2437微积分初步(参考模板)

《微积分初步》课程提纲课程编号：40704009 课程名称：微积分初步学时：68学分：4适用专业：法学、工业设计、艺术设计等人文学科预前知识：初等数学的基础知识（高中数学）课程简介：微积分是研究变量变化的一门科学，它所研究的对象是事物运动、变化过程中变量间相互依赖的函数关系，而极限是人们研究函数不可缺少的工具，它是从有限认识无限，从近似中认识精确，从离散中认识连续，从量变中认识质变的一种思维方法，正是这种辩证唯物主义观点,才推动着科学的车轮不断前进。

本课程以微积分学为核心内容，首先介绍了微积分研究的对象---函数,以及微积分研究的重要基础---极限。

在此基础上建立了一元函数微积分学的导数、微分、不定积分、定积分的基本概念、基本理论和简单应用，以及多元函数微积分学的基本概念和理论，并介绍了微积分学的有关理论在经济中的应用。

作为微积分学的延伸和应用本课程还简单介绍了微分方程的基本概念和最基本解法。

该课程适用于要求对数学作为普通知识了解的人文学科及大专类学生。

本课程主要内容包括：函数与极限，导数与微分，微分学的定理及应用，不定积分，定积分，定积分的应用，微分方程（简介），多元函数微分。

课程教学目标：20世纪的重大成果和新兴学科向世人昭示：数学与哲学、社会科学的联系越来越紧密。

在保证掌握必要数学工具和计算技巧的前提下，突出对学生进行数学思维训练是本课程教学的主要目的。

通过本课程的学习，使学生能够建立变量的思想，对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解，在使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能的条件下，培养学生辩证唯物主义观点，并使他们受到运用变量数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为学习其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。

本课程在教学中要求尽量从实际出发，注意概念、定理的直观描述和实际背景，避免过繁、过难的理论推导，使同学们从算数、计算、背定理、套公式的学习方式中解脱出来，让学生们深刻理解数学的本质和原貌，体味生活中的数学，自觉地把数学与现实结合起来，使教学具有生动性和吸引性，提高学生学习的主动性和积极性，努力提高学生综合素质、培养学生科学思维能力。

国家开放大学电大专科《建筑工程项目招投标与合同管理》单项选择题题库及答案（试卷号国家开放大学电大专科《建筑工程项目招投标与合同管理》单项选择题题库及答案（试卷号：2464）盗传必究单项选择题1．按照规定，招标人和中标人应当自中标通知书发出之日起()日之内订立书面合同。

A．20B．30C25D．352．()属于投标人的权益。

A．平等地获得招标信息B．组织和参与招投标活动，其行为对招标人或投标人产生效力C．依据招标文件规定，审定投标人的资质D．依法收取招标代理业务3．建设工程标底是指招标人根据国家有关规定计算出来的造价，是建设工程的()。

A．计划价格B．预期价格C．实际价格D．合同价格4．整个招标过程的结果性阶段是()，包括：开标、评标、定标、签约等工作。

A．招标准备阶段B．招标实施阶段C．定标签约阶段D．履约阶段5．施工招标文件的内容一般不包括()。

A．工程质量及工期要求B．资格预审条件C．合同条件D．投标须知6．为了提高中标的可能性和中标后利益，在保证工程质量的前提下，进行合理报价，根据投标报价的原则，降低投标报价不可以采取()方法。

A．设定降价系数B．降低管理费C．降低利润率D．降低规费和税金7．招标人和中标人按照招标文件和中标人的投标文件订立书面合同后，中标人()。

A．应当按照合同约定履行义务，完成中标项目B．可将中标项目分解后分别向他人转让C．可向他人转让中标项目D．可将中标项目中的部分主体工作分包给他人完成8．评标工作是由(A．招标人B．评标委员会C．公证机关D．当地招标管理部门9．建设部和国家工商行政管理局联合发布了两个设计合同示范文本，《建设工程设计合同》中条款内容差异的主要原因是由于《建设工程设计合同》委托的工作内容不同，即承包工程项目的()任务。

A．勘察、设计B．设计、施工C．专业工程设计D．民用建筑工程设计10.工程师在收到承包商递交的索赔报告和有关资料后()天内未给予答复或未对承包商作进一步要求，则视为该项索赔已被认可。

2437微积分初步习题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线xy e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ．⒋=+⎰e12d )1ln(d d x x x 0．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =．6函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．7.当→x 0时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.=+-⎰-x x x d )135(1132．10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =.11.函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 12-x ．1⒉=∞→xx x 1sinlim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ． 1⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．1⒌微分方程x y xyy cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．16.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x ．17.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．18.函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19.=⎰∞-dx e x 0221． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．21.设函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 12+x ．22.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k =1-． 23.曲线1e )(+=xx f 在)2,0(点的斜率是 1 ．24.=+-⎰-x x x d )235(113 4 ．25.微分方程0)(42=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 答案：2>x 且3≠x .27.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- 28.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f29.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f31.函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x32.=∞→xx x 1sin lim ．答案：133.若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k34.曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 答案：2135.曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=36.已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2xx x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x - 38.若xx x f -=e )(，则='')0(f ．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-39.函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞40.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xxa x a = D.)d(2d 1x x x=⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃ 7.曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（D ）．A ．2B ．2e C ．4e D ．42e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d e x x B ． ⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s10.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 411.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B ）．A ．x cosB ．x -5C ．2x D ． x21⒋ 设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2ln 1xx - D. x 2ln1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程． A ．x y y x y xln e sin ='-'' B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 216.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +118.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠19.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223 B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++232322120.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.)(ln d d y x x y ⋅=； B. x y x y+=e d d ； C. y x x y e e d d +=； D. )ln(d d y x xy += 21.函数x x y ln 41+-=的定义域为（D ）． A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x 22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．A. x y e 1=B. 1e 1-=x yC. 1e 1+=x yD. 1e e1+-=x y23.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xx a x a = D. )d(2d 1x x x=24.下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy += 26.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +28.函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x29.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x30.当=k （D ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．331.当=k （B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1-32.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（A ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点33.若x x f xcos e )(-=，则)0(f '=（ C ）．A. 2B. 1C. -1D. -234.设，则（ B ）．A ．B ．C ．D ．35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos37.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 39.下列结论中（ Ａ ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+='x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx5.计算极限46lim 222----→x x x x ．6.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 7.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 3238.计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 9.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 10.设xx y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x xxy +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x13.计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y xcos 2+=，求y dxx y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=15.计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= ce xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d16.计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e xx x17. 计算极限423lim 222-+-→x x x x解：原式41)2)(2()2)(1(lim2=+---=→x x x x x 18. 计算不定积分x xx d )1(2⎰+解：x xx d )1(2⎰+= c x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(219.计算极限932lim 223---→x x x x ． 解：原式32)3)(3()1)(3(lim3=+-+-=→x x x x x 20.设xy x 1e1+=+，求y '． 解： 2111(21e x x y x -+='+21.计算不定积分x x x d e 112⎰解：cx x xx x x +-=-=⎰⎰1112e 1d e d e 122.计算定积分x x x d cos 2⎰π解：x x x d cos 20⎰π=20sin πx x -x x d sin 20⎰π=20cos 2ππx +=12-π23.423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 24.329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x 25.4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 26.计算极限x x x 11lim0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim 0-=+--=→x x 27.计算极限x x x 4sin 11lim0--→解：x x x 4sin 11lim 0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 28.设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x29.设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=30.设x y x 2e1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+31.设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 32.设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy xy y --='22于是得到x x y xy y d 22d --=33.设2e e cos y x y x =++，求y d ．解：方程两边对x 求导，得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=34.求微分方程yx y +='e 的通解解：将原方程分离变量 x y xy d e ed =x y x y d e d e =-两端积分得通解为C x y +=--e e35.求微分方程y y y x ln ='满足e )1(=y 的特解.解：将原方程分离变量x x yy yd ln d = 两端积分得 lnln y = ln C x通解为 y = e Cx将e )1(=y 代入通解，得1=C ，故特解为y = e x36.求微分方程xx y y ln 1=-'的通解. 解 此方程为一阶线性微分方程，且xx Q x x P ln 1)(,1)(=-=， 则方程的通解为)ln (ln )d ln 1()d e ln 1(e d 1d 1C x x C x xx x C x x y x x xx +=+=+⎰⎰=⎰⎰-37.求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解．解 此方程为一阶线性微分方程，且1)(,1)(2+==x x Q xx P ，则方程的通解为)2141(1)d )1((1)d e)1((e242d 12d 1C x x x C x x x x C x x y xx xx ++=++=+⎰+⎰=⎰⎰-将初始条件47)1(=y 代入通解，得1=C ，于是满足初始条件的为 )12141(124++=x x x y 四、应用题1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h2．用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省. 4.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2rVh π=，则其表面积为 rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V r S -=' 令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x ，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省.6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。

2437微积分初步习题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线xy e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ．⒋=+⎰e12d )1ln(d d x x x 0．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =．6函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．7.当→x 0时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.=+-⎰-x x x d )135(1132．10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =.11.函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 12-x ．1⒉=∞→xx x 1sinlim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ． 1⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．1⒌微分方程x y xyy cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．16.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x ．17.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．18.函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19.=⎰∞-dx e x 0221． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．21.设函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 12+x ．22.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k =1-． 23.曲线1e )(+=xx f 在)2,0(点的斜率是 1 ．24.=+-⎰-x x x d )235(113 4 ．25.微分方程0)(42=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 答案：2>x 且3≠x .27.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- 28.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f29.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f31.函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x32.=∞→xx x 1sin lim ．答案：133.若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 34.曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 答案：2135.曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=36.已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2xx x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x - 38.若xx x f -=e )(，则='')0(f ．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-39.函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞40.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xxa x a = D.)d(2d 1x x x=⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃ 7.曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（D ）．A ．2B ．2e C ．4e D ．42e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d e x x B ． ⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s10.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 411.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B ）．A ．x cosB ．x -5C ．2x D ． x21⒋ 设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2ln 1xx - D. x 2ln1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程． A ．x y y x y xln e sin ='-'' B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 216.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．x x sin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． xx+1 18.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠19.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223 B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++232322120.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.)(ln d d y x x y ⋅=； B. x y xy+=e d d ； C. y x xye e d d +=； D. )ln(d d y x x y += 21.函数x x y ln 41+-=的定义域为（D ）．A ．0>xB ．4≠xC ．0>x 且1≠xD ．0>x 且4≠x 22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．A. x y e 1=B. 1e1-=x y C. 1e 1+=x y D. 1e e 1+-=x y23.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xx a x a = D. )d(2d 1x x x=24.下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy+= 26.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +28.函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x29.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x30.当=k （D ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．331.当=k （B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1-32.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（A ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点33.若x x f xcos e )(-=，则)0(f '=（ C ）．A. 2B. 1C. -1D. -234.设，则（ B ）．A ．B ．C ．D ．35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos37.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 39.下列结论中（ Ａ ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+='x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx5.计算极限46lim 222----→x x x x ． 6.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 7.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 3238.计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 9.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 10.设xx y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x xxy +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x13.计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y xcos 2+=，求y dxx y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=15.计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= ce xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d16.计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e xx x17. 计算极限423lim 222-+-→x x x x解：原式41)2)(2()2)(1(lim2=+---=→x x x x x 18. 计算不定积分x xx d )1(2⎰+解：x xx d )1(2⎰+= c x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(219.计算极限932lim 223---→x x x x ． 解：原式32)3)(3()1)(3(lim3=+-+-=→x x x x x 20.设xy x 1e 1+=+，求y '．解： 2111(21e x x y x -+='+21.计算不定积分x x x d e 112⎰解：c x x x x x x +-=-=⎰⎰1112e 1d e d e 122.计算定积分x x x d cos 2⎰π解：x x x d cos 20⎰π=20sin πx x -x x d sin 20⎰π=20cos 2ππx +=12-π23.423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 24.329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x 25.4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 26.计算极限x x x 11lim0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim 0-=+--=→x x 27.计算极限x x x 4sin 11lim0--→解：x x x 4sin 11lim 0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 28.设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x29.设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=30.设x y x 2e1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+31.设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 32.设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy xy y --='22于是得到x x y xy y d 22d --=33.设2e e cos y x y x =++，求y d ．解：方程两边对x 求导，得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=34.求微分方程yx y +='e 的通解解：将原方程分离变量 x y xy d e ed =x y x y d e d e =-两端积分得通解为C x y +=--e e35.求微分方程y y y x ln ='满足e )1(=y 的特解.解：将原方程分离变量x x yy yd ln d = 两端积分得 lnln y = ln C x通解为 y = e Cx将e )1(=y 代入通解，得1=C ，故特解为y = e x36.求微分方程xx y y ln 1=-'的通解. 解 此方程为一阶线性微分方程，且xx Q x x P ln 1)(,1)(=-=， 则方程的通解为)ln (ln )d ln 1()d e ln 1(e d 1d 1C x x C x xx x C x x y x x xx +=+=+⎰⎰=⎰⎰-37.求微分方程12+=+'x xy y 满足初始条件47)1(=y 的特解．解 此方程为一阶线性微分方程，且1)(,1)(2+==x x Q xx P ，则方程的通解为)2141(1)d )1((1)d e)1((e242d 12d 1C x x x C x x x x C x x y xx xx ++=++=+⎰+⎰=⎰⎰-将初始条件47)1(=y 代入通解，得1=C ，于是满足初始条件的为 )12141(124++=x x x y 四、应用题1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h2．用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省. 4.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2rVh π=，则其表面积为 rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4rV r S -=' 令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x ，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省.6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。