中考数学二模试题分类整理代数综合题

2020年北京市中考数学二模分类汇编——代数综合1．（2020•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2．（2020•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B （A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB＝2OD．（1）当b＝2时，①写出抛物线的对称轴；②求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y＝x+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q 均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围．3．（2020•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值．4．（2020•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．（1）求c的值；（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．6．（2020•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．直线y＝﹣x+3与抛物线的对称轴交于点D（m，1）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C的坐标；（3）点M与点A关于抛物线的对称轴对称，过点M作x轴的垂线l与直线AC交于点N，若MN≥4，结合函数图象，求a的取值范围．线y＝x+3与抛物线交于点B，C（点B在点C的左侧）．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在B，C两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W．①当a＝0时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．8．（2020•房山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．10．（2020•密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx 沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．﹣1（m≠0）．（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（1，2）．试说明抛物线总经过点A；（3）已知点B（0，2），将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求m的取值范围．12．（2020•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A 和点B（点A在点B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴是直线x＝1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q（﹣m，2m﹣1）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．。

卜人入州八九几市潮王学校2021年各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总1、〔2021年门头沟二模〕25．如图25-1，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)273(，.点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F .〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.〔3〕假设存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标.2、〔2021年丰台二模〕25.如图，经过原点的抛物线2y x bx =-+〔2b >〕与x 轴的另一交点为A ，过点P 〔1，2b 〕作直线PN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点B.点B 关于抛物线对称轴的对称点为C.连结CB ，CP.〔1〕当b=4时，求点A 的坐标及BC 的长；〔2〕连结CA ，求b 的适当的值，使得CA ⊥CP ；〔3〕当b=6时，如图2，将△CBP 绕着点C 按逆时针方向旋转，得到△CB ’P ’，CP 与抛物线对称轴的交点为E ，点M 为线段B ’P ’〔包含端点〕上任意一点，请直接写出线段EM 长度的取值范围.3、〔2021年平谷二模〕25.定义：任何一个y px q =+，取出它的一次项系数p 和q ，有组][q p ，为其特征数.例如：y =2x +5的特征数是]52[，，同理，[]a b ，，c 为二次函数2y ax bx c =++的特征数。

〔1〕直接写出二次函数x x y 52-=的特征数是：_______________。

〔2〕假设特征数是[]21m +，的一次函数为正比例函数，求m 的值；〔3〕以y 轴为对称轴的二次函数抛2y ax bx c =++的图象经过A (2，m )、B (n ，1)两点〔其中m ﹥0，n<0〕，连结OA 、OB 、AB ，得到OA ⊥OB ，10AOBS =△，求二次函数2y ax bx c =++的特征数．4、(2021年顺义二模)25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23()5y x bx c =++过点(1,0)A ，(0,3)B ，这条抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点P 为射线CB 上一个动点〔不与点C 重合〕，点D 为此抛物线对称轴上一点，且CPD =60︒．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点P 的横坐标为m ，△PCD 的面积为S ，求S 与m之间的函数关系式；〔3〕过点P 作PE ⊥DP ，连接DE ，F 为DE 的中点，试求线段BF 的最小值．5、〔2021年石景山二模〕25．在平面直角坐标系xoy 中，射线l:()30y x x =≥.点A 是第一象限内．．．．．一定点，43OA =，射线OA 与射线l 的夹角为30°.射线l 上有一动点P 从点O 出发，以每秒23个单位长度的速度沿射线l 匀速运动，同时x 轴上有一动点Q 从点O 出发，以一样的速度沿x 轴正方向匀速运动，设运动时间是为t 秒. 〔1〕用含t 的代数式表示PQ 的长.〔2〕假设当P 、Q 运动某一时刻时，点A 恰巧在线段PQ 上，求出此时的t 值.〔3〕定义M 抛物线：顶点为P ，且经过Q 点的抛物线叫做“M 抛物线〞.假设当P 、Q 运动t 秒时，将△PQA 绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M 抛物线〞上，求此时t 的值. 解：〔1〕 〔2〕yxA OCP B NPEO F C D B Axy O C D B A 备用图yx图25-1〔3〕6、〔2021年海淀二模〕25.对于半径为r 的⊙P 及一个正方形给出如下定义：假设⊙P 上存在到此正方形四条边间隔都相等的点，那么称⊙P 是该正方形的“等距圆〞．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为〔2，4〕，顶点C 、D 在x 轴上，且点C 在点D 的左侧. 〔1〕当r =42时，①在P 1〔0，-3〕，P 2〔4，6〕，P 3〔42，2〕中可以成为正方形ABCD 的“等距圆〞的圆心的是； ②假设点P 在直线2yx =-+上，且⊙P 是正方形ABCD 的“等距圆〞，那么点P 的坐标为；〔2〕如图2，在正方形ABCD 所在平面直角坐标系xOy 中，正方形EFGH 的顶点F 的坐标为〔6，2〕，顶点E 、H 在y 轴上，且点H 在点E 的上方.①假设⊙P 同时为上述两个正方形的“等距圆〞，且与BC 所在直线相切，求⊙P 在y 轴上截得的弦长； ②将正方形ABCD 绕着点D 旋转一周，在旋转的过程中，线段HF 上没有一个点能成为它的“等距圆〞的圆心，那么r 的取值范围是．图1图27、〔2021年西城二模〕25.在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙A 上一点B 及⊙A 外一点P ，给出如下定义：假设直线PB 与x 轴有公一共点〔记作M 〕，那么称直线PB 为⊙A 的“x 关联直线〞，记作PBM l . 〔1〕⊙O 是以原点为圆心，1为半径的圆，点P 〔0,2〕，①直线1l ：2y =，直线2l ：2y x =+，直线3l ：32y x =+，直线4l ：22y x =-+都经过点P ，在直线1l ，2l ，3l ，4l 中，是⊙O 的“x 关联直线〞的是；②假设直线PBM l 是⊙O 的“x 关联直线〞，那么点M 的横坐标M x 的最大值是； 〔2〕点A 〔2,0〕,⊙A 的半径为1，①假设P 〔-1,2〕,⊙A 的“x 关联直线〞PBM l ：2y kx k =++，点M 的横坐标为M x ，当M x 最大时，求k 的值；②假设P 是y 轴上一个动点，且点P 的纵坐标2p y >，⊙A的两条“x 关联直线〞PCM l ,PDN l 是⊙A的两条切线，切点分别为C ,D ，作直线CD 与x 轴点于点E ，当点P 的位置发生变化时，AE 的长度是否发生改变？并说明理由.8、〔2021年通州二模〕24．设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]b a ,.对于一个函数，假设它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[]n m ,上的“闭函数〞.〔1〕反比例函数xy 2014=是闭区间[]1,2014上的“闭函数〞吗？请判断并说明理由； 〔2〕假设一次函数()0≠+=k b kx y 是闭区间[]n m ,上的“闭函数〞，求此函数的表达式；〔3〕假设二次函数5754512--=x x y 是闭区间[]b a ,上的“闭函数〞，直接写出实数a ，b 的值.9、〔2021年东城二模〕25.定义：对于数轴上的任意两点A ，B 分别表示数1,2x x ，用12x x -表示他们之间的间隔；对于平面直角坐标系中的任意两点1122(,),(,)A x y B x y 我们把1212x x y y -+-叫做A ，B两点之间的直角间隔,记作d 〔A ，B 〕．〔1〕O 为坐标原点，假设点P 坐标为〔－1，3〕，那么d (O,P )＝_____________; 〔2〕C 是直线上y ＝x ＋2的一个动点，①假设D〔1，0〕，求点C与点D的直角间隔的最小值；②假设E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角间隔的最小值．10、〔2021年二模〕25．如图，在平面直角坐标系中xOy，二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，AB=4，动点P从B点出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度挪动．过P点作PQ垂直于直线BC，垂足为Q．设P点挪动的时间是为t秒〔t＞0〕，△BPQ与△ABC重叠局部的面积为S．〔1〕求这个二次函数的关系式；〔2〕求S与t的函数关系式；〔3〕将△BPQ绕点P逆时针旋转90°，当旋转后的△BPQ与二次函数的图象有公一共点时，求t的取值范围〔直接写出结果〕．11、〔2021年密云二模〕25．按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100〔含20和100〕之间的数据，变换成一组新数据后能满足以下两个要求：〔一〕新数据都在60～100〔含60和100〕之间；〔二〕新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.（1）假设y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）假设按关系式y=a(x－h)2＋k(a>0)将数据进展变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.〔不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程〕12、〔2021年延庆二模〕13、(2021年房山二模)25.假设一条抛物线()2=++0y ax bx c a≠与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形〞．〔1〕“抛物线三角形〞一定是三角形；〔2〕如图，△OAB是抛物线()2=-+>0y x bx b的“抛物线三角形〞，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？假设存在，求出过O C D、、三点的抛物线的表达式；假设不存在，说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，假设以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公一共点，求出r的取值范围．14、〔2021年昌平二模〕25．如图，点A〔1，0〕，B〔0，3〕，C〔-3，0〕，动点P〔x，y〕在线段AB上，CP交y轴于点D，设BD的长为t.〔1〕求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；〔2〕假设S△BCD：S△AOB=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，假设M为x轴上的点，且∠BMD最大，请直接写出点M的坐标.221-1-2-1yxAOCB yxACBO15、〔2021年怀柔二模〕25.在平面直角坐标系xoy 中，A(3，0)、B(1，2)，直线l 围绕△OAB 的顶点A 旋转，与y 轴相交于点P.探究解决以下问题： 〔1〕在图1中求△OAB 的面积.〔2〕如图1所示，当直线l 旋转到与边OB 相交时，试确定点P 的位置，使顶点O 、B 到直线l 的间隔之和最大，并简要说明理由.〔3〕当直线l 旋转到与y 轴的负半轴相交时，在图2中试确定点P 的位置，使顶点O 、B 到直线l 的间隔之和最大，画出图形并求出此时P 点的坐标.〔点P 位置确实定只需作出图形，不用证明〕.16、〔2021年大兴二模〕24.：二次函数y=x 2+bx+8〔1〕求二次函数y=x 2+bx+8的图象与x 轴的另一个交点〔2〕点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿程度方向向右运动，同时点Q 从点M 出发，以每秒2度沿竖直方向向下运动，当点P 运动到原点O Q 同时停顿运动.点C 、点D 分别为点P 、点Q 的对称点，设四边形PQCD 的面积为S t ，求S 与t 的函数关系表达式〔不必写出t 的取值范围〕；〔3〕在〔2〕的运动过程中，四边形PQCD 能否形成矩形？假设能，求出此时t 的值；假设不能，请说明理由. 17、〔2021年燕山二模〕25.定义：假设一个y 与x 的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y 与x 的“反比例平移函数〞．例如:121+-=x y 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到xy 1=的图象，那么121+-=x y 是y 与x 的“反比例平移函数〞．〔1〕假设矩形的两边分别是2cm 、3cm ，当这两边分别增加x (cm )、y (cm )后，得到的新矩形的面积为82cm ，求y 与x 的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数〞．〔2〕如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为(9，0)、(0，3)．点D 是OA 的中点，连接OB 、CD 交于点E ，“反比例平移函数〞6-+=x k ax y 的图象经过B 、E 两点．那么这个“反比例平移函数〞的表达式为；这个“反比例平移函数〞的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．〔3〕在〔2〕的条件下，过线段BE 中点的一条直线l 交这个“反比例平移函数〞图象于P 、Q 两点(P 在Q 的右侧)，假设B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，恳求出点P 的坐标．图1x yABOlP。

【2020 东城二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 西城二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 海淀二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 朝阳二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 + a2x + c 与 y 轴交于点（0，2）． （1）求 c 的值； （2）当 a=2 时，求抛物线顶点的坐标； （3）已知点 A（ 2，0），B（1，0），若抛物线 y = ax2 + a2x + c 与线段 AB 有两个公共点， 结合函数图象，求 a 的取值范围．
1234x
y 4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
1234x
【2020 平谷二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2-2mx-1（m>0）与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴交点 C.
（1）求抛物线的对称轴和点 C 坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成 的区域为图形 W（不含边界）．
【2020 燕山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 中，抛物线
与 x 轴交于点 A，B(A 在 B 的左侧)．
(1) 求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴；
(2) 已知点 P(2，2)，Q(2＋2a，5a)，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图象，求 a 的取值范围．
【2020 石景山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合

202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题： （一）定直线+动抛物线 1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点． （1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标； （3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线 C 2：y=ax 2-2（0a ）与线段AE 恰有一个公共 点，结合函数的图象，求a 的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0 k=-1 ……1分∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3） ……2分 （2）解：∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴ y=x 2+bx+3∴ 9+3b +3=0 b=-4∴抛物线C 1的函数表达式为y = x 2-4x+3 ……3分∴y =（x -2）2-1∴顶点D 的坐标为（2，-1） ……4分（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点∴点E 的坐标为（-2，1） 当y=ax 2-2经过点E （-2，1）时，a =当y=ax 2-2经过点A （1，0）时，a =2∴a 的取值范围是 ≤a <2 ……………6分4343（1）定线段（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠． （1）当m =3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A （1，2）．试说明抛物线总经过点A ；（3）已知点B （0，2），将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m 的取值范围．26．解：（1）把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得223653(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2分 （2）当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=． ∵点A （1，2），∴抛物线总经过点A ．………………………………………………3分（3）∵点B （0，2），由平移得C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点A （1，2）时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4分 ② 当抛物线过点B （0，2）时，将点B （0，2）代入抛物线表达式，得2m -1=2．∴m =32>0．此时抛物线开口向上（如图1）． ∴当0<m <32时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．………5分③当抛物线过点C （3，2）时，将点C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．此时抛物线开口向下（如图2）． ∴当-3<m <0时，抛物线与线段BC只有一个公共点． ………………… 6分 综上，m 的取值范围是m =3或0<m <32或-3<m <0．图2图1（1）定线段（2）动抛物线：①不变：与y 轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2）．（1）求c 的值；（2）当a =2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A （-2,0），B (1,0),若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2），∴c =2.（2）当a =2时，抛物线为2422++=x x y ，∴顶点坐标为（-1,0）. （3）当0a ＞时，①当a =2时，如图1，抛物线与线段AB 只有一个公共点.②当21+=a 时，如图2，抛物线与线段AB 有两个公共点.结合函数图象可得212a <+≤. 当0a ＜时，抛物线与线段AB 只有一个或没有公共点.综上所述，a 的取值范围是212a <+≤.图1图2（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020房山二模26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围. 26．（1）对称轴-1=22-=aax ……………………………………1分（2）∵4AB =A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2分 把（1，0）代入表达式：0=c +2a +a 得：a 3-=c ……………3分 ∴C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）, 31D y a =-+ …………………………4分 （3）当0a >时将点()4,4P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--, 45a =∴当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点…5分当0a <时抛物线的顶点为()1,4a -- 当44a -=时1a =- …………………6分综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点.5.（2020燕山二模26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)． (1) 求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵24y ax ax =-＝(4)ax x -，∴抛物线与x 轴交于点A (0，0)，B (4，0)． 抛物线24y ax ax =-的对称轴为直线：422ax a-=-=．………3分 (2) 24y ax ax =-＝2(4)a x x -＝2(2)4a x a --， 抛物线的顶点坐标为(2，－4a )． 令5y a =，得245ax ax a -=，(5)(1)0a x x -+=，解得1x =-，或5x =，∴当5y a =时，抛物线上两点M (－1，5a )，N (5，5a )．①当0a >时，抛物线开口向上，顶点位于x 轴下方，且Q (2＋2a ，5a )位于点P 的右侧，如图1，当点Q 与点N 重合或位于点N 右侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a ≥5，14xyNMQ P图3 14xyNMQP 图214xy NMQP O解得32a≥．②当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2＋2a，5a)位于点P的左侧，(ⅰ)如图2，当顶点与点P重合或位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时－4a≤2，解得12a≥-．(ⅱ)如图3，当顶点位于点P上方，点Q与点M重合或位于点M左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a≤－1，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a<-≤，或32a≤-．…………………6分6.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243=-+y ax ax a 与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P (a ，0)，Q (0，2-a )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求a 的取值范围．26.解：（1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）. ………………………………………………1分（2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0. …………………………………………2分 ∵a ≠0， ∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）. …………4分 （3）①当a <0时，可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1. ∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3. .......….........….....………7分二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题： 7.（2020海淀二模26）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， 与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点， 结合函数图象，求a 的取值范围. 26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0, 3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=.∴ m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F ，∴F 的端点为A , B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1，且与F 只有一个公共点,∴可分别把A , B , C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.∴结合函数图象可知：二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点时， a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.图 2三、整点问题8.（2020平谷二模26） 含同参的动线段+动抛物线。

抛物线 y1 的顶点 M（1，3），抛物线 y2 的顶点（1， ），由于 3＞ ，所以不合题
意，当抛物线 y2 开口方向向下时，6﹣2t＜0，即 t＞3 时，求出 y1﹣y2 的值；若 3t﹣
11≠0，要使 y1＜y2 恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1， ）在 x 轴下方，因
为 3﹣t＜0，只要 3t﹣11＞0，解得 t＞ ，符合题意；若 3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣ ＜0， 即 t= 也符合题意． 解答：解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0， ）， ∴c= ． ∴y1=ax2+bx+ ， ∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线 y1=ax2+bx+ 上，
∴
，解得
，
∴y1 与 x 之间的函数关系式为：y1=﹣ x2+ x+ ；
（II）∵y1=﹣ x2+ x+ ，
∴y1=﹣ （x﹣1）2+3，
∴直线 l 为 x=1，顶点 M（1，3）． ①由题意得，t≠3， 如图，记直线 l 与直线 l′交于点 C（1，t），当点 A′与点 C 不重合时， ∵由已知得，AM 与 BP 互相垂直平分， ∴四边形 ANMP 为菱形， ∴PA∥l， 又∵点 P（x，y2）， ∴点 A（x，t）（x≠1）， ∴PM=PA=|y2﹣t|， 过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，则点 Q（1，y2）， ∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|， 在 Rt△PQM 中，
，解得
，
∴直线 AC 的解析式为：y=﹣x﹣3． 设 P 点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点 N 的坐标为（x，﹣x﹣3）， ∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x． ∵S△PAC=S△PAN+S△PCN， ∴S= PN•OA

2016北京市各区初三数学二模 代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x 轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥； （3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=． ∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分 ∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥．∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由； （2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标． （3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,xy12345–1–2–3–4–512345–2–3–4–5oxy 12345–112345–2–3–4–5o∴AP =2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分 (2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D (0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3），∴直线N ′D ′的关系式为y =2x +1, -----------------------------------6分∴E （-0,21）当x =-1时，y =-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛xyQ 1Q 3Q 2Q 412345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5CPA oxyN'D'12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5EFDN o物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． (1)分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分（2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）．（1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--． ∴B 点的坐标()1,0-．-------2分 （2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x =21时，y =415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1. 结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k <-. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.xyO–5–4–3–2–112345–4–3–2–11234567怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得： y 1=x 2-2x-3………………………………1分 顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分 令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围.顺义 27． 解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时 ，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 . --------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)22b b ac m m x a -±-+±-==∴12x m =， 21x = ………………………………………………….… 4分 不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A -∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+- …………….…………………5分 （3）134b >……………………………………………...………………….…7分 抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB 上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m=-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分 （3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y =2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式； （2）求抛物线的表达式；k y x=（3）若抛物线2y x bx m =-++在22x -≤<的部分与无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y =2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=，令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =．当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A . （1）求直线y=kx +b 的表达式；Oy x-6-5-4-3-2-1654321-11-2-3-4-5234512Ox-2-3-4-1-1443132y（2）将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E 两点，当3252DE ≤≤时，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值． 石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分 （2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）. （1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

卜人入州八九几市潮王学校代数综合题〔2021昌平二模〕27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(42≠-=m mx mx y 与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B 的左侧〕.〔1〕求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；〔2〕过点B 的直线l 与y 轴交于点C ，且2tan =∠ACB ，直接写出直线l 的表达式； 〔3〕假设点)(1n x P ，和点)(2n x Q ，在函数)0(42≠-=m mx mx y 的图象上，PQ=2a 且21x x >，求26221+-+a ax x 的值.〔2021房山二模〕26.如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(1,0)P -，1,1)，(0,3)D -，A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1CAPS ∆=.〔1〕求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．〔2〕把抛物线在x 轴下方的局部沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APQ APC S S ∆∆=，求点Q 坐标．〔3〕假设一个动点M 自点N 〔0,-1〕出发，先到达x 轴上某点〔设为点E 〕，再到达抛物线的对称轴上某点〔设为点F 〕，最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．〔2021通州二模〕27．：二次函数1422-++=m x x y ，与x 轴的公一共点为A ，B .〔1〕假设A 与B 重合，求m 的值； 〔2〕横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数；②假设设抛物线在点A ，B 之间的局部与线段AB 所围成的区域内〔包括边界〕整点的个数为n ，当1<<8n 时，结合函数的图象，求m 的取值范围.〔2021二模〕27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2-2mx +2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．〔1〕求点A ，B 的坐标；〔2〕点C ，D 在x 轴上〔点C 在点D 的左侧〕，且与点B 的间隔都为2，假设该抛物线与线段CD 有两个公一共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．xOy 中，抛物线y =ax 2+2ax -3a (a >0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧).〔1〕求抛物线的对称轴及线段AB 的长；〔2〕假设抛物线的顶点为P ，假设∠APB =120°，求顶点P 的坐标及a 的值； 〔3〕假设在抛物线上存在点N ，使得∠ANB =90°，结合图形，求a 的取值范围．〔2021东城二模〕27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+.〔1〕当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；〔2〕不管m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式； 〔3〕假设有两点()1,0A -，()1,0B ，且该抛物线与线段AB 始终有交点，请直接写出m 的取值范围.〔2021丰台二模〕27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线12212+-+=a x ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B 左侧〕，且点A 的横坐标为﹣1． 〔1〕求a 的值；〔2〕设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；〔3〕将抛物线在A ，B 两点之间的局部〔包括A ，B 两点〕，先向下平移3个单位，再向左平移m 〔0>m 〕个单位，平移后的图象记为图象G ，假设图象G 与直线PP′无交点，求m 的取值范围．〔2021石景山二模〕27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B 〔点A 在点B 的左侧〕，对称轴与x 轴交于点3,0（），且4AB =.〔1〕求抛物线1C 的表达式及顶点坐标； 〔2〕将抛物线1C 平移，得到的新抛物线2C 的 顶点为(0,1)-，抛物线1C 的对称轴与两 条抛物线1C ，2C 围成的封闭图形为M . 直线:(0)l y kx m k =+≠经过点B .假设直线l 与图形M 有公一共点，求k 的取值范围.〔2021顺义二模〕27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过A 〔﹣1，0〕，B 〔3，0〕两点．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕抛物线2y x bx c =-++在第一象限内的局部记为图象G ，假设过点P 〔-3，4〕的直线y =mx +n 〔m ≠0〕与图象G 有唯一公一共点，请结合图象，求n 的取值范围． 〔2021平谷二模〕27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24440y mx mx m m =-++≠的顶点为P ．P ，M 两点关于原点O 成中心对称． 〔1〕求点P ，M 的坐标；〔2〕假设该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；〔3〕在〔2〕的条件下，将抛物线沿x 轴翻折，翻折后的图象在05x ≤≤的局部记为图象H ，点N 为抛物线对称轴上的一个动点，经过M ，N 的直线与图象H 有两个公一共点，结合图象求出点N 的纵坐标n 的取值范围．〔2021怀柔二模〕27.在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与y 轴交于点A ,并且经过点B(3，n).〔1〕求点B 的坐标；〔2〕假设抛物线2441y ax ax a =-+-(a ＞0)与线段AB 有唯一公一共点， 求a 的取值范围．O yx-1-2-4-3-6-5-1-2-4-6-5-3124365124365。

代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。

⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE；⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。

解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ，∵∠CAE＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。

过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长；（2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

2023北京初三二模数学汇编代数综合(第26题)一、解答题1.（2023·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴是直线3x =．（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当0a >时，对于任意的正数t ，若点()()123,,32,t y t y −+在该抛物线上，则1y _________2y （填“>”“<”或“=”）；（3）已知点()()0,3,7,3A B ．若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，求a 的取值范围． 2.（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 都在抛物线()2280y ax ax a =−+<上，且112x −<<，217m x m −<<+．（1）当2m =−时，比较1y ，2y 的大小关系，并说明理由； （2）若存在1x ，2x ，满足12y y =，求m 的取值范围．3．（2023·北京海淀·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线220y ax bx a a =+++>（）过点（1，4a ＋2）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）过抛物线与y 轴的交点作y 轴的垂线l ，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，得到图形G ，()11M a y −−，，()21N a y −+，是图形G 上的点，设12t y y =+. ①当1a =时，求t 的值； ②若69t ≤≤，求a 的取值范围．4.（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点()11,y −在抛物线2y x ax =−上． （1）求1y 的值（用含a 的式子表示）； （2）若1a <−，试说明：10y <；（3）点()21,y ，()32,a y −在该抛物线上，若1y ，2y ，3y 中只有一个为负数，求α的取值范围． 5.（2023·北京房山·统考二模）平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax x a =−+的对称轴为直线x n =。

中考数学试题分类汇总《代数式与整式》练习题及答案1．若ab≠0，且2b＝3a，则的值是．【解答】解：由2b＝3a，得到a＝b，则原式＝＝，2．已知a、b、c都是实数，若+|2b+|+（c+2a）2＝0，则＝1．【解答】解：∵+|2b+|+（c+2a）2＝0，≥0，|2b+|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b+＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝﹣，c＝﹣4．∴＝＝＝1．3．若＝，则＝．4．若x2+2x的值是6，则2x2+4x﹣7的值是5．5．若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（）A．7B．4C．3D．3﹣2【解答】解：∵x＝+1，∴x﹣1＝，∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．幂的运算6．下列计算正确的是（）A．（﹣a3）2＝a6B．3a+2b＝5abC．a6÷a3＝a2D．（a+b）2＝a2+b2【解答】解：A．（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意；B.3a+2b无法合并，故此选项不合题意；C．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意，7．下列运算正确的是（）A．x5﹣x3＝x2B．（x+2）2＝x2+4C．（m2n）3＝m5n3D．3x2y÷3xy＝x【解答】解：A、x5与x3不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．B、原式＝x2+4x+4，故B不符合题意．C、原式＝m6n3，故C不符合题意．D、原式＝x，故D符合题意．8．下列运算结果正确的是（）A．2a+a＝2a2B．a5•a2＝a10C．（a2）3＝a5D．a3÷a＝a2【解答】解：A、2a+a＝3a，故A不符合题意；B、a5•a2＝a7，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；D、a3÷a＝a2，故D符合题意；9．下列运算中，正确的是（）A．（﹣a）6÷（﹣a）3＝﹣a3B．a3•a2＝a6C．（ab2）3＝ab6D．（﹣3a3）2＝6a6【解答】解：∵（﹣a）6÷（﹣a）3＝a6÷（﹣a3）＝﹣a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2＝a5≠a6，∴选项B不符合题意；∵（ab2）3＝a3b6≠ab6，∴选项C不符合题意；∵（﹣3a3）2＝9a6≠6a6，∴选项D不符合题意；10．下列运算中，计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6C．a2•a3＝a6D．（2a3）2＝4a6【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（2a3）2＝4a6，故本选项符合题意．11．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．6a÷3a＝2aC．（a﹣b）3＝a3﹣b3D．（﹣ab2）2＝a2b4【分析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可判断．【解答】解：A．a2•a3＝a5，故A不符合题意；B．6a÷3a＝2，故B不符合题意；C．（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，故C不符合题意；D．（﹣ab2）2＝a2b4，故D符合题意；12．下列运算中，计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6C．a2•a3＝a6D．（2a3）2＝4a6【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（2a3）2＝4a6，故本选项符合题意．13．下列计算中，正确的是（）A．（3a3）2＝9a9B．3a+3b＝6ab C．a6÷a3＝a2D．﹣5a+3a ＝﹣2a【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、（3a3）2＝9a6，故A不符合题意；B、3a与3b不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；D、﹣5a+3a＝﹣2a，故D符合题意；14．已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（）A．8B．4C．2D．【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可求出n的值，再根据算术平方根的定义即可求出x的值．【解答】解：∵3m＝4，32m﹣4n＝（3m）2÷（3n）4＝2．∴42÷（3n）4＝2，∴（3n）4＝42÷2＝8，又∵9n＝32n＝x，∴（3n）4＝（32n）2＝x2，∴x2＝8，∴x＝＝．15．下列运算中，正确的是（）A．a8÷a2＝a4B．（a3）4＝a12C．（﹣3a）2＝a6D．3a2•a3＝3a6【分析】根据同底数幂的除法判断A选项；根据幂的乘方判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据单项式乘单项式判断D选项．【解答】解：A选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；B选项，原式＝a12，故该选项符合题意；C选项，原式＝9a2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝3a5，故该选项不符合题意；16．下列运算中，结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（a﹣1）（a+1）＝a2+1C．2a•a＝2a2D．a8÷a2＝a4【解答】解：A．（α3）2＝α6，此选项错误，不符合题意；B．（α﹣1）（α+1）＝α2+1，此选项错误，不符合题意；C．2α⋅α＝2α2，此选项正确，符合题意；D．α8÷α2＝α6，此选项错误，不符合题意；17．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a8B．a2•a3＝a5C．（﹣3a）2＝6a2D．2ab2+3ab2＝5a2b4【解答】解：选项A、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项不符合题意；选项B、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项符合题意；选项C、（﹣3a）2＝9a2，故本选项不符合题意；选项D、2ab2+3ab2＝5ab2，故本选项不符合题意；整式的有关概念18．若﹣a x+y b3与2a3b y是同类项，则y﹣x＝3．【解答】解：由同类项的定义可知：x+y＝3，y＝3，∴x＝0，y＝3，所以y﹣x＝3﹣0＝3．19．单项式﹣3x2y的次数是3．整式的运算20．化简m+n﹣（m﹣n）的结果为（）A．2m B．2n C．0D．﹣2n【分析】原式去括号合并即可得到结果．【解答】解：原式＝m+n﹣m+n＝2n，21．下列计算正确的是（）A．4a2÷2a2＝2a2B．3a2+2a＝5a3C．﹣（a3）2＝a5D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2【分析】根据单项式除以单项式可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据平方差公式可以判断D．【解答】解：4a2÷2a2＝2，故选项A错误，不符合题意；3a2+2a不能合并，故选项B错误，不符合题意；﹣（a3）2＝﹣a6，故选项C错误，不符合题意；（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项D正确，符合题意；22．下列算式中，正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．5a2﹣3a2＝2a2C．D．因式分解23．因式分解：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．24．因式分解：3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）．25．已知x+y＝﹣6，xy＝，则x3y+2x2y2+xy3的值为9．【解答】解：原式＝xy（x2+2xy+y2）＝xy（x+y）2，∵x+y＝﹣6，xy＝，∴原式＝＝＝9．26．分解因式：2a3﹣8a＝2a（a+2）（a﹣2）．27．分解因式：a2﹣2ab＝a（a﹣2b）．28．分解因式：m2﹣6m＝m（m﹣6）．29．分解因式：a2b﹣18ab+81b＝b（a﹣9）2．30．分解因式：2m2﹣18＝．31．分解因式：2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2．32．分解因式：m2﹣6m＝m（m﹣6）．33．分解因式：a3﹣9a＝．34．分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．35．分解因式：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．36．分解因式：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．37．分解因式：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．38．分解因式：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．39．因式分解：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．40．分解因式：4a2﹣16＝4（a+2）（a﹣2）．41．因式分解：x3﹣2x2＝x2（x﹣2）．42．因式分解：ab2﹣2ab+a＝a（b﹣1）2．43．分解因式：3﹣3x2＝3（1+x）（1﹣x）．44．分解因式：x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．45．分解因式：ax2﹣4a＝a（x+2）（x﹣2）．整式的化简求值46．已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．【解答】解：（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）＝x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2+1，当x﹣y＝时，原式＝（x﹣y）2+1＝（）2+1＝5+1＝6．47．先化简，再求值：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a），其中a＝，．【解答】解：（2a﹣3b）2﹣（3b+a）（3b﹣a）＝4a2﹣12ab+9b2﹣9b2+a2＝5a2﹣12ab，当a＝，时，原式＝5×（）2﹣12××＝10﹣12．平方差公式的应用48．（2022·广州黄浦区二模）若m﹣＝3，则m2+＝11．。

2021年北京各区中考二模代数综合题汇编（12个区）2021年北京市各区（12个区）中考二模数学分类汇编之代数综合2021东城二模26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?bx?3?a?0?经过点A??1,0?和点B?4，5?．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB关于x轴的对称直线的表达式；（3）点P是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线l，直线l与该抛物线交于点M，与直线AB交于点N．当PM＜PN时，求点P的横坐标xP的取值范围．2021房山二模26. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；（2）在x轴上有一点D（－4，0），将二次函数的图象沿射线DA方向平移，使图象再次经过点B.①求平移后图象顶点E的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A，B两点之间（含A，B两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.1Oxy2021昌平二模26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?2ax?3a(a?0)，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．①在a?0的条件下，当?2?m?2时，n的取值范围是?4?n?5，求抛物线的表达式；②若D点坐标（4，0），当PD?AD时，求a的取值范围.2021朝阳二模26.已知二次函数y?ax2?2ax?2(a?0)．（1）该二次函数图象的对称轴是直线；（2）若该二次函数的图象开口向上，当?1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为11，求点M和点N的坐标；2（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t ≤ x1 ≤t+1，当x2≥3时，均有y1 ≥ y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．22021丰台二模26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?x2?2hx?h的图象的顶点为点D．（1）当h??1时，求点D的坐标；1时，求函数的最小值m． ?11??xx??1（2）当?≤≤（用含h的代数式表示m）2021海淀二模y43214321O12341234x26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(?3,1)，B(?1,1)，C(m,n)，其中n?1，以点A,B,C为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1,D2,D3，如图所示.（1）若m??1,n?3，则点D1,D2,D3的坐标分别是（），（），（）；（2）是否存在点C，使得点A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.3yD1D2CA BOD3x2021平谷二模26．在平面直角坐标系中，点D是抛物线y?ax2?2ax?3a?a?0?的顶点，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM，求抛物线表达式；（3）当30°2021石景山二模26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?4x?c?a?0?经过点A?3,?4?和B?0,2?．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x?3翻折，得到图象N．若过点C?9,4?的直线y?kx?b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．42021西城二模26. 抛物线M：y?ax2?4ax?a?1 (a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D.（1）抛物线M的对称轴是直线____________；（2）当AB=2时，求抛物线M的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l：y?kx?b(k≠0)经过抛物线的顶点D，直线y?n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y?n与直线l的交点的横坐标记为x3（x3?0），若当?2≤n≤?1时，总有x1?x3?x3?x2?0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围.2021怀柔二模26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数C1：y?mx2??m?3?x?3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)求点A和点C的坐标； (2)当AB=4时，①求二次函数C1的表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△DAC的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；5(3)将(2)中抛物线C1向上平移n个单位，得到抛物线C2，若当0≤x≤时，抛物线C2与x2轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n的取值范围.5y1O1x2021门头沟二模26.在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线其表达式为y?x2?2mx?m2. （1）当该抛物线过原点时，求m的值；（2）坐标系内有一矩形OABC,其中A(4,0)、B(4,2). ①直接写出C点坐标；②如果抛物线y?x2?2mx?m2与该矩形有2个交点，求m的取值范围.2021顺义二模26．在平面直角坐标系中，二次函数y?x2?ax?2a?1的图象经过点 M（2，-3）．（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y?kx?b(k?0)的图象与二次函数y?x2?ax?2a?1的图象经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式；（3）将二次函数y?x2?ax?2a?1的图象向右平移2个单位，若点P（x0，m）和Q（2，n）在平移后的图象上，且m>n，结合图象求x0的取值范围．6yOxyOx感谢您的阅读，祝您生活愉快。

代几综合题（以代数为主的综合） 典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

2022年北京中考数学分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．2022年北京中考数学分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线的对称性及m＝0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．（3）分别将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3），解不等式组．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．（2）∵m＝0，y1＝y3，∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，∴y＝x2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），∴y2＝1为函数最小值，∴y1＞y2．（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，y2＝m2﹣2am+1，y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，∵y1＞y2＞y3，∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，解得m﹣1＜a＜1，∵m＞1，∴0＜a＜1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，根据抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；（3）根据题意得：y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，由于当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，可得﹣＜at＜+，当a＜0时，+＜t＜﹣，可得＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，可得0＜a＜．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，故c的值为﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：ax2﹣2ax﹣2＝﹣6，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，∵抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＜0，即a（a﹣4）＜0，∵a≠0，∴当a＜0时，a﹣4＞0，即a＞4，此时，无解；当a＞0时，a﹣4＜0，即a＜4，∴0＜a＜4，综上所述，a的取值范围为0＜a＜4；（3）∵点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，∴y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，∴|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，∵当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，∴﹣＜a（2t﹣1）＜，∴﹣＜at＜+，∵a≠0，∴当a＜0时，+＜t＜﹣，∴，解得：＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，∴，解得：0＜a＜；综上所述，a的取值范围是＜a＜0或0＜a＜．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将x＝3代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），进而判断出x A＜0，x B＞6，得出AB＝|x B﹣x A|＞6，判断出此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a≤，＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．再根据y顶点【解答】解：（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，令x＝0，则y＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，∴x A＜0，x B＞6，∴AB＝|x B﹣x A|＞6，∵AB≤4，∴此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），∵AB≤4，∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，∴a≤，∵抛物线与x轴有两个交点，＝﹣9a+1＜0，∴y顶点∴a＞，∴＜a≤．【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．【分析】（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，即直线x＝﹣﹣1；（2）y＝x2+（a+2）x+2a，整理得：y＝（x+2）（x+a），当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，∵y1＜y2，∴a﹣1＜2a2+4a，解得：a＞﹣或a＜﹣1，∵y2＜y3，∴2a2+4a＜3a+3，解得：﹣＜a＜1，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式：x＝﹣，即可得到答案；（2）分三种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，则a+1＜1﹣2a，即a＜0；②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜；③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞，综上，a＜0或a＞．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝﹣1，再将点（1，1）代入y＝﹣x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）求得函数y＝﹣x+2在x＝﹣1时的函数值为3，根据点（﹣1，3）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，∴k＝﹣1，又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（1，1），∴﹣1+b＝1．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+2；（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，把点（﹣1，3）代入y＝mx﹣1，得m＝﹣4，∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝﹣x+2的值，∴﹣4≤m≤﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．7．（2022•密云区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，2）．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．【分析】（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2可得答案；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2，即可解决问题；（3）由（1）得，b＝﹣a，则二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，再分当x＜或x＞，分别可得答案．【解答】解：（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2得，a+b+2＝2，∴b＝﹣a；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2得，a+a+2＝0，∴a＝﹣1，∴b＝1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）由（1）得，b＝﹣a，∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，∵a＜0，∴当x＜时，y随x的增大而增大，∵x1＝﹣2，y1＞y2，∴x2＜﹣2，当x＞时，y随x的增大而减小，∵P（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点坐标为（3，y1），∴x2＞3，综上：x2＜﹣2或x2＞3．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）①先将m＝﹣3代入抛物线的解析式，并利用对称轴公式可得结论；②抛物线开口向上，根据离对称轴距离越远，函数值越大可列不等式解答；（2）根据平移的性质可得Q的坐标，把n＝2代入抛物线的解析式，分三种情况：抛物线过点P，顶点在PQ上，过点Q结合图象可解答．【解答】解：（1）①当m＝﹣3时，y＝x2﹣3x+n，对称轴是：直线x＝﹣＝；②∵抛物线的对称轴是直线x＝，且开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，∵点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，∴|x2﹣|＜|﹣1|，∴1＜x2＜2；（2）∵点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q，∴Q（2，1），∵n＝2，∴y＝x2+mx+2，当抛物线经过点P（﹣1，1）时，1＝1﹣m+2，∴m＝2，当抛物线的顶点在PQ上时，x＝﹣，y＝﹣+2，则y＝1，即﹣+2＝1，解得：m1＝2，m2＝﹣2，当抛物线经过点Q时，4+2m+2＝1，解得：m＝﹣，此时与抛物线有2个交点，则当m＜﹣时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得m≥2或m＜﹣或m＝﹣2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，对称轴公式，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．9．（2022•大兴区二模）关于x的二次函数y1＝x2+mx的图象过点（﹣2，0）．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．【分析】（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx，即可得出m的值；（2）根据图象y1与y2仅交于（0，0），故图象y3＝kx+b过（0，0），从而得出b的值；②根据y1与y3只有一个交点得x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，根据Δ＝0，可得答案．【解答】解：（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx得，0＝（﹣2）2﹣2m，解得m＝2，∴二次函数的表达式为y1＝x2+2x；（2）①∵y1＝x2+2x和y2＝﹣x2+2x，令y1＝y2，∴x2+2x＝﹣x2+2x，∴x＝0，∴图象y1与y2仅交于（0，0），∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，∴y1﹣y3≥0，y3﹣y2≥0，∴x＝0时，y1＝y2＝y3＝0，∴y3＝kx+b过（0，0），∴b＝0，②由①知，y3＝kx，联立方程组，∴x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，∵两图象只有一个交点，∴Δ＝（2﹣k）2＝0，∴k＝2．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，利用数形结合思想确定直线过原点是解题的关键．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①把（4，﹣1）代入解析式，确定b＝﹣4a，再把b＝﹣4a代入对称轴公式计算即可；②根据对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，判定抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），代入解析式确定a，b的值即可；（2）根据x＝﹣＝t，得到b＝﹣2at，从而解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）分别代入解析式，根据y3＞y1＞y2，列出不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）①若抛物线过点（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴b＝﹣4a，∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝2；②∵当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，抛物线的对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，∴抛物线必过点（﹣1，0）和（5，0）．∴把（5，0），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1（a＞0）得：，解得，抛物线的表达式为，如图所示：（2）∵x＝﹣＝t，∴b＝﹣2at，∴解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）的坐标分别代入解析式，得：y3＝a﹣2at﹣1，y1＝16a+8at﹣1，y2＝4a+4at﹣1，∵y3＞y1＞y2，∴，解得：，∴t的取值范围是﹣3＜t＜﹣．【点评】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式求解即可；（2）把m＝1代入即可；（3）翻折图象，出画图形，直接①②写出结论即可．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝＝；（2）m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（3）画出y＝x2﹣2x﹣3的图象，把x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到图象M，如图，①y＝x+1与图形M公共点的个数是3个；②k＞2，或．当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与y＝x2﹣2x﹣3的图象相切时，k（x+2）﹣1＝x2﹣2x ﹣3，∴k1＝2﹣6，k2＝﹣2﹣6，∴k＞2或或k＜﹣2﹣6．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，画出正确的图形，利用数形结合是解题的关键．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，解得m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；（2）∵y＝x2﹣3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，∴n2﹣3n+1＝4﹣n，解得n1＝﹣1，n2＝3，∵n≤x≤1，∴n的值为﹣1；（3）根据平移的性质可知，a＝1，∵当x＜2时，y随x的增大而减小，∴h≥2．∵平移后的图象经过原点O，∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，∴k≤﹣4．【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣计算；（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，当x＝0时，y＝1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2；（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，解得：b＞﹣2，当1＞y2时，1＞1+b+1，解得：b＜﹣1，∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．。

实用文档Oxy1234-1-2-1-212345xyO2019-2020年中考二模数学——代数综合题23题汇总1、（xx 年门头沟二模）23. 已知二次函数图象的对称轴为直线． （1）请求出该函数图像的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图像；（3）有一条直线过点p (1,5)，若该直线与二次函数只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式.2、（xx 年丰台二模）23.如图,二次函数经过点（-1,0）和点（0，-3）.（1）求二次函数的表达式； （2）如果一次函数的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G ，如果直线与图象G 有3个公共点，求n 的值.3、（xx 年平谷二模）23．已知关于x 的一元二次方程． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）关于x 的二次函数的图象经过和两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线．设抛物线交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．4、(xx 年顺义二模) 23．已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =BC ，求点P 的坐标． 5、（xx 年石景山二模）23. 关于的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论为何值时，方程总有一个根大于；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与轴有且只有一个交点，求的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线翻折，得到新的函数图象．在轴上分别有点(t ，0)，(0，2t )，其中，当线段与函数图象只有一个公共点时，求的值．解：6、（xx 年海淀二模）23．已知关于的方程：①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中.（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将、两点按照相同的方式平移后，点落在点处，点落在点处，若点的横坐标恰好是方程②的一个根，求的值；（3）设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下， 函数，的图象位于直线左侧的部分与直线（）交于两点，当向上平移直线时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则的值是________________.7、（xx 年西城二模）23．经过点（1，1）的直线l ：与反比例函数G 1:的图象交于点，B （b ，-1），与y 轴交于点D ．（1）求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式；（2）反比例函数G 2::，①若点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，若EA =EB ，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公共点M ，N （点M 在点N 的左侧），若，直接写出t 的取值范围．xy 1234432112344321O 12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yxO实用文档8、（xx 年通州二模）无9、（xx 年东城二模）23．已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）设抛物线，证明：此函数图像一定过轴，轴上的两个定点（设轴上的定点为点A ，轴上的定点为点C ）； （3）设此函数的图像与轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求的取值范围．10、（xx 年朝阳二模）23．在平面直角坐标系xOy 中，点P (m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交抛物线y =-x 2+2x 和y =-x 2+3x 于点M ，N ． （1）当时， ；（2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．11、（xx 年密云二模）23. 已知P （﹣3，m ）和Q （1，m （1）求b 的值;（2）判断关于x 的一元二次方程2x 2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由;（3）将抛物线y=2x 2+bx+1的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．12、（xx 年延庆二模）13、(xx 年房山二模) 23. 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数. （1）求的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线与图象G 有3个公共点时，请你直接写出的取值范围.14、（xx 年昌平二模）23．已知抛物线2(31)2(1)(0)y ax a x a a =-+++≠.（1）求证：无论a 为任何非零实数，该抛物线与x 轴都有交点；（2）若抛物线2(31)2(1)y ax a x a =-+++与x 轴交于A (m ,0)、 B （n ,0）两点，m 、n 、a 均为整数，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点P (n －l ，n ＋l ）、Q (0,a ），求一次函数的表达式.15、（xx 年怀柔二模）23．如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为y 轴上的一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求D 点的坐标；（3）已知：直线y=>0)交x 轴于点E ，M 为直线上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k 的取值范围．yxN MOPxyCBAO实用文档16、（xx 年大兴二模）23．已知：关于的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . （1）当方程有两个相等的实数根时，求的值；（2）若是整数，且关于的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．17、（xx 年燕山二模）23. 已知关于的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取最小的整数时，求抛物线32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与轴的交点坐标； （3）将(2)中求得的抛物线在轴下方的 部分沿轴翻折到轴上方，图象的 其余部分不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象 与直线有三个不同公共点时的值．39499 9A4B 驋22978 59C2 姂24849 6111 愑L37713 9351 鍑{36289 8DC1 跁p35927 8C57 豗 21277 531D 匝}34141 855D 蕝-32717 7FCD 翍。

整数根、系数是整数问题1.（昌平23．）已知m 为整数，方程221x mx +-=0的两个根都大于-1且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．23．解： 设221y x mx =+-． ………………………………1分 ∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间，∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．…………2分当32x =时，0y >，即：931022m +->． ……………3分∴ 1213m -<<．…………………4分∵ m 为整数，∴ 210m =--，，． …………………………5分 ① 当2m =-时，方程222104812x x --=∆=+=，， ∴ 此时方程的根为无理数，不合题意．② 当1m =-时，方程212121012x x x x --==-=，，，符合题意．③ 当0m =时，方程2210x -=，x =综合①②③可知，1m =-．…………………… 6分2.（房山）23．）已知：关于x 的方程mx2－3(m －1)x ＋2m －3=0.⑴当m 取何整数值时，关于x 的方程mx2－3(m －1)x ＋2m －3=0的根都是整数；⑵若抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 向左平移一个单位后，过反比例函数)0(≠=k x ky 上的一点（-1,3），①求抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 的解析式；②利用函数图象求不等式0>-kx x k的解集.解：⑴⑵①②23．解：⑴当m=0时，x=1----------------------------1分当m ≠0，可解得x1=1，x2=m mm 3232-=------------------2分 ∴31±±=，m 时，x 均有整数根--------------------------------------3分综上可得310±±=，，m 时，x 均有整数根 ⑵①抛物线向左平移一个单位后得到y= m(x ＋1)2－3(m －1)(x ＋1)＋2m －3-------------4分过点（-1,3）代入解得m=3∴抛物线解析式为y= 3x2－6x ＋②k=－1×3=－3-----------------------6∴x>1或－1<x<0-----------------------73.（平谷23）已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．23．解：（1）证明：令0y =，则220x mx m -+-=．因为248m m ∆=-+2(2)40m =-+>， 1分 所以此抛物线与x 轴有两个不同的交点． 2分（2）因为关于x 的方程220x mx m -+-=的根为2(2)4m m x ±-+=，由m 为整数，当2(2)4m -+为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点．设22(2)4m n -+=（其中n 为整数）， 3分所以 [(2)][(2)]4n m n m +---=． 因为 (2)n m +-与(2)n m --的奇偶性相同，所以2222n m n m +-=⎧⎨-+=⎩，；或222 2.n m n m +-=-⎧⎨-+=-⎩，解得 2m =．经检验，当2m =时，关于x 的方程220x mx m -+-=有整数根． 所以 2m =...................................5分 （3） 当2m =时，此二次函数解析式为222(1)1y x x x =-=--，则顶点A 的坐标为（11-，）．抛物线与x 轴的交点为(0)O ，0、(20)B ，． 设抛物线的对称轴与x 轴交于1M ，则1(10)M ，．在直角三角形1AM O中，由勾股定理，得AO =，由抛物线的对称性可得，AB AO ==．又2222+=， 即 222OA AB OB +=．所以 △ABO 为等腰直角三角形．且11M A M B =．所以1(1)M ，0为所求的点． 6分若满足条件的点2M 在y 轴上时，设2M 坐标为(0)y ，．过A 作AN y ⊥轴于N ，连结2AM 、2BM ．则22M A M B =．由勾股定理，有22222M A M N AN =+；22222M B M O OB =+．即 2222(1)12y y ++=+． 解得 1y =．所以2(0)M ，1为所求的点． 7分综上所述满足条件的M 点的坐标为（10，）或（01，）．4.（门头沟23） 已知抛物线y ＝ax2＋x ＋2.(1)当a ＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x2＋x ＋2的值为正整数，求x 的值； (3)若a 是负数时，当a ＝a1时，抛物线y ＝ax2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点M(m ，0)；当a ＝a2时，抛物线y ＝ax2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点N(n ，0). 若点M 在点N 的左边，试比较a1与a2的大小. 23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2.∴抛物线的顶点坐标为(21，49)，对称轴为直线x=21.……2分(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为49，∴y 的正整数值只能为1或2.当y=1时，-x2+x+2＝1，解得2511+=x ，2512-=x (3)分当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……………4分∴x 的值为2511+=x ，2512-=x ，0或1.（3） 当a ＜0时，即a1＜0，a2＜0.经过点M 的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为121a x -=,经过点N 的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为221a x -=.…………5分∵点M 在点N 的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线121a x -=在直线221a x -=的左侧……………6分-4-3-2-1-4-3-2-143214321Oxy∴121a -＜221a -. ∴a1＜a2.…………………………………7分 5．（怀柔23）已知抛物线22(21)1y x m x m =+-+- (m 为常数) ． （1）若抛物线22(21)1y x m x m =+-+-与x 轴交于两个不同的整数点，求m 的整数值；（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；（3）若点M(x1，y1)与点N(x1＋k ，y2)在（2）中抛物线上 (点M 、N 不重合), 且y1=y2. 求代数式21116+6+5-+1x x k k ⋅的值.23．解：（1）由题意可知，△=()222-1-4(-1)m m =5－4m ＞0，.…………………1分又抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，∴5－4m 为平方数，设k2 =5－4m ，则满足要求的m 值为1，－1，－5，－11，－19…… ∴满足题意的m 整数值的代数式为2-++1n n (n 为正整数). …………………………3分 （2）∵抛物线顶点在第三象限， ∴只有m=1符合题意，抛物线的解析式为2=+y x x .…………………4分（3）∵点M ()11,x y 与N ()12,x k y +在抛物线2=+y x x 上， ∴2111=+y x x ，2211=(+)++y x k x k∵,21y y = ∴()221111+=+++.x x x k x k整理，得()12++1=0k x k∵点M 、N 不重合，∴k ≠0.∴2x1 =－k －1.……………………………………6分∴21116+6+5-+1x x kk ⋅=()2+116-3(k+1)+5-4+1k k k ⋅=6.………7分6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.25．解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+. ∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.﹍﹍∴ 当14n =时，d 取得最小值18. ﹍﹍当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图10) ﹍﹍﹍﹍﹍ 5分(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +，∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠)①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.∴ 整数c 的值为0.﹍﹍﹍﹍﹍ 6分此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠)即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩对一切实数x 均成立. 由②得()21ax b x+-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴ ()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩由⑤得整数b 的值为1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠)即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠)当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立. 当a≠2时，∵21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)④ ②∴ 2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴ 由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴ 整数a 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分∴ 整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =. 利用数形结合研究交点、方程的根1.（东城23.） 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．23.解：（1）2(4)12(1)m m ∆=--- 2(2)m =+．……2分由题意得，2(2)m +＞0且10m -≠ ．∴ 符合题意的m 的取值范围是⑥21m m ≠-≠且的 一切实数． ……3分（2）∵ 正整数m 满足822m ->， ∴ m 可取的值为1和2 ．又∵ 二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+， ∴ m =2．……4分∴ 二次函数为2-23y x x =++． ∴ A 点、B 点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）．依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线3y kx =+经过点A 、B ．可求出此时k 的值分别为3或-1．……7分注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案．2.（海淀23）已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取值范围；（2）若m>1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线y =公共点P(x0, y0)且 y0≤7时, 求b 的取值范围23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点， ∴210,(2)4(1)0.m m m由①得1m ， 由②得0m，∴ m 的取值范围是0m 且1m． …………2分（2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点， ∴ 令0y =，即2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-．∵1m >，∴ 10 1.1m >>--∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分∴ OA=1，OB=11m -．∵ OA : OB=1 : 3，∴ 131m =-.∴ 43m．∴抛物线的解析式为①②………………………1分212133y x x =--． ………………………………………4分 （3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1).依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即 2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7).当直线13y x b=+经过D 点时，可得5b =. 当直线13y x b=+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(0)33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P(x0, y0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 203330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b ，得74b =-．结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或74b． ……………7分通州22．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y x b =+ 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围. 22. .解：（1）分两种情况讨论. 当0m =时，方程为x 20-=2=∴x ，方程有实数根,………………………………………….(1分)②当0m ≠，则一元二次方程的根的判别式()()2222314229618821m m m m m m m m m ∆=----=-+-+=++⎡⎤⎣⎦＝()21m +≥0不论m 为何实数，∆≥0成立，∴方程恒有实数根 ………………………………………….(2分)综合①、②可知m 取任何实数， 方程()231220mx m x m --+-=恒有实数根………………….(3分)（2） 二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象与经过（0,0）∴022=-m∴1=m ………………………………………….(4分)∴二次函数解析式为：x x y 22-=………………………….(5分)（3）在（2）条件下，直线y x b =+与二次函数图象只有两个交点，结合图象可知212y x x y x b ⎧=-⎨=+⎩当1y y =时，得230x x b --= 由940b ∆=+=得94b =-………………………….(6分)综上所述可知：当49->b 时，y x b =+解得m ≥31-∴当m ≥31-，且 m ≠0时此方程有实根,……..2分（2）解：∵在(1)的条件下,当m 取最小的整数, 2EPAOC D∴原方程化为：x2-4x=0x （x-4）=0 x1=0，x2=4 ………….. …………..4分（3）解：如图所示：①当直线l 经过原点O 时与半圆P 有两个交点，即b=0………5分②当直线l 与半圆P 相切于D 点时有一个交点，如图由题意可得Rt △EDP 、Rt △ECO 是等腰直角三角形，∵DP=2 ∴EP=22………….6分 ∴OC=2-22 即b=2-22∴当0≤b ＜2-22时，直线l 与半圆P 只有两个交点。

代数综合题26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式； ②若D 点坐标（4，0），当PD AD >时，求a 的取值范围.26.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ． （1）该二次函数图象的对称轴是直线；（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A （0，4），B （2，0），C （－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .①求平移后图象顶点E 的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.26．在平面直角坐标系xOy22y x hx h =-+的图象的顶点为点（1）当1h =-时，求点D （2）当1x ≤≤≤1-≤1（用含h 的代数式表示m ）26．在平面直角坐标系xOy ,,A B C （1）若1,3m n =-=，则点12,D D （2）是否存在点C ，使得点,,A B 的坐标；若不存在，说明理由.26．在平面直角坐标系中，点D是抛物线223y ax ax a =--()0a >的顶点，抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）求点A ，B 的坐标；（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ，求抛物线表达式； （3）当30°<∠ADM <45°时，求a 的取值范围．OxD 32018石景山二26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()34,A -和()02,B ．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．26.抛物线M ：241y ax ax a =-+-(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数C 1：()332--+=x m mx y （m ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . (1)求点A 和点C 的坐标； (2)当AB =4时，①求二次函数C 1的表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△DAC 的周长最小，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将(2)中抛物线C 1向上平移n 个单位，得到抛物线C 2，若当0≤x ≤25时，抛物线C 2与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，有一抛物线其表达式为222y x mx m =-+.（1）当该抛物线过原点时，求m 的值； （2）坐标系内有一矩形OABC ,其中(4,0)A 、(4,2)B .①直接写出C 点坐标；②如果抛物线222y x mx m =-+与该矩形有2个交点，求m 的取值范围.26．在平面直角坐标系中，二次函数y （1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠x 轴上同一点，探究实数k ，b （3）将二次函数221y x ax a =+++的图象向右平移2个单位，若点P （x 0，m ）和Q （2，n ）在平移后的图象上，且m >n ，结合图象求x 0的取值范围．x。

2021年各城区(chéngqū)中考二模数学——代数综合题23题汇总1、〔2021年门头沟二模〕23. 二次函数图象的对称轴为直线．〔1〕恳求出该函数图像的对称轴；〔2〕在坐标系内作出该函数的图像；〔3〕有一条直线过点p(1,5)，假设该直线与二次函数223y x x=-++只有一个交点，恳求出所有满足条件的直线的关系式.2、〔2021年丰台二模〕23.如图,二次函数经过点〔-1,0〕和点〔0，-3〕.〔1〕求二次函数的表达式；〔2〕假如一次函数的图象与二次函数的图象有且只有一个公一共点，求m的值和该公一共点的坐标；（3）将二次函数图象y轴左侧局部沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余局部组成一个新的图象，该图象记为G ，假如直线与图象G有3个公一共点，求n的值. 3、〔2021年平谷二模〕23．关于x 的一元二次方程．〔1〕求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；〔2〕关于x 的二次函数的图象经过和两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线沿x轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线．设抛物线2C交x轴于M、N两点〔点M在点N的左侧〕，点P(a，b)为抛物线2C在x轴上方局部图象上的一个动点.当∠MPN≤45°时，直接写出a的取值范围．4、(2021年顺义二模) 23．关于的一元二次方程．〔1〕求证：方程总有两个实数根；〔2〕假设m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；〔3〕在〔2〕的条件下，设抛物线与x轴交点为A、B〔点B在点A 的右侧〕，与y轴交于点C．点O为坐标原点，点P在直线BC上，且OP =BC，求点P的坐标．5、〔2021年石景山二模〕23. 关于x 的一元二次方程．〔1〕求证：无论为何值时，方程总有一个根大于；〔2〕假设函数与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；〔3〕在〔2〕的条件(ti áoji àn)下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线翻折，得到新的函数图象．在轴上分别有点(t ，0)，(0，2t )，其中，当线段与函数图象G 只有一个公一共点时，求的值．解：6、〔2021年海淀二模〕23．关于x 的方程：①和②，其中.〔1〕求证：方程①总有两个不相等的实数根； 〔2〕设二次函数的图象与x 轴交于、两点〔点A 在点B 的左侧〕，将A 、B 两点按照一样的方式平移后，点A落在点处，点B 落在点处，假设点'B 的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值； 〔3〕设二次函数，在〔2〕的条件下， 函数，的图象位于直线左侧的局部与直线〔〕交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置随之变化，假设交点间的间隔 始终不变，那么的值是________________.7、〔2021年西城二模〕23．经过点〔1，1〕的直线l ：与反比例函数G 1:的图象交于点，B 〔b ，-1〕，与y 轴交于点D ．〔1〕求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式； 〔2〕反比例函数G 2::，①假设点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，假设EA =EB ，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公一共点M ，N 〔点M 在点N 的左侧〕，假设，直接写出t 的取值范围．8、〔2021年通州二模〕无9、〔2021年东城二模〕23．：关于x 的一元二次方程．〔1〕求证：无论m 取何值，此方程总有两个实数根； 〔2〕设抛物线，证明：此函数图像一定过x 轴，轴上的两个定点〔设x 轴上的定点为点A ，y 轴上的定点为点C 〕；〔3〕设此函数的图像与x 轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求m 的取值范围．10、〔2021年二模〕23．在平面(píngmiàn)直角坐标系xOy中，点P(m，0)为x轴正半轴上的一点，过点P做x轴的垂线，分别交抛物线y=-x2+2x和y=-x2+3x于点M，N．〔1〕当时，；〔2〕假如点P不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP，PM，．PN，MN中恰好有三条线段相等时，求m的值．11、〔2021年密云二模〕23. P〔﹣3，m〕和Q〔1，m〕是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．〔1〕求b的值;〔2〕判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，假设有，求出它的实数根；假设没有，请说明理由;〔3〕将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k〔k是正整数〕个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．12、〔2021年延庆二模〕13、(2021年房山二模) 23. 关于的一元二次方程有实数根，为正整数. 〔1〕求k的值；〔2〕当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，将平移后的二次函数图象位于轴左侧的局部沿x轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象G ．当直线与图象G有3个公一共点时，请你直接写出的取值范围.14、〔2021年昌平二模〕23．抛物线.〔1〕求证：无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点；〔2〕假设抛物线与x轴交于A(m,0)、B〔n,0〕两点，m、n、a均为整数，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(n－l，n＋l〕、Q(0,a〕，求一次函数的表达式.15、〔2021年怀柔二模〕23．如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左侧〕，与y 轴交于点C ．〔1〕求点A 、B 的坐标(zu òbi āo)；〔2〕设D 为y 轴上的一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求D 点的坐标；〔3〕：直线y=>0)交x 轴于点E ，M 为直线上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k 的取值范围．16、〔2021年大兴二模〕23．：关于x 的一元二次方程.〔1〕当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；〔2〕假设k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．17、〔2021年燕山二模〕23. 关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．〔1〕求k 的取值范围；〔2〕当k 取最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； 〔3〕将(2)中求得的抛物线在x轴下方的 局部沿x轴翻折到x轴上方，图象的 其余局部不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象 与直线有三个不同公一共点时m 的值．内容总结（1）2021年各城区中考二模数学——代数综合题23题汇总 1、〔2021年门头沟二模〕23. 二次函数图象的对称轴为直线． 〔1〕恳求出该函数图像的对称轴 （2）假设没有，请说明理由（3）〔2〕当取最小的整数时，求抛物线 的顶点坐标以及它与轴的交点坐标。