A ．9.小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正BM AE ⊥DN AE ⊥12CM AC =12CN CE =DCN CBM ∠=∠AAS DCN CBM ≌DN CM =BM CN =()111105222BM DN CM CN AC CE AE +=+=+==⨯=BM AE ⊥DN AE ⊥AB BC =12CM AC =12CN CE =BC CD ⊥90BCD ∠=︒1809090DCN BCM ∠+∠=︒-︒=︒90BCM CBM ∠+∠=︒DCN CBM ∠=∠90DNC BMC ∠=∠=︒DC BC =()AAS DCN CBM ≌DN CM =BM CN =()111105222BM DN CM CN AC CE AE +=+=+==⨯=AE弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查了三角函数，余角性质，利用余角性质可得，进而得，再根据折射率计算即可求解，由余角性质推导出是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，∵光线经折射后沿垂直边的方向射出，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：．10. 如图，在菱形中，，E 是对角线上一点，连接，作交sin sin in r=i r AC 30i =︒15cm AB =5cm =BC n 1.8 1.6 1.5 1.4r A ∠=∠1sin sin 3r A ==sin sin in r=r A ∠=∠190r ∠+∠=︒AC 190A ∠+∠=︒r A ∠=∠90C ∠=︒51sin 153BC A AB ===1sin sin 3r A ==30i =︒1sin sin 302i =︒=1sin 21.51sin 3i n r ===C ABCD 60ABC ∠=︒AC BE 120BEF ∠=︒边于点F，若，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴，是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，CD 12AE EC =DF FC4354AB BC CD AD ===60D ABC ∠=∠=︒ABC ACD 60BCE ACD ∠=∠=︒BC AC =18060120CBE BEC ∠+∠=︒-︒=︒120CEF BEC ∠+∠=︒CEF CBE ∠=∠CEF CBE ∽△△::CF CE CE BC =AE x =2EC x =43CF x =45333DF x x x =-=ABCD AB BC CD AD ===60D ABC ∠=∠=︒ABC ACD 60BCE ACD ∠=∠=︒BC AC =18060120CBE BEC ∠+∠=︒-︒=︒120BEF ∠=︒120CEF BEC ∠+∠=︒CEF CBE ∠=∠ECF BCE ∠=∠CEF CBE ∽△△∴，∵，∴令，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D ．第二部分（非选择题，共70分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 化简分式：＝___．【答案】1【解析】【分析】利用同分母分式的加减法则计算即可求出值．【详解】解：原式，，，．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式加减法，解题的关键熟练掌握分式的加减法的运算法则．12. 若a 是一元二次方程的一个根，则的值是___________．【答案】6【解析】【分析】将a 代入，即可得出，再把整体代入，即可得的::CF CE CE BC =12AE EC =AE x =2EC x =23AC x x x =+=3BC AC x ==:22:3CF x x x =43CF x =45333DF x x x =-=54DF FC =1211x x x-+++1211x x x -=+++121x x -+=+11x x +=+1=2230x x +-=224a a +2230x x +-=223a a +=223a a +=224a a +出答案．【详解】∵a 是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．13. 如图，点A ，B ，C 在⊙上，平分，若，则____°．【答案】70【解析】【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解答中涉及角平分线定义，三角形外角的性质，能准确作出辅助线，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．延长交于点E ，连接，由已知条件求出，由角平分线定义，可得到，最后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求出的度数．【详解】解：延长交于点E ，连接，则，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，2230x x +-=2230a a +-=223a a +=()222422236a a a a +=+=⨯=O AC OAB ∠40OAB ∠=︒CBD ∠=AO O BE 50C E ∠=∠=︒1202CAB OAB ∠=∠=︒CBD ∠AO O BE 90ABE ∠=︒40OAB ∠=︒9050E OAB ∠=︒-∠=︒50C E ∠=∠=︒AC OAB ∠1202CAB OAB ∠=∠=︒205070CBD CAB C ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：70．14. 如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______．【答案】##0.5【解析】【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出．【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为，∵反比例函数图象经过点，∴，∴与之间的反比例函数为，当时，∵，，∴，把代入得，解得．故答案为：,1R 030R =Ω()U V ()3mg /m p 10R R R =+()U V ()ΩR 1R p 16060R p =-+ 4.5V 3mg m 12()U V ()ΩR 270U R =10R R R =+130R =Ω16060R p =-+12p =()U V ()ΩR kU R=()45,6645270k =⨯=()U V ()ΩR 270U R=4.5V =270604.5R ==Ω10R R R =+030R =Ω10603030R R R =-=-=Ω130R =Ω16060R p =-+306060p =-+12p =1215. 如图，在矩形中，，P 是边上一点，将沿折叠，若点D 的对应点E 恰好是的重心，则的长为_______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长交于F ，在的延长线上取一点H ，使，连接，，，连接并延长交于点T ，连接，由折叠的性质得P ，，根据点E 是的重心，得是边上的中线，是边上的中线，则，，先证四边形是平行四边形得，进而得是的中位线，则，进而得，在中，由勾股定理得，再判定，得，进而得【详解】解：延长交于F ，在的延长线上取一点H ，使，连接，，，连接并延长交于点T ，连接，如下图所示：∵四边形为矩形，，∴，，，由折叠的性质得：，，，∵点E 是的重心，∴是边上的中线，是边上的中线，即，，又∵，ABCD 6AB =AD PCD CP ABC PD CE AB EF FH FE =AH BH PF AE BC BE PD PE =6CE CD ==ABC AT BC CF AB 132AF BF AB ===CT BT =AEBH BH AE ∥ET CBH 6EH CE ==3FH FE ==Rt BCF BC ==()Rt Rt HL PAF PEF ≌PA PE =12PD PA AD ===CE AB EF FH FE =AH BH PF AE BC BE ABCD 6AB =90BAD D ∠=∠=︒6CD AB ==AD BC =PD PE =6CE CD ==90PEC D ∠=∠=︒ABC AT BC CF AB 132AF BF AB ===CT BT =FH FE =∴四边形是平行四边形，∴，即，∴，∵，∴，∴是的中位线，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴故答案为：三、解答题（本题共7小题，共55分）16. 计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先AEBH BH AE ∥BH ET ∥CT CE BT EH=CT BT =CE EH =ET CBH 6EH CE ==3FH FE ==639CF CE FE =+=+=Rt BCF BC ==AD BC ==3FE =3AF =AF FE =90PEC ∠=︒90BAD ∠=︒90BAD PEF ∠=∠=︒Rt PAF △Rt PEF △AF FE PF PF =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL PAF PEF ≌PA PE =12PD PA AD ===()10120242cos 602π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【详解】解：原式．17. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．（1）直接画出直线；（2）的解析式为______；（3）直线与之间的距离为______个单位长度．【答案】（1）见解析（2） （3【解析】【分析】（1）根据平移的性质画出直线；（2）利用平移的规律求得直线的解析式；（3）根据三角形面积公式即可得到结论．【小问1详解】如图，112422=+-+⨯341=-+0=11:22l y x =+2l 2l 2l 1l 2l 1122y x =-2l 2l【小问2详解】将直线向右平移5个单位长度得到直线为；故答案为：；【小问3详解】如图，过O 作于C ，反向延长交于D ，∵与x 轴交于，与y 轴交于，与x 轴交于，与y 轴交于，∵，∴，∵，∴∵，，11:22l y x =+2l ()11152222y x x =-+=-1122y x =-OC AB ⊥OC EF 122y x =+()4,0A -()0,2B 1122y x =-()1,0E 10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB EF ∥CD EF ⊥4,2OA OB =====AB 1OE =12OF =∴∵，∴，∵，∴，∴∴直线与【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键．18. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A ，B ，C 三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：【整理数据】EF ===1122EF OD OE OF ⋅=⋅OA OB OC AB ⋅===1122EF OD OE OF ⋅=⋅OD ==CD =1l 2l 420km（1）小明共调查了_____辆A 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_______°；【分析数据】型号平均里程（km ）中位数（km ）众数（km ）A400400410B432m 440C 453450n（3）由上表填空：_______，_______；【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．【答案】（1）20，图见解析；（2）；（3）430；450；（4）选择B 型，见解析【解析】【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A 型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；（2）用360°乘续航里程为390km 的占比即可；（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．【详解】解：（1）（辆），的数量为：（辆），补全条形统计图如下：的390km m =n =72︒410km 400km 630%20÷=400km 2034625----=故答案为：20；（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：，故答案为：72；（3）由题意得，．故答案为：430，450；（4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A 型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B 、C 型号符合要求，但B 型号的租金比C 型号的租金优惠，所以选择B 型号的纯电动汽车较为合适．【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．19. 投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下：投入壶内投入壶耳落在地上总分小龙3支4支3支27分390km 43607220︒⨯=︒,4304304304502m n +===420km小华3支3支4支24分（1）求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？（2）小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？【答案】（1）一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分（2）她至少投入壶内2支箭【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键．（1）设一支弓箭投入壶内得x 分，投入壶耳得y 分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可；（2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可．【小问1详解】设一支弓箭投入壶内得x 分，投入壶耳得y 分，根据题意得解得答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分；【小问2详解】设投入壶内m 支箭，根据题意可得解得：∵m 需取整数答：她至少投入壶内2支箭．20. 如图，以为直径的⊙交于点D ，，垂足为E ．34273324x y x y +=⎧⎨+=⎩53x y =⎧⎨=⎩()5310227m m +-->32m >∴min 2m =AB O BC DE AC ⊥（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．【答案】（1）增加条件：，见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．（1）添加条件：（答案不唯一）．证明，推出即可；（2）解直角三角形分别求出，，再证明，得出，进而可得答案．【小问1详解】增加条件：．证明：连接，∵为的直径，，∵，，，∵，，，又∵，，DE O 6DE =2tan 3ADE ∠=O AB AC =132AB AC =OD AC ∥OD DE ⊥AE EC C ABD ∠=∠13AB AC ==AB AC =OD AB O ∴90ADB ∠=︒AB AC =90ADB ∠=︒∴BD CD =AO BO =BD CD =∴OD AC ∥DE AC ⊥∴90ODE DEC ∠=∠=︒即，∵为半径，为的切线；【小问2详解】在中，，，， ∵，，∵，，，，，，又∵，，，，，即的半径为．21. 【项目式学习】项目主题：合理设计 智慧泉源项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED 发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．任务一 测量建模（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴建OD DE ⊥OD ∴DE O Rt ADE △6DE =2tan 3ADE ∠=∴2tan 643AE DE ADE =∠=⨯=90ADB ADC ∠=∠=︒∴90ADE EDC ∠+∠=︒DE AC ⊥∴90DEC ∠=︒∴90EDC C ∠+∠=︒∴C ADE ∠=∠∴692tan tan 3DE DE EC C ADE ====∠∠∴4913AC AE EC =+=+=C ADE ∠=∠ADE ABD ∠=∠∴C ABD ∠=∠∴13AB AC ==∴132AO OB ==O 132立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；任务二 推理分析（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h 米，水柱落点形成的圆半径相应增加d 米，h 与d 之间存在一定的数量关系，求出h 与d 之间的数量关系式；任务三 设计方案（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P ．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；（2）根据抛物线的形状不变，即a 的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x 轴的交点坐标变为，代入即可得出h 与d 的还是关系式；（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d 的值，再代入h 与d 的函数关系式进行计算即可．【详解】（1）解：ABCD 1.4AB =0.4BC =AB AB ABCD 2435544y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2425h d d =+ 1.2()0.75,1.25()2,0()0.75, 1.25h +()2,0d +OC由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的关系式为，将代入得，，解得，∴第一象限中抛物线的关系式为；（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h 米，其抛物线的关系式为，过点，∴，即，（3）如图，延长交于点Q ，则米，米，米，连接，在中，米，米，∴（米），即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，将代入得，（米），故答案为：．22. 如图1，在正方形中，点E 是边上一点，F 为的中点，将线段绕点F 顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．()0.75,1.25()2,0()20.75 1.25y a x =-+()2,0()220.75 1.250a -+=45a =-()2244350.75 1.255544y x x⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()240.75 1.255y x h =--++()2,0d +()2420.75 1.2505d h -+-++=()22441.25 1.25255h d d d =+-=+OP CD 0.4PQ AD == 2.4OQ =10.72CQ AB ==OC Rt COQ △ 2.4OQ =0.7CQ =2.5OC ==0.5d =0.5d =()24 1.25 1.255h d =+-()240.5 1.25 1.25 1.25h =+-=1.2ABCD AB CE AF 90︒GF CG CE CG【特例分析】当点E 与点B 重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：思路一思路二第一步如图2，连接，，证明；如图3，将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，证明；第二步利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．图形表达（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；【深入探究】（2）如图1，当点E 与点B 不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．AG AC ACG AEF △∽△CF 90 HF AH AFH GFC △≌△CE EF CE CG CE AH CE CG CE CG CE CG AG ABCD 1S AFG 2S △FCG 12S S【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4【解析】【分析】（1）①选择思路一：连接， 如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二：将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H 作于M ， 证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；（3）由于，则，进而得到 ，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E 和A 重合，G 和D 重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B 作于M ，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则CE=CG =AC AG ，AC =45BAC ∠=︒AFG45FAGAG =︒=∠，AC AG AB AF==BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CF 90︒HF AH 9090HF FC HFC AF FG AFG =∠=︒=∠=︒，，，AFH GFC ∠=∠()SAS AFH GFC ≌AH CG =HM AB ⊥MBFH AM MH =AH BC =CG CE =AC AG BF ，，ABF ACG ∽△△CG AC BF AB==12BF CE =CG CE =90AEC ∠≥︒AF EF >FG CF >△FCG CF FG CF ⊥AF CF 14AFG ABCD S S =△正方形124S S =CF CG ⊥AC AG BF ，，BM CE ⊥45EFB ∠=︒CF EF x ==CG =2CE x =FG =2221322S FG x ==BFM BM MF ===，由勾股定理得，则，据此可得【详解】解：（1）①选择思路一：证明：连接， 如图所示，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形 ，∴，∴，∵，，∴，∴；选择思路二：证明：将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，∴，∴，∴；CM CF MF x =+=(22222BC BM CM x =+=+(2212S BC x ==+12S S =AC AG ，ABCD AC =45BAC ∠=︒90AF FG AFG =∠=︒，AFG 45FAG AG =︒=∠，AC AG AB AF==45BAF BAC CAF CA =-=︒-∠∠∠∠45CAG FAG CAF CAF =-=︒-∠∠∠∠BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CF 90︒HF AH 9090HF FC HFC AF FG AFG =∠=︒=∠=︒，，，AFG HFC ∠=∠AFH GFC ∠=∠()SAS AFH GFC ≌②思路一：由（1）①知，∴∵为的中点，∴ ∴，∴，即；思路二：由（1）①知，∴，如图所示，过点H 作于M ，则四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即；ABF ACG ∽△△CG AG BF AF==F BC 12CF BC =12CG BC =CG BC =CG CE =()SAS AFH GFC ≌AH CG =HM AB ⊥MBFH BF CF HF ==MBFH 1122BM MH BF BC AB ====AM MH =AM MH AH ==AH =CG BC =CG CE =综上所述，；（2）如图所示，连接，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形 ，∴，∴，∵，，∴，∴；∴；∵在中，点F为的中点，∴，∴∴；CG CE =AC AG BF ，，ABCD AC =45BAC ∠=︒90AF FG AFG =∠=︒，AFG 45FAG AG =︒=∠，AC AG AB AF==45BAF BAC CAF CA =-=︒-∠∠∠∠45CAG FAG CAF CAF =-=︒-∠∠∠∠BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CG AC BF AB==Rt EBC CE 12BF CE =12CG CE =CG CE =（3）∵E 在边上，∴，∴，∵，∴ ，∵为直角三角形，∴不能作为斜边，①当时，∵，∴和共线，∴E 和A 重合，G 和D 重合，如图：∴由正方形的性质可得，∴；当时，连接，过B 作于M ，如图：由（2）知，，∴，∵，AB 90AEC ∠≥︒AF EF >AF FG CF EF ==，FG CF >△FCG CF FG CF ⊥AF FG ⊥AF CF 14AFG ABCDS S =△正方形124S S =CF CG ⊥AC AG BF ，，BM CE ⊥ABF ACG ∽△△ABF ACG ∠=∠9090ACG ACE ABF FBC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴，∵，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，∴；在中，F 是中点，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；综上所述，或【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性FBC ACE ∠=∠45ACB ACE BCE ACB ∠=︒∠+∠=∠，45EFB FBC FCB ACB ∠=∠+∠=∠=︒CF EF x ==CG =2CE x =Rt CFG △FG ==222113222S AF FG FG x =⋅==Rt BCE CE BF CF x ==45BFM ∠=︒BFM BM MF x ===CM CF MF x =+=Rt BCM △(222222122BC BM CM x x x =+=+=+(2212S BC x ==1232S S ==124S S =12S S =质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．。

亳州市2024年4月份九年级模拟考试数学（试题卷）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A ，B 、C ，D 四个选项，其中只有一个是正确的）1．12024-的相反数是（ ）A ．－2024B ．2024C ．12024D ．12024-2．2024年2月5日，据中安在线报道，2023年，安徽省全省生产总值47050.6亿元，按不变价格计算，比上年增长5.8%．将数据47050.6亿用科学记数法表示为（ ）A ．130.47050610⨯B ．124.7050610⨯C ．1147.050610⨯D ．134.7050610⨯3．如图所示的几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．235a b ab +=B ．2322332a b a b a b -=C ．()325a a =D ．84422a a a ÷=5．不等式1152x x +>-的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线AC ，BD 相交于点O ，测得10cm AB =，16cm BD =，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接OH ，则OH 的长为（）第6题图A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7．如图，EF ，CD 是⊙O 的两条直径，点A 是劣弧 DF 的中点．若32COF ∠=︒，则ADC ∠的度数是（）第7题图A ．47°B ．74°C ．53°D ．63°8．黄山是我国四大名山之一．在学习了“概率初步”这章后，同桌的小明和小波两同学做了一个游戏：小明将分别标有“美”、“丽”、“黄”、“山”四个汉字的小球（除汉字外其余完全相同）装在一个不透明的口袋中搅拌均匀，然后小波同学从口袋中随机摸出一球，不放回．小明再搅拌均匀后，小波又随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“黄山”的概率是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．5169．一次函数()0y bx a c =-≠和二次函数()20y ax x b a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在矩形ABCD 中，AD =，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，DH AE ⊥于点H ，连接BH并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，则下列结论中错误的是（ ）A ．ED 平分AEC∠B ．12OE DE=C ．HE DF =D ．BC CF -=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11=______．12．若关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有两个实数根，则实数k 的取值范围是______．13．如图，一次函数123y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 为AB 上一点且PC 为AOB △的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k y k x =>的图象于点Q ，52OQC S =△，则PQ 的长是______．第13题图14．如图，在ABC △中，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，4BC =．请解决下列问题：（1）AC 的长是______；（2）若点D 是AC 边上的动点，连接DB ，以DB 为边在DB 的左下方作等边DBE △，连接CE ，则点D 在运动过程中，线段CE 的长的最小值是______．第14题图三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：()23223x x x x --⋅--，其中3x =．16．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8文钱多出3文钱；每人出7文钱，还差4文钱．求该物品的价格是多少文钱．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中．（1）画出ABC △关于x 轴对称的111A B C △；（2）在y 轴上画出一点D ，使得BD DA +的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）18．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…．（1）按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖；（2）若铺设这条小路共用去n 块六边形地砖，分别用含n 的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量；（3）若50n =，求此时三角形地砖的数量．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，小明同学为了测量塔DE 的高度，他在与山脚B 处同一水平面的A 处测得塔尖点D 的仰角为37°，再沿AC 方向前进30米到达山脚B 处﹐测得塔尖点D 的仰角为63.4°，塔底点E 的仰角为30°，求塔DE 的高度．（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 63.40.89cm ︒≈，cos 63.40.45︒≈，tan 63.4 2.00︒≈ 1.73≈，结果精确到0.1米）20．如图，在ABC △中；90ACB ∠=︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接CD ，⊙O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：AE =CE ；（2）若10AB =，6BC =，连接OE ，与CD 交于点F ，求OF 的长．六、（本题满分12分）21．安全意识，警钟长鸣，某中学为提高学生的安全防范意识，组织七、八年级学生开展了一次安全知识竞赛．成绩分别为A ，B ，C ，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图、表，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a 9 1.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可知：a =______，b =______，并把七年级竞赛成绩，条形统计图补充完整；（2）根据数据分析表，你认为七年级和八年，级哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由；（3）若该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该中学七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的共有多少人?七、（本题满分12分）22．已知点C 为ABC △和CDE △的公共顶点，将CDE △绕点C 顺时针旋转()0360αα︒<<︒，连接BD ，AE ．（1）问题发现：如图1，若ABC △和CDE △均为等边三角形，则线段BD 与线段AE 的数量关系是______；（2）类比探究：如图2，若90ABC EDC ∠=∠=︒，60ACB ECD ∠=∠=︒，其他条件不变，请写出线段BD 与线段AE 的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，若90BAC DEC ∠=∠=︒，AB AC =，CE DE =，2BC CD ==B ，D ，E 三点共线时，求BD 的长．八、（本题满分14分）23．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）如图1，若在x 轴上方的抛物线上存在一点D ，使得45ACD ∠=︒，求点D 的坐标；（3）如图2，平面上一点()3,2E ，过点E 作任意一条直线交抛物线于P ，Q 两点，连接AP ，AQ ，分别交y 轴于M ，N 两点，则OM 与ON 的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由．亳州市2024年4月份九年级模拟考试·数学（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A10．D 【解析】在矩形ABCD 中，∵AE 平分BAD ∠，∴45BAE DAE ∠=∠=︒，∴ABE △是等腰直角三角形，∴AE =．∵AD =，∴AE AD =，∴()11802ADE AED DAE ∠=∠=︒-∠()11804567.52=︒-︒=︒，∴18067.5CED AEB AED ∠=︒-∠-∠=︒，∴AED CED ∠=∠，即ED 平分AEC ∠，故选项A 正确，不符合题意；在ABE △和AHD △中，,90,,BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AAS ABE AHD ≌△△，∴BE DH =，∴AB BE AH HD ===，∴()()111801804522AHB ABH BAE ∠=∠=︒-∠=︒-︒67.5=︒．∵OHE AHB ∠=∠，∴OHE AED ∠=∠，∴OE OH =．∵DH AE ⊥，∴90DHE ∠=︒，∴9067.522.5OHD DHE OHE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵67.54522.5ODH ADE ADH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴OHD ODH ∠=∠，∴OH OD =，∴OE OD OH ==，∴12OE DE =，故选项B 正确；不符合题意；∵9067.522.5EBH ABE ABH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴EBH OHD ∠=∠．在BEH △和HDF △中，,,45,EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴()ASA BEH HDF ≌△△，∴BH HF =，EH DF =，故选C 正确，不符合题意；综上所述，可得CD BE =，DF EH CE ==，CF CD DF =-，∴()()2BC CF CD EH CD EH EH -=+--=，故选项D 错误，符合题意．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．－1 12．0k ≤且1k ≠- 13．8314．（1）2）2【解析】（1）∵30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，4BC =，∴8AB =．在Rt ABC △中，由勾股定理得AC ===（2）如图，取AB 的中点Q ，连接CQ ，DQ ，则4BQ AQ ==．∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴60CBQ ∠=︒．∵4BQ AQ ==，∴4CQ BQ AQ ===，∴BCQ △是等边三角形∴BC BQ =．∵60DBE CBQ ∠=∠=︒，∴EBC DBQ ∠=∠．在EBC △和DBQ △中，,,,EB DB EBC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EBC DBQ ≌△△，∴EC DQ =，∴当QD AC ⊥时，线段QD 最短，即线段EC 的值最小，在Rt AQD △中，4AQ =，30A ∠=︒，∴122DQ AQ ==，∴线段CE 的长的最小值为2．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式()2321333x x x x x --=⋅=---．当3x =时，原式===16．解：设该物品的价格为x 文钱，根据题意，得3487x x +-=，解得53x =．答：该物品的价格是53文钱．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．解：（1）如图，111A B C △即为所求．如图，点D 即为所求．18．解：（1）21【解析】由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为6151=⨯+，三角形地砖块数为6142=⨯+；图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为11251=⨯+，三角形地砖块数为10242=⨯+；图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为16351=⨯+，三角形地砖块数为14342=⨯+；…，由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，所以图4中正方形地砖块数为21块．（2）由（1）发现的规律可知，当铺设这条小路共用去n 块六边形地砖时，用去的正方形地砖的块数为()51n +块，三角形地砖的块数为()42n +块．（3）当50n =时，三角形地砖的块数为424502202n +=⨯+=（块）．答：此时三角形地砖的数量为202块．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：设BC x =米．在Rt BDC △中，∵63.4DBC ∠=︒，∴tan 63.42DC BC x =⋅︒≈（米）．∵30AB =米，∴()30AC AB BC x =+=+米．在Rt ADC △中，∵37A ∠=︒，∴2tan 370.7530DC xAC x ︒==≈+，解得18x =，∴18BC =米，236DC x ==米．在Rt EBC △中，30EBC ∠=︒，∴tan 3018EC BC =⋅︒==（米），∴3625.6225.6DE DC CE =-=-≈≈（米）．答：塔DE 的高度约为25.6米．20．（1）证明：∵90ACB ∠=︒，BC 为⊙O 的直径，∴EC 为⊙O 的切线，90BDC ADC ∠=∠=︒．∵DE 为⊙O 的切线，∴CE DE =，∴ECD EDC ∠=∠．∵90A ECD ADE EDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴A ADE ∠=∠，∴AE DE ∠=，∴AE CE =．（2）解：如图，连接OD ．∵90ACB ∠=︒，BC 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线．∵DE 是⊙O 的切线，∴EO 平分CED ∠，∴OE CD ⊥，F 为CD 的中．∵AE CE =，BO CO =，∴OE 是ABC △的中位线，∴1110522OE AB ==⨯=，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，在勾股定理得8AC ===．在Rt ADC △中，∵AE CE =，∴118422DE AC ==⨯=．在Rt EDO △中，116322DO BC ==⨯=，4DE =，由勾股定理得5OE ===．由三角形的面积公式，得1122EDO S DE DO OE DF =⋅=⋅△，即435DF ⨯=，解得 2.4DF =．在Rt DFO △中，由勾股定理得 1.8OF ===．21．解：（1）9 10七年级竞赛成绩条形统计图补充完整如下．七年级竞赛成绩条形统计图【解析】∵七年级竞赛成绩由高到低排在第13位的是B 等级9分，∴9a =；∵八年级A 等级人数最多，∴10b =；七年级竞赛成绩C 等级人数为2561252---=（人）．（2）七年级的竞赛成绩更好．理由：七、八年级的竞赛成绩的平均分相同，七年级竞赛成绩的中位数大于八年级，七年级竞赛成绩的方差小于八年级竞赛成绩的方差，所以七年级的竞赛成绩更好．（3）()61244%4%2512007202525+++⨯⨯=+（人）．答：估计该中学七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的共有720人．七、（本题满分12分）22．解：（1）BD AE=【解析】∵ABC △和CDE △都是等边三角形，∴AC BC =，DC EC =，60ACB ECD ∠=∠=︒，∴BCD ACE ∠=∠，∴()SAS BCD ACE ≌△△，∴BD AE =．（2）12BD AE =．理由：∵90ABC EDC ∠=∠=︒，60ACB ECD ∠=∠=︒，∴30BAC DEC ∠=∠=︒，∴12BC CD AC CE ==，BCD ACE ∠=∠．∴BCD ACE ∽△△，∴12BD AE =，∴12BD AE =．（3）当B ，D ，E 三点共线时，有以下两种情况：①如图1，当点D 在线段BE 上的时．∵90BAC DEC ∠=∠=︒，AB AC =，CE DE =，2BC CD ==，∴BC ==，CD ==∴2AC =，1CE DE ==．∵90E ∠=︒，∴BE ==，∴1BD BE DE =-=-；②如图2，当点E 在线段BD 上时，同理得1BD BE DE =+=+．综上所述，BD 1-1．八、（本题满分14分）23．解：（1）令0y =，则2230x x --=，解得11x =-，23x =．∵点A 在点B 的左侧，∴()1,0A -，()3,0B ，即点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()3,0．（2）由抛物线223y x x =--，得点()0,3C -．如图1，过点A 作AK AC ⊥交CD 于点K ，过点K 作KH x ⊥轴于点H ．∵45ACD ∠=︒，∴CAK △是等腰直角三角形，∴AC AK =．又∵90AOC KHA ∠=∠=︒，90ACO OAC KAH ∠=︒-∠=∠，∴()AAS OAC HKA ≌△△，∴3AH CO ==，1KH OA ==，∴2OH =，∴()2,1K ．设直线CD 的解析式为3y kx =-，则231k -=，解得2k =，∴直线CD 的解析式为23y x =-．联立，得223,23,y x x y x ⎧=--⎨=-⎩解得4x =或0x =（舍去），∴点D 的坐标为()4,5．（3）OM 与ON 的积是定值．设直线PQ 的解析式为y ax b =+，()11,P x y ，()22,Q x y ．∵直线PQ 过点()3,2E 交抛物线于P ，Q 两点，∴23a b =+，即23b a =-，∴直线PQ 的解析式为23y ax a =+-，联立，得223,23,y x x y ax a ⎧=--⎨=+-⎩整理，得()22350x a x a -++-=，∴122x x a +=+，1235x x a ⋅=-．如图2，过点P 作PS x ⊥轴于点S ，过点Q 作QT x ⊥轴于点T ，则AMO APS ∽△△，∴MO PS AO AS=，即()()2111111132311x x x x MO AO x x +---==++．∵1AO =，∴13OM x =-．同理得()23ON x =--，∴()()1233OM ON x x ⋅=---⎡⎤⎣⎦()()121239353292x x x x a a =-⋅-++=---++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即OM 与ON 的积为定值，此定值为2．。