微积分基础知识 PPT

单调增函数 ;
若 f (x1) f (x2 ),称 f (x) 为 I 上的
单调减函数 .
y
x1 x2 x
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
x o x x
4 x5
阶梯曲线
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(3) 狄利克雷函数
y

D( x)

1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
•o
x
无理数点 有理数点
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(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
M { x P(x) } P（x）表示元素具有性质
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2.邻域:
设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x x a ()}称为点a的邻域,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .


a
a
a
点a的去心的邻域, 记作U(a, ).
n 3,4,5,
S
lim 2nr sin
n
n
sin
lim 2 r n
n

2 r
n
7
2）切线的斜率
y
y f (x)
N
CM

o
x0
T
xx
k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
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3)计算曲边梯形面积
y
y f (x)
曲边梯形面积为
oa
bx
n
A

lim
0
i 1
f
(i )xi
9
4)无穷级数
11 1
24
2n
11 1
lim n 2 4
2n

lim
1 2
(1
1 2n
)
1
n 1 1
2
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第0章 基本知识 一、基本概念 1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
多元微积分 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
(上册) (下册)
4
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性 质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积 分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是 极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高
D :[1,1] D : (1,1)
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几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
x sgn x x
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(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
y
4321
-4 -3 -2 -1o -1 1 2 3 -2 -3 -4
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex
2
记
ch x
双曲余弦
偶函数
ex
y e
x
y ch x
o
x
20
例1 判断函数 y f ( x) ln(x 1 x的2 )奇偶性. 解： f ( x) ln( x 1 ( x)2 )
等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
概念更复杂
理论性更强
表达形式更加抽象
推理更加严谨 5
因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教 材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概 念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领 会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和
f ( x) g( x) h( x) 2
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(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
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三. 函数的几种特性
(1) 有界性
设函数 y f (x) , x D ,
x D , A, B , 使 B f (x) A
称 f (x) 为有界函数. A为上界，B为下界。
(2) 单调性
x1 , x2 I , 当 x1 x2 时, 若 f (x1) f (x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
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函数的两要素: 定义域与对应法则.
约定:
(x
(
W
D x0)
对应法则f
y f (x0 )
取的使算式有意义的一切实 数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
ln(x 1 x2 ) f ( x) ∴ f(x)是奇函数.
例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个 偶函数的和。
证明：设 g( x) f ( x) f ( x),h( x) f ( x) f ( x)
显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而 故命题的证.
逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学
好了数学。
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极限方法 1） 计算圆的周长
圆内接正n 边形 O
r
n
S3
S4
S5
Sn 2nr sin n
U(a, ) {x 0 x a }.
x
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二、函数
1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集， 若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称y是x的函数
记作 y f (x)
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
你们好
课程名称 计划学时 考核形式 课堂纪律
绪论 微积分上 80 考试（５学分） 作业问题
课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习
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参考书目 ＜微积分学习指导＞ ＜高等数学＞
同济大学数学系 编（高等教育出版社）
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主要内容 1. 基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分